高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (15)(含解析)
人教版高中数学必修一第三章《函数概念与性质》解答题(含解析)
人教版高中数学必修一第三章《函数概念与性质》解答题1.设函数y=ax2+(b−2)x+3．(1)若不等式y>0的解集为{x|−1<x<3}，求a，b的值；(2)若x=1时，y=2，a>0，b>−1，求1a +4b+1的最小值；(3)若b=−a，求不等式y≤1的解集．2.已知y=ax2+(b+1)x−3x−1(x≠1)．(1)当a=1，b=2时，求y的取值范围；(2)当a=0时，求y<1时x的取值范围．3.已知函数f(x)=(m+1)x2−mx+m−1(m∈R).(1)若不等式f(x)<0的解集为⌀，求m的取值范围；(2)当m>−2时，解不等式f(x)≥m；(3)若不等式f(x)≥0的解集为D，且[−1,1]⊆D，求m的取值范围．4.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+2,a∈R．(1)当a>0时，求不等式f(x)≥0的解集；+1有2个不同的正实根，求实数a的取值范围．(2)若存在m>0使关于x的方程f(x)=m+1m5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c．(1)若方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,−1).求f(x)≤0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−2,1)．(ⅰ)求解关于x的不等式cx2+bx+a>0;,(x<1)，求函数g(x)的最大值．(ⅰ)设函数g(x)=b(x2+1)−ca(x−1)6.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c．(1)若方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,−1).求f(x)≤0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−2,1)．(ⅰ)求解关于x的不等式cx2+bx+a>0;,(x<1)，求函数g(x)的最大值．(ⅰ)设函数g(x)=b(x2+1)−ca(x−1)7.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业)结构，调整出x(x∈N∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a−3x500万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？8.已知f(x)=2x2+ax+b过点(0,−1)，且满足f(−1)=f(2)(1)求f(x)的解析式(2)若f(x)在[m,m+2]上的值域为[−32,3]，求m的值(3)若f(x0)=x0，则称x0为y=f(x)的不动点，函数g(x)=f(x)−ax+a有两个不相等的不动点x1，x2，且x1，x2>0，求x1x2+x2x1的最小值9.经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/ℎ)与汽车的平均速度v(km/ℎ)之间的函数关系为：y=920vv+3v+1600(v>0)，(1)若要求在该时段内车流量超过10千辆/ℎ，则汽车的平均速度应在什么范围之内？(2)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/ℎ)10.(Ⅰ)已知a>0，b>0，且a+b=2，求证：a4+b4≥2；(Ⅱ)已知a>0，b>0，c>0，求a3+b3+c3+(1a +1b+1c)3的最小值，并写出取最小值时a，b，c的值．11.已知不等式ax2−3x+2<0的解集为A={x|1<x<b}．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)=(2a+b)x−1(a−b)(x−1)(x∈A)的最小值．12.函数f(x)=x2+ax+3．(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[−2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．13.已知f(x)=x|x−a|+2x，x∈R(1)若a=2，求f(x)在[0,3]上的最大值；(2)若a>2，求f(x)的单调区间；(3)若存在a∈[−2,4]，使得方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．14.现对一块边长8米的正方形场地ABCD进行改造，点E为线段BC的中点，点F在线段CD或AD上(异于A，C)，设(米)，的面积记为(平方米)，其余部分面积记为(平方米)．(1)当(米)时，求的值；(2)求函数的最大值；(3)该场地中部分改造费用为(万元)，其余部分改造费用为(万元)，记总的改造费用为W(万元)，求W取最小值时x的值．15.某市近郊有一块400m×400m正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建造一个总面积为3000m2的矩形场地(如图所示).图中，阴影部分是宽度为2m的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小矩形场地形状、大小相同)，塑胶运动场地总面积为S m2．(1)求S关于x的函数关系式，并给出定义域；(2)当x为何值时S取得最大值，并求最大值．16.某建筑队在一块长AM=30米，宽AN=20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米．(1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？17.已知二次函数y=ax2+bx−a+2．(1)若关于x的不等式ax2+bx−a+2>0的解集是{x|−1<x<3}，求实数a，b的值；(2)若b=2，a>0，解关于x的不等式ax2+bx−a+2>0．18.某游泳馆要建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价分别是120元/平方米和80元/平方米，设底面一边的长为x米．(1)求总造价y(元)关于底面一边长x(米)的函数解析式；(2)当x为何值时，总造价最低，最低造价为多少元？19.已知实数x>0，y>0．(1)若x+y+xy=3，求2xy的最大值与x+y的最小值；(2)若x>y，求xy2x−y +xy+1y2的最小值．20.已知函数f(x)=ax2+2x+c的最低点为(−1,−2)(1)求不等式f(x)>7的解集；(2)若对任意x∈[2,4]，不等式f(x−t)≤x−2恒成立，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：(1)∵不等式ax 2+(b −2)x +3>0的解集为{x|−1<x <3}，∴−1和3是方程ax 2+(b −2)x +3=0的两个实根， 从而有{−b−2a =23a=−3，解得{a =−1b =4；(2)∵2=a +b −2+3，∴a +b +1=2， 又a >0，b >−1，所以1a +4b+1=12(1a +4b+1)(a +b +1)=12(5+b+1a+4ab+1)≥12(5+2√b+1a·4a b+1)=92，当且仅当{b+1a =4ab+1,a +b +1=2,即{a =23,b =13时等号成立，所以1a +4b+1的最小值为92．(3)因为b =−a ，可得y =ax 2−(a +2)x +3≤1， 即可得ax 2−(a +2)x +2≤0，即(x −1)(ax −2)≤0， ①当a =0时，不等式即为−2x +3≤1，解得[1,+∞)；②当a <0时，方程(x −1)(ax −2)=0的根x 1=1，x 2=2a <0， 故不等式的解集为(−∞,2a ]∪[1,+∞);③当a >0时，方程(x −1)(ax −2)=0的根x 1=1，x 2=2a >0， (a)当a =2，即2a =1时，即可得{1}； (b)当a >2，即2a <1时，即可得[2a ,1]； (c)当a <2，即2a <1时，即可得[1,2a ]；综上所得，当a =0时，不等式y ≤1的解集为[1,+∞)； 当a <0时，不等式y ≤1的解集为(−∞,2a ]∪[1,+∞)； 当0<a <2时，不等式y ≤1的解集为[1,2a ]； 当a =2时，不等式y ≤1的解集为{1}；当a>2时，不等式y≤1的解集为[2a,1]．