【2014上海二模】上海市浦东新区2014年高考预测(二模)文科数学试题(含答案)(word版)
2014年上海市黄浦区高考数学二模试卷(文科)含详解
2014年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数y=log2的定义域是．2．（4分）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=．3．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x+a≥0，x∈R}，B={x||x﹣1|≤3，x∈R}．若（∁U A）∩B=[﹣2，4]，则实数a的取值范围是．4．（4分）已知等差数列{a n}（n∈N*）的公差为3，a1=﹣1，前n项和为S n，则的数值是．5．（4分）函数f（x）=|log a x|（a＞0，且a≠1）的单调递增区间是．6．（4分）函数f（x）=﹣x2（x≤0）的反函数是f﹣1（x），则反函数的解析式是f﹣1（x）=．7．（4分）方程log2（4x﹣3）=x+1的解x=．8．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=．9．（4分）已知x1=1﹣i（i是虚数单位，以下同）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则实数a=，b=．10．（4分）若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是．11．（4分）（文）已知直线l1：2x+y﹣1=0，l2：x﹣3y+5=0，则直线l1与l2的夹角的大小是．（结果用反三角函数值表示）12．（4分）（文）已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数z=x﹣y﹣1的最大值是．13．（4分）（文）某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球（袋中仅有白色和黄色两种颜色的球），若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是．14．（4分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则a+b的值是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知a、b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（）A．a+b≥2B．+≥2C．|+|≥2D．a2+b2＞2ab 16．（5分）已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件17．（5分）已知a、b∈R，a2+b2≠0，则直线l：ax+by=0与圆：x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定18．（5分）（文）四棱锥S﹣ABCD的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（AB平行于主视图投影平面）则四棱锥S﹣ABCD的体积=（）A．24B．18C．D．8三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（文）已知矩形ABB1A1是圆柱体的轴截面，O、O1分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2：1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示．的值；（1）求圆柱体的侧面积S侧（2）若C1是半圆弧的中点，点C在半径OA上，且OC=OA，异面直线CC1与BB1所成的角为θ，求sinθ的值．20．（14分）已知复数z1=cosx+i，z2=1﹣isinx，x∈R．（1）求|z1﹣z2|的最小值；（2）设z=z1•z2，记f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．试求函数g（x）的解析式．21．（12分）某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=（1+）百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足∠AOC=75°，∠AOB=30°，∠BOC=45°．设OA=x（3≤x≤6）百米，OC=y百米．（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；最小，并求出其面积的最小（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积S△OAC值．22．（18分）已知数列{a n}满足a1=1，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*）．（1）求a3、a5、a7的值；（用含n的式子表示）；（2）求a2n﹣1（3）（文）记b n=a2n﹣1+a2n，数列{b n}（n∈N*）的前n项和为S n，求S n（用含n 的式子表示）．23．（18分）（文）已知点D（1，）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，且双曲线的一条渐近线的方程是x+y=0．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C有两个不同交点，求实数k的取值范围；（3）设（2）中直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．2014年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数y=log2的定义域是（﹣1，1）．【考点】4K：对数函数的定义域．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】函数y=log2的定义域满足，由此能求出结果．【解答】解：函数y=log2的定义域满足，解得﹣1＜x＜1，∴函数y=log2的定义域是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意分式不等式的合理运用．2．（4分）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=π．【考点】GS：二倍角的三角函数；H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】先利用二倍角的余弦化简，再求出函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期．【解答】解：y=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T==π．故答案为：π．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x+a≥0，x∈R}，B={x||x﹣1|≤3，x∈R}．若（∁U A）∩B=[﹣2，4]，则实数a的取值范围是a＜﹣4．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】5J：集合．【分析】表示出A中的解集确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，根据A补集与B的交集确定出a的范围即可．【解答】解：由A中的不等式解得：x≥﹣a，即A=[﹣a，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=（﹣∞，﹣a），由B中的不等式变形得：﹣3≤x﹣1≤3，即﹣2≤x≤4，∴B=[﹣2，4]，∵（∁U A）∩B=[﹣2，4]，∴﹣a＞4，即a＜﹣4．故答案为：a＜﹣4【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4．（4分）已知等差数列{a n}（n∈N*）的公差为3，a1=﹣1，前n项和为S n，则的数值是2．【考点】6F：极限及其运算；85：等差数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质求出=，由此能求出的值．【解答】解：∵等差数列{a n}（n∈N*）的公差为3，a1=﹣1，前n项和为S n，∴a n=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4，S n=﹣n+=，∴=，∴==2．故答案为：2．【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．5．（4分）函数f（x）=|log a x|（a＞0，且a≠1）的单调递增区间是[1，+∞）．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；4N：对数函数的图象与性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的图象和性质，结合a的取值范围即可得到结论．【解答】解：若a＞1，则f（x）=，若0＜a＜1，则f（x）=，∴当a＞1时，函数的单调递增区间为[1，+∞），当0＜a＜1时，函数的单调递增区间为[1，+∞），综上：函数的单调递增区间为[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．【点评】本题主要考查函数单调性的判断，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键．6．（4分）函数f（x）=﹣x2（x≤0）的反函数是f﹣1（x），则反函数的解析式是f﹣1（x）=﹣（x≤0）．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】令y=﹣x2（x≤0），开方可得x=﹣，可得反函数．【解答】解：∵y=﹣x2（x≤0），∴y≤0，开方可得x=﹣，∴f﹣1（x）=﹣，x≤0故答案为：﹣（x≤0）【点评】本题考查反函数，注意原函数的值域是反函数的定义域即可，属基础题．7．（4分）方程log2（4x﹣3）=x+1的解x=log23．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知条件推导出（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），由此能求出结果．【解答】解：∵log2（4x﹣3）=x+1，∴2x+1=4x﹣3，∴（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），∴x=log23．故答案为：log23．【点评】本题考查对数方程的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．8．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=．