ch4中值定理及应用习题课(1)
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
中值定理练习题
中值定理练习题中值定理是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家Cauchy在19世纪初提出的。
中值定理可以帮助我们理解函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
在实际应用中，中值定理常常用于证明其他定理，或者用于解决一些实际问题。
首先，让我们回顾一下中值定理的表述。
中值定理有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这三种形式都是基于相同的思想，即在一个区间内，如果函数连续且可导，那么一定存在一个点，使得函数在该点的瞬时变化率等于函数在整个区间内的平均变化率。
以拉格朗日中值定理为例，假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导。
那么存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
接下来，我们来看几个关于中值定理的练习题。
练习题一：证明函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上满足中值定理的条件，并找出满足中值定理的点。
解答：首先，我们可以验证函数f(x)=x^3在闭区间[-1, 1]上是连续的。
因为多项式函数在整个实数域上都是连续的，所以f(x)=x^3在[-1, 1]上也是连续的。
其次，我们需要证明函数f(x)=x^3在开区间(-1, 1)上是可导的。
对于f(x)=x^3，我们可以直接求导得到f'(x)=3x^2。
因为3x^2在整个实数域上都是连续的，所以f'(x)=3x^2在(-1, 1)上也是连续的。
由于函数f(x)=x^3满足中值定理的条件，根据中值定理，存在一个点c∈(-1, 1)，使得f'(c)=(f(1)-f(-1))/(1-(-1))。
将函数f(x)=x^3代入上式，得到3c^2=(1^3-(-1)^3)/(1-(-1))=1。
解方程3c^2=1，我们可以得到c=±1/√3。
因此，满足中值定理的点c分别为c=1/√3和c=-1/√3。
高等数学《中值定理》习题课课件 一
整理得e [ f () f ()] e
即证
(5) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
有时也可考虑对导数用中值定理 . (6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
例9. 设函数
在
上二阶可导,
且
证明
证: x [0, 1] , 由泰勒公式得
f
(1)
f
(x)
f
( x)(1
m f (0), f (1), f (2) M
m
f (0) f (1) f (2) 3
M
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
由 罗分f (尔c析) 定: 所想理f (f3给到知()c条找), 必1件一,且存f 可点(0在f)写c(xf,为)3(使1在)(cf[fc(,f(0,32(3)))c])上f 3(11(连)0f,(续3f0())2,,)在使f3(1(1)cf,,(f3f()(2)3内))可01.导 ,
1 f ( ) (0 1)
24
f ( ) 24
例11 求下列极限 :
1) lim [x2 ln(1 1) x];
x
x
2)
lim
x0
1 x100
e
1 x2
;
3) lim ln(1 x x2 ) ln(1 x x2 ).
x0
sec x cos x
解: 1) lim [x2 ln(1 1) x]
(2)所证式中出现两端点, 可考虑用拉格朗日定理 .
例5 设f (x)在[a,b]上连续，在 (a,b)内可导
证明至少存在一点 (a,b)使得 bf (b) af (a) f ( ) f ( )
ba
中值定理习题word版
题型一：中值定理中关于θ的问题'20()arctan [0,],()(0)(),f x x C a f a f f a a θθ→=∈-=a 1.设求lim 。
'''01()()0,()()()(01)2h f x f x f x h f x f x h h lim θθθ→≠+=++<<=2.设二阶连续可导，且又。
证明：。
题型二：证明()()0n f ξ=常见思路：（1）罗尔定理； （2）极值法； （3）泰勒公式'()[0,3],(0,3)(0)(1)(2)3,(3)1,()0f x C f f f f f ξξ∈++==∈=1.设在内可导，且证明:存在（0,3）,使得。
