上海大学数值分析历届考题
研究生《数值分析》试卷
研究生“数值分析”试题一， 填空（20分）1，n ＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为________次，最高为________次。
2，SOR 方法收敛的必要条件：松弛因子ω满足条件_________。
3，对于插值型求积公式∑⎰=-≈nk k k x f A dx x f 011)()(，其节点),,1,0(n k x k =是高斯点的充分必要条件是_________。
4，设)(ij a A =为n ×n 矩阵，则1A =________，∞A =________。
5，设解方程组b Ax =的迭代法为d Bx x k k +=+1，则迭代收敛的充分必要条件是________。
6，判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）（1）211001)1(0)(233≤≤<≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧-+=x x x x x x x f － （2）⎩⎨⎧≤≤<≤-++++=100112212)(33x x x x x x x f二，（10分）在22-≤≤-x 上给出x e x f -=)(等距节点函数运用二次插值求x e -的近似值，要使误差不超过610-，问使用函数表的步长应取多大？三，（10分）四，（10分）设)(x f 在[]30,x x 上有三阶连续导数，且3210x x x x <<<，试作一个次数不高于四次的多项式)(x p ，满足条件)()(j j x f x p ==j 0，1，2，3)(')('11x f x p = 推导它的余项)()()(x p x f x E -=的表达式五，（10分）试用Romberg （龙贝格）方法，计算积分⎰311dx x，并精确到小数点后4位。
六，（10分）利用数值积分的Simpson （辛甫生）公式，导出公式)''4'(31111-+-++++=n n n n n y y y h y y 并指出次方法的阶七，（10分）设0)(=x f 的单根α，)(x F x =是0)(=x f 的等价方程，则：)(x F 可表为)()()(x f x m x x F -=证明： 当1)]('[)(-≠ααf m 时，)(x F 是一阶的。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
复旦大学《数值分析》2016-2017学年第二学期期末试题(B卷)
课程编号：A072121复旦大学2016-2017学年第二学期2016级《数值分析》期末试卷(B 卷)（本试卷共6页、八个大题，满分100分；答题前请检查是否有漏印、缺页和印刷不清楚的情况，如有此种情况，请及时向监考教师反映）一、求解下列各题（每小题6分）1.已知直线3221:+==-z m y x L 与平面02:=++-D z y x π平行，且L 到π的距离为6,求m 与D 的值.2.设)()(1y x y xy f xz ++=ϕ,其中ϕ,f 二阶可导,求y x z ∂∂∂2.3.计算第二类曲线积分dy y xdx y x I L ⎰+= 2 ，其中L 是曲线x y =上从点)1 , 1(A 到点)2 , 4(B 的弧段.4.设有级数)11ln(1)1(11n n n pn +-∑∞=-,指出p 在什么范围内取值时级数绝对收敛,在什么范围内取值时级数条件收敛,在什么范围内取值时级数发散(要说明理由).二、解下列各题（每小题7分）1.已知n是曲面1222=+-z y x 在点)1 , 2 , 2(处指向z 增大方向的单位法向量,z z xy u ln 2-=,求)1 ,2 , 2(nu∂∂.2.将函数231)(2++=x x x f 展开成)1(-x 的幂级数,并求收敛区间及)1()5(f 的值.3.计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV x I 2,其中Ω是由柱面2x y =与平面1=y ,0=z ，2=z 所围成的立体.4．求二元函数y x y x x y x f z 293),(223+---==的极值点与极值.三、(8分)设1)(2+=x x f ，ππ≤≤-x ,将)(x f 展开成以π2为周期的傅里叶级数.四、（8分）设V 是由曲面222y x z --=与22y x z +=围成的立体,求V 的表面积.五、(8分)计算第二类曲面积分⎰⎰++=Sdxdy dzdx y dydz x I 33,其中S 是曲面22y x z +=)10(≤≤z 的下侧.六、（8分）求幂级数∑∞=+12)(n n x n n 的收敛域与和函数.七、(8分)已知在半平面0>x 内dy y x y x dx y x y x λλ))(())((2222++++-为二元函数),(y x f 的全微分.(1)求λ的值；(2)求)0 , 2()3 , 1(f f -的值.八、（8分）设}|),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，其中0>t .已知)(x f 在) , 0[∞+内连续，又设⎰⎰⎰Ω++=)( 222)()(t dxdydz z y x f t F .（1）求证：)(t F 在) , 0(∞+内可导，并求)(t F '的表达式；（2）设0)0(≠f ，求证：级数∑∞=-'111(n n F n λ在0>λ时收敛，0≤λ时发散.(此页纸不够时可写到背面)2016级《数值分析》期末试卷(B 卷)参考答案与评分标准一．求解下列各题1.