【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．【解答】解：∵a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，∵∠C为三角形的内角，∴∠C=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9．（4分）已知x1=1﹣i（i是虚数单位，以下同）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则实数a=﹣2，b=2．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵x1=1﹣i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴x2=1+i也是此方程的一个虚根，∴a=﹣（x1+x2）=﹣（1+i+1﹣i）=﹣2．b=x1x2=（1+i）（1﹣i）=2．故答案分别为：﹣2，2．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系，属于基础题．10．（4分）若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是100π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】5U：球．【分析】先确定截面圆的半径，再求球的半径，从而可得球的表面积．【解答】解：∵截面的面积为16π，∴截面圆的半径为4，∵球心O到平面α的距离为3，∴球的半径为=5∴球的表面积为4π×52=100π．故答案为：100π【点评】本题考查球的表面积，解题的关键是求球的半径，属于基础题．11．（4分）（文）已知直线l1：2x+y﹣1=0，l2：x﹣3y+5=0，则直线l1与l2的夹角的大小是artan7）．（结果用反三角函数值表示）【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则由题意可得tanθ=|=7，由此求得θ的值．【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），由题意可得tanθ=|=7，解得θ=arctan7，故答案为：arctan7．【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，属于中档题．12．（4分）（文）已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数z=x﹣y﹣1的最大值是﹣．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y﹣1得y=x﹣1﹣z，平移直线y=x﹣1﹣z，由图象可知当直线经过点A时，直线y=x﹣1﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（），∴z==，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．13．（4分）（文）某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球（袋中仅有白色和黄色两种颜色的球），若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】由题意可得袋子中共有2个白色球和5个黄色球，故一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是，计算求得结果．【解答】解：由题意可得从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是，得到的球是黄色乒乓球的概率是，故袋子中共有2个白色球和5个黄色球，∴一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是=，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于中档题．14．（4分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则a+b的值是﹣1．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．【分析】确定函数f（x）的性质，可得关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则方程t2+at+b=0必有两个根x1，x2，其中x1=1，x2∈（，1），即可得出结论．【解答】解：由题意，f（x）在（﹣∞，﹣2]和[0，2]上是减函数，在[﹣2，0]和[2，+∞）上是增函数，∴x=0时，函数取极大值1，x=±2时，取极小值，|x|≥16时，f（x）≥1，∴关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则方程t2+at+b=0必有两个根x1，x2，其中x1=1，x2∈（，1），∴1+a+b=0，∴a+b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，正确确定函数的性质是关键．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知a、b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（）A．a+b≥2B．+≥2C．|+|≥2D．a2+b2＞2ab 【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：对于A，B，没有给出a、b∈R+，因此不一定成立，故不正确；C．若，则．∴=2，当且仅当a=b时取等号；同理时也成立．因此正确．D．∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2＞2ab不一定成立．综上可知：只有C正确．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了使用法则“一正二定三相等”，属于基础题．16．（5分）已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，以及直线和平面平行的性质即可得到结论．【解答】解：若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等成立，当直线和平面相交时，直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和平面的位置关系是解决本题的关键．17．（5分）已知a、b∈R，a2+b2≠0，则直线l：ax+by=0与圆：x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】将圆的方程化为标准方程，表示出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由d=r可得出直线与圆位置关系是相切．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y+）2=，∴圆心坐标为（﹣，﹣），半径r=，∵圆心到直线ax+by=0的距离d===r，则圆与直线的位置关系是相切．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．18．（5分）（文）四棱锥S﹣ABCD的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（AB平行于主视图投影平面）则四棱锥S﹣ABCD的体积=（）A．24B．18C．D．8【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图知四棱锥的底面矩形的长、宽分别为3、4，四棱锥的高为2，代入棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知四棱锥的底面矩形的长、宽分别为3、4，四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积V=×3×4×2=8．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（文）已知矩形ABB1A1是圆柱体的轴截面，O、O1分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2：1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示．的值；（1）求圆柱体的侧面积S侧（2）若C1是半圆弧的中点，点C在半径OA上，且OC=OA，异面直线CC1与BB1所成的角为θ，求sinθ的值．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．的【分析】（1）利用圆柱体的体积为32π，求出R，即可求圆柱体的侧面积S侧值；（2）设D是线段A1O1的中点，联结D1C，DC，O1C1，则C1O1⊥A1B1，CO∥BB1，因此，∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角，求出DC1=，CC1=，即可求sinθ的值．【解答】解：（1）设圆柱的底面圆的半径为R，依据题意，有AA1=2AB=4R，∴πR2•AA1=32π，∴R=2．∴S=2πR•AA1=32π．侧（2）设D是线段A1O1的中点，联结D1C，DC，O1C1，则C1O1⊥A1B1，CO∥BB1．因此，∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角，即∠C1CD=θ．又R=2，∠C1CD=θ，∠C1O1D=90°，∴DC1=，CC1=．∴sinθ==．【点评】本题考查圆柱体的侧面积，考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（14分）已知复数z1=cosx+i，z2=1﹣isinx，x∈R．（1）求|z1﹣z2|的最小值；（2）设z=z1•z2，记f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．试求函数g（x）的解析式．【考点】A5：复数的运算；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用已知条件直接求解|z1﹣z2|，得到表达式后，利用三角函数的最值求解复数的模的最小值；（2）化简z=z1•z2，求出函数f（x）的表达式，利用图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移个单位长度，求出函数g（x）的图象对应的函数g（x）的解析式．【解答】解（1）∵复数z1=cosx+i，z2=1﹣isinx，x∈R，∴|z1﹣z2|==．∴当sin（x﹣）=﹣1，即x=2k，k∈Z时，|z1﹣z2|min=．（2）∵z=z1•z2，∴z=z1•z2=sinx+cosx+（1﹣sinxcosx）i．f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．