3'''()[0,1](1)0,H()(),()0.f x f x x f x H ξξ==∈=2.设在上三阶可导，令证明：存在（0,1）,使得题型三：证明()0()(0)n f C ξ=≠思路：（1）高阶导数具有连续性； （2）辅助函数构造()[,],(,),f x C a b a b a b ξ∈∈1.设在内二阶连续可导，证明（）,使得2''()()2()()()24a b b a f b f f a f ξ+--+=''''()[1,1](1)0,(1)1,(0)0,(1,1),()3f x f f f f ξξ--===∈-=2.设在上三阶连续可导，且证明：存在使得1211211()12()()()()0,[,],(,)()()()()().!n n n n n n n a a a n f x a a f a f a f a c a a a a c a c a c a f c f n ξξ<<<====∈∈---=3.设为个不同的实数，函数在[,]上有n 阶导数，并满足则对每个存在满足等式题型四：结论中含有一个中值ξ，不含a ，b ，导数的差距为一阶1220'()[0,1],(1)2(),(0,1),()()0f x C f x f x dx f f ξξξξ∈=∈+=⎰1.设在(0,1)内可导，且证明：存在使得'12.()[1,2],(1,2)(1),(2)2,(1,2),22()()f x C f f f f ξξξξ∈==∈=设在内可导，且证明：存在使得'113.()[0,1],(0,1)(0)0,()1,(1)22()(2),(0,1),()[()]1f x C f f f f c c f k f ξξξξ∈===∈=∈+-=设在内可导，且(1)证明：存在c (0,1),使得对任意的实数k 存在使得题型五：含两个中值,ξη的问题'''()[,](,)()0,,(,),()()b a f x a b a b f x a b f e e ef b a ηξηξη-≠∈-=-1.设在上连续，在内可导，且证明：存在使得'2.()(,)()()1,()()f x a b f a f b f f eηξξηηη-==∈-=设在[a,b]上连续，在内可导，证明：存在，(a,b),使得''3.()[0,1],(0,1)(0)0,(1)1,(0,1),()()f x C f f a ba bf f ξηξη∈==∈+=+设在内可导，且证明：对任意的正数a,b,存在，使得23'''223212234.()[,],(,)(0),,,(,),()()()()()23f x C a b a b a a b f f f a b a ab b ξξξξξξξξ∈≥∈=+=++1设在内可导证明：存在使得题型六：含有a ，b 及中值ξ的问题情形一：a ，b 与ξ可分离1.0(),(,),()(1)b a ab a b a b ae be a b e ξξξ><∈-=--设证明：存在使得情形二：a ，b 与ξ不可分离''2.(),()[,],(,)()0,(,),()()()()()()f x g x a b a b x a b f a f f g g b g ξξξξξ∈≠∈-=-'设在内可导，且g 证明：存在使得七.杂例''''12121122''()()()0,()()0,(1)()+()0,()+()0(2)()()f x f a f b f a f b f f f f f f ξξξξξξξξξξξ+-==>∈≠==∈=设在[a,b]上二阶可导，且证明：存在，（a,b ）()使得存在（a,b ），使得八. ：中值定理证明不等式问题'1.()[,],(,)()(),(),()0f x C a b a b f a f b f x a b f ξξ∈=∈>在内可导，且不是常数，证明：存在（），使得'2.()[,],(,)()()()()f x C a b a b f x f b f a f b a ξξ∈∈->-设在内可导，且曲线y=非直线，证明：存在（a,b ）,使得''3.()[,],(,)()()0,()0f x C a b a b f a f b f f ξξ+∈==∈<’在内二阶可导，且（a ）>0,证明：存在（a,b ）,使得''''4.()[,]()2,()(,)()()2()f x a b f x f x a b f a f b b a ≤+≤-设在上满足且在内取到最小值，证明：01''5.()[0,1],(0,1)(0)(1)0,min ()1,()8x f x C f f f x f ξξ≤≤∈===-∈≥设在内可导，且证明：存在（0,1）,使得'''()[0,1](),(),(0,1),()22f x f x a f x b c bf x a ≤≤∈≤+6.设在上二阶可导，且对任意的证明：7.一车从开始启动（速度为零）到刹车停止用单位时间走完单位路程，证明至少有一个时间点其加速度的绝对值不小于4。
