数值分析大作业 超松弛迭代法如何选取最佳松弛因子
不等式约束的松弛因子
不等式约束的松弛因子
松弛因子（relaxation factor）是在使用迭代算法求解不等式约
束问题时引入的一个参数，用于平衡迭代过程中的收敛速度和精度。
在使用迭代算法求解包含不等式约束的问题时，每次迭代都需要根据当前的解更新约束条件。
但由于不等式约束的特殊性，严格满足约束条件可能导致迭代过程的收敛速度变慢甚至无法收敛。
因此，可以引入一个约束松弛因子来放宽约束条件，使得迭代过程更容易收敛。
具体来说，对于一个不等式约束条件g(x) ≤ 0，引入松弛因子
γ（0 < γ < 1），则可以将约束条件改写为g(x) ≤ σ，其中σ =
γg(x)。
通过调整松弛因子的取值，可以控制约束条件的严格
程度，从而平衡收敛速度和精度。
当松弛因子γ 非常接近0时，约束条件变得非常严格，每次迭代都必须严格满足约束条件。
这有助于确保最终解满足约束条件，但可能导致收敛速度较慢。
当松弛因子γ 接近1时，约束条件被放宽，每次迭代只需要部分满足约束条件。
这可以加快迭代过程的收敛速度，但最终解可能不完全满足约束条件。
因此，选择合适的松弛因子是一个权衡收敛速度和精度的问题。
通常需要根据具体问题的特点和要求进行调整。
超松弛迭代法
2012-2013（1）专业课程实践论文超松弛迭代法姓名，吕永杰，0818180119，R数学08-1班一、算法理论逐次超松弛迭代法是Gauss-Seidel方法的一种加速方法，世界大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，它具有计算公式简单，程序设计容易，占用计算机内存较少等优点，但需要选择好的加速因子（即最佳松弛因子）。
设有方程组Ax=b, ............（1）其中A∈错误！未找到引用源。
为非奇异矩阵，且设错误！未找到引用源。
(i=1,2,......,n),分解A为错误！未找到引用源。
.. (2)设已知第k次迭代向量错误！未找到引用源。
,及第k+1次迭代向量错误！未找到引用源。
的分量错误！未找到引用源。
(j=1,2,……,i-1),要求计算分量错误！未找到引用源。
.首先用Gauss—Seidel迭代法定义辅助量错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
(错误！未找到引用源。
(i=1,2,......n).. (3)再把错误！未找到引用源。
取为错误！未找到引用源。
某个平均值（即加权平均），即错误！未找到引用源。
=(1-错误！未找到引用源。
)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
(错误！未找到引用源。
) (4)用式（3）代入式（4）即得到解方程组Ax=b的逐次超松弛迭代公式错误！未找到引用源。
, (5)其中错误！未找到引用源。
为松弛因子，或写为错误！未找到引用源。
(6)显然，当错误！未找到引用源。
=1时，解式（1）的SOR方法就是Gauss-Seid el 迭代法。
在SOR方法中，迭代一次主要的运算量是计算一次矩阵与向量的乘法。
由式（5）可知，在计算机上应用SOR方法解方程组时只需一组工作单元，以便存放近似解.二,算法框图开始 输入x 0开始迭代for （k=0;k<m;++k ）for(j+0;j<=i-1;++j) for(i=0;i<n;++i)For(j=i;j<n;++j)temp1=temp1+a i [j]*frovalue [j];x[i]=frovalue [i] +w*(b i -temp1-temp2)/a i [j];Temp2=temp2+a [i][j]*x ;结束turefalsefalseFalsetrueture三、 算法程序#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;float *one_array_malloc(int n); //一维数组分配float **two_array_malloc(int m,int n); //二维数组分配float matrix_category(float* x,int n);int main(){const int MAX=100;//最大迭代次数int n,i,j,k;float** a;float* x_0; //初始向量float* x_k; //迭代向量float precision; //精度float w; //松弛因子cout<<"输入精度e:";cin>>precision;cout<<endl<<"输入系数矩阵的阶数，N：";cin>>n;a=two_array_malloc(n,n+1);cout<<endl<<"输入增广矩阵的各值：\n";for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n+1;j++){cin>>a[i][j];}}x_0=one_array_malloc(n);cout<<endl<<"输入初始向量:\n";for(i=0;i<n;i++){cin>>x_0[i];}x_k=one_array_malloc(n);cout<<"输入松弛因子w (1<w<2)：\n";cin>>w;float