直线过点(1,0,-2)，方向向量}3,,2{m s = ，平面法向量}2,1,1{-=n--------------------2分062}3,,2{}2,1,1{=+-=⋅-⇒⊥m m s n8=⇒m ------------------------------------4分6411|401|=+++--=D d 3,9-=⇒D ------------------------------------------------------6分或过)2,0,1(-与π,L 垂直的直线方程为22111+=-=-z y x 与π交点：321,615,69-=-=-=D z D y D x 6)2321()65()169(222=+-+-+--=D D D d .9,3-=⇒D 2.)()()(12y x y xy f x yxy f x x z +'+'+-=∂∂ϕ------------------------------------------------3分)()()(2y x y y x xy f y yx z+''++'+''=∂∂∂ϕϕ------------------------------------------------6分3.dy y x dx y x L+⎰2=dxxx x x x ⎰⋅+41221(-------------------------------------------------3分10139]2152[4125=+=x x -------------------------------------6分4.11)11ln(1lim 1=++∞→p pn n n n∑∑∞=∞=++-11)11ln(1|)11ln(1)1(|n pn p nn n n n 与有相敛散性----------------------------------2分1)0>p ，绝对收敛；2)01≤<-p ，条件收敛；3)1-<p ，发散。
数值分析试题(A)06.5.27.
数值分析试题院系： 专业： 分数：姓名： 学号： 日期：2006.5.27 一、 填空题(每空2分，共20分) 1．设1221A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则A 的奇异值1_____.σ= 2. 已知2()P x 是用极小化插值法得到的sin x 在[0,3]上的二次插值多项式，则2()P x 的 截断误差上界为2()sin ()R x x P x =-≤_________. 3. 设42()231f x x x =++和节点,0,1,2,2k k x k ==则015[,,,]________f x x x = 和40()_________f x ∆=.4．如下两种计算1e -近似值的方法中哪种方法能够提供较好的近似。
_____方法1： 19101!n en --=⎛⎫≈ ⎪⎝⎭∑ 方法2：19101(9)!n e n --=⎛⎫≈ ⎪-⎝⎭∑5. 已知α是非线性方程f (x )=0的二重根，试构造至少二阶收敛的迭代格式__________________.6．给出求解线性方程组1231231238892688x x x x x x x x x -++=-⎧⎪-+=⎨⎪-+-=⎩ 的收敛的Jacobi 迭代格式（分量形式）______________________及相应的迭代矩阵______________________。
7. 解线性方程组Ax=b 的简单迭代格式(1)()k k xB xg +=+收敛的充要条件是__________.8. 下面Matlab 程序所解决的数学问题为____________________. function x=fun(A,b)n=length(b);x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/A(n,n);for i =n-1:-1:1x(i )=(b(i )-A(i ,i +1:n)* x(i +1:n))/A(i ,i);end二、(15分) 已知方程组Ax=b ，即12121.000122x x x x +=⎧⎨+=⎩有解x =（2，0）T，(1) 求()cond A ∞；(2) 求右端项有小扰动的方程组12121.00012.00012x x x x +=⎧⎨+=⎩的解x x +∆；(3) 计算b b∞∞∆和x x∞∞∆，结果说明了什么问题。
(完整)数值分析历年考题
数值分析A 试题2007.1第一部分:填空题10⨯51.设3112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则A ∞=___________ 2()cond A =___________2.将4111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分解成TA LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________，请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数:a = ___________ b =___________4.方程13cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =,迭代方法113cos 244k k x x π+=-的收敛阶是5.解方程2210x x -+=的Newton 迭代方法为___________,其收敛阶为___________6。
设()s x = 3232323,[0,1]31,[1,2]ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7。
要想求积公式：1121()(()f x dx A f f x -≈+⎰的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设,0,f y μμ=〈其绝对稳定性空间是___________9。
用线性多步法2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =,希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________,此时该方法是几阶的：___________10。