∴f（x）=1﹣sinxcosx=1﹣sin2x，x∈R．．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后，得到的图象所对应的函数是y1=1﹣sinx．把函数y=1﹣sinx的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数是y=1﹣sin（x﹣）．∴g（x）=1﹣sin（x﹣）=1+，x∈R．【点评】本题以复数为载体，考查三角函数的化简求值，函数的图象的变换，基本知识的考查．21．（12分）某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=（1+）百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足∠AOC=75°，∠AOB=30°，∠BOC=45°．设OA=x（3≤x≤6）百米，OC=y百米．（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积S△OAC最小，并求出其面积的最小值．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】12：应用题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由图形知，S△BOC +S△AOB=S△AOC，代入面积公式，求出函数y的解析式；（2）由（1）知，函数y的解析式，求出S△AOC的表达式，利用基本不等式求出S△OAC最小时，x的取值以及最小面积是什么．【解答】解：（1）结合图形可知，S△BOC +S△AOB=S△AOC．于是，x（1+）sin30°+y（1+）sin45°=xysin75°，解得：y=，（其中3≤x≤6）．（2）由（1）知，y=（3≤x≤6），因此，S=xysin75°△AOC=•=[（x﹣2）++4]≥2+2（当且仅当x﹣2=，即x=4时，等号成立）．最小，最小面积是（2+2）×∴当x=400米时，整个中转站的占地面积S△OAC104平方米．【点评】本题考查了求函数的解析式以及利用基本不等式求函数的最值问题，解题时应根据题意，列出等量关系，求出函数的解析式，是综合题．22．（18分）已知数列{a n}满足a1=1，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*）．（1）求a3、a5、a7的值；（用含n的式子表示）；（2）求a2n﹣1（3）（文）记b n=a2n﹣1+a2n，数列{b n}（n∈N*）的前n项和为S n，求S n（用含n 的式子表示）．【考点】8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由a1=1，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*），分别令n=1，2，3可求结果；（2）累加法：a2n+1﹣a2n﹣1=3n+（﹣1）n（n∈N*），得a2n﹣1﹣a2n﹣3=3n﹣1+（﹣1）n ﹣1，a2n﹣a2n﹣5=3n﹣2+（﹣1）n﹣2，…a5﹣a3=32+（﹣1）2，a3﹣a1=31+（﹣1）﹣31，以上各式累加可得；（3）首先根据b n=a2n﹣1+a2n，以及（2）中求出的a2n﹣1的表达式，求出数列{b n}的通项，然后求和即可．【解答】解：（1）由题意得，a1=1，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*），∴a2=a1+（﹣1）n=0，a3=a2+31=3，a4=a3+1=4，a5=a4+32=13，a6=a5﹣1=12，a7=a6+33=39，∴a3、a5、a7的值分别为：3、13、39；（2）将a2n=a2n﹣1+（﹣1）n代入a2n+1=a2n+3n（n∈N*），得a2n+1﹣a2n﹣1=3n+（﹣1）n（n∈N*），∴a2n﹣a2n﹣3=3n﹣1+（﹣1）n﹣1，﹣1a2n﹣3﹣a2n﹣5=3n﹣2+（﹣1）n﹣2，…a5﹣a3=32+（﹣1）2，a3﹣a1=31+（﹣1）1，﹣a1=31+32+…3n﹣1+[（﹣1）1+（﹣1）2+…+（﹣1）n﹣1]．以上各式累加得，a2n﹣1=+=﹣2=﹣1（n∈N*）．∴a2n﹣1=﹣1（n∈N*）（3）（文）由（2）可知，a2n﹣1∴b n=a2n﹣1+a2n=2a2n﹣1+（﹣1）n=[﹣1]×2+（﹣1）n=3n﹣2（n∈N*）∴s n=b1+b2+b3+…+b n=（3﹣2）+（32﹣2）+（33﹣2）+…+（3n﹣2）=﹣2n=.3n+1﹣2n﹣（n∈N*）．【点评】本题考查了由数列递推式求数列通项，考查数列求和，考查学生的计算能力．23．（18分）（文）已知点D（1，）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，且双曲线的一条渐近线的方程是x+y=0．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C有两个不同交点，求实数k的取值范围；（3）设（2）中直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）点D（1，）代入双曲线方程，结合且双曲线的一条渐近线的方程是x+y=0，建立方程，求出a，b，即可求双曲线C的方程；（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根的判别式，即可求实数k的取值范围；（3）存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为k OA•k OB=﹣1，即x1x2+y1y2=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．【解答】解：（1）由题知，有解得因此，所求双曲线C的方程是（2）∵直线l过点（0，1）且斜率为k，∴直线l：y=kx+1．代入双曲线方程得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0．又直线l与双曲线C有两个不同交点，∴3﹣k2≠0且△=（﹣2k）2+8（3﹣k2）＞0解得k∈（﹣，﹣）∪（﹣，）∪（，）．（3）设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）．由（2）可得x1+x2=，x1x2=又以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则k OA•k OB=﹣1，即x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，∴，解得k=±1．又k=±1满足3﹣k2≠0且△=（﹣2k）2+8（3﹣k2）＞0，∴所求实数k=±1．【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．。
2014年全国高考上海市数学(文)试卷及答案【精校版】
2014年上海市高考数学试卷（文科）解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2. 若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=___________.3. 设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f = .4. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 .6.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9. 设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是 .10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .11．若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .12.方程sin 1x x +=在区间[0,2]π上的所有解的和等于 .13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.14. 已知曲线C：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件16. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{,}a b ={2a ,2b },则a b += （ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-17. 如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）118. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解 三．解答题（本大题共5题，满分74分） 19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -, zxxk 其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V.20.（本题满分14分）本题有2个小题， 第一小题满分6分，第二小题满分1分。
2014年高考上海卷数学(文)真题试题试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试题卷（文史类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是_________.2.若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=__________.3.设常数a ∈R ，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f =_________.4.若抛物线22y px =的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________. 5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为_________. 6.若实数x ，y 满足1xy =，则2x +22y 的最小值为_________.7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为________.（结果用反三角函数值表示） 8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图， 则切割掉的两个小长方体的体积之和等于________.9.设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的 取值范围是_________.10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q =________.11.若2132()f x x x-=-，则满足0)(<x f 的x 取值范围是_________.12.