(十七)巧拆函数 有效分离
三角函数中的拆角技巧及应用
三角函数中的“拆角”技巧及应用(河南省临颍县南街村高中 赵先举 462600)三角函数的计算是高中的一个重要考点.对于一些和角的计算问题除了掌握和角（差角）及倍角公式之外，还要掌握一些必要的“拆角”技巧.这样可以简化运算.“拆角”要根据题目的实际进行，另外，还可以记住一些常见的”拆角”方法，它们反映了一般与特殊之间的关系，是打开计算突破口的关键.有些问题中没有具体的角，但是所给条件和结论中却有着隐含的关系。
例如：2()()ααβαβ=++-，(2)()ααβαβ=+-+，()()22αααββ=++-，()()222αββααβ+=---22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-等。
正确利用它们具有的这些关系进行“拆角”就能避免求某个角的三角函数值而带来的麻烦。
例1．若,(0,)2παβ∈，1sin()23βα-=,1sin()24αβ-=-，则cos()2αβ+的值等于 .[解析]：由,(0,)2παβ∈，则242βππα∈－（－，），224αππβ∈－（－，），又1sin()23βα-=，1sin()24αβ-=-，所以，cos()23βα-=，cos()24αβ-=, 则coscos[()()]222αββααβ+=---cos()cos()sin()sin()2222βαβααβαβ=--+--11()3434=⨯⨯-12=故填12. [评注]:本题通过观察角之间的关系,把2αβ+拆成()2βα-与()2αβ-差的形式,从而避免了求2α与2β的三角函数值,巧妙地得到了cos()2αβ+的值.有些题目中有具体的角,也有抽象的角.这类问题一般也可以根据具体角和抽象角的关系进行“拆角”.例如:()44ππαα=+-,()()442πππαα++-=, ()()362πππαα++-=,()()44ππααββ+=+--等.例 2.(2006年重庆理科高考试题) 已知βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53sin ,13124=⎪⎭⎫⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=________. 解： ()33,,,sin ,45παβπαβ⎛⎫∈+=-⎪⎝⎭12sin()413πβ-=，3(,2)2παβπ+∈，3(,)424πππβ-∈，∴ 4cos()5αβ+=，5cos()413πβ-=-，则cos()4πα+=cos[()()]4παββ+--=cos()cos()sin()sin()44ππαββαββ+-++-=4531256()()51351365⋅-+-⋅=-. [评注]:通过观察发现所给条件中的角与待求角之间的关系.巧妙地把4πα+拆成αβ+与4πβ-差,再利用差角公式进行计算.“拆角”体现了整体与局部之间的关系,是连接题设条件与待求结论的纽带.是三角函数求值的一种常用方法.其实,具体的角也可以利用这种方法搭建非特殊角与特殊角之间的关系.例如,10°=30°－20°=70°－60°,15°=7°+8°等.具体拆的方法要根据题目而进行灵活选择.。
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题2
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。
函数怎么拆分并且计算公式
函数怎么拆分并且计算公式在数学和计算机科学领域，函数拆分和计算是非常常见的操作。
通过拆分函数，我们可以将复杂的问题分解成更小的部分，从而更容易理解和解决。
本文将介绍如何通过函数拆分和计算来处理公式，以及一些常见的拆分方法和技巧。
### 1. 函数拆分。
在数学中，函数拆分是指将一个复杂的函数分解成更简单的部分。