上海大学-数值分析第一章导论
1.2 数值计算的误差与有效数字
1.2.1 误差来源与分类:
按来源分，分为固有误差和计算误差。
固有误差：建立模型时已存在。 •模型误差：建立数学模型时所引起的误差； •观测误差：测量工具的限制或在数据的获取时 随机因素所引起的物理量的误差。
•截断误差：用数值方法求解数学模型时，用简单 代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的 误差； •舍入误差：计算机表示的数的位数有限，通常用 四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差。
如果存在一适当小的正数ε r（
x * ），使得
e( x ) (x ) er ( x ) r (x ) x x
则称ε r（ x * ）为相对误差限。
例：x=15,
ε (x *) =2， ε r(x)=2/15=13.33%； y=1000, ε (y *)=5 , ε r(y)=5/1000=0.5%； v=3*105km/s，ε (v *) =0.9，ε r(v *)= 0.0003%； v1=0.34km/s, ε (v1 *)=0.9 , ε r(v 1*)=265 %； v1的测量误差无法容忍！
能在这个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。
命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释 这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为 他们放一部有关彗星的影片。 值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点76年才能
一见的哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让 士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里 出现。
计算误差：计算过程中出现的误差。
例：平面二连杆机械手
x l1 cos l2 cos y l1 sin l2 sin
上海大学2011-2012第二学期数值方法试卷(A含答案)
六、名词解释(共 9 分) (答案仅供参考，允许表述形式不一致) 1. (3 分)迭代法：
答：一般采用迭代法求解方程组，因为迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单， 编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组
是一种逐次逼近法，从一个假设解开始，通过一系列的迭代求解，最后产生满足精度要 求的近似解 的方法。如 Jacobi 迭代法，GaussSeidel 迭代法 4. (5 分)写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并比较它们的优缺点。（10 2. (3 分)绝对误差 分） 一个准确值与其在运算中的近似值的差，称为绝对误差。 雅可比迭代法： （4 分） n 1 x ( k 1) D 1 (b ( L U ) x ( k ) ) ； 3. (3 分)绝对误差限 xi( k 1) (bi aij x (jk ) ) ， 或 aii j 1 绝对误差的绝对值小于等于某个常数 ,该常数称为绝对误差限 j i 高斯-赛德尔迭代法： （4 分）
计算得
命題紙使用說明：1、字迹必須端正，以黑色碳素墨水書寫在框線內，文字與圖均不得剪貼，以保證“掃描”質量； 2、命題紙只作考試（測驗）命題所用，不得移作他用。
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sin(0.34) L2 (0.34) 0.333336
（注至少保留到小数点四位） 3. (5 分)对于线性方程组 Ax b ， 已知 A 是高维稀疏矩阵， 则一般采用什么方法求解？为什 么？
n n 1 (bi aij x (jk 1) aij x (jk ) ) aii j i j i ， 或
xi( k 1)
七、简答题(共 23 分)： 1. (8 分)试写出数值积分中的梯形公式、辛普森公式、辛普森 3/8 公式和布尔公式，且给出 它们各自的精度值。 设 xk=x0+kh 为等距节点，且 fk=f(xk), 则四个数值积分公式分别为： x1 h 梯形公式精度为 1， 具体公式为: f ( x)dx ( f 0 f1 ) x0 2 x2 h 辛普森公式精度为 3，具体公式为： f ( x)dx ( f 0 4 f1 f 2 ) x0 3 辛普森 3/8 公式精度为 3，具体公式为： f ( x)dx
上海大学数值分析历届考题
数值分析历届考题03-04学年秋季学期一．简答题（每小题5分）1. 数值计算中要注意哪些问题。
答：第一、两个相近的数应避免相减。
第二、绝对值很小的数应避免作除数。
第三、注意选取适当的算法减少运算次数。
第四、两个绝对值相差很大的数运算时，注意“机器零”的问题。
第五、注意算法的收敛性和稳定性。
2. 用迭代法求解非线性方程0)(=x f 时，迭代收敛的条件是什么，可以用什么方法来确定初值0x 。
答：对于非线性方程0)(=x f （其迭代格式为)(x g x =），如果满足： （1） 当],[b a x ∈时，],[)(b a x g ∈；（2） )(x g '在],[b a 上连续，且对任意的],[b a x ∈都有1)(<≤L x g 。
则有结论：对任意给定的],[0b a x ∈，由迭代格式)(1k k x g x =+，k=0,1,2,…产生的序列{}k x 收敛于*x ，即迭代收敛。
可以用二分法来确定初值0x 。
3. 用消元法求解线性方程组时，为什么要选主元。