temp;//迭代过程for(k=0;k<MAX;k++){for(i=0;i<n;i++){temp=0;for(j=0;j<i;j++){temp=temp+a[i][j]*x_k[j];}x_k[i]=a[i][n]-temp;temp=0;for(j=i+1;j<n;j++){temp=temp+a[i][j]*x_0[j];}x_k[i]=(x_k[i]-temp)/a[i][i];x_k[i]=(1-w)*x_0[i]+w*x_k[i];}//求两解向量的差的范数for(i=0;i<n;i++){x_0[i]=x_k[i]-x_0[i];}if(matrix_category(x_0,n)<precision) {break;}else{for(i=0;i<n;i++){x_0[i]=x_k[i];}}}//输出过程if(MAX==k){cout<<"迭代不收敛\n";}cout<<"迭代次数为："<<k<<endl; cout<<"解向量为：\n";for(i=0;i<n;i++){cout<<"x"<<i<<": "<<x_k[i]<<endl;}return 0;}float *one_array_malloc(int n) //一维数组分配{float *a;a=(float *)malloc(sizeof(float)*n);return a;}float **two_array_malloc(int m,int n) //二维数组分配{float **a;int i;a=(float **)malloc(m*sizeof(float *));for (i=0;i<m;i++){a[i]=(float *)malloc(n*sizeof(float));}return a;}float matrix_category(float* x,int n){int i;float temp=0;for(i=0;i<n;i++){temp=temp+fabs(x[i]);}return temp;}四、算法实现例1 . 用SOR方法解方程组错误！未找到引用源。
数值分析课程设计-- 松弛迭代法中松弛因子
数值分析课程设计-- 松弛迭代法中松弛因子安徽建筑大学数值分析设计报告书题目松弛迭代法中松弛因子院系数理系专业信息与计算科学班级信息②班学号 12207210220 姓名穆海山时间 2013-12-10~2013-12-23指导教师刘华勇题目：选用Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和超松弛迭代法求解下面的方程组（考虑n 等于150）123216186186186186186n n n x x x x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=10.522.522.522.522.521⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦考虑初值的变化和松弛因子ω的变化收敛效果的影响；对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。
一、摘要本课程设计用matlab 就线性方程组数值方法，Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法，超松弛法对所设计的问题进行求解，并编写程序在Matlab 中实现，在文章中对各种迭代法进行了收敛性分析。
接着用几种不同方法对线性方程组进行求解及结果分析，最后对此次课程设计进行了总结。
关键词：线性方程组，迭代，Matlab ，结果分析二、设计目的用熟悉的计算机语言编程上机求解线性方程组。
三、理论基础对方程组 Ax b = 做等价变换 x Gx g =+ 如：令 A M N =-，则11()Ax b M N x b Mx Nx b x M Nx M b --=⇒-=⇒=+⇒=+则，我们可以构造序列 (1)() k k x G x g +=+ 若 ()*k x x →* **x G x g Ax b ⇒=+⇒= 同时：(1)()()**(*)k k k x x Gx Gx G x x +-=-=-1(0)(*)k G x x +==-所以，序列收敛0k G ⇔→，与初值的选取无关1122(,,,)nn D diag a a a =设则转化为矩阵形式(1)()1()()k k k x x D b Ax +-=+-(1)()1()1k k k x x D Ax D b +--=-+(1)1()1()k k x D D A x D b +--=-+ (1)令2112000000n n a L a a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪⎪--⎝⎭1212000000n n a a a U --⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A D L U =-- 或者 D A L U -=+故迭代过程(1)化为(1)1()1()k k x D D A x D b +--=-+ (1)1()1()k k x D L U x D b +--=++ A D L U =-- 11(),,J B D L U f D b --=+=令于是D A L U -=+1111()() , J B D L U D D A I D A f D b----=+=-=-=或者：(1)()k k J x B x f+=+(2)(0,1,2,)k =等价线性方程组为J x B x f=+Ax b =称(2)式为解线性方程组(1)的Jacobi 迭代法(J 法)J B Jacobi 为迭代法的迭代矩阵迭代矩阵 考虑迭代式(2)(1)()k k J x B x f+=+ (0,1,2,)k =即(1)1()1()k k x D L U x D b +--=++ (1)()()k k k Dx Lx Ux b +=++(,)L 注意到的形式下三角不含对角线将上式改为 (1)(1)()k k k DxLx Ux b ++=++ (3) (1)()()k k D L x Ux b +-=+D L -当可逆时 (1)1()1()()k k xD L Ux D L b +--=-+- 11(),(),G G B D L U f D L b --=-=-设得(1)()k k G Gx B x f +=+(4)(0,1,2,)k =超松弛迭代记 ()(1)()k k k x xx +∆=-则 (1)()()k k k xx x +=+∆ 可以看作在前一步上加一个修正量。
松弛因子
松弛因子由于流体力学中要求解非线性的方程,在求解过程中,控制变量的变化是很必要的,这就通过松弛因子来实现的.它控制变量在每次迭代中的变化.也就是说,变量的新值为原值加上变化量乘以松弛因子.如:A1=A0+B*DETAA1 新值A0 原值B 松弛因子DETA 变化量松弛因子可控制收敛的速度和改善收敛的状况!为1,相当于不用松弛因子大于1,为超松弛因子,加快收敛速度小于1,欠松弛因子,改善收敛的条件一般来讲,大家都是在收敛不好的时候，采用一个较小的欠松弛因子。
Fluent里面用的是欠松弛，主要防止两次迭代值相差太大引起发散。
松弛因子的值在0～1之间，越小表示两次迭代值之间变化越小，也就越稳定，但收敛也就越慢。
a 亚松驰因子1、亚松驰（Under Relaxation）：所谓亚松驰就是将本层次计算结果与上一层次结果的差值作适当缩减，以避免由于差值过大而引起非线性迭代过程的发散。
用通用变量来写出时，为松驰因子（Relaxation Factors）。
《数值传热学-214》2、FLUENT中的亚松驰：由于FLUENT所解方程组的非线性，我们有必要控制的变化。
一般用亚松驰方法来实现控制，该方法在每一部迭代中减少了的变化量。
亚松驰最简单的形式为：单元内变量等于原来的值加上亚松驰因子a与变化的积分离解算器使用亚松驰来控制每一步迭代中的计算变量的更新。
这就意味着使用分离解算器解的方程，包括耦合解算器所解的非耦合方程（湍流和其他标量）都会有一个相关的亚松驰因子。
注：在FLUENT中，所有变量的默认亚松驰因子都是对大多数问题的最优值。
这个值适合于很多问题，但是对于一些特殊的非线性问题（如：某些湍流或者高Rayleigh数自然对流问题），在计算开始时要慎重减小亚松驰因子。
使用默认的亚松驰因子开始计算是很好的习惯。
如果经过4到5步的迭代残差仍然增长，你就需要减小亚松驰因子。
有时候，如果发现残差开始增加，你可以改变亚松驰因子重新计算。
数值计算方法 松弛迭代法 - 松弛迭代法
n1
(k 1)
1
n2
(k 1)
2
b x
( k 1)
n,n1 n1
g n
x
(
0
)
( x1(0) ,
,
x(0) n
)T
,
xi
x (k1) i
x(k) i
xi
(bi
i 1
a x (k1) ij j
n
aij
xj(k) )
/
aii
x(k) i
ji
j i 1
i 1
n
(bi
aij
x (k1) j
aij
x
(k j
)
)
/
aii
.
(2.13)
代
j1
ji1
法
(2) 再由xi(k ) 与x~i(k1) 加权平均定义xi(k1) ，即
x(k1) i
(1 )xi(k)
x(k1) i
x(k) i
( xi(k1)
xi(k) )
(2.14)
将(2.13)代入(2.14)得到解 Ax b 的SOR迭代公式.
第 六
线性插方程值组的法迭代解法
章
主讲教师：刘春凤
1 迭代法原理
2 Jacobi迭代法 3 高斯-塞德尔迭代法 4 松弛迭代法
5 迭代法的收敛性与稳定 性
松弛法的基本思想 松弛法的矩阵表示 松弛法的程序 迭代法收敛性的其它判定方法
松弛法的基本思想
为Gauss-Seidel 迭代法加速
记：x x1 , x2 , , xn T x(k1) x(k)
松
可以把 x 看作Gauss-Seidel 迭代的修正项，即第k次
松弛因子
松弛因子由于流体力学中要求解非线性的方程,在求解过程中,控制变量的变化是很必要的,这就通过松弛因子来实现的.它控制变量在每次迭代中的变化.也就是说,变量的新值为原值加上变化量乘以松弛因子.如:A1=A0+B*DETAA1 新值A0 原值B 松弛因子DETA 变化量松弛因子可控制收敛的速度和改善收敛的状况!为1,相当于不用松弛因子大于1,为超松弛因子,加快收敛速度小于1,欠松弛因子,改善收敛的条件一般来讲,大家都是在收敛不好的时候，采用一个较小的欠松弛因子。
Fluent里面用的是欠松弛，主要防止两次迭代值相差太大引起发散。
