Ch2微分方程-传递函数概念
传递函数的定义
传递函数的定义
传递函数是一种概念，主要应用于数学上，用来表示复杂系统的性质和行为，
这种函数定义基于一组间接变量，并且依赖于输入和输出之间的关系。
传递函数具有许多用途，使得它成为控制理论和计算机科学方面的重要工具，
例如可用于系统建模和数据可视化。
此外，它还可用于确定某种复杂行为发生的条件以及允许制定更加精确的协议、模型和策略。
传递函数中包含了一些特征，比如转移函數。
它能够用来描述一个系统在各种
输入条件下的输出情况。
这一功能可以帮助研究人员评估某个系统中观察到的行为，从而更好地了解它。
此外，传递函数还应用于控制系统。
它可以用来识别系统中的重要参数，从而
帮助研究人员了解控制体系的结构和特征，使其能够有效地控制系统的行为。
历史上，传递函数一直被认为是系统分析和模型化的重要工具，也是一类启发
式技术，用于计算待解决问题的解决过程。
总之，传递函数是一种重要的数学模型，具有重要的实用价值。
它被广泛地应
用于控制理论和计算机科学方面，可以帮助我们更加精准地了解系统的复杂行为，从而针对特定系统采取有效的控制措施。
《自动控制原理》第2章 线性系统的传递函数
+
anc(t)
=
b0
dm dtm
r(t)
+
b1
d m−1 d t m −1
r(t)
++
bm−1
d dt
r(t)
+
bmr(t)
(m n)
设r(t), c(t)及各阶导数在t=0时的值均为零(零初始条件)， 则对方程两端求拉氏变换，可得系统的传递函数
Ch2 控制系统的数学模型
◼ 传递函数的一般形式：
Ch2 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
本章内容
❖ 引言 ❖ 物理系统的微分方程 ❖ 拉氏变换与拉氏反变换 ❖ 线性系统的传递函数 ❖ 方框图及其等效变换 ❖ 信号流图与Mason公式*
Ch2 控制系统的数学模型
2.3 线性系统的传递函数
一. 传递函数的定义
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
(2)
I 2 (s)
=
Ux
(s) −Uo(s) R2
(3)
U o (s)
=
I 2 (s) sC2
(4)
Ch2 控制系统的数学模型
I (s) = Ui (s) −U x (s) (1) R1
Ui _
I
1/R1
Ux
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
Uo (s)
Ui (s) （b）
I(s) Uo (s)
Ch2 控制系统的数学模型
I(s)
（c）
Uo (s)
Ui (s)
I(s)
－ Uo (s) （d）
传递函数概念
传递函数概念
在数学中，函数是一种关系，将一个集合的每个元素（输入）映
射到另一个集合的唯一元素（输出）。
传递函数就是在这种映射关系
中的一种特殊情况，指的是当一个元素作为一个函数的输入时，该函
数的输出可以作为另一个函数的输入。
也就是说，如果存在两个函数f 和g，当f(x)的输出作为g的输入时，g(f(x))的输出与g(x)的输出相等，那么函数g被称为f的传递函数。
反过来，如果函数f是g的传
递函数，则我们也可以称g为f的逆传递函数。
传递函数在数学、物理、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
在数学和物理中，传递函数可以用来描述信号、电路等物理系统的行为。
在计算机科学中，传递函数可以用来优化计算机程序的执行速度。
此外，在控制论、信号处理、通信等领域中，传递函数也是不可或缺
的概念。
总之，传递函数是一种重要的数学概念，在实际应用中具有广泛
的应用价值。
通过研究传递函数，我们可以进一步理解复杂的物理系统、计算机程序等，并为实际问题提供更好的解决方案。
传递函数
一、定义
零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s)，即：
G(s) L[ y(t)] Y (s) L[r(t)] R(s)
意义：
R(s) G(s) Y (s)
Y (s) R(s)G(s)
二、传递函数的求法
线性定常系统微分方程式的一般表达式可写为
方框图：
R(s)
n2
Y (s)
s2 2n s n2
【例2.2.6】弹簧—质量—阻尼系统 由【例2.1.1】可得出其微分方程为
振荡环节阶跃响应
m
d2 dt
x
2
f
dx dt
kx
F (t)
它的传递函数为
G(s)
1
F (s) X (s)
ms 2
1 fs k
T 2s2 2Ts 1
n2 s2 2ns n2
微分方程： 传递函数：
方框图：
y(t) r(t)dt
G(s) 1 s
R(s) 1/s Y (s)
特点：输出正比于输入对时间的积分。
【例2.2.5】如图所示积分调节器电路，在单位阶跃输入信号作用下，
求输出量 y(t) 。
解：输入为阶跃信号时，
C
R
R(s) 1 s
r (t )
A