答： 因为用简单高斯消元法求得的近似解与精确解相差甚远，其主要原因是绝对值很小的数作除数，导致了误差的快速增长。
为了避免这种情况的发生，我们可以通过行交换，在需要消元的列中，取绝对值最大者作为主对角线元素（即主元），计算效果将得到改善。
4. 矩阵的条件数是什么，它对求解线性方程组有什么影响。
答：对于n 阶可逆方阵A ，正实数||A ||||1-A ||称为A 的条件数，记为cond(A)。
条件数对于线性方程组Ax=b 的影响如下：bb A cond xx∆≤∆)(，其中b ∆为A 精确时b 产生的误差；AAA cond x x ∆≤∆)( ，其中A ∆为b 精确时A 产生的误差。
5. 把下列二阶常微分方程的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='=-=-+'--''2)0(,1)0(1111y y x y x y x x y 化为一阶常微分方程组，并写出求解该方程的改进Euler 方法。
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数值分析历届考题03-04学年秋季学期一．简答题（每小题5分）1. 数值计算中要注意哪些问题。
答：第一、两个相近的数应避免相减。
第二、绝对值很小的数应避免作除数。
第三、注意选取适当的算法减少运算次数。
第四、两个绝对值相差很大的数运算时，注意“机器零”的问题。
第五、注意算法的收敛性和稳定性。
2. 用迭代法求解非线性方程0)(=x f 时，迭代收敛的条件是什么，可以用什么方法来确定初值0x 。
答：对于非线性方程0)(=x f （其迭代格式为)(x g x =），如果满足： （1） 当],[b a x ∈时，],[)(b a x g ∈；（2） )(x g '在],[b a 上连续，且对任意的],[b a x ∈都有1)(<≤L x g 。
则有结论：对任意给定的],[0b a x ∈，由迭代格式)(1k k x g x =+，k=0,1,2,…产生的序列{}k x 收敛于*x ，即迭代收敛。
可以用二分法来确定初值0x 。
3. 用消元法求解线性方程组时，为什么要选主元。
答： 因为用简单高斯消元法求得的近似解与精确解相差甚远，其主要原因是绝对值很小的数作除数，导致了误差的快速增长。
为了避免这种情况的发生，我们可以通过行交换，在需要消元的列中，取绝对值最大者作为主对角线元素（即主元），计算效果将得到改善。
4. 矩阵的条件数是什么，它对求解线性方程组有什么影响。
答：对于n 阶可逆方阵A ，正实数||A ||||1-A ||称为A 的条件数，记为cond(A)。
条件数对于线性方程组Ax=b 的影响如下：bb A cond xx∆≤∆)(，其中b ∆为A 精确时b 产生的误差；AAA cond x x ∆≤∆)( ，其中A ∆为b 精确时A 产生的误差。
5. 把下列二阶常微分方程的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='=-=-+'--''2)0(,1)0(1111y y x y x y x x y 化为一阶常微分方程组，并写出求解该方程的改进Euler 方法。
答：令⎩⎨⎧'==)()()()(21x y x u x y x u则⎪⎩⎪⎨⎧-+--='='11)()()()(12221x x x u x xu x u u x u ，其中⎩⎨⎧==2)0(1)0(21u u 。
所以用改进的Euler 方法表示为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+=)1(1)(1)(2)(2)(i i i i i i p x x u xu u h y y ，)()(1x y x u p =，)()(2x y x u p '=，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+=++)1(111)(1)(2)(2)(i i i i i i c x x u u x u h y y ，)(21)1(c p i y y y +=+。
二．（20分）给出数据表求一个满足插值条件的三次插值多项式，并写出余项公式。
解：先求出满足函数值插值条件)()(2i x f x P =，i=0，1，2的二次插值多项式)(2x P 。
由牛顿插值公式：],,[))((],[)()()(2101010002x x x f x x x x x x f x x x f x P --+-+=22)1(22+-=-+-=x x x x x令))()(()()(21023x x x x x x A x P x H ---+=，其中A 是待定常数，则))((22)(2101113x x x x A x x H --+-='，由已知条件1)(1-='x f ，代入可得：1)21()01(1=-⨯--=A ；所以22)2)(1(22)(2323+-=--++-=x x x x x x x x H 。
其插值余项为)2()1(!4)()(2)4(--=x x x f x R ξ，其中)2,0(∈ξ。
三． （20分）给出数据表用最小二乘法求拟合曲线xba y+=1（保留3位小数）。
解：对于曲线x b a y+=1，令y z 1=，xt 1=，得bt a z +=。
把x ，y 的数据转换为t ，z 的数据（取3位有效数字）：对于bt a z +=，其法方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====414124141414i i i i i i i i i i i z t t b t a z t b a ； 其中：50.1941=∑=ii t ，25.135412=∑=ii t ，76.541=∑=ii z ，08.2441=∑=ii i z t 数据代入后得法方程组为⎩⎨⎧=+=+08.2425.1355.1976.55.194b a b a ；解得⎩⎨⎧-==0995.093.1b a 。