解析：本题考查一元二次不等式解集与相应一元二次方程根的关系，考查利用基本不等式求最值的应用，属于中档题．(1)由题可知−1和3是方程ax2+(b−2)x+3=0的两个实根，将−1和3代入方程即可得到关于a，b的方程组，求解即可得到a，b的值；(2)由题a+b+1=2，a>0，b>1可得1a +4b+1=12(1a+4b+1)(a+b+1)=12(5+b+1a+4ab+1)，利用基本不等式即可求解1a +4b+1的最小值．(3)将不等式化简然后对a的值进行分类讨论进行求解即可得．2.答案：解：(1)∵当a=1，b=2时，y=x2+3x−3x−1=x−1+1x−1+5(x≠1).①当x>1时，x−1>0.y=x2+3x−3x−1=x−1+1x−1+5≥2+5=7，当且仅当x=2时取等号．②当x<1时，x−1<0，1−x>0．y=x−1+1x−1+5=5−[(1−x)+11−x]≤−2+5=3，当且仅当x=0时取等号．∴y的取值范围为{y|y≤3或y≥7}．(2)∵当a=0时，y=(b+1)x−3x−1，∴由y<1得：bx−2x−1<0⇒(bx−2)(x−1)<0．①当b=0时，解集为{x|x>1}；②当b<0时，解集为{x|x>1或x<2b}；③当2b=1，即b=2时，解集为空集；④当2b >1，即0<b<2时，解集为{x|1<x<2b}；⑤当0<2b <1，即b>2时，解集为{x|2b<x<1}．解析：(1)当a =1，b =2时，y =x 2+3x−3x−1=x −1+1x−1+5(x ≠1)讨论x >1和x <1利用基本不等式求解．(2)因为当a =0时y =(b+1)x−3x−1，下面解分式不等式(b+1)x−3x−1<1，要注意作等价变形，还有对b 的取值分类讨论．3.答案：解：(1)①m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2<0解集不是空集，舍去，②m +1≠0时，即m ≠−1时，{m +1>0Δ=m 2−4(m +1)(m −1)≤0, 即{m >−13m 2−4⩾0,∴{m >−1m ⩽−2√33或m ⩾2√33, 解得m ≥23√3，∴m 的取值范围是[23√3,+∞)；(2)∵f(x)≥m ，化简得：[(m +1)x +1](x −1)≥0， ①m +1=0时，即m =−1时，解集为{x|x ≥1}， ②m +1>0时，即m >−1时，(x +1m+1)(x −1)≥0， ∴−1m+1<0<1，解集为{x|x ≤−1m+1或x ≥1}，③m +1<0时，即−2<m <−1时，(x +1m+1)(x −1)≤0， ∵−2<m <−1，∴−1<m +1<0，∴−1m+1>1， ∴解集为{x|1≤x ≤−1m+1}；(3)由题意得，(m +1)x 2−mx +m −1≥0对于任意x ∈[−1,1]恒成立， 整理得：m(x 2−x +1)≥1−x 2，∵x 2−x +1=(x −12)2+34>0恒成立，∴得m ≥−x 2+1x 2−x+1=−1+2−xx 2−x+1对于任意x ∈[−1,1]恒成立，设t =2−x,t ∈[1,3]，则x =2−t ， ∴2−xx 2−x+1=t(2−t)2−(2−t)+1=tt 2−3t+3=1t+3t−3≤2√3−3=2√3+33，当且仅当t =3t ，即t =√3，x =2−√3时取等号， 此时−1+2−x x 2−x+1≤2√33， ∵m ⩾−1+2−xx 2−x+1对于任意x ∈[−1,1]恒成立，∴m 的取值范围是m ≥2√33．解析：本题考查了一元二次不等式的解法和利用基本不等式求最值等内容，是中档题． (1)分m +1=0与m +1≠0两种情况求解即可；(2)对不等式化简得[(m +1)x +1](x −1)≥0，分m +1=0、m +1>0和m +1<0三种情况讨论即可；(3)由题意得，(m +1)x 2−mx +m −1≥0对于任意x ∈[−1,1]恒成立，得m ≥1−x 2x −x+1对于任意x ∈[−1,1]恒成立，设t =2−x,t ∈[1,3]，由基本不等式即可得出结果．4.答案：解：(1)由题意，f(x)=ax 2−(a +2)x +2≥0，即(ax −2)(x −1)≥0，因为a >0，所以解方程(ax −2)(x −1)=0得x 1=2a ,x 2=1， ①当2a >1时，即当0<a <2时，解不等式(ax −2)(x −1)≥0，得x ≤1或x ≥2a ， 此时不等式f(x)≥0的解集为{x|x ≤1或x ≥2a }；②当2a=1时，即a=2时，解不等式(ax−2)(x−1)≥0，得x∈R，此时不等式f(x)≥0的解集为R；③当2a <1时，即当a>2时，解不等式(ax−2)(x−1)≥0，得x≥1或x≤2a，此时不等式f(x)≥0的解集为{x|x≥1或x≤2a}；综上，当0<a<2时，不等式f(x)≥0的解集为{x|x≤1或x≥2a}；当a=2时，不等式f(x)≥0的解集为R；当a>2时，不等式f(x)≥0的解集为{x|x≥1或x≤2a};(2)当m>0时，令t=m+1m +1≥2√m×1m+1=3，当且仅当m=1时取等号，则关于x的方程f(x)=t可化为ax2−(a+2)x+2−t=0，关于x的方程ax2−(a+2)x+2−t=0有两个不同正根，则{△=(a+2)2−4a(2−t)>0(1) a+2a>0(2)2−ta>0(3)，由(1)知：存在t∈[3,+∞)使不等式4at+(a+2)2−8a>0成立，故4a×3+(a+2)2−8a>0，即a2+8a+4>0，解得a<−4−2√3或a>−4+2√3，由(2)(3)式可得a<−2，故实数a的取值范围是(−∞,−4−2√3).解析：本题考查含参不等式的求解，考查函数的零点个数问题，在求解含参不等式时，找出分类讨论的基本依据，在求解二次函数的零点问题时，应结合图形找出等价条件，通过列不等式组来求解，考查分类讨论数学思想以及转化与化归数学思想，属于中档题．(1)解不等式ax 2−(a +2)x +2⩾0，即(ax −2)(x −1)⩾0，然后就2a 与1的大小进行分类讨论，求出该不等式的解集，(2)t =m +1m +1⩾3，将问题转化为：关于x 的方程ax 2−(a +2)x +2−t =0有两个不同的正根，得出Δ>0，两根之和为正、两根之积为正，列出不等式组可解出实数a 的取值范围．5.答案：(1)由题意可得{−ba =4c a =3f(2)=4a +2b +c =−1,解得{a =1b =−4c =3,∴f (x )=x 2−4x +3,解不等式f (x )≤0，即x 2−4x +3≤0， 即(x −1)(x −3)≤0，解得1≤x ≤3， 因此，不等式f (x )≤0的解集为{x |1≤x ≤3}； (2)(ⅰ)由题意可知{a <0−ba =−1ca=−2,所以cx 2+bx +a >0可化为ca x 2+ba x +1<0，即−2x 2+x +1<0，得2x 2−x −1>0，解得x <−12或x >1， 所求不等式的解集为(ⅰ)由(ⅰ)可知g(x)=b(x 2+1)−c a(x −1)=a(x 2+1)+2aa(x −1) =x 2+3x −1=(x −1)2+2(x −1)+4x −1=−[(1−x)+(41−x)]+2因为x <1,所以1−x >0， 所以(1−x)+(41−x )⩾4，当且仅当1−x =41−x ，即x =−1时取等号， 所以−[(1−x)+(41−x )]⩽−4，−[(1−x)+(41−x )]+2⩽−2， 所以当x =−1时，g(x)max =−2.解析：本题考查了一元二次不等式的解法，基本不等式的运用，二次函数解析式和最值，属于中档题．(1)由方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，可解得f(x)的解析式，由一元二次不等式的解法可得f(x)≤0的解集；(2)(i)由题意可知{a <0−b a =−1ca =−2，则由a ，b ，c 的关系式转化原不等式cx 2+bx +a >0后可解得答案； (ii)由(i)可知g(x)=(x−1)2+2(x−1)+4x−1=−[(1−x)+(41−x )]+2 ，由基本不等式可得g(x)的最大值．