方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有解的和等于_________.13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 .（结果用最简分数表示）14.已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6．若对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为__________.3511 12二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15.设,a b ∈R ，则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 16.已知互异的复数a ，b 满足0ab ≠，集合{,}a b ={2a ，2b }，则a b +=（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-17.如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ） （A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）118.已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线1+=kx y （k 为常数）上两个不同 的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+1,12211y b x a y b x a 的解的情况是（ ）（A ）无论k ，1P ，2P 如何，总是无解 （B ）无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，1P ，2P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥ABC P -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求△123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .P 1AC BP 2P 3P 3AB P 1 P 7 P 6 P 5P 2P 420.（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分1分.设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(.（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A ，B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A ，B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？αACBβD22.（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),(111y x P ，),(222y x P ，记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． （1）求证：点)2,1(A ，)0,1(-B 被直线01=-+y x 分隔；（2）若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线．23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，n ∈N *，11a =. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）参考答案一、填空题 1．π2【解析】()212cos 2cos4y x x =-=-，则π2T =. 【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解 2．6【解析】211516z z z z ⎛⎫+⋅=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质 3．3【解析】由()21f =得1414a a +-=⇒=，则()1143f =-=. 【考点】对函数概念的理解 4．2x =-【解析】易知焦点为()2,0，则准线方程为2x =-. 【考点】圆锥曲线基本量 5．70 【解析】()201600120070800+=. 【考点】分层抽样的方法（关键是样本比例相等） 6．22【解析】2222222x y xy +≥= 【考点】基本不等式求最值 7．1arccos 3θ=【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与轴所成角为θ. 由已知得233rl r l r ππ=⇒=，则1sin 3r l θ==，所以1arccos 3θ=.【考点】反正弦函数、解三角形 8．24【解析】2(322)24V =⨯⨯⨯=. 【考点】三视图、长方体体积的计算 9．2a ≤【解析】由题意知()02f ≤，即2a ≤. 【考点】分段函数的值域 10．152-+ 【解析】由题意得231111a a q a q q==--且01q <<，则152q -+=.【考点】无穷递缩等比数列的各项和 11．()0,1【解析】首先注意定义域()0,+∞；再由()0f x <得2132x x -<，作图即得结果为()0,1.【考点】幂函数与数形结合 12．7π3【解析】由已知化简得π1sin 32x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ,2π333x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，则π5ππ,2π366x +=+，所以1π2x =，211π6x =，所以127π3x x +=. 【考点】三角方程 13．115【解析】3108115P C ==. 【考点】古典概型 14．23m ≤≤【解析】由已知得曲线C 为以原点为圆心，2为半径的左半圆．A 为P Q 、的中点. 设()6,Q n ，则()26,P m n --.因为()26,P m n --在曲线C 上，则2260m -≤-≤，即23m ≤≤. 【考点】向量与解析几何 二、选择题 15．B【解析】由“2a >且2b >”可以推出“+4a b >”；由“+4a b >”推不出“2a >且2b >”，故选B. 【考点】充分条件、必要条件、充分必要条件 16．D【解析】由题得22,1,1,a a a b b b ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩（舍），或2222,1a b a b b a a b b a⎧=⎪⇒-=-⇒+=-⎨=⎪⎩.【考点】集合相等的含义、复数的运算 17．C【解析】cos i i AB AP AB AP θ⋅=⋅，cos i AP θ的值可能为0、1或2，所以i AB AP ⋅=0、2或4， 即i AB AP ⋅（i =1，2，…，7）的不同值的个数为3，故选C. 【考点】平面向量的数量积 18．B【解析】易得原点O 不在直线1y kx =+上，所以()()()111222,,0,0,,P a b P a b O 不在同一直线上， 故向量1OP 与向量2OP 不平行，所以1221a b a b ≠，方程组有唯一解，故选B. 【考点】二元线性方程组解的讨论 三、解答题19．在△123P P P 中，13PA P A =，23P C P C =， 所以AC 是中位线，故1224PP AC ==. ……3分 同理，234P P =，314P P =.所以△123P P P 是等边三角形，各边长均为4. ……6分 设Q 是△ABC 中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以233AQ =，22263PQ AP AQ =-=. ……9分 从而，12233ABC V S PQ =⋅=△. ……12分【考点】椎体体积的计算20．（1）因为2424x x y +=-，所以4(1)21x y y +=-， ……3分得1y <-或1y >，且24(1)log 1y x y +=-.因此，所求反函数为124(1)()log 1y f x y -+=-，1x <-或1x >. ……6分（2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数； ……8分当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数； ……11分当0a >且1a ≠时，定义域22(,log )(log ,)a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数. ……14分 【考点】反函数、函数的奇偶性、分类讨论 21．（1）记CD h =.根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80h β=，所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……4分 APB HCQ解得20228.28h ≤≈．因此，CD 的长之多约为28.28米. ……6分 （2）在△ABD 中，由已知，+=56.57αβ，115AB =， 由正弦定理得sin sin()BD ABααβ=+，解得85.064BD ≈. ……10分 在△BCD 中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅，解得26.93CD ≈.所以，CD 的长约为26.93米. ……14分 【考点】任意角的三角比、正弦定理和余弦定理22．（1）因为40η=-<，所以点,A B 被直线10x y +-=分隔. ……3分（2）直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组22,41y kx x y =⎧⎨-=⎩有解，即1||2k <. 因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即1||2k ≥. 当1||2k ≥时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点(1,0)-和(1,0)满足20k η=-<， 即点(1,0)-和(1,0)被y kx =分隔. 故实数k 的取值范围是11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. ……9分 （3）设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E 的方程为22(2)||1x y x +-⋅=，即222(2)1x y x ⎡⎤+-⋅=⎣⎦. ……11分对任意的0y ，0(0,)y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点. ……13分 又曲线E 上的点(1,2)-和(1,2)对于y 轴满足0η<，即点(1,2)-和(1,2)被y 轴分隔. 