小学数学竞赛：分解质因数(一).教师版解题技巧 培优 易错 难

1. 能够利用短除法分解2.整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯L 其中为质数，12k a a a <<<L L 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数【例 1】 分解质因数20034= 。

【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分 【解析】 原式323753=⨯⨯⨯例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）【答案】323753⨯⨯⨯【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空 【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。

【答案】5、6和7【例 3】 两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少? 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 111555分解质因数：1115553353767=⨯⨯⨯⨯=(3337⨯⨯)⨯(567⨯)333335=⨯，所以和为668.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111337=⨯。

【答案】668【巩固】 已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_______. 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题 【解析】 35=1×35=5×7，5、7差2，两个自然数的和是5+7=12 【答案】12元【例 4】 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题 【解析】 1112131716⨯⨯=，1213142184⨯⨯=，所以是2184 【答案】2184【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 ． 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题【解析】2126237=⨯⨯，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为9和14，它们的和为23． 【答案】23【例 6】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 将360分解质因数得360222335=⨯⨯⨯⨯⨯，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为633-=个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533.【答案】8533【例 7】 已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到589225113253749=⨯⨯⨯⨯，五个人的年龄和为125岁。

【答案】125岁【例 8】 如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是___________。

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，4题 【解析】 根据题意列式子如下：()()23a b a b +-=，因为23分解质因数是1与23，所以23,1a b a b +=-=，根据和差关系算出12a =，11b =，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23，【例 9】 2004720⨯⨯的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 首先分解质因数，20047202222357167⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，其中最大的质因数是167，所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数. 165351=⨯⨯，166283=⨯，16822237=⨯⨯⨯⨯，1691313=⨯，所以165166167⨯⨯，166167168⨯⨯，167168169⨯⨯都没有4个2，不满足题意.说明167不可行.尝试3341672=⨯，335567=⨯，336222237=⨯⨯⨯⨯⨯，3343353362222235767167⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，包括了2004720⨯⨯中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005.【答案】1005【例 10】 A 是乘积为2007的5个自然数之和，B 是乘积为2007的4个自然数之和。

那么A 、B 两数之差的最大值是 。

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第8题，10分【解析】2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007，所以A 的可能值是231或235或675或2011，又2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007，所以B 的可能值是230或234或674或2010，A 、B 两数之差的最大值为 2011－230=1781。

【答案】1781【例 11】 （老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。

问他们四个人的年龄各是几岁？【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。

4838428337=⨯⨯(223)(27)24(232)=⨯⨯⨯⨯⨯⨯12141618=⨯⨯⨯，由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。

它们的积是偶数， 当然这四个数不是奇数，一定是偶数。

又因为48384的个位数字不是0，显然这四个数中，没有 个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。

又因为41048384<，而44838420<，所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。

也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14 岁、16岁、18岁。

答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

【答案】12岁、14岁、16岁、18岁【例 12】 甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 将6384分解质因数，638422223719=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算，1951427-==⨯，195242223+==⨯⨯⨯，恰好1419246384⨯⨯=，所以这三个数即为14，19，24.一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑38，再下一个该考虑57，依此类推．【答案】14，19，24【例 13】 四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空【解析】 分解质因数433024237=⨯⨯，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7的倍数.若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含有5，不行)，经检验6、7、8、9恰符合.【例 14】 植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每队人数在100至200之间，则有分法（ ）。

A 、3种B 、7种C 、11种D 、13种【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第4题 【解析】 只要找到100到200之间可以整除1430的数即可。

1430可分解成2，5，11，13的乘积，所以可以按每组110人，130人，143人分组，共有3个方案。

所以答案为A【答案】A【例 15】 a 、b 、c 、d 、e 这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第2个数的平方是___________。

A ． 1 B. 3 C. 5 D. 10【考点】分解质因数 【难度】5星 【题型】选择 【关键词】迎春杯，中年级，复试，2题【解析】 D ，解：设a b c d e <<<<。

由3,6ab ac ==推知2c b =；由120,300ce de ==推知552d c b ==。