y (t )
Y (s) G(s)R(s)
Gm
(
s)
Ua(s) M c (s)
四、传递函数的一般表达式
1、定义的形式
G(s)
bm s m an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
说明：
1）实际系统传递函数中，分母多项式的阶数n 总是大于分子多项 式的阶数m ，即n m 。
五、传递函数
C ui(t) i(t) R uo(t)
RCs Ts , T RC RCs 1 Ts 1
无源微分网络
显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环 节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|<<1时， 才近似为微分环节。 除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环 节，其传递函数为：
14
X o ( s) G( s) K ( s 1) X i ( s)
16
如：有源积分网络 i1 ( t)
R a +
i2 ( t)
C
u i( t)
u o ( t)
du o (t ) RC ui (t ) dt 1 1 G( s ) , T RC RCs Ts
17
振荡环节
含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能 够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质， 运动方程为：
20
L-R-C电路
(t ) uo (t ) ui (t ) Li
uo (t ) 1 ic (t ) dt C
整理后得传递函数为：
il ic iR
G(S )
UO ( S ) 1 Ui ( S ) LCs 2 L S 1 R
21
二阶微分环节 运动方程：
2 d2 d xo (t ) K x (t ) 2 xi (t ) xi (t ), 0 1 2 i dt dt
8
的零极点分布图
4、典型环节及其传递函数 环节 具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或 元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节 称为典型环节。
任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所 组成。
典型环节示例
Lch2
4
二、传递函数的定义
①
当t=0- 时，输出量、输入量 及其各阶导数项均为零。
对于线性定常系统，在零初始条件下，输出的L变换与输入的L变换之比. n 阶线性定常系统： dn d n −1 dm d m −1 a0 n c(t ) + a1 n −1 c(t ) + ... + an c(t ) = b0 m r (t ) + b1 m −1 r (t ) + ... + bm r (t ) dt dt dt dt ( a 0 s n + a1 s n −1 + ... + a n ) C ( s ) = ( b 0 s m + b1 s m −1 + ... + b m ) R ( s )
由拉氏变换的微分定理，得：
连同初始条件一起代入原微分方程，得：
du o (t ) L[ ] = sU o ( s ) − u o (0) dt d 2uo (t ) ɺ L[ ] = s 2U o ( s ) − suo (0) − uo (0) 2 dt
s 2U o ( s ) − 0.1s − 0.1 + sU o ( s ) − 0.1 + U o ( s ) = U i ( s )
P38例2-10 弹簧-质量-阻尼机器机械位移系统。 试列写质量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的运动方程。 解：设质量m相对于初始状态的位移为：x(t) 则速度、加速度分别，dx(t)/dt，d2x/dt2 由牛顿运动定律有：
F(t) m x(t) f K
d 2 x(t ) m = F (t ) − F1 (t ) − F2 (t ) 2 dt
再看一例：P36例2-8
传递函数
可以看出，若输入R(s)一定时，则系统的输出 C(s)完全由 (s)形式和参数决定。因此，传递 函数(s)反映了系统本身的特性。
传递函数的概念
2）、传递函数表征系统和元件本身的 固有特性，它由系统的结构和参数决定 而与输入信号无关，传递函数不反映系 统的具体物理结构。 3）、传递函数通常是复变量S的有理真分 式，它的分母多项式的最高次数 n ,高于或 等于分子多项式的最高次数 m ，即 n>= m。
Yo ( s) k ( s ) 2 Yi ( s) m s fs k
P201
