【数学】安徽省2018年名校大联考数学试卷三 含答案
合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准
合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)4 (14)34(15)3 (16)1na=-或1524na n=-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)(Ⅰ)()11cos cos22cos2234f x x x x x xπ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭1sin226xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.令262x k k Zπππ-=+∈，，解得32kxππ=+.∴函数()f x图象的对称轴方程为32kx k Zππ=+∈，. …………………………5分(Ⅱ)易知()12sin223g x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.∵02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴222333xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，∴2sin213xπ⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴()121sin2232g x xπ⎡⎛⎫=-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，即当02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x的值域为12⎡-⎢⎣⎦. …………………………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. ………………………8分(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.()()302193933312128410801220220C C C CP X P XC C======，，()()1203939333121227123220220C C C CP X P XC C======，，∴X∴()01232202202202204E X=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD. 又∵DE∥AC，∴DE ⊥平面ABD ，从而DE⊥BD .注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE ，于是，BD⊥AD . 而AD=BD=1，∴AB =. ………………………5分 (Ⅱ)∵AD=BD，取AB 的中点为O ，∴DO⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO⊥平面ABC.过O 作直线OY∥AC，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.记2AC a =，则12a ≤≤， 0 0 0 0A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，2 00 0C a D ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，，，0E a ⎛- ⎝⎭，，()0BC a =，， 0BD ⎛= ⎝⎭ . 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =，，.由00BC n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得200ay ⎧+=⎪⎨=⎪⎩.令x =1 n a =， . 又∵()0 0DE a =-，， ，∴点E 到平面BCD的距离||DE n d n ⋅==. ∵12a ≤≤，∴当2a =时，d取得最大值，max d .………………………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，此时圆的半径为2p OF =，∴24P ππ=，解得2p =. ……………………4分(Ⅱ)依题意得，点M 的坐标为(1，2)，圆M 的半径为2. 由F (1，0)知，M F x ⊥轴.由AM F BM F ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=.设MA k k =(0k ≠)，则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()121x y k=-+， 代入抛物线的方程得，()21421y y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴24840y y k k -+-=，∴4422A A y y k k+==-，.将k 换成k -，得42B y k=--，∴22441444A B A B AB A B A B A By y y y k x x y y y y --=====--+--. 设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=.由直线AB 与圆M2=，解得3m =±经检验3m =+3m =+.∴所求直线AB的方程为3y x =-+-……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()212x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--.设()xg x e x a =--，则()1x g x e '=-.令()10x g x e '=-=，解得0x =.∴当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，. 不妨设12x x <，则120x x <<.∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，. …………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.∵()2220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，∴()2222222x x x g x e x a eex ---=+-=-+.设()2x x h x e e x -=-+，0x >，则()120x xh x e e'=--+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<.∵函数()f x 在()1 0x ，上也单调递减，∴()()12f x f x >-.∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->. 设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->， ∴()x ϕ在()0+∞，上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()0+∞，上单调递增，∴()()00k x k >=. ∴当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->， ∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>. ………………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)由直线l的参数方程11x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，其普通方程为2y x =+，∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+.又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. ……………………5分(Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=，整理得2sin c os 3c os θθθ=，∴tan 32πθθ==，或.不妨记点A 对应的极角为2π，点B 对应的极角为θ，且t a n =3θ.于是，cos cos sin 2AOB πθθ⎛⎫∠=-== ⎪⎝⎭. ……………………10分(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+.(1)当1x <时，不等式可化为4211x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈∅；(2)当13x ≤≤时，不等式可化为211x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.(3)当3x >时，不等式可化为2415x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤. ∴原不等式的解集为[]1 5，. …………………5分(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，114a m b n m n =-=-+=，，，()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 原不等式得证. …………………10分。
安徽省2018届中考第三次模拟大联考数学试卷(含详细答案)