这样做有助于我们更好地理解函数的行为和性质，也可以更容易地对函数进行计算和分析。
下面是一些常见的函数拆分方法：#### 1.1 分解成基本函数。
有些函数可以分解成一些基本函数的组合。
例如，三角函数可以分解成正弦函数和余弦函数的组合，指数函数可以分解成自然对数函数的组合等。
通过这种方法，我们可以将复杂的函数拆分成更简单的部分，从而更容易进行计算和分析。
#### 1.2 分解成多项式。
有些函数可以分解成多项式的形式。
例如，一个多项式函数可以分解成一系列的单项式的和。
通过这种方法，我们可以将函数表示成更简单的形式，从而更容易进行计算和求导。
#### 1.3 分解成递归形式。
有些函数可以分解成递归的形式。
递归函数是指函数可以通过对自身的调用来定义的函数。
通过这种方法，我们可以将复杂的函数分解成更简单的递归形式，从而更容易进行计算和分析。
### 2. 函数计算。
一旦我们将函数拆分成更简单的部分，接下来就是对这些部分进行计算。
函数计算是指对函数进行求值、积分、求导等操作。
下面是一些常见的函数计算方法：#### 2.1 求值。
求值是指计算函数在某个特定点的取值。
通过求值，我们可以得到函数在某个点的具体数值，从而更好地理解函数的行为和性质。
#### 2.2 积分。
积分是指计算函数在某个区间上的面积。
通过积分，我们可以得到函数在某个区间上的总体行为和性质，从而更好地理解函数的整体特征。
#### 2.3 求导。
求导是指计算函数在某个点的斜率。
通过求导，我们可以得到函数在某个点的变化率，从而更好地理解函数的局部特征和性质。
拆分因式的技巧大揭秘
拆分因式的技巧大揭秘拆分因式是解决代数问题中常见的一种方法，它可以将一个复杂的多项式表达式分解为简单的因式乘积。
掌握拆分因式的技巧，不仅可以简化计算过程，还可以帮助我们更好地理解代数的运算规律。
在本文中，我将为大家揭秘一些拆分因式的技巧，希望对大家的数学学习有所帮助。
一、公因式提取法公因式提取法是拆分因式的基础技巧之一。
当一个多项式中的各项存在公因式时，我们可以将这个公因式提取出来，从而将多项式分解为公因式和余项的乘积。
例如，对于多项式2x + 4xy，我们可以发现其中的公因式是2x，因此可以将多项式拆分为2x(1 + 2y)。
这样一来，原本复杂的多项式就被简化为两个较简单的乘积项。
二、平方差公式平方差公式是拆分因式中常用的一种技巧。
它可以将一个二次多项式表示为两个平方的差。
平方差公式的形式为a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其拆分为(x + 2)(x - 2)。
通过平方差公式，我们可以将原本的二次多项式转化为两个一次多项式的乘积，从而简化计算过程。
三、完全平方公式完全平方公式是拆分因式中另一个常用的技巧。
它可以将一个二次多项式表示为一个平方的平方。
完全平方公式的形式为a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
例如，对于多项式x^2 + 4x + 4，我们可以将其拆分为(x + 2)^2。
通过完全平方公式，我们可以将原本的二次多项式转化为一个平方的平方，从而简化计算过程。
四、差的平方公式差的平方公式是拆分因式中另一个重要的技巧。
它可以将一个二次多项式表示为两个平方的差。
差的平方公式的形式为a^2 + b^2 = (a + b)(a - b)。
例如，对于多项式x^2 + 9，我们可以将其拆分为(x + 3)(x - 3)。
通过差的平方公式，我们可以将原本的二次多项式转化为两个一次多项式的乘积，从而简化计算过程。
五、分组法分组法是拆分因式中一种常用的策略。
有理函数积分拆多项式
有理函数积分拆多项式有理函数积分是数学中的一个重要内容，它可以帮助我们解决一些复杂的数学问题。