所以y 轴为曲线E 的分隔线. ……16分 【考点】新定义问题、曲线与方程 23．（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤. 所以x 的取值范围是[3，6]. ……3分（2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >.因为+1133n n n a a a ≤≤，所以133q ≤≤.从而11111110003m m m a q q ---⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，131000m -≥，解得8m ≥. ……7分8m =时，711,310003q ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a 的公比为741010. ……9分（3）设数列12100,,,a a a 的公差为d .则1+33n n n a a d a ≤≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =. ①当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤； ……12分 ②当0d =时，999821a a a a ====，符合条件； ……14分③当0d <时，999821a a a a <<<<，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+，又0d <，所以20199d -≤<． 综上，12100,,,a a a 的公差的取值范围为2,2199⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ……18分 【考点】建立不等关系、解不等式、等差数列、等比数列、分类讨论．。
数学_2014年上海市浦东新区高考数学二模试卷(文科)_(含答案)
2014年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，若集合A ={2, 3}，则∁U A =________．2. 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程为________． 3. 函数f(x)=|sinx 4cosx13|的最大值为________． 4. 已知直线l 1:ax −y +2a +1=0和l 2:2x −(a −1)y +3=0(a ∈R)，若l 1⊥l 2，则a =________．5. 函数y =f(x)的反函数为y =f −1(x)，如果函数y =f(x)的图象过点(2, −2)，那么函数y =f −1(x)+1的图象一定过点________．6. 已知数列{a n }为等差数列，若a 1+a 3=4，a 2+a 4=10，则{a n }的前n 项的和S n =________．7. 一个与球心距离为√3的平面截球所得的圆的面积为π，则球的体积为________．8. （文） 把3本不同的语文书、7本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是________．9. 设a ∈R ，(ax −1)8的二项展开式中含x 3项的系数为7，则limn →∞(a +a 2+...+a n )=________．10. （文）一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形，主视图和俯视图是同一图形（如图），那么搭成这样一个立体图形最少需要________个小立方块． 11. （文）已知数据3，4，x ，y ，11的均值为6，方差为8，则|x −y|=________．12. 在△ABC 中，角B 所对的边长b =6，△ABC 的面积为15，外接圆半径R =5，则△ABC 的周长为________．13. 抛物线y 2=4mx(m >0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(−m, 0)，则|PF||PA|的最小值为________．14. （文）已知函数f(x)的定义域为{1, 2, 3}，值域为集合{1, 2, 3, 4}的非空真子集，设点A （1, f(1)），B (2, f(2))，C （3, f(3)），且(BA →+BC →)⋅AC →=0，则满足条件的函数f(x)有________个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “a >1”是“1a <1”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 16. （文）设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数(x −2y)+(5−2x −y)i 的实部大于0，虚部不小于0，则复数z =x +yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的（ ）A B C D17. 能够把椭圆x24+y2=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（）A f(x)=4x3+xB f(x)=ln5−x5+x C f(x)=arctan x4D f(x)=e x+e−x18. （文）方程lgx2=4−(|x|−200)(|x|−202)的解的个数为（）A 2B 4C 6D 8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19. （文）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AA1=AB= AC=1，∠ABC=π4，D是CC1的中点，点M在线段A1B1上．（1）当M为A1B1中点时，求异面直线DM与AB所成角的大小．（2）指出直线CC1与平面MAB的位置关系（不用证明），并求三棱锥D−MAB的体积．20. 如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=π4（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S的最大值，并求此时θ的值．21. （文）已知定义在N∗上的函数f(x)，对任意正整数n1、n2，都有f(n1+n2)=1+f(n1)+f(n2)，且f(1)=1．（1）若对任意正整数n，有a n=f(2n)+1，求a1、a2的值，并证明{a n}为等比数列；（2）若对任意正整数n，f(n)使得不等式f(n)2n <38log2(x+1)恒成立，求实数x的取值范围．22. （文）定义区间(c, d)，[c, d), (c, d]，[c, d]的长度均为d−c，其中d>c．（1）已知函数y=|2x−1|的定义域为[a, b]，值域为[0, 12]，写出区间[a, b]长度的最大值与最小值．（2）已知函数f(x)=2sinx，将函数y=f(x)的图象的每点横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移π8个单位，再向上平移√3个单位，得到函数y=g(x)的图象，区间[a, b](a，b∈R且a<b)满足：y=g(x)在[a, b]上至少含有2014个零点，在所有满足上述条件的[a, b]中，求区间[a, b]长度的最小值．（3）已知函数f M(x)的定义域为实数集D=[−2, 2]，满足f M(x)={x,x∈M−x,x∉M，（M是D的非空真子集）．集合A=[1, 2]，B=[−2, −1]，求F(x)=f A∪B(x)f A(x)+f B(x)+3的值域所在区间长度的总和．23. （文）已知中心在原点O，左焦点为F1(−1, 0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为√77|OB|．（1）求椭圆C的方程；（2）过P(3, 0)的直线l交椭圆C于R、S两点，交直线x=1于Q点，若|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项，求直线l的方程；（3）圆D以椭圆C的两焦点为直径，圆D的任意一条切线m交椭圆C于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．2014年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）答案1. {1, 4, 5}2. y=±43x3. 54. 135. (−2, 3)6. 32n2−52n7. 323π8. 1159. −1310. 511. 212. 6+6√613. √2214. 2015. A16. A17. D18. C19. 解：（1）∵ AB // A1B1∴ ∠A1MD或其补角是异面直线DM与AB所成的角．…3分连接A1D，则三角形A1DM为直角三角形，且∠DA1M=900，A1D=√52，A1M=12∴ tan∠A1MD=A1DA1M=√5...5分∴ 异面直线DM与AB所成的角为arctan√5．…6分（2）CC1 // 平面AA1B1B即CC1 // 平面MAB（不必证明）…7分∵ CA⊥AB，CA⊥AA1，AB∩AA1=A，∴ CA⊥平面AA1B1B∴ C到平面AA1B1B的距离为CA=1．∵ CC1 // 平面AA1B1B，可知D到平面AA1B1B的距离与C到平面AA1B1B的距离相等，为CA=1．…9分又AB // A1B1，∴ △MAB的面积S△ABM=12AB⋅AA1=12...11分∴ V D−MAB=13S△ABM⋅CA=13⋅12⋅AC=16．…12分．20. 解：（1）S=S ABCD−S△ABP−S△ADQ...2分=100−50tanθ−50tan(π4−θ)…4分=100−50(tanθ+1−tanθ1+tanθ)，(0<θ<π4)…6分（2）令t=1+tanθ，t∈(1, 2)…8分S=100−50[1+(t−1)2t ]=100−50(t+2t−2)=200−50(t+2t)…10分∵ t +2t≥2√t ⋅2t=2√2，（当且仅当t =2t时，即t =√2∈(1,2)，等号成立）…12分∴ 当t =√2时，搜索区域面积S 的最大值为200−100√2（平方海里） 此时，θ=arctan(√2−1)…14分． 21. 解：（1）令n 1=n 2=1，得f(2)=1+f(1)+f(1)， 则f(2)=3，a 1=f(2)+1=4...1分令n 1=n 2=2，得f(4)=1+f(2)+f(2)，则f(4)=7，a 2=f(4)+1=8...2分 令n 1=n 2=2n ，得f(2n +2n )=1+f(2n )+f(2n )， 即f(2n+1)=1+2f(2n )，…4分则f(2n+1)+1=2[1+f(2n )]，a n+1=2a n所以，数列{a n }是等比数列，公比q =2，首项a 1=4．…6分（2）令n 1=n ，n 2=1，得f(n +1)=1+f(1)+f(n)，即f(n +1)=f(n)+2 则{f(n)}是等差数列，公差为2，首项f(1)=1． 故f(n)=1+(n −1)⋅2=2n −1．