绝密★启用前|中考试题命制中心2018届九年级第三次模拟大联考【安徽卷】数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）1．14-的相反数是【】A．14-B．14C．4 D．-42．下列运算正确的是【】A．（a-b）2=a2-b2 B．（-2a3）2=4a6 C．a3+a2=2a5 D．-（a-1）=-a-13．合肥市城市轨道交通2号线东起长江东路与大众路交叉口，西起长江西路与长宁大道交叉口，线路全长27.8公里，全部为地下线，全线共设车站24座，预计2017年10月1日开通运营，该项目总投资约190亿元，其中190亿用科学记数法表示为【】A．819010⨯B．101.910⨯C．110.1910⨯D．91910⨯4．如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是【】A．B．C．D．5．电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x千米/小时，应列方程为【】A．3040125x x-=-B．3040125x x-=+C．3040125x x+=-D．3040125x x+=+6．如图，已知AB∥CD，∠A=55°，∠C=20°，则∠P的度数是【】A．55°B．75°C．35°D．125°7．如图，若一次函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象可能是【】A．B．C．D．8．某支青年排球队有12名队员，队员年龄情况如图所示，那么球队队员年龄的众数、中位数分别是【】A．19，19 B．19，20 C．20，20 D．22，199．一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t （小时）之间的函数图象是【】A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC 的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为【】A．52B．5102C．31010D．3105二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．9的算术平方根是__________．12．把x3-9x分解因式，结果为__________．13．如图，⊙O的直径AB=2，C、D在⊙O上，AB与CD的延长线交于E点，AC=CD，AD=DE，则劣弧AC的长为__________．14．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E为AB边的中点，∠DEC=∠A．有下列结论：①DE平分∠AEC；②CE平分∠DEB；③DE平分∠ADC；④EC平分∠BCD．其中正确的是__________．（把所以正确结论的序号都填上）三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：1184sin452-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭．16．某中学为争创“最美校园”投入一定资金绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵，甲种树木单价是乙种树木单价的98，且乙种树木每棵80元，共用去资金6160元．求甲、乙两种树木各购买了多少棵？四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向，测得景点B在其南偏东40°方向．小明从游客中心走了2千米到达景点A，已知景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比为2．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第6行的最后一个数是__________，第n行的最后一个数是__________；（2）若用（a，b）表示一个数在数表中的位置，如9的位置是（4，3），则168的位置是__________．20．如图，AB是⊙O的直径，点C是»BD中点，∠COB=60°，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．21．光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测．某次检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力．（1）求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率．七、（本题满分12分）22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）若点M在第四象限内且在抛物线上，有OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．23．（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG，G在AD边上，E在CD的延长线上．求证：AE=CG，AE⊥CG；（2）如图2，若将图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转角度θ（0°<θ<90°），此时AE=CG还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°时，延长CG交AE于点H，当AD=4，DG=2时，求线段CH的长．。
安徽省“皖南八校”2018届高三第三次(4月)联考数学(理)试题(解析版)
“皖南八校”2018届高三第三次联考理数学卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：通过指数函数的值域，求得集合，解一元二次不等式求得集合，然后根据集合的交集运算求得.详解：因为，所以，所以，因为，所以，即，所以，故选A.点睛：该题属于集合的运算问题，在解题的过程中，要熟记指数函数的性质以及一元二次不等式的解法，从而求得结果.2. 复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则的实部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由纯虚数的概念，可得，从而求得，代入待求量，利用复数的除法运算法则，即可得所求值.详解：根据为纯虚数，可得，解得，则，所以其实部是，故选C.点睛：解决该题的关键是要掌握复数的除法运算法则，前提是得需要求得的值，这就要求必须掌握纯虚数的概念.3. 在区间上随机地取一个数，若满足的概率为，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用区间的长度为，满足的概率为，即可得到参数.详解：当时，解不等式，可解得，以长度为测度，则在区间上区间长度为，在区间上，所以区间长度为，满足在区间上随机地取一个数，若满足的概率为，故选C. 点睛：该题属于长度型几何概型，解决该题的关键是要明确整体的几何度量以及满足条件的几何度量，之后可以求得的值.4. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设与的夹角为，根据向量的数量积的运算，即可求出结果.详解：设与的夹角为，因为，，所以，即，即，因为，所以，故选B.点睛：结果该题的关键是应用向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解.5. 定义某种运算的运算原理如右边的流程图所示，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：该题属于新定义运算，在程序框图中，将题中所给的比较大小，根据条件，找准方向，求出结果即可.详解：根据题中所给的程序框图，可以得到，，又，可知答案为3，故选A.点睛：该题属于利用程序框图求解新定义运算问题，关键是看清方向，找准目标，求得正确结果.6. 中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：该题属于已知几何体的三视图，，求其外接球的表面积问题，把三棱柱补成长方体，则长方体的对角线长等于外接球的直径，从而求得结果.详解：由已知可得该“堑堵”是一个半个长方体的直三棱柱，且长宽高分别是，该几何体的外接球就是对应的长方体的外接球，而长方体的对角线是，所以其外接球的半径为1，所以其外接球的表面积为，故选B.点睛：解决该题的关键是将根据三视图将几何体还原，从而得到该几何体是半个长方体的三棱柱，利用长方体的外接球的特征求得结果.7. 已知函数，若满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由已知条件可得，函数是定义在上的奇函数，从而将题中的条件转化为关于的二元一次不等式组，画出相应的可行域，之后结合目标函数的几何意义，确定最优解的位置，从而求得范围.详解：根据题中所给的函数解析式，可知函数是定义在上的奇函数，从而可以转化为，并且，可以判断出函数在定义域上是减函数，从而有，根据约束条件，画出对应的可行域，根据目标函数的几何意义，可知在点处取得最小值，在点处取得最大值，而边界值取不到，故答案是，故选C.点睛：该题属于利用题的条件，求得约束条件，确定可行域，结合目标函数是分式形式的，属于斜率型的，结合图形，求得结果.8. 若函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：该题属于利用题中的条件，确定出函数解析式，之后结合正弦函数的单调减区间，利用整体思维得到所满足的条件，最后求得结果，确定出函数的单调减区间，即正弦型函数的解题思路.详解：根据题中所给的函数图像，可以求得，，可以求得，所以，利用最高点可以求得，从而求得，令，解得，所以函数则的单调递减区间是，故选D.点睛：解决该题的关键是利用题中所给的图像中找关键点，最值点的纵坐标求得，利用最高点与平衡位置的横坐标确定出函数的周期，确定出的值，利用最高点的坐标求得的值，最后利用正弦型函数的单调区间的求法求得结果.9. 函数在区间上的零点个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】分析：令函数值为，构建方程，即可求出在区间上的解，从而可得函数在区间上的零点个数.详解：由题意可知或，又，所以，当时，，在相应的范围内，只有三个值可取，所以总共有4个零点，故选B.点睛：该题属于确定函数零点个数的问题，在解题的过程中，首先令函数值为，构建方程，尤其需要注意的是在上解的个数，不要漏解.10. 删去正整数数列中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由于数列共有项，去掉个平方数后，还剩余项，所以去掉平方数后第应在后的第个数，即是原来数列的第项，从而求得结果.详解：由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.点睛：解决该题的关键是找出第项的大概位置，所以数列共有项这个条件非常关键，只要弄明白去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解.11. 已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据双曲线的定义，算出在三角形中，，利用余弦定理算出，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率.详解：如图，依题意可得，又因为，所以，又因为，所以，即在三角形中，，由余弦定理，可得，从而可得，即，故选B.点睛：这是一道求双曲线离心率的题目，解题的关键是掌握双曲线的定义及性质，在解三角形的过程中，也可以放在中利用余弦定理解决，此时应用即可得结果.12. 若均为任意实数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.详解：由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，故选D.点睛：解决该题的关键是分析清式子代表的意义，再者就是什么时候满足距离最小，之后应用导数的几何意义求得切线的斜率，应用两点斜率坐标公式求得直线的斜率，两条直线垂直，斜率乘积等于-1.从而求得结果.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 二项式的展开式中常数项为__________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：求出此二项式的展开式通项公式，令幂指数等于零，求得第三项是常数项，将代入，求得结果. 详解：二项式的展开式的通项为，令，解得，所以常数项为，故答案是.点睛：解决该题的关键是应用二项展开式的通项公式，想求常数项，令幂指数等于零，代入求得结果.14. 