6.答案：(1)由题意可得{−ba=4ca=3f(2)=4a +2b +c =−1,解得{a =1b =−4c =3,∴f (x )=x 2−4x +3,解不等式f (x )≤0，即x 2−4x +3≤0， 即(x −1)(x −3)≤0，解得1≤x ≤3， 因此，不等式f (x )≤0的解集为{x |1≤x ≤3}； (2)(ⅰ)由题意可知{a <0−b a =−1ca=−2, 所以cx 2+bx +a >0可化为c a x 2+ba x +1<0，即−2x 2+x +1<0，得2x 2−x −1>0，解得x <−12或x >1， 所求不等式的解集为(ⅰ)由(ⅰ)可知g(x)=b(x 2+1)−c a(x −1)=a(x 2+1)+2aa(x −1) =x 2+3x −1=(x −1)2+2(x −1)+4x −1=−[(1−x)+(41−x )]+2 因为x <1,所以1−x >0， 所以(1−x)+(41−x )⩾4，当且仅当1−x =41−x ，即x =−1时取等号， 所以−[(1−x)+(41−x )]⩽−4， −[(1−x)+(41−x )]+2⩽−2， 所以当x =−1时，g(x)max =−2.解析：本题考查了一元二次不等式的解法，基本不等式的运用，二次函数解析式和最值，属于中档题．(1)由方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，可解得f(x)的解析式，由一元二次不等式的解法可得f(x)≤0的解集；(2)(i)由题意可知{a <0−b a =−1ca =−2，则由a ，b ，c 的关系式转化原不等式cx 2+bx +a >0后可解得答案； (ii)由(i)可知g(x)=(x−1)2+2(x−1)+4x−1=−[(1−x)+(41−x)]+2 ，由基本不等式可得g(x)的最大值．7.答案：解：(1)由题意，得10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，即x 2−500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500． 即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a −3x500)x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元， 则10(a −3x500)x ≤10(1000−x)(1+1500x)， 所以ax −3x 2500≤1000+2x −x −1500x 2， 所以ax ≤2x 2500+1000+x ，即a ≤2x500+1000x+1在x ∈(0,500]时恒成立．因为2x500+1000x ≥2√2=4，当且仅当2x500=1000x，即x =500时等号成立，所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5． 所以a 的取值范围为(0,5]．解析：本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．(1)根据题意可列出10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，进而解不等式求得x 的范围，确定问题的答案．(2)根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a 的范围．8.答案：解：(1)由题设f(0)=−1，得b =−1，由f(−1)=f(2)，对称轴为x =−a4=−1+22，则a =−2，∴f(x)=2x 2−2x −1(2)由题，f (12)=−32，令f(t)=3，解得t =−1或t =2． ∵f(x)在[m,m +2]上的值域为[−32,3]，∴m =−1时，在[−1,1]上值域满足题意．m +2=2，即m =0时，在[0,2]上的值域满足题意． ∴m =0或−1．(3)等价于2x 2−(a +3)x +a −1=0有两个正实数根x 1，x 2，∴{△=(a +3)2−8(a −1)⩾0x 1+x 2=a +32>0x 1x 2=a −12>0⇒a >1, 则x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=(a+32)2a−12−2=12[(a −1)+16a−1]+2⩾2+12⋅2√(a −1)⋅16a −1=6当且仅当a =5时取等号，故x 2x 1+x1x 2的最小值为6．解析：本题考查利用待定系数法求解函数的解析式，给定函数的值域，求解参数的范围，以及均值不等式的应用，综合性强，难度较大．(1)由f(x)=2x 2+ax +b 过点(0,−1)，得b =−1，再由f(−1)=f(2)，可求a ，由此可得结论； (2)由f(x)min =f (12)=−32，再求出f(t)=3时的t =−1或t =2，由题知m 只能m =−1或m +2=2，解出此时的m 的值，再检验，可得结论；(3)先求出g(x)有两个不相等的不动点的条件a >1，在将x 1x 2+x 2x 1表示为x 2x 1+x 1x 2=12[(a −1)+16a−1]+2，利用基本不等式可得结论．9.答案：解：(1)由条件得920vv 2+3v+1600>10，整理得v 2−89v +1600<0，即(v −25)(v −64)<0.解得25<v <64． (2)依题意，y =9203+(v+1600v)≤3+2√1600=92083，当且仅当v =1600v ，即v =40时，上式等号成立，所以ymax =92083≈11.1(千辆/时)．∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/ℎ且小于64km/ℎ.当v =40km/ℎ时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．解析：(1)某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为：y =920v v 2+3v+1600(v >0)可得，在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，920vv 2+3v+1600>10，解不等式即可求出v 的范围．(2)根据基本不等式性质可知9203+(v+1600v)≤3+2√1600，进而求得y 的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．10.答案：解：证明：(Ⅰ)∵a >0,b >0，a 4+b 4≥(a 2+b 2)22≥12[(a+b)22]2=12×4=2.(当且仅当a =b 时等号成立)(Ⅱ)a >0,b >0,c >0，∴a 3+b 3+c 3+(1a+1b+1c)3⩾3√a 3b 3c 33+(3√1abc3)3⩾2√3√a 3b 3c 33⋅(3√1abc3)3=18， 当且仅当a =b =c =√33时，原式取最小值18.解析：该题主要考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求最值，考查了学生的运用与计算能力． (Ⅰ)根据已知条件a >0，b >0，利用基本不等式证明：a 4+b 4⩾2．(Ⅱ)根据已知条件知a >0，b >0，c >0，利用基本不等式求最值方法写出取最小值时a ，b ，c 的值．11.答案：解：(1)不等式ax 2−3x +2<0的解集为A ={x|1<x <b}，所以1和b 是方程ax 2−3x +2=0的两根， 则{a −3+2=0ab 2−3b +2=0, 解得a =1，b =2；(2)由(1)得f (x )=4x +1x−1=4(x −1)+1x−1+4≥8， 当且仅当4(x −1)=1x−1，取等号， 即x =32∈A 时，函数f(x)有最小值8．解析：本题考查一元二次不等式的解集与方程的根的关系，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题．(1)利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，即可求出结果； (2)将a 、b 的值代入，利用基本不等式求解即可得最小值．12.答案：(1)[−6,2]；(2)[−7,2]；解：(1)∵x∈R时，f(x)≥a，即x2+ax+3−a≥0恒成立，∴Δ=a2−4(3−a)≤0，∴a2+4a−12≤0，∴−6≤a≤2.所以a的取值范围是[−6,2]．(2)∵x∈[−2,2]时，f(x)≥a恒成立，∴只需f(x)min≥a，x∈[−2,2]．f(x)的对称轴为x=−a2，分类：①−a2≤−2即a≥4时，f(x)min=f(−2)=7−2a≥a，∴a≤73(舍去)；②−2<−a2<2即−4<a<4．则f(x)min=f(−a2)=3−a24≥a；∴a2+4a−12≤0，∴−6≤a≤2，∴−4<a≤2；③−a2≥2即a≤−4时，f(x)min=f(2)=7+2a≥a，∴a≥−7，∴−7≤a≤−4．综合①②③知，a的取值范围为[−7,2]．解析：本题考查一元二次不等式恒成立的问题。