…8分 设g(n)=f(n)2n=2n−12n，则g(n +1)−g(n)=2n+12n+1−2n−12n=3−2n 2n+1当n =1时，g(n +1)−g(n)>0，即g(2)>g(1)当n ≥2时，g(n +1)−g(n)<0，即n ≥2时，{g(n)}是递减数列． 所以，g max =g(2)=34...11分从而38log 2(x +1)>34，即log 2(x +1)>2...12分 则{x +1>0x +1>4，解得x ∈(3, +∞)．…14分． 22. 解：(1)|2x −1|=12，解得x =−1或x =log 232，|2x −1|=0，解得x =0，画图可得：区间[a, b]长度的最大值为log 23，最小值为log 232．（2）g(x)=2sin(2(x +π8))+√3=2sin(2x +π4)+√3g(x)=0⇒sin(2x +π4)=−√32⇒x =kπ−11π24或x =kπ−724π，k ∈Z ， 即g(x)的零点相离间隔依次为π6和5π6，故若y =g(x)在[a, b]上至少含有2014个零点，则b −a 的最小值为1007π−5π6=100616π．（3）F(x)={x 3，x ∈A ∪Bx2x−3，x ∈(−1,1)当x ∈A ∪B ，F(x)∈[−23，−13]∪[13,23]，当x ∈(−1, 1)，F(x)∈(−1,15)，所以x ∈[−2, 2]时，F(x)∈(−1,15)∪[13,23] 所以值域区间长度总和为2315．23. 解：（1）设椭圆C 方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)∴ 直线AB 方程为：x−a +yb =1...1分 ∴ F 1(−1, 0)到直线AB 距离为d =√a 2+b 2=√77b ， ∴ a 2+b 2=7(a −1)2...2分又b 2=a 2−1，解得：a =2，b =√3...3分 故：椭圆C 方程为：x 24+y 23=1．…4分（2）当直线l 与x 轴重合时，|PQ|=2，而|PR|⋅|PS|=1×5=5，∴ |PQ|2≠|PR|⋅|PS| 故可设直线l 方程为：x =my +3，…5分代人椭圆C 的方程，得：3(my +3)2+4y 2=12，即：(3m 2+4)y 2+18my +15=0 ∴ △=(18m)2−4×15(3m 2+4)=48(3m 2−5) 记R(x 1, y 1)，S(x 2, y 2)，Q(x 0, y 0)， ∴ y 1y 2=153m 2+4，y 0=−2m...7分∵ |PQ|2=|PR|⋅|PS|，即|PR||PQ|=|PQ||PS|⇒y 1y 0=y0y 2，∴ y 1y 2=y 02∴ 153m 2+4=4m 2，解得：m 2=163，符合△>0，∴ m =±4√33...9分 故直线l 的方程为x =±4√33y +3，即：y =±√34(x −3)…10分（3）椭圆C 的两焦点为F 1(−1, 0)、F 2(1, 0)，∴ 圆D 的方程为：x 2+y 2=1①若切线m 垂直于x 轴，则其方程为：x =±1，易求得|MN|=3...11分 ②若切线m 不垂直于x 轴，可设其方程为：y =kx +b ∴√k 2+1=1，∴ b 2=k 2+1将y =kx +b 代人椭圆C 方程，得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−12=0∴ △=(8kb)2−4(3+4k 2)(4b 2−12)=48(4k 2+3−b 2)=48(3k 2+2)>0(∗)…13分 记M 、N 两点的坐标分别为(x 3, y 3)、(x 4, y 4) 此时：x 3+x 4=−8kb3+4k 2，x 3x 4=4b 2−123+4k 2⇒|x 3−x 4|=4√3(4k 2+3−b 2)3+4k 2∴ |MN|=√1+k2×4√3(4k2+3−b2)3+4k2=√1+k2×4√3(3k2+2)3+4k2...15分令3+4k2=t，所以t≥3，k2=t−34∴ |MN|=f(t)=√t+14×4√3×3t−14t=√3(t+1)(3t−1)t=√3(−1t2+2t+3)，t≥3⇒0<1t ≤13⇒3<−1t2+2t+3≤329⇒3<|MN|≤4√63...17分综合①②，得：弦长|MN|的取值范围为[3,4√63]．…18分．。
【2014上海二模】上海市浦东新区2014年高考预测(二模)文科数学试题(含答案)(pdf版)
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10．一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形，主视图和俯视图是同 一图形(如图)，那么搭成这样一个立体图形最少需要 个小立方块．
11．已知数据 3, 4, x, y,11 的均值为 6，方差为 8，则 x y =_____． 12． 在 ABC 中, 角 B 所对的边长 b 6 , ABC 的面积为15 ,外接圆半径 R 5 ， 则 ABC 的周长为_______． 13．抛物线 y 4mx( m 0) 的焦点为 F，点 P 为该抛物线上的动点，又点 A( m, 0) ，则
）
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数”，下列函数不是 椭圆的“可分函数”为（ ．． （A） f ( x) = 4 x + x （B） f ( x ) ln
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5 x x x -x （C） f ( x ) arctan （D） f ( x) = e + e 5 x 4
18．方程 lg x 4 (| x | 200)(| x | 202) 的解的个数为（ ） （A）2 (B）4 （C）6 （D）8 三．解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规 定的区域内写出必要的步骤． 19． （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分. 如图，在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AB AC ，
AA1 AB AC 1 ， ABC
线段 A1 B1 上．
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， D 是 CC1 的中点，点 M 在
（1） 当 M 为 A1 B1 中点时， 求异面直线 DM 与 AB 所成角的大小； （2）指出直线 CC1 与平面 MAB 的位置关系（不用证明） ，并求三棱锥 D MAB 的体积． 20． （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分. 如图，ABCD 是边长为 10 海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜 救船在 A 处同时出发，沿直线 AP 、 AQ 向前联合搜 索， 且 PAQ D Q C
【2014黄浦二模】上海市黄浦区2014届高三下学期4月二模考试数学(文)试题Word版含解析
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.函数xxy -+=11log 2的定义域是 ．2.函数x x y 22sin cos -=的最小正周期=T ．3.已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若U ()[2,4]C A B =-，则实数a 的取值范围是 ．4.已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是 ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意13(1)34n a n n =-+-=-，(1)(1)32n n n S n -=-⋅+⨯=2352n n-，2(34)352n nna n n n n S -=- 226835n n n n -=-，nn n S na ∞→lim 题228668lim lim25353n n n n n n n n→∞→∞--===--． 考点：数列的极限．5.函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是．6.函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f-，则反函数的解析式是=-)(1x f．7.方程1)34(log 2+=-x x的解=x .【答案】2log 3x = 【解析】试题分析：由已知得1432xx +-=，即2(2)2230x x -⋅-=，(21)(23)0x x +-=，所以23x =，2log 3x =．考点：解对数方程．8.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边的长度分别为c b a 、、，且ab c b a 3222=-+， 则=∠C .9.已知i (i 11-=x 是虚数单位，以下同)是关于x 的实系数一元二次方程02=++b ax x 的一个根，则实数=a ，=b ．10.若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是 ．11.已知直线05301221=+-=-+y x l y x l ：，：，则直线21l l 与的夹角的大小是 ．(结果用反三角函数值表示)【答案】arccos(arctan 7)10或12.已知实数y x 、满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥-.053,04,03y x y x y x 则目标函数1--=y x z 的最大值是．13.某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球(袋中仅有白色和黄色两种颜色的球)，若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是72，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是 ． 【答案】1021【解析】试题分析：由题意，袋中白色球有2个，黄色球有5个，随机摸两个的方法数有2721C =，而摸到的一个是白色球，一个是黄色球的方法数为2510⨯=，所求概率为1021． 考点：古典概型．14.已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．若关于x 的方程2[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、有且只有7个不同实数根，则b a +的值是．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.已知R a b ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是 ( )．A ． ab b a 2≥+B ．2≥+a b b a C ．2||≥+abb a D ．222a b ab +> 【答案】C 【解析】试题分析：当,a b 都是负数时，A 不成立，当,a b 一正一负时，B 不成立，当a b =时，D不成立，因此只有C 是正确的. 