如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中是矩形，和都是等腰梯形，且平面，现测得,与间的距离为，则几何体的体积为__________．【答案】【解析】分析：该几何体属于不规则几何体，在解决问题的过程中，需要对几何体进行分割，将其分割为两个全等的三棱锥和一个三棱柱，利用题中的条件，求得相应的量，代入体积公式求得结果.详解：在上，取两点，分别满足，连接，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得，故答案是.点睛：该题属于求不规则几何体的体积的问题，解题的关键是将不规则几何体进行分割，转化为熟悉的几何体，利用体积公式求得结果.15. 四边形中，,当边最短时，四边形的面积为__________．【答案】【解析】分析：解题的关键是要明确什么时候边最短，从而求得，之后连接，利用题中所给的量，利用余弦定理以及直角三角形中的边角关系，求得各边长，之后应用三角形面积公式求得结果.详解：当边最短时，就是时，连接，应用余弦定理可以求得，并且可以求得，从而求得，从而求得，利用平方关系求得，从而求得，，所以四边形的面积，故答案是.点睛：解决该题的关键是先确定边最短时对应的结果，之后将四边形分成两个三角形，利用余弦定理求得对角线，利用差角余弦公式将直角三角形中的一个锐角确定，之后应用相应的公式求得结果.16. 已知为抛物线的焦点，为其准线与轴的交点，过的直线交抛物线于两点，为线段的中点，且，则__________．【答案】6【解析】分析：解决该题需要将点的坐标求出，之后设出直线的方程，与抛物线的方程联立，消元，写出的坐标，应用两点间距离公式求得的值，应用焦点弦长公式求得结果.详解：根据题意可知直线的斜率是存在的，抛物线的焦点坐标是，设直线，将直线与抛物线方程联立，消元可得，从而可得，从而求得，求得，根据，可得，求得，而，所以答案是.点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点弦长问题，解决问题的关键是需要设出直线的方程，联立求得弦中点坐标，之后应用两点间距离公式建立等量关系式，最后应用焦点弦长公式求得结果.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且成等差数列。
新课标人教版2018-2019学年七年级(上)名校联考期中数学试卷附答案
2018-2019学年七年级（上）名校联考期中数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．下列四个式子中，是一元一次方程的是（）A．2x﹣6B．x﹣1＝0C．2x+y＝25D．＝12．x＝2是下列方程（）的解．A．2x＝6B．（x﹣3）（x+2）＝0C．x2＝3D．3x﹣6＝03．下列等式变形中，结果不正确的是（）A．如果a＝b，那么a+2b＝3b B．如果a＝b，那么a﹣m＝b﹣mC．如果a＝b，那么＝D．如果3x＝6y﹣1，那么x＝2y﹣14．如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2＝（）A．55°B．60°C．65°D．75°5．如图，图中∠1与∠2是同位角的是（）A．（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）（4）6．如图，由AD∥BC可以得到的是（）A．∠1＝∠2B．∠3+∠4＝90°C．∠DAB+∠ABC＝180°D．∠ABC+∠BCD＝180°7．如图，AB∥EF，EF∥CD，EG∥BD，则图中与∠1相等的角（除∠1外）共有（）A．6个B．5个C．4个D．2个8．某校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了七年一班的学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本：如果每人分4本，则还缺25本．若设该校七年一班有学生x人，则下列方程正确的是（）A．3x﹣20＝24x+25B．3x+20＝4x﹣25C．3x﹣20＝4x﹣25D．3x+20＝4x+259．下列说法中①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线平行，同旁内角互补；④直线外一点到已知直线的垂线段就是点到直线的距离，其中正确的有（）个A．4个B．3个C．2个D．1个10．下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为131，则满足条件的x的不同值最多有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（每題3分，共30分）11．关于x的方程ax+1＝4的解是x＝1，则a＝．12．已知∠1与∠2是对顶角，∠2与∠3是邻补角，则∠1+∠3＝．13．若2x3﹣2k+2k＝41是关于x的一元一次方程，则k＝．14．如图所示，∠1＝100°，∠3＝110°，∠2＝100°，则∠4的度数为．15．若关于x的方程3x+2＝0与5x+k＝20的解相同，则k的值为．16．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是．17．已知小名比小丽大3岁，一天小名对小丽说“再过十五年，咱俩年龄和的2倍就是110岁了”那么现在小名年龄是岁．18．如图，已知DE∥BC，∠ABC＝100°，点F在射线BA上，且∠EDF＝120°，则∠DFB的度数为．19．某轮船在松花江沿岸的两城市之间航行，已知顺流航行要6小时由A市到达B市，逆流航行要10小时由B市到达A市，则江面上的一片树叶由A市漂到B市需要小时．20．如图，有两个正方形夹在AB与CD中，且AB∥CD，若∠FEC＝10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为度（正方形的每个内角为90°）三、解答題（21題10分，22、23题各7分，24、25题各8分，26、27题各10分，共计60分21．解方程（1）2x+5＝3x﹣3（2）＝2﹣22．已知x＝3是方程4（x﹣1）﹣mx+6＝8的解，求m2+2m﹣3的值．23．某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个．两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？24．如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4＝∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程：证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知）∴∠1＝∠2（角平分线定义）∵ED∥BC（已知）∴∠5＝∠2（）∴∠1＝∠5（等量代换）∵∠4＝∠5（已知）∴EF∥（）∴∠3＝∠1（）∴∠3＝∠4（等量代换）∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）25．如图，E为DF上的点，B为AC上的点，DF∥AC，∠C＝∠D，求证：∠2＝∠1．26．小明爸爸装修要粉刷断居室的墙面，在家装商场选购某品牌的乳胶漆：小明爸估算家里的粉刷面积，若买“大桶装”，则需若干桶但还差2升；若买“小桶装”，则需多买11桶但会剩余1升，（1）小明爸预计墙面的粉刷需要乳胶漆多少升？（2）喜迎新年，商场进行促销：满1000减120元现金，并且该品牌商家对“小桶装”乳胶漆有“买4送1“的促销活动，小明爸打算购买“小桶装”，比促销前节省多少钱？（3）在（2）的条件下，商家在这次乳胶漆的销售买卖中，仍可盈利25%，则小桶装乳胶漆每桶的成本是多少元？27．已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上∠ACB﹣∠MAC＝∠CBP（1）如图1，求证：MN∥PQ；（2）分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH，以点B为顶点的直角∠DBI绕点B旋转，并且∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2试判断∠CFB、∠BEG是之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB＝60°，求∠CFB的度数．参考答案一．选择题（每题3分，共30分）BDDDC CBBCD11．3．12．180°．13．1．14．70°．15．．16．135°．1714岁．18．20°或140°．①如图，延长ED交AB于G，∵DE∥BC，∴∠FGD＝∠B＝100°，又∵∠EDF＝120°，∴∠DFB＝120°﹣100°＝20°；②如图，过F作FG∥BC，∵DE∥BC，∴FG∥DE，∴∠D+∠DFG＝180°，∠B+∠BFG＝180°，又∵∠ABC＝100°，∠EDF＝120°，∴∠BFG＝80°，∠DFG＝60°，∴∠DFB＝140°，193020．70解：如图，延长KH交EF的延长线于M，作MG⊥AB于G，交CD于H．∵∠GHM＝∠GFM＝90°，∴∠HMF＝180°﹣150°＝30°，∵∠HMF＝∠MKG+∠MEH，∠MEH＝10°，∴∠MKG＝20°，∴∠1＝90°﹣20°＝70°，21．解：（1）2x﹣3x＝﹣3﹣5，﹣x＝﹣8，x＝8；（2）3（3y﹣2）＝24﹣4（2y﹣1），9y﹣6＝24﹣8y+4，9y+8y＝24+4+6，17y＝34，y＝2．22．解：根据题意，将x＝3代入方程4（x﹣1）mx+6＝8，得：4×（3﹣1）﹣3m+6＝8，解得：m＝2，则m2+2m﹣3＝22+2×2﹣3＝4+4﹣3＝5．23．解：设加工的甲部件的有x人，加工的乙部件的有y人．，由②得：12x﹣5y＝0③，①×5+③得：5x+5y+12x﹣5y＝425，即17x＝425，解得x＝25，把x＝25代入①解得y＝60，所以答：加工的甲部件的有25人，加工的乙部件的有60人．24．证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知）∴∠1＝∠2（角平分线定义）∵ED∥BC（已知）∴∠5＝∠2（两直线平行，内错角相等）∴∠1＝∠5（等量代换）∵∠4＝∠5（已知）∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行）∴∠3＝∠1（两直线平行，同位角相等）∴∠3＝∠4（等量代换）∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）25．证明：∵DF∥AC，∴∠C＝∠CEF，又∵∠C＝∠D，∴∠CEF＝∠D，∴BD∥CE，∴∠3＝∠4，又∵∠3＝∠2，∠4＝∠1，∴∠2＝∠1．26．解：（1）设需购买“大桶装”乳胶漆x桶，则需购买“小桶装”乳胶漆（x+11）桶，依题意，得：18x+2＝5（x+11）﹣1，解得：x＝4，∴18x+2＝74．答：小明爸预计墙面的粉刷需要乳胶漆74升．（2）由（1）可知，需购买15桶“小桶装”乳胶漆．∵商家对“小桶装”乳胶漆有“买4送1“的促销活动，∴只需购买15×＝12（桶），∴比促销前可节省15×90﹣（12×90﹣120）＝390（元）．答：比促销前节省390元钱．（3）设“小桶装”乳胶漆每桶的成本是y元，依题意，得：12×90﹣120﹣15y＝15y×25%，解得：y＝51.2．答：“小桶装”乳胶漆每桶的成本是51.2元．27．解：（1）过C作CE∥MN，∴∠1＝∠MAC，∵∠2＝∠ACB﹣∠1，∴∠2＝∠ACB﹣∠MAC，∵∠ACB﹣∠MAC＝∠CBP，∴∠2＝∠CBP，∴CE∥PQ，∴MN∥PQ；（2）过B作BR∥AG，∵AG∥CH，∴BR∥HF，∴∠BEG＝∠EBR，∠RBF+∠CFB＝180°，∵∠EBF＝90°，∴∠BEG＝∠EBR＝90°﹣∠RBF，∴∠BEG＝90°﹣∠RBF＝90°﹣（180°﹣∠CFB），∴∠CFB﹣∠BEG＝90°；（3）过E作ES∥MN，∵MN∥PQ，∴ES∥PQ，∴∠NAE＝∠AES，∠QBE＝∠EBC，∵BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，∴∠NAE＝∠EAC，∠CBD＝∠DBP，∴∠CAE＝∠AES，∵∠EBD＝90°，∴∠EBQ+∠PBD＝∠EBC+∠CBD＝90°，∴∠QBE＝∠EBC，∴∠AEB＝∠AES+∠BES＝∠CAE+∠CBE＝，∵∠ACB＝60°，∴∠AEB＝150°，∴∠BEG＝30°，∵∠CFB﹣∠BEG＝90°，∴∠CFB＝120°．。