高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (6)(含解析)
高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (6)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.若定义在[−2,2]上的奇函数f(x)满足当x∈(0,2]时，f(x)=3x．9x+1(1)求f(x)在[−2,2]上的解析式；(2)判断f(x)在(0,2)上的单调性，并给予证明；(3)当λ为何值时，关于方程f(x)=λ在x∈[−2,2]上有实数解？2.已知函数f(x)=log a(ax2−x)．(1)若a=1，求f(x)的单调区间；2(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围．3.若非零函数f(x)对任意实数x，y均有f(x)⋅f(y)=f(x+y)，且当x<0时f(x)>1．(1)求证：f(x)>0；(2)求证：f(x)为R上的减函数；(3)当f(4)=116时，对a∈[−1,1]时恒有f(x2−2ax+2)≤14，求实数x的取值范围．4.已知函数f(x)=−3x+13x+1+3．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若不等式f(3x−1)+f(k·3x+1+3k)>0在区间[0,+∞)上有解，求实数k的取值范围．5.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=2，任取a，b∈[−1,1]，a+b≠0，都有f(a)+f(b)a+b> 0成立．(1)判断并证明函数f(x)在[−1,1]上是单调性．(2)解不等式f(x)<f(x 2).(3)若对任意x ∈[−1,1]，函数f(x)≤2m 2−2am +3对所有的a ∈[0,32]恒成立，求m 的取值范围．6. 函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且对一切x >0，y >0都有f(x)+f(y)=f(xy)，当x >1时，有f(x)>0．(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性并加以证明;(3)若f(4)=2，求f(x)在[1,16]上的值域．7. 已知函数f(x)=4+m(13)x +(19)x ．(1)当m =−2,x ∈(−∞,0)时，求函数f(x)的值域；(2)若对任意x∈[0,+∞),总有f(x)≤6成立，求实数m的取值范围．8.已知函数f(x)=log2(2x+1)+kx(k∈R)．(1)当k=0时，用定义证明函数f(x)在定义域上的单调性;(2)若函数f(x)是偶函数，(i)求k的值;(ii)设g(x)=log2(a⋅2x−12a)+12x(a∈R)，若方程f(x)=g(x)只有一个解，求a的取值范围．9.已知函数f(x)=a x−a+1(a>0，且a≠1)恒过定点(12,2)(1)求实数a．(2)若函数g(x)=f(x+0.5)−1，若函数F(x)=g(2x)−mg(x−1)，求F(x)在[−1,0]的最小值ℎ(m)．10.已知函数f(x)=x2+2|x−a|−4，(其中a为常数)(1)若a=2，写出函数f(x)的单调递增区间(不需写过程)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并给出理由；(3)当a>0时，若对任意实数x，不等式f(x)≥−1恒成立，求正实数a的取值范围．11.已知函数f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，且f(x)+g(x)=log4(4x+1)．(1)求f(x)，g(x)的解析式；log2(a⋅2x+2√2a)(a>0)在R上只有一个零点，求实数a的取值范(2)若函数ℎ(x)=f(x)−12围．⋅2x+1−6，其中x∈[0,3]，12.已知函数f(x)=22x−52(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若实数a满足：f(x)−a≥0恒成立，求a的取值范围．13.宝应某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x(万件)之间满足关系：(其中m为小于12的正常数)已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.(注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)(1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润⋅14.已知函数y=φ(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是φ(a+x)+φ(a−x)=2b，给定函数f(x)=x−6．x+1(1)求函数f(x)图象的对称中心；(2)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性(只写出结论即可)；(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，g(x)=x2−mx+m.若对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得g(x1)=f(x2)，求实数m的取值范围．15.已知函数f(x)=x2+2|x−a|−4，(其中a为常数)(1)若a=2，写出函数f(x)的单调递增区间(不需写过程)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并给出理由；(3)若对任意实数x，不等式f(x)≥−1恒成立，求实数a的取值范围．。
高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (33)(含解析)
高中数学人教A 版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (33)一、解答题（本大题共29小题，共348.0分）1. “十三五”规划确定了到2020年消除贫困的宏伟目标，打响了精准扶贫的攻坚战，为完成脱贫任务，某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工．已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x 千件且能全部销售完，每千件的销售收入为g (x )万元，已知g (x )={13.5−130x 2(0<x ≤10)168x−20003x 2(x >10)． (1)请写出月利润y(万元)关于月产量x(千件)的函数解析式；(2)月产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润．2. 在函数定义域内，若存在区间[m,n]，使得函数值域为[m +φ,n +φ]，则称此函数为“φ档类正方形函数”，已知函数f (x )=log 3[2k ⋅9x −(k −1)3x +k +2]．(1)当k =0时，求函数y =f(x)的值域；(2)若函数y =f(x)的最大值是1，求实数k 的值；(3)当x >0时，是否存在k ∈(0,1)，使得函数f(x)为“1档类正方形函数”⋅若存在，求出实数k 的取值范围，若不存在，请说明理由．