所以拟合曲线为xy0995.093.11-=。
四．（15分）确定下列求积公式的系数1k ，2k ，3k ，使公式成为Guass 型求积公式⎰-++-=11321)6.0()0()6.0()(f k f k f k dx x f 。
解：通过待定系数法：当1)(≡x f 时，有3212k k k ++= （1） 当x x f =)(时，有316.06.00k k +-= （2）当2)(x x f =时，有316.06.032k k += （3） 由此得到一个关于未知数1k ，2k ，3k 的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=++326.06.006.06.023131321k k k k k k k ；解得⎪⎩⎪⎨⎧===55555556.088888889.055555556.0321k k k 。
五．（20分）证明：对任意参数t （1≠t ）下列求解常微分方程初值问题的算法，其局部截断误差都是c ：))1(2,)1(2()1(),(1i i i i i i i f t hy t hx hf t y x thf y y -+-+-++=+。
证：令⎪⎩⎪⎨⎧-+-+==))1(2,)1(2(),(121t hK y t hx f K y x f K i i i i ， 则211)1(hK t thK y y i i -++=+（1）对2K 作泰勒展开得：)(),()1(2),()1(2),(212h O yy x f t hK x y x f t hy x f K i i i i i i +∂∂⋅-+∂∂⋅-+=。
代入到（1）式中：)(),(2),(2)1(3122111h O yy x f K h x y x f h hK t thK y y i i i i i i +∂∂⋅+∂∂⋅+-++=+由于)(]))(,())(,())(,([2))(,()()(321h O yx y x f x y x f x x y x f h x y x hf x y x y i i i i i i i i i i +∂∂+∂∂++=+在i i y x y =)(的条件下)()()()(33311h O h O h O y x y i i =-=-++。
即对任意参数t ，上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是)(3h O 。
六．（16分）证明：下列求解常微分方程初值问题的数值方法，其局部截断误差为)(3h O 。
)],(41),(47[)(211111---+-++=i i i i i i i y x f y x f h y y y 证：)),(,(),(11i i i i i i y x hf y h x f y x f --=--)()],(),(),([),(2h O y x hf yy x f h x y x f y x f i i i i i i i i +⋅∂∂+⋅∂∂-=)()],(),(),([!2),()()()(3211h O y x f yy x f x y x f h y x hf x y h x y x y y i i i i i i i i i i i i +∂∂+∂∂+-=-=≈-- 在i i y x y =)(的条件下将上述两式代入)],(41),(47[)(211111---+-++=i i i i i i i y x f y x f h y y y 中，可得：)](),(),(),([4),(2321h O y x f yy x f x y x f h y x f hy y i i i i i i i i i i +∂∂+∂∂+-=+)]}(),(),(),([4),(23{2h O y x f y y x f x y x f h y x f h i i i i i i i i +∂∂+∂∂++)()],(),(),([2),(3h O y x f yy x f x y x f h y x hf y i i i i i i i i i +∂∂+∂∂++= 由于)(]))(,())(,())(,([2))(,()()(321h O yx y x f x y x f x x y x f h x y x hf x y x y i i i i i i i i i i +∂∂+∂∂++=+在ii y x y =)(的条件下)()()()(33311h O h O h O y x y i i =-=-++。
所以上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是)(3h O 。
05-06学年秋季学期一．简答题（每小题4分，共20分）1. 设x=0.06020，y=0.0418是按四舍五入得到的近似值，则x+y ，xy 的绝对误差限，相对误差限，有效数字各是多少。
答：54110211021)(---⨯=⨯≤x ε，43110211021)(---⨯=⨯≤y ε； 30310211021)()()(--⨯=⨯≤+≤+y x y x εεε， 所以x+y 三位有效，0007766.0)()(=++=+yx y x y x r εε；32510211021)()()(---⨯=⨯≤+≤x y y x xy εεε， 所以x/y 三位有效，001279.0)()(==xyxy xy r εε 2. 同03-04学年秋季学期第一题33. 在解线性方程组时，原始数据的误差对解的影响如何；对病态方程组可以采用什么方法处理。
答：原始数据的误差对于线性方程组Ax=b 的影响如下：bb A cond xx∆≤∆)(，其中b ∆为A 精确时b 产生的误差；AAA cond x x ∆≤∆)( ，其中A ∆为b 精确时A 产生的误差； 其中cond(A)=||A ||||1-A ||为条件数。
对于病态方程组，可以使用迭代改善的方法处理。
4. 给出三个等距节点1x ，2x ，3x ，及其相应的函数值，试导出二阶数值导数)(1x f ''的计算公式。