安徽省皖南八校2024届高三4月第三次联考数学试卷含答案
2024届“皖南八校”高三第三次大联考数学（答案在最后）考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合(){}3log 2A x y x ==-，集合{}05B y y =∈≤≤Z ，则A B = （）A.∅B.()2,5 C.[]2,5 D.{}3,4,5【答案】D 【解析】【分析】直接根据集合定义求出{}2A x x =>，{}0,1,2,3,4,5B =，再求交集.【详解】由于(){}{}3log 22A x y x x x ==-=>，{}{}050,1,2,3,4,5B y y =∈≤≤=Z .故{}3,4,5A B = .故选：D.2.抛物线214y x =的焦点坐标为（）A.()1,0B.()0,1 C.1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可.【详解】由214y x =可得24x y =，其焦点坐标为()0,1，故选：B3.已知向量)a =，向量(b = ，则向量a在向量b 上的投影向量为（）A.)B.3,0,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.(D.3,0,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据数量积以及模的坐标表示，求出数量积以及模，然后根据投影向量的概念，即可得出答案.【详解】向量a在向量b上的投影向量为3,0,2222a b b b bb ⎛⎫⋅⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B.4.2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长､谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲､乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲､乙两人安排在相同区域的方法种数为（）A.96B.144C.240D.360【答案】C 【解析】【分析】6名同学分成4组，再把4组人分到4个区域，【详解】先将6名同学分成4组，则4个组的人数为1,1,2,2或1,1,1,3，当甲､乙在2人组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，有24C 种分组方法；当甲､乙在3人组，甲､乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组，有14C 种分组方法，再把4组人分到4个区域，所以安排方法种数为()214444C C A 240+=.故选：C.5.“ππ,4k k ϕ=-+∈Z ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】若函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据正切函数的对称性可得ππ,42k k ϕ=-+∈Z ，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.【详解】若函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ππ,42k k ϕ+=∈Z ，解得ππ,42k k ϕ=-+∈Z ，因为π|π,4k k ϕϕ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 是ππ|,42k k ϕϕ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 的真子集，所以“ππ,4k k ϕ=-+∈Z ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称”的充分不必要条件.故选：A.6.托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：()()()()()1i i i nj j j P A P B A P A B P A P BA ==∑∣∣∣，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中()()1njjj P A P BA =∑∣称为B 的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知,,A BC 三个地区分别有3%,6%,5%的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是9:8:5，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B 地区的概率是（）A.0.25B.0.27C.0.48D.0.52【答案】C 【解析】【分析】本题利用题目信息给出的贝叶斯公式，结合全概率公式即可求解.【详解】记事件M 表示“这人患了流感”，事件123,,N N N 分别表示“这人来自,,A B C 地区”，由题意可知：()()()123985,,,222222P N P N P N ===()10.03,P M N =∣()20.06P M N =∣，()30.05P M N =∣，()()()()()()()112233P M P N P M N P N P M N P N P M N =++=∣∣∣98510.030.060.0522222222⨯+⨯+⨯=故()()()()22280.06220.48122P N P M N P N M P M ⨯===∣∣.故选：C .7.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，内部有一个底面垂直于1AC 的圆锥，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积最大为（）A.B.12πC.π2D.【答案】C 【解析】【分析】取111111,,,,,AB AD DD D C C B B B 的中点，记为,,,,,M N E F P G ，当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG 时该圆锥的底面积最大，结合圆锥体积公式计算即可得解.【详解】如图所示，取111111,,,,,AB AD DD D C C B B B 的中点，记为,,,,,M N E F P G ，易知六边形MNEFPG 为正六边形，此时1AC 的中点O 在正六边形的中心，当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG 时该圆锥的底面积最大，设此时圆锥底面圆半径为r，因为MN =22r MN ==，圆锥底面积为23ππ2S r ==，圆锥顶点为1A （或C ）处，此时圆锥体积最大，此时11132223ππ33222V S A O =⋅=⨯⨯=.故选：C.8.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若12,,,n x x x 为(),a b 上任意n 个实数，满足()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 在(),a b 上为“凹函数”.也可设可导函数()f x 在();a b 上的导函数为()(),f x f x ''在(),a b 上的导函数为()f x ''，当()0f x ''>时，函数()f x 在(),a b 上为“凹函数”.已知12,,,0,2n x x x n >≥ ，且121n x x x +++= ，令1212111n nx x xW x x x =+++--- 的最小值为n a ，则2024a 为（）A.20232024B.20242023C.20242025D.20252024【答案】B 【解析】【分析】记函数()()11,0,111x f x x x x==-∈--，先判断函数的凹凸性，然后利用琴生不等式得12121111111n n x x x n n x x x n⎛⎫+++≥---⎝⎭- ，即可求解.【详解】记函数()()11,0,111x f x x x x==-∈--，首先证明其凹凸性：()()()224321112,0(1)(1)(1)(1)x f x f x x x x x '''---=-=∴=-=>---- ，()111f x x∴=--在()0,1上为“凹函数”.由琴生不等式，得()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，即12121111111n n x x x nn x x x n⎛⎫+++≥⎪---⎝⎭- .所以12121111n n x x x nW x x x n =+++≥---- ，即当121n x x x n ==== 时，W 取最小值1n n a n =-，所以202420242023a =.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于概率统计的说法中正确的是（）A.某人在10次答题中，答对题数为(),10,0.7X X B ~，则答对7题的概率最大B.设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，若()1P X p ≥=，则(10)12P X p-<<=-C.已知回归直线方程为ˆˆ9ybx =+，若样本中心为()3,24-，则ˆ5b =-D.两个变量,x y 的相关系数为r ，则r 越小，x 与y 之间的相关性越弱【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，可利用不等式法求解；对于B ，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C ，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D ，由相关系数的意义即可判断.