范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-利润最大化(圣才出品)

0 a 1。
海赛矩阵可以写成：
2 p, w
D2
p,
w
p 2
2 p, w
wp
2 p, w
pw
2 p,
w2
w
a 1 a 2
a 1 a
2a 1 a
p 1a w a1
a1
2 p1a w a1
a
1 a a
1 a 2
2
a
p1a w
12
p1a w a
1 a 1
a 1
f x*
这样对任意的 xi* 0 ，必有 i 0 以及 wi xi 0 ；如果 x*i 0 ，则 i 0 ，从而
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f x*
wi xi 0 ；综上可知，对于边界解，成本最优化的必要条件为：
a
这一矩阵的主子式为：
1
a a
2
2a 1 a
p 1a wa1 a 0 和
0。所以，海赛矩阵是一个正半定矩
阵，这意味着 p, w 关于 p, w 是凸的。
4．令 f x1，x2 是 两 要 素 生 产 函 数 ， w1 和 w2 是 它 们 各 自 的 价 格 。 证 明 要 素 份 额
f x*
wi xi 0 xi* 0
2．证明对表现出规模报酬递增的技术，只要有一点产生正利润，就不存在利润最大化 束。
Show that a profit-maximizing bundle will typically not exist for a technology that exhibits increasing returns to scale as long as there is some point that yields a positive profit.
1
一阶条件为：
paxa1
w
0 ，得到要素需求函数为：
x
w pa
a1
，将要素需求函数代入
目标函数即求得最大化的利润函数为：
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a
1
p, w
p
w ap
a1
w
w ap
a1
下面证明齐次性，注意到对任意 t 0
0
f x*
p x j
wj 0
x*j 0
这 样 ， 对 任 意 的
x
* j
0
，必有
wj
/
p
f
x*
/ x j ； 如 果 xj* 0 ， 那 么 可 以 断 言
f x*
f x*
p x j w j 0 （注意，不是严格的等号）。否则如果 p x j w j 0 ，那么增加第 j 种要
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respect to
x1 / x2
is given by
1
1.
f
证明：根据利润最大化可以得到技术替代率为： TRS
x1 f
w1 w2
，注意到：
x2
ln w2 x2 / w1x1 ln w1 / w2 ln x2 / x1
证明：假设 x 是利润最大化约束，此时有正的利润 x＞0 。由于规模报酬递增，则有 f tx＞tf x ，对于 t 1 ，有 tx pf tx twx＞t pf x wx t x＞ x ，与利润最大化相矛盾。因此，
x 不可能是利润最大化约束。
3．计算出技术 y xa , 0 a 1 的利润函数，并证明它对 p, w 是齐次且凸的。
因此有：
dln w2 x2 dln x2
/ /
w1 x1
x1
dln w2 dln x2
/ /
w1 x1
1
dln TRS dln x2 / x1
1
1
1
。
5．证明要素份额对 w2／w1 的弹性是1 。 Show that the elasticity of the factor share with respect to w2／w1 is 1 . 证明：从本章第 4 题中已得： ln w2 x2 / w1x1 ln w1 / w2 ln x2 / x1 ，上式两边进行微
Calculate explicitly the profit function for the technology y xa ，for 0 a 1
and verify that it is homogeneous and convex in p, w .
答：利润最大化问题为：
max pxa wx x
cost minimization that are valid even for boundary solutions, i.e., when some fact is
not used.
解：对于利润最大化，根据库恩-塔克定理可知最优解 x* 必然满足以下三个条件：
f x*
p
x j
wj
x*j
a
1 a 1
tp, tw
tp
w ap
a 1
tw
ห้องสมุดไป่ตู้
w ap
t p, w
可见 p, w 是一个一次齐次函数。
在计算海赛矩阵之前，以下列方式把利润函数分解为：
1 a a
1
1a
p, w p1a wa1 a1a a1a p1a wa1 a
a
1
， 其 中 a a1a a1a 是 严 格 正 的 ，
w2 x2
/
w1x1
对 x1
/
x2 的弹性是
1
1。
Let f x1，x2 be a production function with two factors and let w1 and w2 be
their respective prices. Show that the elasticity of the factor share w2 x2 / w1x1 with
素的投入还会提高厂商的利润，这就和
x
* j
0
是利润最大化的最优解相矛盾。综上可知，对
于边界解，利润最大化的必要条件是：
f x*
p x j w j 0 x*j 0
厂商的成本最小化问题的库恩—塔克条件为：
f x*
wi xi i
f x* q 0
i xi* 0
0,i 0, f x* q 0, xi 0
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第 2 章 利润最大化
1．利用库恩-塔克定理求解对边界解也成立的利润最大化或成本最小化条件。
Use the Kuhn-Tucker theorem to derive conditions for profit maximization and