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第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中 ,在 1,1 上满足罗尔定理条件的函数是 ()A ． y8 x 1 B ． y 4x 2 1 C ． y1D ． y sin x1 x 22．函数 f x满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( )x A ． 2,2B ．2,0C ． 1,2D ． 0,13．方程 x 5 5x 1 0 在1,1 内根的个数是 ()A ．没有实根B ．有且仅有一个实根C ．有两个相异的实根D ．有五个实根4．若对任意 x a, b ，有 f x g x ，则 ( )A ．对任意 x a,b ，有 f x g xB ．存在 x 0 a,b ，使 f x 0 g x 0C ．对任意 x a,b ，有 f x g x C 0 ( C 0 是某个常数 )D ．对任意 x a,b ，有 f xg xC (C 是任意常数 )5．函数 f x3x 5 5x 3 在 R 上有 ()A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点6．函数 f x 2x 3 6x 2 18x 7 的极大值是 ()A ．17B ．11C ．10D ． 97．设 f x 在闭区间1,1 上连续，在开区间1,1 上可导，且 f xM ，f 0 0 ，则必有 ()A ． f xM． f xMC ． f x MD ． f x MB8．若函数 f x 在 a, b 上连续，在 a,b 可导，则 ()A ．存在 0,1 ，有 f b f a f b a b aB ．存在0,1 ，有 f af bf ab a b aC ．存在 a, b ，有 f a f b f a bD ．存在a, b ，有 fbf afa b9．若 a 2 3b 0 ，则方程 f x x 3 ax 2 bx c0 ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根 ．求极限 x 2 sin 1()limx时，下列各种解法正确的是10 sin xx 0A ．用洛必塔法则后，求得极限为 0B ．因为 lim 1不存在，所以上述极限不存在x 0 xx xsin 1C ．原式 lim 0x 0sin x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在11．设函数 y1 2x2 ，在 ()xA ． ,单调增加B ．,单调减少C ． 1,1 单调增加，其余区间单调减少D ．1,1 单调减少，其余区间单调增加e x ()12．曲线 y1 xA ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线 yx的渐近线 ()3 x 2 A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B ． x3 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D ． 只有水平渐近线2x 2 114．函数 f xx 3 1 3 在区间 0,2 上最小值为 ()A ． 729B ． 0C ．1D ．无最小值4x ln 1 x 15．求 limx 2x 01 116．求 limxx 0ln 1 x17．求 lim1 2 sin xxcos3x6118．求 lim 1 x 2 xx 01ln x19．求 limarctgxx220．求函数 y x 3 3x 29x 14 的单调区间。
微分中值定理与导数的应用习题课(一)
【例3】设 f ( x)在[0, a]上连续, 在 (0, a)内可导, 且 f (a) 0 . 证明存在一点 (0, a), 使 f ( ) f ( ) 0. 分析 从结论 f ( ) f ( ) 0 看等价于方程 x f ( x) f ( x) 0 有实根，但若利用零点定理，无法验证 f (0) f (a) 0，所以
证明: 设 F ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x, 易知多项式函数F ( x)在[0, x0 ] 上连续且可导，由题设
F ( x0 ) 0 F (0).
由罗尔定理，存在 (0, x0 ), 使 F ( ) 0, 即 a0n n1 a1 (n 1) n2 an1 0, 这说明 就是方程 a0nx n1 a1 (n 1) x n2 an1 0 的一个小于 x 0的正根.
2
x 1)
分析 证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：
如果函数 f ( x)在区间 I上的导数恒为零，那么 f ( x)在区间 I上是一个常数.
证明：设 f ( x) arcsin x arccos x,(1 x 1)
因 f ( x) 1 1 0,(1 x 1) 1 x2 1 x2
试证在(a,
b)内至少存在一点 ,
使 f (b)
f (a)
f ( ) ln b
a
成立.