【详解】对于()A,10,0.7X B ~ ，故()1010C 0.70.3kkkP X k -==⋅，令()1011111010101191010C 0.70.3C 0.70.3,Z C 0.70.3C 0.70.3k k k k k kkk k k k kk -----++-⎧⋅≥⋅∈⎨⋅≥⋅⎩，解得6.77.7k ≤≤，故7k =，故A 正确；对于()1B,1,(10)(01)2P X p P X P X p ≥=∴-<<=<<=- ，故B 错误；对于C ，回归直线必过样本中心，可得ˆ2439b=-+，解得ˆ5b =-，故C 正确；对于D ，两个变量,x y 的相关系数为,r r 越小，x 与y 之间的相关性越弱，故D 错误.故选：AC.10.复数i z x y =+（,,i x y ∈R 为虚数单位）在复平面内对应点(),Z x y ，则下列为真命题的是（）A.若11z z +=-，则点Z 在圆上B.若复数z 满足228z z ++-=，则复数z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆C.若复数z 满足2i 2i 2z z +--=，则复数z 在复平面内所对应点的轨迹是双曲线D.若11x z +=-，则点Z 在抛物线上【答案】BD 【解析】【分析】利用复数的模的几何意义，结合垂直平分线的定义，椭圆，双曲线的定义可判断A ，B ，C ，把点(),Z x y 的坐标代入11x z +=-，可得轨迹方程判断D .【详解】1z +=，表示点(),x y 与()1,0-之间的距离，1z -=(),x y 与()1,0之间的距离.对于A ，记()()121,0,1,0,11F F z z -+=-，表示点(),Z x y 到12F F ､距离相等，则点Z 在线段12F F 的中垂线上，故A 错误；对于B ，记()()122,0,2,0F F -，由228z z ++-=，得121284||ZF ZF F F +=>=，这符合椭圆定义，故B 正确；对于C ，记()()120,2,0,2F F -，若12122i 2i 2,2||z z ZF ZF F F +--=-=<，这符合双曲线的一支，故C 错误；对于D ，若11x z +=-，则222(1)(1)x x y +=-+，整理得24y x =，为抛物线，故D 正确.故选：BD.11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()22024f x f x f ++=，且()21f x +是奇函数，则（）A.()f x 的图象关于点()1,0对称B.()()04f f =C.()21f =D.若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则202411 02i if i =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：由()21f x +是奇函数可得()()110f x f x -+++=，即可得；对B ：由()()()22024f x f x f ++=，借助赋值法计算即可得解；对C ：结合所得可得函数的周期性，结合周期性与赋值法计算即可得；对D ：结合函数周期性，借助赋值法算出一个周期内的值即可得.【详解】对A ：由题意知，()()2121f x f x -+=-+，则()()110f x f x -+++=，所以()f x 图象的对称中心为()1,0，故A 正确；对B ：()()()()()()22024,422024f x f x f f x f x f ++=+++=，两式相减得()()4f x f x +=，所以()()40f f =，故B 正确；对C ：由B 选项可得，()f x 的周期为4，又20244506=⨯，故()()()()220240f x f x f f ++==，令0x =得，()()()200f f f +=，得()2f =0，故C 错误；对D ：因为()()020f f +=，又()20f =，故()()()00,110f f x f x =-+++=中，令12x =得，311222f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()20f x f x ++=，得511731,222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 的周期为4，则()()()()13574144244344442222n f n n f n n f n n f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1111414243442222n n n n ⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯-++⨯-++⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()14142434402n n n n ⎡⎤=⨯+-+-+++=⎣⎦，所以20241102i if i =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，故D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数()f x 关于直线x a =轴对称，则()(2)f x f a x =-，若函数()f x 关于点(),a b 中心对称，则()2(2)f x b f a x =--，反之也成立；（2）关于周期：若()()f x a f x +=-，或1()()f x a f x +=，或1()()f x a f x +=-，可知函数()f x 的周期为2a .三､填空题：共3小题，每小题5分，共15分.12.从安徽省体育局获悉：第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍，本届体育节以“绿色､健康､融合､共享”为主题，共设置山水生态类､快乐时尚类､传统体育类共21项赛事.下表是4月8日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数：选手选手1选手2选手3选手4选手5选手6选手7选手8个数141171161147145171170172则跳绳个数的第60百分位数是__________.【答案】170【解析】【分析】本题依据百分位数的概念，先把数据从小到大排好，然后计算其位置数860% 4.8i =⨯=，取整数5，即第5位数据即为所求.【详解】先把8位选手跳绳个数的数据按从小到大排列：141,145,147,161,170,171,171,172，然后计算860% 4.8i =⨯=，取整数5，故跳绳个数的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即170.故答案为：170.13.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为______．【答案】30【解析】【分析】建立组合模型求解【详解】25()x x y ++表示5个因式2x x y ++的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y ，其余的3个因式中有一个选x ，剩下的两个因式选2x ，即可得到含52x y 的项，即可算出答案．25()x x y ++表示5个因式2x x y ++的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y ，其余的3个因式中有一个选x ，剩下的两个因式选2x ，即可得到含52x y 的项，故含52x y 的项系数是253221C C C 30⋅⋅=.故答案为：3014.椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的左､右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上第一象限内，记,PAB PBA αβ∠=∠=，存在圆N 经过点,,P A B ，且0,tan tan 8NA NB αβ⋅=+=，则椭圆C 的离心率为__________.【答案】223##223【解析】【分析】根据给定条件，利用和角的正切求得9PB PA k k ⋅=-，再设出点P ，结合斜率的坐标公式求出22b a即可求出离心率.【详解】显然直线,PA PB 斜率都存在，且tan ,tan PA PB k k αβ==-，由0NA NB ⋅=，得190,452ANB APB ANB ∠∠∠===，则tan tan tan tan tan tan()11tan tan 1PB PAAPB k k αβαβαβαβ++∠=-+=-=-=-⋅+⋅，而tan tan 8αβ+=，于是9PB PAk k ⋅=-，设00(,)P x y ，则222202()b by a x -=，因此220002220009PA PBy y y a k k x b x b x b b ⋅=⋅==-=-+--，解得2219b a =，所以椭圆C 的离心率为222222213a b b e a a -==-=.故答案为：223【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22cos 0b c a C +-=.（1）求角A ；（2）射线AB 绕A 点旋转90 交线段BC 于点E ，且1AE =，求ABC 的面积的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）233【解析】【分析】（1）借助正弦定理将边化角后，利用三角形内角和公式及两角和的正弦公式计算即可得；（2）借助等面积法计算可得122bc c b =+，利用基本不等式可得83bc ≥，利用面积公式计算即可得.【小问1详解】22cos b c a C += ，由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C +=，则()2sin sin 2sin cos A C C A C ++=，即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A C A C C A C ++=则2cos sin sin 0A C C +=，sin 0C > 且()0,πA ∈，1cos 2A ∴=-，2π3A ∴=；【小问2详解】由2π3BAC ∠=和AB AE ⊥，可知2πππ326CAE ∠=-=，因为ABC AEB AEC S S S =+ ，所以111sin sin sin 222bc BAC c AE BAE AE CAE ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，又因为1AE =，所以2πππsinsin sin 326bc c b =+，即3122bc c b =+，又122bc c b =+≥，当且仅当12c b =，即,33b c ==时，等号成立，所以83bc ≥，所以118sin 22323ABC S bc BAC ∠=≥⨯⨯=，所以ABC 的面积的最小值为3.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC 为等边三角形，底面ABCD 是矩形，平面PBC ⊥平面,,ABCD O E 分别为线段,BC PA 的中点，点F 在线段PB 上（不包括端点）.（1）若23PF PB =，求证：点,,,O D E F 四点共面；（2）若22BC AB ==，是否存在点F ，使得EF 与平面PCD 所成角的正弦值为13，若存在，求出PF BF ，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12PF BF =或2PFBF=【解析】【分析】（1）方法1：利用向量的线性运算结合图形关系得到221333P PO PE P F D =+-，即可证明；方法2：过P 作直线l 与AD 平行，延长DE 与l 交于点G ，连接OG ，再利用平行线段对应成比例得到23PF PB =即可证明；（2）先由面面垂直的性质证明PO ⊥平面ABCD ，再建系，找到平面PCD 的法向量和EF，再利用线面角的公式求出k 值即可.