传递函数的概念 设线性控制系统的输入为r（t），输出 为c（t），则其输入输出微分方程的 一 般表达式为： dnc(t) dn--1c(t) dc(t) a0——— +a1———+…..+a ———+anc(t) n--1 n n--1 dt dt dt dmr(t) dm--1r(t) dr(t) =b0——— +b1——— +…+bm--1———+bmr(t) m m--1 dt dt dt (n ≽ m)
传递函数的概念
假定初始条件为零，上式的拉氏变换为：
[a0sn+a1sn--1+…+a n--1 s+an]C(s) =[b0sm+b1sm--1+…+bm--1s+bm]R(s) 式中：C(s)=L[c(t)] , R(s)=L[r(t)] b0sm+b1sm--1+…+bm--1s+bm 则:C(s)= ———————————— R(s) a0sn+a1sn--1+…an—1s+an b0sm+b1sm--1+…+bm--1s+bm B (s) 令:(s)= ——————————— = —— n n--1 a0s +a1s +…a n—1s+an A (s)
传递函数及其性质
2-6 传递函数求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。
如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。
为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算。
微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。
因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。
以后将会看到，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。
所以传递函数是一个极其重要的基本概念。
一、传递函数的概念及定义在[例2-7]中，曾建立了RC 网络微分方程，并用拉氏变换法对微分方程进行了求解。
其微分方程（2-44）为)()(t u t u dtdu RC r c c =+ 假定初始值0)0(=c u ，对微分方程进行拉氏变换，则有)()()1(s U s U RCs r c =+网络输出的拉氏变换式为)(11)(s U RCs s U r c += （2-48）这是一个以s 为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是)(s U r ，这是外作用（输入量）的拉氏变换式，随)(t u r 的形式而改变；另一部分是11+RCs ，完全由网络的结构参数确定。
将上式（2-48）改写成如下形式 11)()(+=RCs s U s U r c 令11)(+=RCs s G ，则输出的拉氏变换式可写成 )()()(s U s G s U r c =可见，如果)(s U r 给定，则输出)(s U c 的特性完全由)(s G 决定。
)(s G 反映了系统（网络）自身的动态本质。
这很显然，因为)(s G 是由微分方程经拉氏变换得到的，而拉氏变换又是一种线性变换，只是将变量从实数t 域变换（映射）到复数s 域，所得结果不会改变原方程所反映的系统本质，对照)(s G 与原微分方程（2-44）的形式，也可看出二者的联系。
传递函数名词解释
传递函数名词解释传递函数是反映一个系统输入，输出及扰动对系统影响程度的一个数字或者字母表达式。
它可以描述一个系统的输入输出特性和系统在该特性下运行的性能。
使用频谱分析仪（频域采集，时域显示），由系统的输入输出特性和参数表可以计算出系统的传递函数，从而对系统的动态性能有较深入的了解。
因此，理解传递函数是电路分析重要的基础知识之一。
下面是传递函数名词解释：1、直接测试法直接测试法是指通过直接测量有关物理量的大小来推断被测系统的动态特性的一种方法。
当测量得到的测试值不与真实值相差很远时，一般可认为被测系统具有线性动态性能，即传递函数是一个常数。
直接测试法是研究传递函数最常用、最基本的方法，也是实际中应用最多的方法。
2、间接测量法间接测量法也称为间接校正法或替代法。
它是根据待求传递函数中各变量在其他变量附近的变化，将被测系统中其他变量按某种规律变化，从而使被测系统传递函数近似地接近传递函数中某一已知函数的方法。
通过这种变换，可以把一个复杂的非线性传递函数转化为比较简单的线性传递函数。
这类方法主要用于系统响应信号中只包含一个或少数几个信号的情况。
3、虚功原理虚功原理是工程上常用的一个原理，用虚功原理来研究电子电路系统具有十分简单和方便的优点。
在电子学中，电路动态响应的描述一般采用方块图或者波特图来进行。
在系统分析中，一般使用传递函数来表征系统的动态性能，所以一般说来，只要能够得到系统的传递函数，就可以得到整个系统的动态性能。
4、极点配置法极点配置法是在满足一定条件下，将系统的特征方程在某些约束条件下写成最简形式，使系统的传递函数在某些点处的数值取极小值，或者取极大值，从而求出该点的频率响应的方法。