3. 已知：函数g(x)=ax 2−2ax +1+b(a ≠0,b <1)，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)x ．(1)求a ，b 的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−1,1]时恒成立，求实数k 的取值范围；(3)如果关于x 的方程f(|2x −1|)+t ⋅(4|2x −1|−3)=0有三个相异的实数根，求实数t 的取值范围．4. 定义在(−1,1)上的函数f(x)满足：对任意的x ，y ∈(−1,1)，都有：f(x)+f(y)=f(x+y 1+xy )．(1)求证：函数f(x)是奇函数;(2)若当x ∈(−1,0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(−1,1)上是减函数;(3)若f(12)=−1,f(x)⩽t 2−2at +1对所有x ∈[−12,12],a ∈[−1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．5.二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[−1,1]时，不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范围．(3)设函数f(x)在区间[a,a+1]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．6.已知函数f(x)=2a x+a−4(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数．2a x+a(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈(0,1]时，t·f(x)≥2 x−2恒成立，求实数t的取值范围．7.已知函数f(x)=(t−1)⋅13x+3x(x∈R)为偶函数.(1)求实数t的值；(2)求不等式f(2x)<103的解集；(3)若不等式f(2x)+4<mf(x)有实数解，求实数m的取值范围.8.2020年是我国全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年。
高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (30)(含解析)
高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (30)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.如果函数y=f(x)的定义域为R，且存在实数a，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(−x)成立，那么称此函数f(x)具有“性质P(a)”．(1)判断函数y=|x+1|是否具有“性质P(a)”，若具有“性质P(a)”，求出所有实数a的取值集合;若不具有“性质P(a)”，请说明理由;(2)已知函数y=f(x)具有“性质P(0)”，且当x≤0时，f(x)=(x+m)2，求函数y=f(x)在区间[0,1]上的值域．2.已知函数f(x)=x−4x，x∈[1,2]．(1)求函数y=f(x)的值域;(2)设F(x)=x2+16x2−2a(x−4x)，x∈[1,2]，a∈R，求函数y=F(x)的最小值g(a)．(3)对(2)中的g(a)，若不等式g(a)>−2a2+at+4对于任意的a∈(−3,0)时恒成立，求实数t 的取值范围．3.已知函数f(x)=x|2a−x|+2x，a∈R，(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若存在实数a∈[−2,2]，使得关于x的方程f(x)−tf(2a)=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．4.已知奇函数f(x)=a⋅3x+a−2(−1≤x≤1)，函数g(x)=−[f(x)]2+4mf(x)−1的最大值为ℎ(m)．3x+1(1)求实数a的值；(2)求ℎ(m)；(3)令φ(m)=ℎ(m)+1，若存在实数α，β，当函数φ(m)的定义域为[α,β]时，值域也为[α,β]，求实数α，β的值．5. 函数f (x )(x ∈R )满足：对于任意实数x ，y ，都有f (x +y )=f (x )+f (y )+12恒成立，且当x >0时，f (x )>−12恒成立．(1)求f (0)的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并加以证明；(3)若方程F (x )=f (max {−x,2x −x 2})+f (−k )+1=0，其中max {a,b }={a (a ≥b )b (a <b )有三个实根x 1，x 2，x 3，求u =(x 1+x 2+x 3)+x 1⋅x 2⋅x 3的取值范围．6. 对于定义域为I 的函数，如果存在区间[m,n]⊆I ，同时满足下列条件：①函数f(x)在区间[m,n]上是单调的；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n]．则称[m,n]是函数y =f(x)的一个“和谐区间”．(1)写出函数f(x)=12x 2(x ≥0)的一个“和谐区间”(不需要解答过程)；(2)证明：函数g(x)=4−5x 不存在“和谐区间”；(3)已知：函数ℎ(x)=(a 2+a)x−4a 2x (a ∈R,a ≠0)有“和谐区间”[m,n]，当a 变化时，求出n −m 的最大值．7.已知函数f(x)=|x2−1|+x2−kx．(Ⅰ)讨论函数f(x)的奇偶性；(Ⅱ)若函数f(x)在[0,2]有两个不同的零点x1，x2，证明：1x1+1x2>2；(Ⅲ)设k>0，若对任意x1，x2∈[0,2]都有|f(x1)−f(x2)|≤6，求k的取值范围．8.f(x)=−x|x−a|+a2,a∈R.(1)若f(x)为奇函数，求a的取值范围．(2)当a>0时，A={y|y=f(x),x∈[a2,a]}，B={y|y=f(f(x)),x∈[a2,a]}.若A=B，求a的值．9.已知函数f(x)=1−4x1+4x +log31−x1+x．(1)求f(log20212020)+f(log202112020)的值；(2)若对于区间[−12,12]内的每一个x，都有f(x)>4x+m恒成立，求实数m的范围．10.设函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使得f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的一个“不动点”，也称f(x)在定义域D上存在不动点．已知函数f(x)=log2(4x−a⋅2x+1+2)．(1)若a=1，求f(x)的不动点；(2)若函数f(x)在区间[0,1]上存在不动点，求实数a的取值范围；(3)设函数g(x)=2−x，若∀x1,x2∈[−1,0]，都有|f(x1)−g(x2)|≤2成立，求实数a的取值范围．11.若定义在R上的函数f(x)满足：∀x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1成立，且当x>0时，f(x)>−1．(1)求证：f(x)+1为奇函数；(2)求证：f(x)为R上的增函数；(3)若f(1)=1，且∀x≥0,∀y≥0，f[x2−m(2xy+y2)+4m2y2+4]≥7恒成立，求实数m的取值范围．12.设函数f(x)=a x−(k+2)a−x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)求实数k的值；(2)若f(1)=3，g(x)=a2x+a−2x−2mf(x)，且g(x)在[1,+∞)上的最小值为1，求实数m的2值．13.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)，且f(3)=6，(1)求f(0)，f(1)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；,3]都有f(kx2)+f(2x−1)<0成立，求实数k的取值范围．(3)若对于任意x∈[1214.已知二次函数f(x)=ax2+bx+4，其中a，b∈R，且f(x)满足：f(x+1)−f(x)=32x−94．(1)求二次函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)的定义域为A=[m,n]，其中0<m<n，问是否存在这样的两个实数m，n，使得函数f(x)的值域也为A？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由；(3)若对于∀x1∈[0,3]，总∃x2∈[1,2]，使得f(x1)<−5x2+−1，求实数a的取值范围．15.已知函数f(x)=x2+2mx−6在区间[−1,2]上是单调函数．(1)求实数m的所有取值组成的集合A；(2)试写出f(x)在区间[−1,2]上的最大值g(m)；(3)设ℎ(x)=x+1，令F(m)={g(m),m∈Aℎ(m),m∈∁R A，若对任意m1,m2∈[−72,a]，总有|F(m1)−F(m2)|≤a+3，求a的取值范围．。