在本文中，我将向您介绍如何将一个有理函数积分拆分成多项式的形式。
让我们回顾一下有理函数的定义。
一个有理函数是由多项式除以多项式得到的函数。
例如，f(x) = (3x^2 + 2x + 1)/(2x^2 + x - 3)就是一个有理函数。
要将一个有理函数积分拆分成多项式的形式，我们需要使用部分分式分解的方法。
部分分式分解是将一个有理函数拆分成若干个简单的有理函数之和的过程。
我们需要将分母因式分解。
对于上面的例子，我们可以将分母因式分解为(2x - 3)(x + 1)。
然后，我们将有理函数拆分成若干个简单的有理函数之和。
设拆分后的有理函数为A(x)/(2x - 3) + B(x)/(x + 1)。
接下来，我们需要确定A(x)和B(x)的形式。
为了确定A(x)和B(x)，我们可以使用两个方程来求解。
首先，我们将拆分后的有理函数通分，并与原有理函数相等。
然后，我们可以通过比较系数的方式，得到两个方程。
解这两个方程，就可以得到A(x)和B(x)的值。
我们将A(x)和B(x)的值代入拆分后的有理函数中，就可以得到原有理函数的积分。
积分后得到的是多项式的形式。
通过以上的步骤，我们可以将一个有理函数积分拆分成多项式的形式。
这种方法在解决一些复杂的积分问题时非常有用。
通过部分分式分解，我们可以将原有理函数转化为更加简单的形式，从而更容易进行积分计算。
总结一下，有理函数积分拆分多项式是一种将复杂的有理函数转化为多项式形式的方法。
通过部分分式分解，我们可以将有理函数拆分成若干个简单的有理函数之和，并通过求解方程来确定每个简单有理函数的形式。
最后，将简单有理函数的形式代入拆分后的有理函数中，就可以得到原有理函数的积分。
这种方法在解决复杂的积分问题时非常有用。
希望本文对您理解有理函数积分的拆分多项式方法有所帮助。
裂项拆分法巧算
在对有理分式函数求不定积分之前，通常都要对分式进行分解。
因为目前比较常用的分式不定积分公式，只有分母是一次整式的幂，或二次整式的幂两种形式的真分式的不定积分公式。
因此我们要把那些分母在三次以上的分式，分解成一系列符合上面两种形式的真分式的和。
这就是对分式裂项分解的一个过程。
或称为部分分式分解。
为此，我们要先明确有理函数的概念：由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为：R(x)=(P(x))/(Q(x))=(α0 x^n+α1 x^(n-1)+…+αn)/(β0 x^m+β1 x^(m-1)+…+βm)，其中n,m∈N，α0,α1,…αn与β0,β1,…βm都是常数，且α0β0≠0.即分子是一个n次多项式P(x)，分母是一个m次多项式Q(x)，构成的函数，就是有理函数R(x)。
如果m>n，即分母的次数更高，就称它为真分式，如果m<=n，即分母的次数不高于分子，就称为假分式。
这两个概念可以类比真分数和假分数。
因此，和分数类似的，假分式可化为整式与真分式的和。
所以我们在进行分式部分分解时，如果原分式是假分式，就要先把这个假分式化为整式与一个真分式的和。
因为我们主要关注的是那些最简的真分式。
即无法继续约分的真分式。
真分式表示为若干个部分分式之和，这个过程就称为部分分式分解。
下面我们来了解一下真分式部分分式分解的一般步骤：第一步：对分母Q(x)在实系数内作标准分解：(分解前先化β0=1)Q(x)=(x-a1)^λ1*(x-a2)^λ2…(x-as)^λs)(x^2+p1x+q1)^μ1…(x^2+ptx+qt)^μt，其中λi,μj(i=1,2,…,s；j=1,2,…,t)均为自然数，【即s个一次整式的幂积，乘以t个二次整式的幂积。
不过并不是所有整式，都可以分解成这样的形式的。