分析
将所证等式变形为
f (b)
f (a)
f ( ) 或
ln b ln a 1
f (b) f (a) ln b ln a
f ( x)
ln x
,
x
可见，应对 f ( x)与 ln
x 在[a,
b]上应用
ln b ln a 1
《中值定理应用》课件
物理学
在物理学中，中值定理被用于解释和预测流体动力学、 电磁学等领域的现象，为物理学家提供了重要的工具。
中值定理的未来研究方向
深化理解
未来研究中，需要进一步深化对中值定理的理解，探索其在数学和其他领域中的更多应用。
交叉学科应用
鼓励跨学科的研究，将中值定理与其他数学分支或其他领域的知识相结合，开拓新的应用领域。
拉格朗日中值定理
如果一个函数在闭区间上连续，开区 间上可导，则存在至少一个点，使得 在该点的导数等于函数在该区间内平 均变化率的乘积。
在微分学中的应用
泰勒中值定理
任何在闭区间上连续的函数都可以用多项式 函数来近似，多项式的阶数取决于所要求的 精度。
柯西中值定理
如果两个函数在闭区间上连续，开区间上可 导，且在区间两端取值相等，则至少存在一 个点，使得两个函数在该点的导数之比等于 它们在该区间内平均变化率的比值。
中值定理应用
目录
CONTENTS
• 中值定理简介 • 中值定理的应用场景 • 中值定理在数学分析中的应用 • 中值定理在其他领域的应用 • 中值定理的最新研究进展
01 中值定理简介
中值定理的定义
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连 续，在开区间(a,b)上可导，且 $f(a)=f(b)$，那么在开区间(a,b)内至 少存在一点$xi$，使得$f'(xi)=0$。
中值定理在数学研究中的新进展
新的证明方法
近年来，数学家们不断探索中值定理的新证明方法， 使得定理的证明更加简洁明了，有助于加深对中值定 理的理解。
扩展到高维空间
随着数学的发展，中值定理的应用范围逐渐扩展到高 维空间，为解决高维数学问题提供了新的思路和方法 。
(完整版)中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案
第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21xy = D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f =C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数)D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．97．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( )A ．()M x f ≥B ．()M x f >C ．()M x f ≤D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根10．求极限xx x x sin 1sinlim20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为xx 1lim0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数212x xy +=，在 ( ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加12．曲线xe y x+=1 ( )A ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ． 只有水平渐近线14．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( )A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→16．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 0 17．求x xx 3cos sin 21lim6-→π18．求()xx x1201lim +→19．求xx arctgx ln 12lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→π20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。
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求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点和不可导点;
(3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号或 f ( x) 在 该点的符号,判断极值点; (4) 求极值.
11
(3) 最大值、最小值问题
步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
8
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
定理(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
定义 使导数为零的点(即方程f ( x) 0的实根)叫 做函数f ( x)的驻点. 驻点和不可导点统称为临界点.
20. 0 , ,00,1 ,0型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
0
注意：洛必达法则的使用条件.
6
6、导数的应用
(1) 函数单调性的判定法
定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内 可导. 10如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调增加； 20 如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调减少.
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内至少
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
5
4、洛必达法则
10. 0型及 型未定式 0
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
12
(4) 曲线的凹凸与拐点
定义 设f ( x)在(a,b)内连续,如果对(a,b)内任意
两点x1, x2 ,恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称f ( x)在(a,b)内的图形是凹的;
如果对(a,b)内任意两点x1, x2 ,恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
y f ( x0 x) x (0 1).
增量y的精确表达式.
4
推论 如果函数f ( x)在区间I上的导数恒为零, 那末f ( x)在区间I上是一个常数.
3、柯西中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x) 及F ( x)
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,且F ' ( x)
第四章 中值定理及应用 习题课
1
一、(x) x
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
Lagrange 中值定理
f (a) f (b)
Rolle 定理
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘。
2
1、罗尔中值定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x) 在闭区间 [a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,且在区间端 点的函数值相等，即 f (a) f (b),那末在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数f ( x) 在该 点的导数等于零，
即 f '() 0
3
2、拉格朗日中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f ( x) 在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,那 末在(a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
有限增量公式.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及x ( x0 , x0 )时, f '( x) 符
号相同,则 f ( x)在x0处无极值.
定理(第二充分条件)设 f ( x)在x0 处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极小值. 10
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
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那末称f ( x)在(a,b)内的图形是凸的;
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定理1 如果f ( x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶
导数, 若在(a , b)内 (1) f ( x) 0,则f ( x)在[a,b]上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则f ( x)在[a,b]上的图形是凸的;
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定理(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而x ( x0 , x0 ) ,
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而x ( x0 , x0 )
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(2) 函数的极值及其求法
定义设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是(a,b)内 的一个点,
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.