【小问1详解】证明：方法1：()()222121221333333333PF PB PO OB PO DA PO PA PD PO PE PD ==+=+=+-=+-，系数和为1，根据平面向量共线定理可知,,,O D E F 四点共面.方法2：过P 作直线l 与AD 平行，延长DE 与l 交于点G ，连接OG .因为底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，所以AD BC ，且2AD OB =.所以l BC ，则直线l 与直线PB 相交，记交点为F '.因为E 是PA 的中点，可得PG AD =，则2PG OB =，所以2PF BF '='.因为23PF PB =，所以点F '即点F ，所以,,,O D E F 四点共面.【小问2详解】因为,PB PC O =是BC 的中点，所以PO BC ⊥，又平面PBC⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，PO ⊂平面PBC ，所以PO ⊥平面ABCD .取AD 中点Q ，连接OQ ，易知,,OQ OC OP 两两相互垂直，如图，分别以,,OQ OC OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()(1,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,0,A B C D P --，()()(0,2,0,1,0,0,0,1,AD CD CP ===-.设平面PCD 的法向量为(),,a x y z =，则0,0,a CD a CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1z =，则y =，所以()a = .设(01)PFk k PB=<<，则((11110,1,1,1,,,22222EF PF PE k PB PA k k ⎛⎫=-=-=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设EF 与平面PCD 所成角为θ，则sin cos ,13EF aEF a EF aθ⋅===⋅，解得13k =或23k =，则12PF BF =或2PFBF=.17.已知函数()2(0,1)xf x ax a a =->≠.（1）若e a =，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 有2个零点，试比较ln a 与12e的大小关系.【答案】（1）10x y -+=（2）1ln 2ea <【解析】【分析】（1）求出原函数的导数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，根据点斜式方程即可求得切线方程；（2）将函数的零点问题转化为两个函数交点的问题，再通过构造函数并求出其导数来确定极值和最值，结合函数图像分析，得出不等式，从而解决问题.【小问1详解】当()()22e,e,2e 1xx a f x x f x ='==--，所以()01f '=，又()01f =，所以切线方程为1y x -=，即10x y -+=.【小问2详解】函数()f x 有2个零点等价于方程20x a x -=有两个根，即22ln ln ln 2ln ln 2ln xx xax a x x a x a x=⇒=⇒=⇒=有两个根，令()ln x h x x =，则()21ln x h x x -'=，令()21ln 0xh x x'-==e x ⇒=，当()0,e x ∈时，()0h x '>，当()e,x ∞∈+时，()0h x '<，所以()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，所以()max 1()e eh x h ==，当0x →时，()h x ∞→-，当x →+∞时，()0h x →，所以要使得ln 2ln x a x =有两个根，则12ln 0,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即12ln e a 0＜＜，所以1ln 2ea <.18.现有甲､乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小､形状､质地完全相同.（1）若从甲､乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，()*n n ∈N次这样的操作后，记甲盒子中红球的个数为n X .求1X 的分布列与数学期望；（2）现从甲中有放回的抽取()3n n ≥次，每次抽取1球，若抽取次数不超过n 次的情况下，抽取到2次红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第n 次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为()2,3,4,,Y Y n = ，求Y 的数学期望()E Y ，并证明：12(1)9()24n kk k k E Y -=--≤∑.【答案】（1）分布列见解析，()11=E X （2）2112(1)(),22n kn k k k n E Y --=-=+∑证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知1X 的所有可能取值为0,1,2，易求得()()()1110,1,2P X P X P X ===，可得分布列，计算可求数学期望.（2）当Y n <时，()()2111111C,2,3,4,,1,32222k k k k P Y k k n n ---⎛⎫==⨯⨯==-≥ ⎪⎝⎭，当Y n =时，()2311221,3222n n P Y n n --⎛⎫==-+++≥ ⎪⎝⎭ ，利用错位相减法可求231122222n n n S --=+++ ，进而211122(1)()()(),22n n kn k k k k n E Y kP Y k nP Y n ---==-==+==+∑∑利用单调性可证明结论.【小问1详解】由题意可知1X 的所有可能取值为0,1,2，且()()()111111111111110,1,222422222224P X P X P X ==⨯===⨯+⨯===⨯=，1X 的概率分布表如下：1X 012P141214()11110121424E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】当Y n <时，()()2111111C ,2,3,4,,1,32222k k k k P Y k k n n ---⎛⎫==⨯⨯==-≥ ⎪⎝⎭，当Y n =时，()2311221,3222n n P Y n n --⎛⎫==-+++≥ ⎪⎝⎭ ，记231122222n n n S --=+++ ，则3411222222n n n S -=+++ ，两式相减得2311111112214212222222212n n n n n n n n nS ----=+++-=-=-- ，()1111,11222n n n n n n n S P Y n ---∴=-∴==-+=.所以211122(1)()()(),22n n kn k k k k n E Y kP Y k nP Y n ---==-==+==+∑∑，记2112(1)()(3)22n n kn k k k n a E Y n --=-=-=≥∑，则2221(1)2(1)222n n n nn n n a a ++---+-==，当3n ≥时，2(1)202nn --+<，所以1n n a a +<，且394a =，所以12(1)9()24n kk k k E Y -=--≤∑成立.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用错位相减法求出112n n n S -=-，代入得到21(3)2n n n a n -=≥，再计算1n n a a +-得到其单调性即可.19.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点M 与两定点,Q P 的距离的比值(0,1)MQ MPλλλ=>≠是个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为222x y +=，定点分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为12e =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点F 斜率为(0)k k <的直线l 与椭圆C 相交于,B D （点B 在x 轴上方）两点，点,S T 是椭圆C 上异于,BD 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分BTD ∠.①求BT DT的取值范围；②将点,,S F T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若SFT △外接圆的周长为，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）①()1,3BT DT∈；②y =【解析】【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程；方法2，利用定义整理得2222222222011c a a c x y x λλλλ--+++=--，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由MF MAλ=为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）①令直线BD 的方程为：1(0)x my m =+<，与椭圆方程联立，设()()()112212,,,,B x y D x y x x <.则12122269,3434m y y y y m m -+=-=++，再令BF FD λ= ，即12y y λ=-，代入韦达定理得222(1)434m m λλ-=+，可求BT DT 的范围；②由①知，SB TB BF SDTDDF==，由阿波罗尼斯圆定义知，,,S T F 在以,B D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为1C ，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有BF DF r BF DF⋅=-，进而可得r =，利用面积可求m,进而可求直线l 的方程.【小问1详解】方法1：令()M =，且2a c =，解得21c =，22224,3a b a c ∴==-=，椭圆C 的方程为22143x y +=.方法2：设(),M x y，由题意MF MAλ==（常数），整理得：2222222222011c a a c x y x λλλλ--+++=--，故222222220121c a a c λλλλ⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=-⎪-⎩，又12c a =，解得：2,1a c ==.2223b a c ∴=-=，椭圆C 的方程为22143x y +=.