如果分解不了，就不属于这里讨论的范围】而且∑(i=1->s)λi+2∑(j=1->t)μj=m;【只有最高次数保持不变，才能保证分解之后结果恒等】pj^2-4qj<0, j=1,2,…,t.【即每一个二次整式因式都无法继续分解】第二步：根据分母各因式分别写出与之相应的部分分式：(1)对每个形如(x-a)k的因式，对应的部分分式是：A1/(x-a)+A2/(x-a)^2 +…+Ak/(x-a)^k.(2)形如(x2+px+q)k的因式，对应：(B1x+C1)/(x^2+px+q)+(B2 x+C2)/(x^2+px+q)^2+…+(Bkx+Ck)/(x^2+px+q)^k .第三步：运用待定系数法确定系数.下面看一道例题：对R(x)=(2x^4-x^3+4x^2+9x-10)/(x^5+x^4-5x^3-2x^2-4x-8)作部分分式分解.解：Q(x)=x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8=(x-2)(x+2)^2(x^2-x+1),R(x)=A0/(x-2)+A1/(x+2)+A2/(x+2)^2+(Bx+C)/(x^2-x+1).【通分相加之后，分子恒等】P(x)≡A0(x+2)^2(x^2-x+1)+A1(x-2)(x+2)(x^2-x+1)+A2(x-2)(x^2-x+1)+(Bx+C)(x-2)(x+2)^2=(A0+A1+B)x^4+(3A0-A1+A2+2B+C)x^3+(A0-3A1-3A2-4B+2C)x^2+(4A1+3A2-8B-4C)x+4A0-4A1-2A2-8C.根据分子恒等，列方程组{A0+A1+B=2；3A0-A1+A2+2B+C=-1；A0-3A1-3A2-4B+2C=-1；4A0+3A1-8B-4C=9；4A0-4A1-2A2-8C=-10.解得：(A0=1; A1=2; A2=-1; B=-1; C=1.∴R(x)=1/(x-2)+2/(x+2)-1/(x+2)^2-(x-1)/(x^2-x+1).有时在通分得到分子恒等式之后，可以利用特值法来解决，往往都会比较简便，但不是一定会简便的。
有理函数积分拆多项式
有理函数积分拆多项式有理函数是指由多项式的比值构成的函数。
在数学中，我们经常遇到需要对有理函数进行积分的情况。
而有时候，对于某些特定的有理函数，我们可以通过拆分成多项式的和来简化积分的过程，从而更方便地求解问题。
我们来看一个简单的例子。
假设我们需要计算函数f(x) = (x^2 + 2x + 1)/(x + 1)的积分。
这是一个有理函数，分子是一个二次多项式，分母是一个一次多项式。
我们可以利用多项式除法将它拆分成多项式的和。
我们将分子x^2 + 2x + 1除以分母x + 1，可以得到商为x + 1，余数为0。
因此，我们可以将f(x)拆分成两个部分，即 f(x) = x + 1 + 0/(x + 1)。
这样，我们就将原函数拆分成了两个多项式的和。
接下来，我们可以对拆分后的两个多项式进行分别积分。
对于多项式x + 1来说，积分的结果就是它的每一项的积分结果的和。
由于x 和1都是一次多项式，它们的积分结果分别是x^2/2和x，因此x + 1的积分结果就是x^2/2 + x。
对于余数0/(x + 1)来说，它是一个常数函数，积分的结果就是这个常数乘以自变量的积分结果。
因为余数为0，所以这个常数为0，它的积分结果也就是0。
原函数f(x)的积分结果就是x^2/2 + x + 0，即F(x) = x^2/2 + x。
我们可以看到，通过将有理函数拆分成多项式的和，我们可以更容易地对每个多项式进行积分，从而得到原函数的积分结果。
当然，并不是所有的有理函数都可以直接拆分成多项式的和。
有些有理函数可能需要进行更复杂的分解和积分。
但是无论多复杂，拆分成多项式的和都是一个很常用的方法，它可以帮助我们简化积分的过程，使得计算更加方便快捷。
在实际应用中，拆分有理函数成多项式的和还可以帮助我们解决一些实际问题。
例如，在经济学中，有时候我们需要计算某个商品的需求函数的积分，以求得该商品的总需求量。