松弛因子的值在0～1之间，越小表示两次迭代值之间变化越小，也就越稳定，但收敛也就越慢。
a 亚松驰因子1、亚松驰（Under Relaxation）：所谓亚松驰就是将本层次计算结果与上一层次结果的差值作适当缩减，以避免由于差值过大而引起非线性迭代过程的发散。
用通用变量来写出时，为松驰因子（Relaxation Factors）。
《数值传热学-214》2、FLUENT中的亚松驰：由于FLUENT所解方程组的非线性，我们有必要控制的变化。
一般用亚松驰方法来实现控制，该方法在每一部迭代中减少了的变化量。
亚松驰最简单的形式为：单元内变量等于原来的值加上亚松驰因子a与变化的积分离解算器使用亚松驰来控制每一步迭代中的计算变量的更新。
这就意味着使用分离解算器解的方程，包括耦合解算器所解的非耦合方程（湍流和其他标量）都会有一个相关的亚松驰因子。
注：在FLUENT中，所有变量的默认亚松驰因子都是对大多数问题的最优值。
这个值适合于很多问题，但是对于一些特殊的非线性问题（如：某些湍流或者高Rayleigh数自然对流问题），在计算开始时要慎重减小亚松驰因子。
使用默认的亚松驰因子开始计算是很好的习惯。
如果经过4到5步的迭代残差仍然增长，你就需要减小亚松驰因子。
有时候，如果发现残差开始增加，你可以改变亚松驰因子重新计算。
超松弛迭代法(SOR方法)
解：SOR迭代公式
x1( k
1)
(1 )x1(k )
4
(10 2x2(k )
4x3(k ) )
x
(k 2
1)
(1 )x2(k )
17
(3
2
x1(
k
1)
10x3(k ) )
x3( k
1)
(1 )x3(k )
9
(7 4x1(k 1)
10
x
(k 2
1)
)
初值 x (0) (0,0,0)T k = 0,1,2,…，
例该4方.4程用组S的OR精法确求解解线x (性*) 方 程(2组,1,1)T
如值只果需x(0取)迭ω取代(0=,04ω21,00x(=42)即1次T1xx,要11.高4便26达x斯11，可207到—xx要达22同4塞求到x样319德精0x精x3尔度130度迭要x,(3k7代求需1) 法要x)迭(和k) 代同1一1100初6次
数值计算方法
超松弛迭代法（SOR方法） 使用迭代法的困难在于难以估计其计算
量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速 度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值 。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐 次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参 数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞 德尔迭代的一种加速方法。
或 Dx(k1) (1)Dx(k) (b Lx(k1) Ux(k) )
故 (D L)x(k1) (1)D Ux(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
matlab超松弛迭代法求方程组
一、介绍MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和数据可视化的专业软件。
在MATLAB中，超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效算法。
本文将介绍MATLAB中超松弛迭代法的基本原理和实现方法，并给出一个具体的例子进行演示。
二、超松弛迭代法的基本原理超松弛迭代法是一种逐步迭代的算法，用于求解线性方程组。
它的基本原理是通过不断迭代更新方程组的解，直到达到满足精度要求的解。
超松弛迭代法的公式如下：X(k+1) = (1-w)X(k) + w*(D-L)⁻¹*(b+U*X(k))其中，X(k)代表第k次迭代的解向量，X(k+1)代表第k+1次迭代的解向量，D、L和U分别代表方程组的对角线元素、下三角元素和上三角元素构成的矩阵，b代表方程组的右端向量，w代表松弛因子。
超松弛迭代法的关键在于选择合适的松弛因子w，一般情况下，可以通过试验选取一个合适的值。
在MATLAB中，可以使用sor函数来实现超松弛迭代法。
三、MATLAB中超松弛迭代法的实现方法在MATLAB中，可以通过调用sor函数来实现超松弛迭代法。
sor 函数的语法格式如下：[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A代表线性方程组的系数矩阵，b代表右端向量，w代表松弛因子，tol代表迭代的精度要求，maxit代表最大迭代次数，X代表迭代求解得到的解向量，flag代表迭代的结果标志，relres代表相对残差的大小，iter代表迭代次数，resvec代表迭代过程中的残差向量。
以下是一个使用sor函数求解线性方程组的示例：A = [4 -1 0 -1 0 0; -1 4 -1 0 -1 0; 0 -1 4 0 0 -1; -1 0 0 4 -1 0; 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 -1 0 -1 4];b = [1; 0; -1; 0; 1; 0];w = 1.25;tol = 1e-6;maxit = 100;[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit);通过调用sor函数，可以得到方程组的解向量X，迭代的结果标志flag，相对残余resrel和迭代次数iter。