方法3：设(),M x y ，则222x y +=.由题意MF MA==MFMA 为常数，2222c c a a +∴=+，又12c a =，解得：224,1a c ==，故2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】①由角平分线定理知：BT BF DTDF=，以下求BF DF的值，令直线BD 的方程为：1(0)x my m =+<，()2222134690143x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩（该方程的Δ0>恒成立），设()()()112212,,,,B x y D x y x x <.则12122269,3434m y y y y m m -+=-=++，再令BF FD λ=，即12y y λ=-，代入韦达定理得()22122222212222661(1)434349934,,3434m m y y y m m m m y y y m m λλλλ⎧⎧+=--=-⎪⎪-⎪⎪++⇒⇒=⎨⎨--+⎪⎪=-=⎪⎪++⎩⎩，由20m >知，22440,343m m ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，2(1)410333λλλ-∴<<⇒<<，又0,m BF DF <>，故1λ>，13λ∴<<，即()1,3BT DT ∈.②由①知，SB TB BF SDTDDF==，由阿波罗尼斯圆定义知，,,S T F 在以,B D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为1C ，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有()2*2BT BN r BF BF DF r DTDNr DFBF DF+⋅==⇒=--，而1122BF x ==-，同理2122DF x =-，由①知，()212122268223434m x x m y y m m +=++=-+=++，()()()2212121212241211134m x x my my m y y m y y m -⋅=+⋅+=+⋅++=+，∴由()*式()()121212211211122422411122222x x x x x x r x x x x ⎛⎫⎛⎫---++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒==⎛⎫---- ⎪⎝⎭22284121643434mm m--⋅+-++=由圆周长公式：2π2rr=⇒=，2125m=⇒=，0,5m m<∴=-，∴直线l的方程为515x y y=-+⇒=+.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及外接圆，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点.第21页/共21页。
安徽省达标名校2018年高考三月大联考数学试卷含解析
安徽省达标名校2018年高考三月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知函数32,1()ln ,1(1)x x xf x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．[e,)+∞3．对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且当1x 时，函数()1f x x =-.若111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则,,a b c 大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<4．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱11B C 上任意一点，则22PM MN +的最小值为（ ）A ．22B 2C 3D ．25．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆6．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC =,则AC =（ ）A ．5B ．5或1C ．5或1D ．57．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5B ．3C ．3D ．3248．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD ．e9．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =（ ） A ．2132AB AC + B ．1124AB AC + C ．1123AB AC +D ．2133AB AC +10．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞11．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 12．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥市2019-2020学年中考第三次大联考数学试卷含解析
安徽省合肥市2019-2020学年中考第三次大联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（）A．4的算术平方根B．4的立方根C．8的算术平方根D．8的立方根2．如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()A．23B．2 C．3 D．63．已知方程x2﹣x﹣2=0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2+x1x2的值为（）A．﹣3 B．1 C．3 D．﹣14．下列方程有实数根的是（）A．420x+=B．221x-=-C．x+2x−1=0D．111 xx x=--5．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．13B．2C2D226．在3-，1-，0，1这四个数中，最小的数是()A．3-B．1-C．0 D．17．下列命题中真命题是（）A．若a2=b2,则a=b B．4的平方根是±2C．两个锐角之和一定是钝角D．相等的两个角是对顶角8．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为»AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（）A．7或22B．7或23C．26或22D．26或239．“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（）A．赛跑中，兔子共休息了50分钟B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C．兔子比乌龟早到达终点10分钟D．乌龟追上兔子用了20分钟10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD和CE是高，∠ACE=45°，点F是AC的中点，AD与FE，CE分别交于点G、H，∠BCE=∠CAD，有下列结论：①图中存在两个等腰直角三角形；②△AHE≌△CBE；③BC•AD=2AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．411．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣312．如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC的长是_____．14．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)．被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为15．如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，四边形ABDE是菱形且C、B、D共线，AD、BE交于点O，连接OC，若BC=3，AC=4，则tan∠OCB=_____16．如图，在△ABC中，AB＝3+3，∠B＝45°，∠C＝105°，点D、E、F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为_____．17．若3，a，4，5的众数是4，则这组数据的平均数是_____．18．按照一定规律排列依次为59111315,1,,,,410131619，…..按此规律，这列数中的第100个数是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知函数y=3x（x＞0）的图象与一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象交于点A（3，n）．（1）求实数a的值；（2）设一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点B，若点C在y轴上，且S△ABC=2S△AOB，求点C 的坐标．20．（6分）如图,已知□ABCD的面积为S，点P、Q时是▱ABCD对角线BD的三等分点，延长AQ、AP，分别交BC，CD于点E，F，连结EF。
蓉城名校联盟2018级高三第三次联考文科数学试卷及答案
C． 3
D． 4
9．已知函数 f (x) Asin(x ) ，其中 A 0， 0 ，直线 y m 与 y f (x) 的图像 3
相交，其中两个相邻交点分别是 M (x1, f (x1))，N (x2 , f (x2 )) ，当 m 2 时， |MN| 取
最大值为 π ，则 f ( ) = 6
为_______．
x 1，x 0
15．已知函数
f
(x)
x2
2x ，x
，若 0
f
( x1 )
f
(x2 ) ，且 x1
x2 ，则 |
x1
x2
| 的最大
值为_______．
高中 2018 级文科数学试题 第 2 页 （共 4 页）
16．已知等比数列{an} 的前 n 项和 Sn 满足 Sn 2n1 m ，数列{bn} 满足bn log2 an ，其中
椭圆 C 上一点，满足 | PF1 PF2 || PF1 PF2 | ，若以点 P 为圆心，r 为半径的圆与圆
F1 ：(x c)2 y 2 4a2 ，圆 F2 ：(x c)2 y 2 a2 都内切，其中 0 r a ，则椭圆 C
的离心率为
A． 1 2
B． 3 4
C． 10 4
D． 15 4
率为
A． 1 4
B． 1 3
C． 1 2
D． 2 3
6．已知数列 {an} 为等比数列，“a6 a5 0”是“数列{an} 为递增数列”的
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．已 知 函 数 f (x) loga (x 1) 1，(a 0 ，a 1) 恒 过 定 点 A ， 过 定 点 A 的 直 线 l ：mx ny 1 与坐标轴的正半轴相交，则 mn 的最大值为