而需求函数往往可以表示成有理函数的形式，通过拆分成多项式的和，我们可以更好地理解和计算商品的需求情况。
拆解复杂数学问题的技巧
拆解复杂数学问题的技巧数学作为一门学科，常常涉及到各种各样的复杂问题。
解决这些问题，需要我们具备一定的技巧和方法。
在本文中，将介绍几种拆解复杂数学问题的技巧，希望能对读者有所帮助。
首先，拆解问题可以帮助我们更好地理解问题的本质。
有时候，我们在面对一个复杂的数学问题时，很容易感到迷茫。
这时候，我们可以尝试将问题拆分为多个较为简单的小问题。
例如，当遇到一个复杂的方程时，我们可以将其分解成多个简单的方程，再逐个解决。
这样做不仅可以帮助我们更好地理解问题的结构，还可以降低问题的难度。
其次，拆解问题可以帮助我们找到问题的关键。
有时候，数学问题中存在一些复杂的条件和变量，难以一下子抓住问题的关键点。
这时候，我们可以通过拆解问题，将其分解为多个部分，并逐个分析每个部分的关键点。
通过对每个部分的分析，我们可以逐渐找到问题的核心，从而更好地解决问题。
拆解问题还可以帮助我们发现问题的规律。
在数学中，很多问题都存在一定的规律。
通过拆解问题，我们可以更好地观察每个部分的特点，并从中找到问题的规律。
例如，在解决一个数列问题时，我们可以将数列分解成多个子数列，并观察每个子数列的规律。
通过总结每个子数列的规律，我们可以得到整个数列的规律，从而解决整个问题。
此外，拆解问题还可以帮助我们建立解题思路。
有时候，我们在面对一个复杂的数学问题时，很难一下子找到解题的思路。
这时候，我们可以通过将问题拆解为多个简单的子问题，并逐个解决，逐步建立解题思路。
通过分步解决子问题，可以帮助我们逐渐找到解决整个问题的思路和方法。
综上所述，拆解复杂数学问题是解决问题的一种有效方法。
通过拆解问题，我们可以更好地理解问题的本质，找到问题的关键，发现问题的规律，建立解题思路。
希望本文介绍的技巧对读者能够有所帮助，使大家能更好地应对复杂数学问题。
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1 答案：0，4
速解技法——学一招
经典好题——练一手
常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 巧拆函数
有效分离
结 束
2． (2017· 合肥质检)已知函数 f(x)＝xln x－aex(e 为自然对数的 底数)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是________．
(0，＋∞)． 1 a x－a f′(x)＝x－ 2＝ 2 . x x 因为 a>0，所以 x∈(0，a)时，f′(x)<0；x∈(a，＋∞) 时，f′(x)>0.
速解技法——学一招 经典好题——练一手 常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 巧拆函数
有效分离
所以函数 f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 所以 f(x)min＝f(a)＝ln a＋1. 又 f(1)＝ln 1＋a＝a>0， 1 所以当 ln a＋1≤0，即 0<a≤ 时，函数 f(x)有零点． e 所以实数 a
速解技法——学一招
经典好题——练一手
常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 巧拆函数
有效分离
[典例]
a 已知函数 f(x)＝ln x＋x(a>0)．
结 束
(1)若函数 f(x)有零点，求实数 a 的取值范围； 2 (2)证明：当 a≥ 时，f(x)>e－x. e
[解]
a (1)法一：由题意知，函数 f(x)＝ln x＋x的定义域为
1 的取值范围为0，e .