高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (20)(含解析)
高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (20)一、解答题（本大题共28小题，共336.0分）1.已知函数ℎ(x)=x+1x．(1)直接写出ℎ(x)在[12,2]上的单调区间(无需证明)；(2)求ℎ(x)在[12,a] (a>12)上的最大值；(3)设函数f(x)的定义域为I，若存在区间A⊆I，满足：∀x1∈A，∃x2∈∁U A，使得f(x1)=f(x2)，则称区间A为f(x)的“Γ区间”.已知f(x)=x+1x (x∈[12,2])，若A=[12,b)是函数f(x)的“Γ区间”，求实数b的最大值．2.已知函数f(x)=x2+(m−2)x−m，g(x)=f(x)x，且函数y=f(x−2)是偶函数．(1)求g(x)的解析式；．(2)若不等式g(sinx)−nsinx ≤0在(0,π2]恒成立，求实数n的取值范围；(3)若函数y=g(log2(x2+4))+k⋅2log2(x2+4)−9恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点．3.已知幂函数f(x)=(m2−m−1)·x−2m−1在(0,+∞)上单调递增，又函数g(x)=2x+m．2x(1)求实数m的值，并说明函数g(x)的单调性；(2)若不等式g(1−3t)+g(1+t)≥0恒成立，求实数t的取值范围．4.若定义在[−2,2]上的奇函数f(x)满足当x∈(0,2]时，f(x)=3x．9x+1(1)求f(x)在[−2,2]上的解析式；(2)当λ为何值时，关于x的方程f(x)=λ在x∈[−2,2]上有实数解．(a>0,a≠1)是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数5.已知函数f(x)=log a2m−1−mxx+1x的集合)．(1)求实数m的值，并写出区间D;(2)若底数a>1，试判断函数y=f(x)在定义域D内的单调性，并说明理由;(3)当x∈A=[a,b)⊆D(a是底数)时，函数值组成的集合为[1,+∞)，求实数a，b的值．6.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2,f(x+1)−f(x)=2x+3(1)求函数f(x)的解析式(2)设ℎ(x)=f(x)−2tx，当x∈[1,+∞)时，求函数ℎ(x)的最小值7.已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)+f(−x)=0，当x>0时，f(x)=2x−x2，(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[1,+∞)时，g(x)=f(x)，当x∈(−∞,1)时g(x)=x2−mx+2m−3，g(x)在R上单调递减，求m的取值范围；(3)是否存在正实数a,b，当x∈[a,b]时，ℎ(x)=f(x)且ℎ(x)的值域为[1b ,1a]？，若存在，求出a,b，若不存在，说明理由．8.若不等式2x−log a x<0在x∈(0,12)时恒成立，求实数a的取值范围．9.习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”。
人教版A版(2019)高中数学必修第一册：第三章 函数的概念与性质 综合测试(附答案与解析)
第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数20()(31)f x x =+-的定义域是（ ） A .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .1,13⎛⎫⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,133⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知函数1(2),()(3)(2),x f x f x x =+⎪⎩≥＜则(1)(9)f f +等于（ ）A .2-B .7-C .27D .73.函数111y x -=+-的图像是下列图像中的（ ）ABCD4.若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是（ ） A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增5.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ） A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .(,)-∞+∞D .[1,)+∞6.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围是（ ）A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x --＜，则（ ）A .(3)(2)(1)f f f -＜＜B .(1)(2)(3)f f f -＜＜C .(2)(1)(3)f f f -＜＜D .(3)(1)(2)f f f -＜＜8.若函数,1,()(23)1,1ax f x x a x x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩＞≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.设函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则(2)(3)(2020)(1)(2)(2019)f f f f f f +++等于（ ）A .2 020B .2 019C .4 038D .4 04010.在函数([1,1])y x x =∈-的图像上有一点(,)P t t ，此函数图象与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形的面积为S （如图的阴影部分所示），则S 与t 的函数关系的图象可表示为（ ）ABCD11.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x --＜的解集为（ ）A .(2,0)(2,)-+∞B .(2,0)(0,2)-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,2)(0,2)-∞-12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有()()21210f x f x x x --＞，若(1)(2)f a f a -≥，则实数a 的取值范围是（ ）A .[1,1]-B .(,1]-∞-C .[1,)+∞D .(,1][1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.设函数0()1,02x x f x x =⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≥＜则((4))f f -=________.14.