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安徽省2018年名校大联考数学试卷三第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.()32-⨯的结果是（ ）A ．5-B ．1C ．6-D ．62.计算()820x x x ÷≠ 的结果是（ ）A ．4x -B ．4xC ．6x -D ．6x3.下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.将34x x -分解因式，所得结果正确的是（ ）A ．()24x x -B ．()24x x -C ．()22x x - D ．()()22x x x +-5.如图，已知平行线,a b ，一直角三角板如图放置，一个顶点在直线b 上，若170∠=︒，则2∠的大小为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒6.为了解居民用电情况，小陈在小区内随机抽查了30户家庭的月用电量，结果如下表：则这30户家庭的月用电量的众数和中位数分别是（ ）A ．60,60B ．60,50C ．50,60D ．50,707.计算:()()223311a a a ---的结果是（ ） A ．()21a a - B ．31a - C ．11a - D ．31a +8.某公司4月份投入1000万元科研经费，计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司5，6月投放科研经费的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为（ ） A.()2100011000500x +=+B. 21000150()0x +=C.()250011000x +=D. ()1000121000500x +=+ 9.一直角三角形放置在如图所示的平面直角坐标系中，直角顶点C 刚好落在反比例函数8y x=的图象的一支上，两直角边分别交,y x 轴于,A B 两点.当CA CB =时，四边形CAOB 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．10.如图，在ABCD 中，2,1,60AD AB A ==∠=︒，,EF 分别为,BC AD 的中点，点P 是DE 上的一个动点，则PF PA +的最小值为（ ）A D 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11. 2018年中国数字阅读大会上发布的《2017年度中国数字阅读白皮书》显示，2017年我国数字阅读行业市场规模达到152亿，其中“152亿”用科学记数法可表示为 ．12.已知关于x 的一元二次方程()2330ax a x +--=有两个实数根，则a 的取值为 ．13.如图，AB 为O 的直径，D 为AC 的中点，若25CAD ∠=︒，则CAB ∠= ．14.某同学在一张硬纸板的中间画了一条4cm 长的线段AB ，过AB 的中点O 画直线CO ，使60AOC ∠=︒，在直线CO 上取一点P ，作PAB ∆并剪下（纸板足够大），当剪下PAB ∆为直角三角形时，AP 的长为 ．三、解答题 （本大题共9小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 计算:()30112cos3032π-⎛⎫---︒+- ⎪⎝⎭ 16.解不等式组：()5232,53.2x x x x -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩①② 并写出它的所有整数解. 17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求完成下面的问题：（1）以图中的O 为位似中心，将ABC ∆作位似变换且缩小为原来的一半，得到A B C '''∆，再把A B C '''∆绕点B '逆时针旋转90︒得到A B C '''''∆.（2）求点A A A '''→→所经过的路线长.18.观察下列等式：（1）234141-⨯=+；①（2）2542161-⨯=+；②（3）2743361-⨯=+；③根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：()()()241-⨯=+；（2）写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示），并验证其正确性.五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在高度为200m的小山上建有一座电视转播塔，某数学兴趣小组为测量电视转播塔的高度，在山脚的点C处测得山顶B的仰角为30︒（即30BCD∠=︒)，测得塔顶A的仰角为45︒(即45∠=︒)，请根据以上数据求塔高AB.(精确到1m，备用数据 1.732) ACD20.如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，COB PCB∠=∠.2（1）求证:PC是O的切线；（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若8MN MC⋅=，求O的直径.21.某区为了了解初中女生的体育水平，从参加今年中考体育考试的2400名女生的成绩中，随机抽取了部分女生“跑步”和“跳绳”两个科目的成绩(,,,,A B C D E五个等级）进行统计，现提供不完整的统计图，请解答下列问题：（1）请补全“跳绳”科目成绩的条形统计图，估计该区女生“跳绳”科目成绩为A的有多少人？（2）若成绩等级,,,,A B C D E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求样本数据中“跑步”科目含的平均分；（3）已知在抽取样本的考生中，恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人，求这两人两科成绩均为A的概率.22.某厂家生产一种产品，月初需要一次性投资25000元，每生产一件产品需增加投入100元.设月生产量为x (件），销售x件产品所得的总销售额为y(元），y与x的关系如图所示，图象中从点O到点A是拋物线的一部分，且点A是抛物线的顶点，点A后面的部分与x轴平行.（1）求y关于x的函数关系式；（2）设月纯利润为z，求z关于x的函数关系式；（3）当月产量为多少件时，厂家所获利润最大？最大利润为多少元？23.图示为矩形纸片ABCD，P是AB的中点，Q是BC上一动点，将BPQ∆沿PQ折叠，点B 落在点E处，延长QE交AD于点M，连接PM.（1）求证PAM PEM∆≅∆（2）当DQ PQ⊥时，将CQD∆沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处.①求证:PAM DCQ∆∆②若31,sin5AM DMF=∠=，求AB的长.试卷答案一、选择题1-5: CDCDB 6-10: ABABA二、填空题11.101.5210⨯ 12. 0a ≠ 13.40︒ 14. 2或或三、解答题15. 解:原式1821=--8=-16.解：由①得，4x <由②得，1x ≥.∴原不等式组的解集为14x ≤<.∴原不等式组的所有整数解为1，2，3.17.解：（1）如图所示：（2）点A A A '''→→所经过的路线长为22+=.18.解：（1）9，4，64；（2）()()2221421n n n +-=+，验证：左边()222214441441n n n n n n =+-⨯=++-=+， ∵左边=右边.∴等式成立19.解：在Rt BCD ∆中，由tan30BDCD ︒=，得CD ==在Rt ACD ∆中，由tan 45ADCD ︒=，得AD CD ==所以200200 1.732200146AB AD BD m =-==⨯-≈.20.解：（1）证明：∵OA OC =,∴OAC ACO ∠=∠.∴2COB ACO ∠=∠.又∵2COB PCB ∠=∠,∴ACO PCB ∠=∠.∵AB 是O 的直径，∴90ACO OCB ∠+∠=︒.∴90PCB OCB ∠+∠=︒,即OC CP ⊥.∵OC 是O 的半径，∴PC 是O 的切线.（2）连接,MA MB .∵点M 是弧AB 的中点，∴ACM BAM ∠=∠.∵AMC AMN ∠=∠,∴AMCNMA ∆∆. ∴AM MC NM MA=. ∴2AM MC MN =⋅.∵8MC MN ⋅=,∴AM =∵AB 是O 的直径，点M 是弧AB 的中点，∴90,AMB AM BM ∠=︒==.∴4AB =.六、21.解：（1）因为“跑步”科目抽取的样本数为151083440++++=人，样本中“跳绳”科目中成绩为A 的人数有401515613----=人， 可以估计该区女生“跳绳”测试成绩为A 的有3240018040⨯=人.（2）样本中考生“跑步”科目的平均分为182431541053 2.940⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分 （3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ， 所以还有2人只有一个科目得分为A设这4人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），一共有6种.即16P =. 22.解：（1）21400,0400,280000,400.x x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪>⎩（2）25000100z y x =--2130025000,0400,210055000,400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩ （3）当0400x ≤≤时，()2211300250003002000022z x x x =-+-=--+ 所以，当300x =时，20000z =最大(元）答：当月产量为300台时，利润最大，最大利润为20000元.23.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90A B ∠=∠=︒，根据折叠的性质可知：,90PE PB PEM B =∠=∠=︒ ∵P 点为AB 中点，∴PA PB PE ==又∵PM PM =∴PAM PEM ∆≅∆.（2）①证明：由（1）知PAM PEM ∆≅∆，∴APM EPM ∠=∠，根据折叠的性质可知：EPQ BPQ ∠=∠，∴90APM BPQ EPM EPQ ∠+∠=∠+∠=︒，∵90APM AMP ∠+∠=︒，∴BPQ AMP ∠=∠，∵90,B DQ PQ ∠=︒⊥，∴90BPQ PQB ∠+∠=︒,18090BPQ DQC PQD ∠+∠=︒-∠=︒， ∴BPQ DQC ∠=∠，∴AMP DQC ∠=∠，又∵90A C ∠=∠=︒，∴AMP CQD ∆∆.②设AP x =，则,2BP AP x AB DC x ====， ∵由①知BPQ AMP ∠=∠,90A B ∠=∠=︒，∴AMPBPQ ∆∆ ， ∴AM AP BP BQ=，即2BQ x =. 由AMP CQD ∆∆得，AP AM CD CQ=，即2CQ =. 22AD BC BQ CQ x ==+=+，又∵在Rt FDM ∆中，3sin ,25DMF DF DC x ∠===， ∴223215x x =+-变形得，23100x x -=， 解方程得，1213,3x x ==，(不合题意，舍去） ∴26AB x ==.。