结 束
a 法二：由题意知，函数 f(x)＝ln x＋x的定义域为(0，＋∞)． a 由 f(x)＝ln x＋x＝0 有解，知 a＝－xln x 有解． 令 g(x)＝－xln x，则 g′(x)＝－(ln x＋1)．
速解技法——学一招 经典好题——练一手 常用结论——记一番
经典好题——练一手
常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 巧拆函数
有效分离
结 束
1＋ln x 令 g(x)＝ ， ex 1 x－1－ln x 则 g′(x)＝ ， ex 1 令 h(x)＝x－1－ln x(x>0)，得 h(x)在(0，＋∞)上为减函数， 且 h(1)＝0， 所以当 x∈(0,1)时，h(x)>0，故 g′(x)>0，g(x)为增函数， 当 x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，故 g′(x)<0，g(x)为减函数， 1 所以 g(x)max＝g(1)＝ ，又当 x→＋∞时，g(x)→0， e 1 1 所以 g(x)的图象如图所示，故 0<a< . 答案：0，e e
②
第二部分 板块(二) 巧拆函数
有效分离
[经典好题——练一手] 1．已知二次函数 f(x)＝x2＋x＋a，若 f(x)在区间[－1,1]上有两个
不同的零点，则 a 的取值范围是________．
结 束
解析： 法一： 设函数的两个零点分别为 x1， x2， 不妨设 x1<x2， 因为 x1， x2∈[－1,1]且 x1＋x2＝－1， 所以有 又因为 a＝x1· x2＝x1(－1－x1)，所以
结 束
①
所以函数 φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 1 所以 φ(x)max＝φ(1)＝ . e 1 故当 x>0 时，φ(x)≤ . e 显然，不等式①②中的等号不能同时成立． 2 故当 a≥ 时，f(x)>e－x. e
速解技法——学一招 经典好题——练一手 常用结论——记一番
1 x1∈－1，－2，
1 a∈0，4.
法二：设 g(x)＝x＋a，h(x)＝－x2，因为 a＝g(0)，显然 g(x) ＝x＋a 的图象是斜率为 1 且过点(0，a)的直线，要使 g(x)＝ x＋a 与 h(x)＝－x2 的图象在[－1,1]上有两个不同的交点， 则 必有
第二部分 板块(二) 巧拆函数
有效分离
结 束
因为当
1 x∈0， e 时，g′(x)>0，当
1 x∈e，＋∞时，
g′(x)<0， 所以函数 故
1 1 g(x)在0，e 上单调递增，在e，＋∞上单调递减，
1 1 g(x)max＝ge ＝－ ln e
第二部分 板块(二) 巧拆函数
有效分离
结 束
(十七)巧拆函数
有效分离
[速解技法——学一招]
若一个方程或不等式由几个基本初等函数组成，当整体 处理有困难或难度较大时，可以尝试通过拆分函数的方法去 解决，实际上参变分离即为拆分函数的一种特殊情况，参变 分离较多运用在带参数的二次方程或不等式中，而拆分函数 则有更大的运用范围.
解析：由题易知，f′(x)＝1＋ln x－aex，令 f′(x)＝0，得 a 1＋ln x ＝ ，函数 f(x)有两个极值点，则需 f′(x)＝0 有两个实 ex 1＋ln x 数根，等价于 a＝ 有两个实数根，等价于直线 y＝a 与 y ex 1＋ln x ＝ 的图象有两个交点． ex
速解技法——学一招
1 1 h(x)在0，e 上单调递减，在e，＋∞上单调递增．
1 1 h(x)min＝h e ＝－ ＋a． e
速解技法——学一招
经典好题——练一手
常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 巧拆函数
有效分离
2 1 1 故当 a≥ 时，h(x)≥－ ＋a≥ . e e)． 当 0<x<1 时，φ′(x)>0；当 x>1 时，φ′(x)<0.
1 1 ＝ . e e
1 因为 a＝－xln x 有解，且 x>0，a>0，所以 0<a≤ . e 所以实数 a
1 的取值范围为0，e .
速解技法——学一招
经典好题——练一手
常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 巧拆函数
有效分离
结 束
2 － (2)证明：要证当 a≥ 时，f(x)>e x， e 2 a －x 即证当 x>0，a≥ 时，ln x＋x>e ， e 即证 xln x＋a>xe－x， 令 h(x)＝xln x＋a，则 h′(x)＝ln x＋1. 1 1 当 0<x< 时，f′(x)<0；当 x> 时，f′(x)>0， e e 所以函数 所以