考点：基本不等式.16.已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件17.已知22R,0a b a b ∈+≠、，则直线0=+by ax l ：与圆：022=+++by ax y x 的位置关系是( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定18.四棱锥S ABCD -的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如下(AB 平行于主视图投影平面)则四棱锥S ABCD -的体积= ( )A ．24B ．18CD ．8 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知四棱锥的底面矩形的两边长分别为4和2，高为3，因此124383V =⨯⨯⨯=．考点：三视图与体积．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知矩形11ABB A 是圆柱体的轴截面，1O O 、分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2:1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示． (1)求圆柱体的侧面积S 侧的值；(2)若1C 是半圆弧11A B 的中点，点C 在半径OA 上，且12OC OA =，异面直线1CC 与1BB 所成的角为θ，求sin θ的值．∴ 2R =． ∴1=232S R AA ⋅=ππ侧． (2) 设D 是线段11AO 的中点，联结111DC DC OC 、、，则11111,||C O A B CD BB ⊥． 因此，1C CD ∠就是异面直线1CC 与1BB 所成的角，即1C CD ∠=θ．又2R =，011190CDC C O D ∠=∠=，∴11DC CC∴sin θ==． 考点：（1）圆柱的体积与侧面积；（2）异面直线所成的角．20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈．(1)求||21z z -的最小值；(2)设21z z z ⋅=，记z z x f (Im Im )(=表示复数z 的虚部). 将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移2π个单位长度，得到函数)(x g 的图像. 试求函数)(x g 的解析式．平移的知识可很快得出()g x 的表达式.试题解析：(1)∵12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈，∴12||z z -== ∴当sin()14x -=-π，即2(Z)4x k k π=π-∈时，12min ||1)z z -==.(2)∵12z z z =⋅，∴12sin cos (1sin cos )i z z z x x x x =⋅=++-. ∴1()1sin cos 1sin 2(R)2f x x x x x =-=-∈.21.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB=(1百米，边界线AC始终过点B ，边界线OCOA 、满足0075,30,45A O C A OB B OC ∠=∠=∠=． 设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米.(1)试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；(2)当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，并求出其面积的最小值．【答案】（1）(36)2y x x =≤≤-；（2）：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，最小面积是4(210+⨯平方米. 【解析】试题分析：（1）要求函数关系式，实际上是建立起,x y 之间的等量关系，分析图形及已知条件，我们可借第21题图ABCO考点：求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式.22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知数列{}n a 满足n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)． (1)求753a a a 、、的值；(2)求12-n a (用含n 的式子表示)；(3) 记n n n a a b 212+=-，数列{}n b *(N )n ∈的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．)．【答案】（1）3573,13,39a a a ===；（2）*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈；（3）1133222n n +⋅--．∴*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈． (3) 由(2)可知，2213(1)(1)12n nnn n a a -+-=+-=-，*N n ∈． ∴*21232(N )n n n n b a a n -=+=-∈． ∴123n n S b b b b =++++ 23(32)(32)(32)(32)n =-+-+-++-1*3(13)13232(N )1322n n n n n +-=-=⋅--∈-．考点：（1）数列的项；（2）数列的通项公式；（3）分组求和．23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知点D 在双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：上，且双曲线的一条渐近线的方程是03=+y x ．(1)求双曲线C 的方程；(2)若过点)1,0(且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同交点，求实数k 的取值范围；(3)设(2)中直线l 与双曲线C 交于B A 、两个不同点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值120x x y y +=，12y y 可用1212,x x x x +表示出来，而1212,x x x x +在(2)中可用k 表示出来，代入刚才的等式，得到k 的方程，可解得k ．试题解析：(1)由题知，有22121,a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，因此，(OA OB O ⊥为坐标原点）． 于是，0,OA OB ⋅=即12120x x y y +=，21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)21033k k k k -+++=--， 解得1k =±． 又1k =±满足230k -≠，且0∆>，所以，所求实数1k =±．考点：（1）双曲线的标准方程；(2)直线与双曲线有两个交点问题；(3)两直线垂直与圆锥网线综合题．。
2014年上海高考文科数学试题及参考答案
2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（文科）及参考答案一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 ． 2．若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭． 3．设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =，则(1)f = ．4．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．6．若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 ．7．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．9．设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ． 10．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若134lim()n n a a a a →∞=+++ ，则q = ．11．若2132()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．12．方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有的解的和等于 ．13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．14．已知曲线24:y x C --=，直线:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0=+AQ AP ，则m 的取值范围为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既非充分又非必要条件16．已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（ ）(A) 2(B) 1 (C) 0 (D) 1-17．如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是 大正方形的一条边，)7,,2,1( =i P i 是小正方形的其余顶点， 则)7,,2,1( =⋅i AP AB i 的不同值的个数为（ ）(A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 118．已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解 (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解 (C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解(D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解三、解答题（解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．） 19．（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(．（1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和． （1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.1218.45αβ== ,，求CD 的长（结果精确到0.01米）．22．