线性代数下的行列式和矩阵

线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。

若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。

于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。

所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。

这里我还记得的是，对于二阶和三阶行列式，我们可以用对角线法则方便地计算。

总之，对角线法则就是:主对角线上的元素减去次对角线上的元素的乘积。

n 阶行列式刚刚提到了对角线法则，一定要记住只有二阶和三阶行列式可以用这个法则！在这种情况下，我们需要定义一个正式的值计算公式。

由刚才二，三阶行列式的实践，我们可以推广以下规律：1.n 阶行列式的值是 n! 个不同项的代数和，其中每项都是不同行不同列的 n 个元素的乘积2.每项的正负号取决于其 n 个元素的下标排列，即将元素按照行顺序排列之后，列排列的逆序数。

若逆序数为偶数，则该项符号为正，反之为负于是可以推出 n 阶行列式的值为：\sum(-1)^{\tau(p_1p_2...p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n} \\ 其中 p_1...p_n 是列排列，\tau 是其逆序数行列式的性质首先，明确行列式获得一个值。

也就是说，如果我们对行列式的运算不会改变这个值，那么这个运算就是合法的，我们可以据此证明这些性质。

1.行列式 = 转置行列式2.交换行列式中的两行（列），行列式的符号取反3.若行列式中某行（列）所有元素都有一个公因子 k ，则可以把公因子提到行列式记号之外4.若行列式中某行（列）各元素都是两数之和，则可以把该行列式分解为两个行列式之和5.将行列式中的某行（列）中所有元素乘以 k 后，加到另一行（列）上，行列式的值不变这些性质的提出，目的无他，就是为了行列式好计算。

如果直接按照定义计算 n 阶行列式，那么运算次数为 (n - 1) * n! 次，计算次数有点太多了，所以需要其他手段来化简运算。

利用性质，可以把普通的行列式转化为特殊形式（例如上三角，下三角这种有规律的行列式）来简化运算。

行列式按行（列）展开还是从二阶，三阶行列式入手，如果按照定义写出三阶行列式的计算公式，你会发现：= a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) +a_{12}(a_{23}a_{31} - a_{21}a_{33}) + \dots \\ =a_{11}\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{bmatrix} - a_{12}\begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} +a_{13}\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} &a_{32} \end{bmatrix}可以把三阶行列式简化为二阶行列式的计算！这是行列式的展开:在 n 阶行列式中，把元素 a_{ij} 所在的行列划去之后，留下的 n - 1 阶行列式叫做元素 a_{ij} 的余子式，记M_{ij} 。

记 A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} 为元素 a_{ij} 的代数余子式。

于是我们就获得了新的行列式计算公式：D = \sum_{k=1}^na_{ik}A_{ik} = \sum_{k=1}^na_{kj}A_{kj}仔细观察会发现，展开所需的计算和定义是一样的，没有区别。

但是，如果一行(列)包含多个零，那么展开定理可以减少运算量，所以直接展开那一行(列)就行了。

克拉默法则如果你善于发现，你会发现行列式一直是个正方形，没错，这就是行列式的特点，所以它只能用于 m = n 情况的线性方程组，对于这一类方程，存在克拉默法则来计算解是否唯一的问题：若线性方程组系数行列式不等于零，则有唯一解，其中解的表示为 x_i = \frac{D_i}D矩阵及其运算矩阵的提出与概念行列式已经能解决一部分的线性方程组问题，但是还不够，我们已经知道线性方程组的解取决于它的系数a 以及常数项b ：\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \dots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +\dots + a_{nn}x_n = b_n \end{aligned} \right.将线性方程组的系数与常数项按原位置排列就可以得到：\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2 \\\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} &a_{n2} & \dots & a_{nn} & b_n \end{matrix} \right]那么线性方程组就可以由这个表唯一确定，线性方程组的学习就可以转化为对这个表的学习，这个表就是矩阵！由 m*n个数排成的 m 行 n 列的数表称为m*n 矩阵，其中的数称为元素。

如果元素都是实数，则是实矩阵；含有复数则是复矩阵。

如果 m = n，则是方阵。

其中若方阵的主对角线元素都为 1 ，其余为 0 ，则称为单位矩阵，记作 E 或者 I。

这里还要区分一下矩阵和行列式两个概念：1.行列式是值，矩阵是表达形式，也就是说，矩阵不可以计算（这隐含着，行列式的性质到了矩阵这都不管用了）2.行列式的行数必等于列数，而矩阵不需要同时，需要知道的是，除了线性方程组，矩阵还广泛运用在线性变换上：线性变换也能由一个系数矩阵来唯一确定\left\{ \begin{aligned} x_1 = a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + \dots + a_{1n}y_n \\ x_2 = a_{21}y_1 + a_{22}y_2 +\dots + a_{2n}y_n \\ \vdots \\ x_m = a_{m1}y_1 +a_{m2}y_2 + \dots + a_{mn}y_n \end{aligned} \right.\Longleftrightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\end{bmatrix}矩阵的运算首先是线性运算:加法和乘法。

需要注意的是，矩阵的相加是两个行列数相同的同类型矩阵的对应元素的相加；矩阵的数乘是将一个常数乘以矩阵上的每一个元素，而不是行列式，仅仅乘以一行或一列。

矩阵的转置，将矩阵的行列元素互换：A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots &a_{mn} \end{matrix} \right] \\ A^T =\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn}\end{matrix} \right]转置有一条运算规律需要留意： (AB)^T = B^TA^T 。