若函数2(1)2()1a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =________. 15.设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[6,2]-，则m n +的取值范围是________.16.已知函数29,3,()6,3,x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩≥＜则不等式()22(34)f x x f x --＜的解集是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞＞恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可）18.[12分]设函数2()23,f x x x a x =--+∈R .（1）小鹏同学认为，无论a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若()f x 是偶函数，求a 的值.（3）在（2）的情况下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间。
高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (10)(含解析)
高中数学人教A 版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (10)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1. 已知函数y =f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=−x 2+ax ．(1)若a =−2，求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)为R 上的单调减函数，①求a 的取值范围；②若对任意实数m ，f(m −1)+f(m 2+t)<0恒成立，求实数t 的取值范围．2. 已知函数f (x )是定义在(−2,2)上的奇函数，满足f(1)=15，当−2<x ≤0时，有f (x )=ax+bx 2+4．(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断f (x )的单调性，并利用定义证明；(3)解不等式f (2x −1)+f (x )<0．3.设a为实数，记函数f(x)=a√1−x2+√1+x+√1−x的最大值为g(a)．(1)设t=√1+x+√1−x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；(2)求g(a)；(3)试求满足g(a)=g(1a)的所有实数a．4.已知函数f(x)={x|x+a|+a2−4a(x≤0) 9x−a⋅3x(x>0)(1)讨论f(x)在(−∞,0]上的单调区间；(2)若a>0，存在m∈R，使f(x)=m存在五个不等根，求a的取值范围．5.设a∈R，函数(e为常数，e=2.71828…)．(1)若a=1，求证：函数f(x)为奇函数；(2)若a<0．①判断并证明函数f(x)的单调性；②若存在x∈[1,2]，使得f(x2+2ax)>f(4−a2)成立，求实数a的取值范围．6.已知函数f(x)=lg(m+2),m∈R．2x(1)当m=−1时，求函数f(x)的定义域；(2)若方程g(x)=f(x)+2xlg2有且仅有一个解，求实数m的取值范围；(3)任取x1,x2∈[t,t+2]，若不等式|f(x1)−f(x2)|≤1对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．7.已知函数f(x)=2x−m的图象过点P(1,1)x(1)求实数m的值，并证明函数f(x)为奇函数；(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．8.已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=−2x+1，且f(2)=15．(1)求函数f(x)的解析式(2)令g(x)=(1−2m)x−f(x)求函数g(x)在区间[0,2]的最小值．9.已知定义域为R的函数f(x)=a⋅2x+1+a是奇函数．1+2x(1)求a的值；(2)判断并证明f(x)的单调性；(3)若对任意的t∈R，不等式f(−mt2+t+1)+f(t2−mt)<0恒成立，求实数m的取值范围．10.已知函数f(x)=ax2−2ax+1+b(a≠0,b<1)，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设g(x)=f(x)。
高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (5)(含解析)
高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (5)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知定义在R上的函数f(x)=x2−2mx+3在(0,+∞)上是增函数．g(x)为偶函数，且当x∈(−∞,0]时，g(x)=12x+m．(1)求g(x)在(0,+∞)上的解析式；(2)若函数f(x)与g(x)的值域相同，求实数m的值；(3)令F(x)={f(x),x<0,g(x),x>0,讨论关于x的方程F(x)=m+3的实数根的个数．2.同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f(x)=ae x+be−x(其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…)．(1)当a=1，f(x)为偶函数时，求b的值；(2)如果f(x)为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；(3)如果f(x)的最小值为2，求a+b的最小值．3.已知函数f(x)是定义在(−4,4)上的奇函数，且f(−2)=−1，当−4<x⩽0时，有f(x)=ax+bx+4．(1)求实数a,b的值；(2)求函数f(x)在区间(0,4)上的解析式，并利用定义证明f(x)在(0,4)上的单调性．4.已知实数a>0，定义域为R的函数f(x)=e xa +ae x是偶函数，其中e为自然对数的底数．(Ⅰ)求实数a值；(Ⅱ)判断该函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明；(Ⅲ)是否存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f(t−2)<f(2t−m)恒成立．若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．5.设t为实数，函数f(x)=−x2+1, g(x)=|x−t|．(1)讨论函数y=g(x)的奇偶性；(2)当t=2时，求函数y=g(x)−f(x)的最小值；(3)对于函数y=m(x)，在定义域内给定区间[a,b]，如果存在x0(a<x0<b)，满足m(x0)=m(b)−m(a)，则称函数m(x)是区间[a,b]上的“平均值函数”，x0是它的一个“均值点”.如函数b−ay=x2是[−1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数ℎ(x)=f(x)+mx是区间[−1,1]上的平均值函数，求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)=x2+mx+m−7，m∈R．(1)若f(x)在区间[2,4]上单调递增，求m的取值范围；(2)求f(x)在区间[−1,1]上的最小值g(m)；(3)讨论f(x)在区间[−3,3]上的零点．7.已知定义在R上的函数f(x)=x2−2mx+3在(0,+∞)上是增函数．g(x)为偶函数，且当x∈(−∞,0]时，g(x)=12x+m．(1)求g(x)在(0,+∞)上的解析式；(2)若函数f(x)与g(x)的值域相同，求实数m的值；(3)令F(x)={f(x),x<0,g(x),x>0,讨论关于x的方程F(x)=m+3的实数根的个数．