5、波特图法波特图是描述系统内部输入、输出之间相互关系的曲线图，又称输入-输出特性图，即输入-输出特性曲线。
它用来表示系统内部组成元素之间的动态联系，以及它们随时间的变化情况。
在工程上，波特图也称为奈奎斯特图，它是奈奎斯特最初发明的。
传递函数的概念
传递函数的概念传递函数是指零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。
记作G（s）=Y（s）/U（s），其中Y（s）、U（s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
传递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法——频率响应法和根轨迹法——都是建立在传递函数的基础之上。
传递函数是研究经典控制理论的主要工具之一。
基本释义把具有线性特性的对象的输入与输出间的关系，用一个函数（输出波形的拉普拉斯变换与输入波形的拉普拉斯变换之比）来表示的，称为传递函数。
原是控制工程学的用语，在生理学上往往用来表述心脏、呼吸器官、瞳孔等的特性。
系统的传递函数与描述其运动规律的微分方程是对应的。
可根据组成系统各单元的传递函数和它们之间的联结关系导出整体系统的传递函数，并用它分析系统的动态特性、稳定性，或根据给定要求综合控制系统，设计满意的控制器。
以传递函数为工具分析和综合控制系统的方法称为频域法。
它不但是经典控制理论的基础，而且在以时域方法为基础的现代控制理论发展过程中，也不断发展形成了多变量频域控制理论，成为研究多变量控制系统的有力工具。
传递函数中的复变量s在实部为零、虚部为角频率时就是频率响应。
传递函数也是《积分变换》里的概念。
对复参数s，函数f(t)*e^(-st)在（-∞，+∞）的积分，称为函数f(t)的（双边）拉普拉斯变换，简称拉氏变换（如果是在[0,+∞)内积分，则称为单边拉普拉斯变换，记作F(s)，这是个复变函数。
设一个系统的输入函数为x(t），输出函数为y(t)，则y(t)的拉氏变换Y(s)与x(t)的拉氏变换X(s)的商：W(s)=Y(s)/X(s)称为这个系统的传递函数。
传递函数是由系统的本质特性确定的，与输入量无关。
知道传递函数以后，就可以由输入量求输出量，或者根据需要的输出量确定输入量了。
传递函数的概念在自动控制理论里有重要应用。
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u1 i1 i2 ui C1 C2 uo R2
u1 = ui − uo
u1 = i1 R1 =
1 C1
R1
i
i = i1 + i2
∫ i2 dt
i1 =
u1 R1
ɺ , i2 = C1u1
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传递函数2.6
(1) y′′′(t ) + 15 y′′(t ) + 50 y′(t ) + 500 y (t ) = r ′′(t ) + 2r ′(t )
解：在零初始条件下做Laplace变换得
s 3Y ( s ) + 15s 2Y ( s ) + 50sY ( s ) + 500Y ( s ) = s 2 R ( s ) + 2 sR ( s )
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2.3(c)求解微分方程
ɺ ɺ c( xi − xo ) + k1 ( xi − xo ) = k 2 xo ɺ ɺ cxo + (k1 + k 2 ) xo = cxi + k1 xi
c K1 xi
K2
动平衡点，该点上下 受力相等
xo
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2.5求图示机械系统的微分方程，图中M为输 入转矩，Cm为圆m c
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u1 R1 C1 C2 ui i R 2 uo
u1 = ui − uo
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1 R1i + C idt = ui − uo 1 ∫ 1 R2i + C2 ∫ idt = uo
上述方程组可以求解出
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2.12 求图所示两系统的传递函数
xi (t ) xo (t )
k m c
（a）
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L
R
ui
C
uo
（b）
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uo = iR2 +
1 C2
∫ idt
