上海大学_王培康_数值分析大作业

数值分析大作业（2013年5月）

金洋洋（12721512），机自系

1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试分别指出它 们的绝对误差限, 相对误差限和有效数字的位数。

X1 =5.420, x 2 =0.5420, x 3=0.00542, x 4 =6000, x 5=50.610⨯

解：根据定义：如果*x 的绝对误差限 不超过x 的某个数位的半个单位，则从*x 的首位非零数字到该位都是有效数字。

显然根据四舍五入原则得到的近视值，全部都是有效数字。

因而在这里有：n1=4, n2=4, n3=3, n4=4, n5=1 （n 表示x 有效数字的位数） 对x1：有a1=5, m1=1 （其中a1表示x 的首位非零数字，m1表示x1的整数位数） 所以有绝对误差限 143

11

(1)101022

x ε--≤

⨯=⨯

相对误差限 31()

0.510(1)0.00923%5.4201

r x x x εε-⨯=

== 对x2：有a2=5, m2=0 所以有绝对误差限 044

11

(2)101022

x ε--≤

⨯=⨯

相对误差限 42()

0.510(2)0.00923%0.54202

r x x x εε-⨯=

== 对x3：有a3=5, m3=-2 所以有绝对误差限 235

11

(3)101022

x ε---≤

⨯=⨯

相对误差限 53()

0.510(3)0.0923%0.005423

r x x x εε-⨯=

== 对x4：有a4=0, m4=4 所以有绝对误差限 4411(4)1022

x ε-≤⨯=

相对误差限 4()

0.5

(4)0.0083%6000

4

r x x x εε=

=

= 对x5：有a5=6, m5=5 所以有绝对误差限 514

11(5)101022

x ε-≤

⨯=⨯

相对误差限 45()

0.510(5)8.3%600005

r x x x εε⨯=

==

2.对矩阵A 进行LU 分解， 并求解方程组Ax b =

其中

211132122A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，465b ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

解：A=LU 代入方程Ax b = 可转化为L y b

U x y

⎧=⎪⎨=⎪⎩

先对矩阵A 进行LU 分解，如下

1112

131112

13

2122232111211222

211323

31323331113112322231133223331

1

1u u u u u u A LU l u u l u l u u l u u l l u l u l u l u l u l u u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥===++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦

根据系数相应相等有：第一行：112u =，121u =，131u = 第二行：21112121l u l ==，可得210.5l =

211222220.513l u u u +=⨯+=，可得22 2.5u = 211323230.512l u u u +=⨯+=，可得23 1.5u =

第三行：31113121l u l ==，可得310.5l =

31123222320.51 2.52l u l u l +=⨯+=，可得320.6l =

3113322333330.510.6 1.52l u l u u u ++=⨯+⨯+=，可得330.6u =

所以有：121

10.51 2.5 1.50.50.610.6A LU ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥

==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

解方程如下

123140.5160.50.615y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得123440.6y y y ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11223321142.5 1.540.60.6x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得

123111x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

3. 用 J 迭代法和 G-S 迭代法求解方程组 1231231

23202324812231530

x x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪-+=⎩时， 若取初始解向量

(0)

(0,0,0)T x = ， 问各需迭代多少次才能使误差()*610k x x

-∞

-≤ 。

解：

可知方程组的系数矩阵为20231812315A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，

241230b ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

将A 写成A=D-L-U 的形式为20002381001152300A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

对于两种迭代法，它们的迭代矩阵分别为：

130102011()088210155J B D L U -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=--⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥⎣⎦

1迭代： ，11301020117()0

8016019101200800G S D L U -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦迭代：G 可得：111=max ,,13443B

∞

⎧⎫

=⎨⎬⎭⎩ ，11941=max ,,1441602400G ∞⎧⎫=⎨⎬⎭⎩

我们知道对J 迭代法来说其迭代的矩阵表示式为(1)()1

k k x

Bx D b +-=+ 对G-S 迭代法来说其迭代的矩阵表示式为(1)()1

()k k x

Gx D L b +-=+- 在这里有1 1.21.52D b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 1

1.2() 1.35

2.11D L b -⎡⎤

⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

对J 迭代法有：(1)(1.2,1.5,2)T x = ，已知(0)

(0,0,0)T

x =

故得 }{(1)=max 1.2,1.5,2=2x x

∞

- （0）

对G-S 迭代法有：(1)(1.2,1.35,2.11)T x = ， 已知(0)

(0,0,0)T

x =

故得(1)=2.11x x

∞

- （0）