8.已知函数f(x)=a x(a>0,a≠1)，且f(x)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2．(1)求a的值；(2)若函数y=f(2x)+f(−2x)+2m[f(x)−f(−x)]在区间[1,+∞)的最小值是−2，求实数m的值．9.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=−x2+4x．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[−2,a](a>−2)上的最小值．10.已知f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=ln(x+2).(1)当x<0时，求f(x)的解析式；(2)当m∈R时，试比较f(m−1)与f(3−m)的大小；(3)求最小的整数m(m≥−2)，使得存在实数t，对任意x∈[m,10]，都有f(x+t)≤2ln|x+3|11.已知指数函数f(x)的图象经过点(−1,3)，g(x)=f2(x)−2af(x)+3在区间[−1,1]的最小值ℎ(a)；(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)的最小值ℎ(a)的表达式；(3)是否存在m,n∈R同时满足以下条件：①m>n>3；②当ℎ(a)的定义域为[n,m]时，值域为[n2,m2]；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．12.已知函数f(x)=x2−2ax−1，x∈[−2,5](1)当a=−1时，求函数的最大值和最小值．(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间x∈[−2,5]上是单调函数．13.已知函数f(x)=log a x(a>1)，关于x的不等式|f(x)|<1的解集为(m,n)，且n+m=10．3(1)求a的值．,9]的最小值为2？若存在，求出λ(2)是否存在实数λ，使函数g(x)=[f(x)]2−2λf(x)+3,x∈[13的值；若不存在，说明理由．14.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D内存在x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立．(1)函数f(x)=1是否属于集合M？说明理由；x(2)若函数f(x)=k⋅2x+b属于集合M，试求实数k和b满足的条件；(3)设函数f(x)=lg a属于集合M，求实数a的取值范围．x2+215.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，f(2)=0.若f(x−1)>0，求x的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训
练 (15)
一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）
1.已知函数f(x)=a x+log a(x+1)(a>0，且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为a+
2．(1)求a；
(2)若方程log a(x
2)⋅log a(x
4
)+b=0有解，求b的取值范围；
(3)已知函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，g(x)=log a(x+1
2
)，ℎ(x)=|g(x)|−m(m∈R)有两个零点，求实数m的取值范围．
2.已知函数f(x)=ax2−2ax+b+2(a>0)在区间[−2,0]上有最小值1，最大值9．
(1)求实数a，b的值；
(2)设g(x)=f(x)
x
，若不等式g(log2x)−klog2x≥0在区间[√2,4]上恒成立，求实数k的取值范围；
(3)设F(x)=f(|2x−1|)+λ(|2x−1|−2))，若函数F(x)有三个零点，求实数λ的取值范围．
3.已知函数f(x)=a·4x−1
4x+1
是定义在R上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断并证明函数f(x)的单调性，并利用结论解不等式：f(x2−2x)+f(3x−2)<0；
(3)是否存在实数k，使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是[k
4m ,k
4n
]？若存在，求出实数k
的取值范围；若不存在，请说明理由．
4.已知函数f(x)={lg(−x),x<0, |e x−2|,x≥0.
(1)若f(a)=1，求a的值；
(2)若关于x的方程f2(x)+mf(x)+2m+1=0恰有5个实数根，求m的取值范围．
5.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离
心率为√2
2
，过F2的直线与椭圆C交于P,Q两点，若△F1PQ的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线交椭圆C于A,B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称
点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE,DF与⊙N分别相切于点E,F，求∠EDF的最小值．
6.已知a∈R，当x>0时，f(x)=log2(1
x
+a)．
(1)若函数f(x)的图象过点(1,1)，求此时函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点，求实数a的值；
(3)设a>0，若对任意实数t∈[1
3
,1]，函数f(x)在[t,t+1]上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围．
7.设函数f(x)=x+a
x
(x≠0.且x，a∈R)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并用定义证明；
(2)若不等式f(2x)<−2x+1
2x
+6在[0,2]上恒成立，试求实数a的取值范围；
(3)g(x)=1−x
1+x ,x∈[0,1
2
]的值域为A.函数f(x)在x∈A上的最大值为M，最小值为m，若2m>M
成立，求正数a的取值范围．
8.已知函数f(x)=x2−2ax+2a−1.若对任意的a∈(0,3)，存在x0∈[0,4]，使得t≤|f(x0)|成立，
求实数t的取值范围．
9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−4x+
2．
(1)求f(0);
(2)求f(x)的解析式；
(3)在坐标系中画出f(x)图像．
10.已知函数y=f(x)=log a(1−a x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)证明f(x)在定义域上是减函数；
11.已知f(x)=lg1−mx
是奇函数．
x−1
(1)求m的值，及函数f(x)的定义域；
(2)根据(1)的结果判断f(x)在(1,+∞)上的单调性，并证明．12.已知函数f(x)=1−2
．
3x+1
(1)判断并证明f(x)的奇偶性;
(2)证明函数f(x)的单调性;
(3)解不等式f(3m+1)+f(2m−3)<0．
, x∈[3,5],
13.已知函数f(x)=x−1
x+2
⑴判断函数f(x)的单调性，并用定义法证明；
⑴求函数f(x)的最大值和最小值．
14.已知函数f(x)=a⋅2x+1
．
2x−1
(1)当a=1时，解方程．
(2)当x∈(0,1]时，|f(2x)−f(x)|≥1恒成立，求实数a的取值范围．
15.已知一次函数f(x)为增函数，且f[f(x)]=4x+9,g(x)=mx+m+3(m∈R)．
(1)当x∈[−1,2]时，若不等式g(x)>0恒成立，求m的取值范围；
(2)当函数f(x)和g(x)满足f(g(x))=g(f(x))时，求函数ℎ(x)=f(x)+√g(x)的值域．。