本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． （1）求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔；（2）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线．23．本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =．（1）若1342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； （2）设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（3）若10021,,,a a a 成等差数列，求数列10021,,,a a a 的公差的取值范围．参考答案一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．2π2．6 3．3 4．2x =- 5．70 6．22 7．1arcsin 3 8．24 9．(],2-∞ 10．512- 11．(0,1) 12．73π 13．11514．[2,3]二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．B 16．D 17．C 18．B三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题满分12分）解：在123PP P ∆中，13PA P A =，23PC PC =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==． 同理，234P P =，314P P =．所以123PP P ∆是等边三角形，各边长均为4． 设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以233AQ =，22263PQ AP AQ =-=． 从而，12233ABC V S PQ ∆=⋅=．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）因为2424x x y +=-，所以()4121xy y +=-，得1y <-或1y >，且()241log 1y x y +=-．因此，所求反函数为()1241()log 1x fx x -+=-，()(),11,x ∈-∞-+∞ ． （2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞+∞ ，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数；当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞ 关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：（1）记CD h =．根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80hβ=， 所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得20228.28h ≤≈．因此，CD 的长至多约为28.28米． （2）在ABD ∆中，由已知，56.57αβ+= ，115AB =， 由正弦定理得()sin sin BD ABααβ=+ ，解得85.064BD ≈． 在BCD ∆中，有余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅， 解得26.93CD ≈．所以，CD 的长约为26.93米．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．（1）证：因为40η=-<，所以点,A B 被直线10x y +-=分隔．（2）解：直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241x y y kx⎧-=⎨=⎩有解，即12k <． 因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即12k ≥． 当12k <时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<，即点()1,0-和()1,0被y kx =分隔．故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞ ． （3）证：设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E 的方程为22(2)1x y x +-⋅=，即22[(2)]1x y x +-⋅=．对任意的0y ，()00,y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<，即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔． 所以y 轴为曲线E 的分隔线．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >．因为1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥，131000m -≥，解得8m ≥．8m =时，711[,3]10003q =∈．所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a 的公比为741010． （3）设数列10021,,,a a a 的公差为d ．由133n n n a a d a≤+≤，223n n a d a -≤≤，99,,2,1 =n ． ① 当0d >时，129899a a a a >>>> ，所以102d a <≤，即02d <≤． ② 当0d =时，129899a a a a ==== ，符合条件． ③ 当0d <时，129899a a a a <<<< ，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+， 又0d <，所以20199d -≤<． 综上，10021,,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-．。
2014年高考文科数学上海卷-答案
x2 y2 1的右焦点重合，故 p 2 得 p 4 ，∴抛物线的准线方程为 x p 2 .故答案为： x 2 .
95
2
2
【提示】由题设中的条件 y2 2 px (p 0)的焦点与椭圆 x2 y2 1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右 95
焦点坐标，根据两曲线的关系求出 p，再由抛物线的性质求出它的准线方程.
即可. 【考点】一次函数的性质与图象. 三、解答题 19.【答案】 2 2
3 【解析】依题意：△P1P2P3 是边长为 4 的正三角形，折叠后是棱长为 2 的正四面体 y f (x) （如图）.
设顶点 A、B 在底面 C 内的投影为 CD ，连接 D ，
则 B 为△ABC 的重心，和 底面 CD . BO 3 , AB 2 3 ,
【提示】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案.
【考点】平面向量数量积的运算.
18.【答案】B
【解析】解：P(a1,b1) 与 P2 (a1,b1) 是直线 y kx 1（k 为常数）上两个不同的点，直线 y kx 1 的斜率存在，
∴
k
b2 a2
b1 a1
，即
a1
a2
a b
a2 b2
①或
a b
b2 a2
②，由①得
a b
0或a 0或b
1 ，
1
∵ ab 0 ，∴ a 0 且 b 0 ，即 a 1， b 1，此时集合{1,1}不满足条件. 由②得，若 b a2 ， a b2 ，则两式相减得 a2 b2 b a ，即 (a b)(a b) (a b) ， ∵互异的复数 a，b，∴ a b 0 ，即 a b 1 ，故选：D. 【提示】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论. 【考点】集合的相等. 17.【答案】C 【解析】解：如图建立平面直角坐标系，则 A(0,0) ，B(0,2) ，P1(0,1) ，P2 (1,0) ，P3 (1,1) ，P4 (1,2) ，P5 (2,0) ，
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数学（文）试卷
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．已知全集{}U=1,2,3,4,5，若集合{}A=2,3，则U A ð=_____．
2．双曲线22
1916
x y -=的渐近线方程为 ． 3．函数()3
1cos 4sin x x x f =的最大值为_______． 4．已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a =__．
5．函数()y f x =的反函数为()1y f
x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y f x -=+的图像一定过点______．
6．已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =_____．
7
π，则球的体积为 ____ ．
8．把3本不同的语文书、7本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是____．
9．设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x 项的系数为7，则2l i m ()n n a a a →∞+++=L ____．
10．一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形，主视图和俯视图是同
一图形(如图)，那么搭成这样一个立体图形最少需要 个小立方块．
11．已知数据3,4,,,11x y 的均值为6，方差为8，则x y -=_____．
12．在ABC ∆中, 角B 所对的边长6b =,ABC ∆的面积为15,外接圆半径R 5=，则A
B C ∆的周长为_______．
13．抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，则PF
PA 的最小值为 ．
14．已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设()A 1,(1)f ，
()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，且()
BA BC AC 0+⋅=uu u r uu u r uu u r ，则满足条件的函数()f x 有＿＿个． 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15． “1x >”是“11x
<”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件。