ui −u o R1
ɺ ɺ uo = iR2 + C12 i
ɺ ɺ C2uo = R2C2i + i
i = i1 + i2 = ɺ i=
ɺ ɺ ui − u o R1
ɺ ɺ + C1 (ui − uo )
ɺɺ ɺɺ + C1 (ui − uo )
ɺɺ ɺ R1 R2C1C2uo + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 )uo + uo ɺɺ ɺ = R1 R2C1C2ui + ( R1C1 + R2C2 )ui + ui
参考P60表2.5.2中第三个系统的传递函数
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2.4(b)求电网络微分方程
R1 C1 C2 ui R2 uo
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由B式得
1 θ = (mɺɺ + cx + kx) x ɺ kR
A B
ɺ 计算 θɺ,θɺ 代入A式即得系统的微分方程
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2.4(a)求电网络微分方程
R1 C2 uo R2
ui
C1
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x F F’ c m
M θ J Cm
F = F ' = k ( Rθ − x)
Rθ ≠ x
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ɺ M − k ( Rθ − x) R − Cmθɺ = Jθɺ ɺ k ( Rθ − x) − cx = mɺɺ x
整理得传递函数：
Y (s) R(s)
=
s2 +2s s 3 +15 s 2 + 50 s + 500
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传递函数2.7
某线性定常系统在单位阶跃输入作用下，其输出 为y(t)=1-e-2t+2e-t,求系统传递函数
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(a)解：
根据牛顿定律列写系统的动力学方程 ɺ mɺɺo = k ( xi − xo ) − cxo x 整理得： ɺ mɺɺo + cxo + kxo = kxi x 在零初始条件下对其做Laplace变换得 ms 2 X o ( s ) + csX o ( s ) + kX o ( s ) = kX i ( s ) 则系统的传递函数为 X o (s) k G( s) = = 2 X i ( s ) ms + cs + k
解：按照系统传递函数定义：
L[ y (t )] L[1 − e −2t + 2e − t ] G ( s) = = 1 L[u (t )] s 1 − 1 2 s s + 2 + s +1 s = = 1 − s + 2 + s2+s1
1 s
s + 6s + 2 = 2 s + 3s + 2
2
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∫ idt
，但是不能同时解出
i
对
∫ idt
求导得出
i
代入方程组中任意一个方程可以得到系统的微分方程
ɺ ɺ ( R 2 C1C 2 + R1C1C 2 ) u o + (C1 + C 2 )u o = R 2 C1C 2 u i + C1u i
参考P60表2.5.2中第四个系统的传递函数
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2.2(b)求系统微分方程
x
k1
k2 m
f(t)
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x
k1 k
k2 m
f(t)
k1k 2 k= k1 + k 2 k1k 2 mɺɺ + x x = f (t ) k1 + k 2
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(b)解：
根据克希霍夫定律列写系统的电压平衡方程 di ui = L + Ri + uo ⋯ (1) dt 1 uo = ∫ idt ⋯⋯⋯⋯ (2) C du 由(2)可得：i = C o dt d 2uo du 带入(1)得：ui = LC 2 + RC o + uo 在零初始条件下做Laplace变换得 : dt dt 2 LCs 2U o ( s ) + RCsU o ( s ) + U o ( s ) = U i ( s ) d u du 即LC 2o + RC o + uo = ui 则系统的传递函数为 dt dt U (s) 1 G ( s) = o = U i ( s ) LCs 2 + RCs + 1