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超松弛迭代法如何选取最佳松弛因子
船建学院B1301095 wj
一、课题背景
逐次超松弛迭代法是Gauss-Seidel方法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，它具有计算公式简单，程序设计容易，占用计算机内存较少等优点，但需要选择好的加速因子（即最佳松弛因子）。
最佳松弛因子ω的确定是数值代数中的一个理论难题，对于不同的矩阵，其最佳松弛因子往往相差很大，没有统一的计算公式来确定ω。
由于对称正定矩阵sor方法收敛的充分必要条件为w在0到2之间，故利用对称正定矩阵一定收敛的性质，本文提供一种针对于系数矩阵为对称正定矩阵时，如何选取合适的最佳松弛因子的方法。
二、课题研究流程图
三、SOR迭代公式
逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR迭代法，它是在GS法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法，设解方程的GS法记为
(1)
再由与加权平均得
这里ω＞0称为松弛参数，将（1）式代入则得
(2)
称为SOR迭代法，[WTBX]ω＞0称为松弛因子，当ω=1时(2)式即为GS法，将(2)式写成矩阵形式，则得
即
于是得SOR迭代的矩阵表示
(3)
四、Matlab程序
%sor法确定对称正定矩阵的最佳松弛因子w%
clc;clear;
n=100;
%矩阵的阶数%
for num=1:100
X=diag(rand(n,1));
U=orth(rand(n,n)-0.5);
a=U'*X*U;
%以上是利用随机对角矩阵和随机正交矩阵，产生随机的对称正定矩阵，正交变化不改变特征值%
L=zeros(n,n);
U=zeros(n,n);
%分配L和U的内存空间%
step=0.02;
%定义w的计算精度%
for k=1:(2/step) %由于对称正定矩阵sor方法收敛的充分必要条件为w在0到2之间%
w=(k-1)*step;
for i=1:n %一个总的for循环给三个矩阵赋值D-L-U=A,%
for j=1:i-1
L(i,j)=-a(i,j);%L矩阵的赋值%
end
for j=i+1:n
U(i,j)=-a(i,j);%U矩阵的赋值%
end
D(i,i)=a(i,i);%D矩阵的赋值%
end
H=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);%sor方法的核心，H矩阵为迭代矩阵%
p(k)=max(abs(eig(H)));%利用此函数求矩阵的谱半径%
end
k_min=find(p==min(p));%find函数寻找不同的w中谱半径的最小值，即寻找收敛最快的w%
w_min(num)=(k_min-1)*step;%由最小值的序号得到最优的w%
end
hist(w_min,100)%对数量足够多的随机对称正定矩阵做频率统计，w划分100份，做出统计图%
mean(w_min)%对不同矩阵的最小谱半径所对应的w对平均统计%
五、结果
对于不同阶数，计算得到的最佳收敛因子w不同，大致是随阶数增大而增大。
对不同阶数对最佳收敛因子w的平均值统计，做出的表格，如下表所示：
n阶数3阶4阶5阶6阶7阶8阶9阶10阶最佳收敛因子w 1.10 1.17 1.20 1.23 1.26 1.28 1.31 1.32
n阶数15阶20阶25阶50阶75阶100阶
最佳收敛因子w 1.39 1.43 1.47 1.62 1.65 1.68
（注：由于本人电脑运行速度有限以及学习能力和精力有限，只能算到100阶，而且在25阶以后都采用计算100个矩阵，误差会比较大。
）
图1、不同阶数下的最佳收敛因子w的取值图
分析：（1）最佳收敛因子w随着n阶数增大而增加；
（2）、当n比较小时最佳收敛因子w在1附近，而且增加很快；当n很大时，最佳收敛因子向2的方向发展，并逐渐收敛。
图2、N=4时最佳松弛因子的频率统计图
图3、N=5时最佳松弛因子的频率统计图
图4、N=10时最佳松弛因子的频率统计图
图5、N=25时最佳松弛因子的频率统计图
图6、N=50时最佳松弛因子的频率统计图
图7、N=100时最佳松弛因子的频率统计图
六、总结与展望
本文从研究如何确定对称正定矩阵sor迭代法的最佳松弛因子入手，由matlab构造函数产生随机对称正定矩阵，取n从3到100，计算出各个最佳松弛因子的平均值，然后做出统计表格和发展趋势曲线，由分析可得n越大最佳松弛因子也越大，但增长速度也变慢，最后会收敛到一个数。
可以对其他特殊的矩阵进行确定sor方法最佳松弛因子的研究工作，对工程上快速迭代出计算结果有重要研究价值，同时对n阶数很大的矩阵进一步计算确定其最佳松弛因子，观察其收敛性。
本文为非数学系研究僧撰写，数学系路过的大神请轻喷！（wujun）。