§4 OK函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别
函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用函数项级数是数学中的一个重要概念，它是由一系列函数组成的无穷级数。
在数学分析、实变函数等领域中，函数项级数的一致收敛性判别及其应用是一个重要的研究方向。
本文将围绕函数项级数一致收敛性判别及其应用展开讨论，深入探讨其相关理论和具体应用。
一、函数项级数的定义我们来看一下函数项级数的定义。
给定一列函数{f_n(x)}，它们在某个区间E上定义。
那么我们可以定义函数项级数\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)，它表示无穷多个函数的和。
这里的x是自变量，表示定义域内的任意一个点。
函数项级数的和可以表示为S(x) =\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)。
在这里，S(x)是一个新的函数，称为函数项级数的和函数。
函数项级数的一致收敛性是指当级数的和函数S(x)在定义域E上一致收敛时。
这意味着对于给定的\epsilon > 0，存在N \in \mathbb{N}，对于任意的n > N和x \in E，都有|S(x) - \sum_{k=1}^{n} f_k(x)| < \epsilon成立。
也就是说，函数项级数的和函数S(x)对于定义域上的任意点x，都可以在n足够大的时候以任意小的误差逼近其部分和\sum_{k=1}^{n} f_k(x)。
一致收敛性要求级数的收敛速度对于定义域E上的所有点x都是一样的，因此是比点态收敛性更强的一种收敛性。
函数项级数的一致收敛性是一个重要的性质，因为它保证了级数的和函数在其定义域上的良好性质。
而对于给定的一列函数，我们如何判断它的级数的一致收敛性呢？下面我们将介绍一些常用的判别法则。
1. Weierstrass判别法Weierstrass判别法是函数项级数一致收敛性的一个重要判别法则。
它的表述如下：若对于每个正整数n，函数f_n(x)在区间E上都有|f_n(x)| \leq a_n成立，并且级数\sum_{n=1}^{\infty} a_n收敛。
数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
函数项级数收敛和一致收敛的判别
函数项级数收敛和一致收敛的判别函数项级数收敛和一致收敛的判别函数项级数是指将一列函数相加得到的级数，例如：$%sum%limits_{n=1}^%infty f_n(x)$。
如果该级数在某个区间内收敛，则称该级数在该区间内收敛，否则称该级数在该区间内发散。
函数项级数的收敛性可以分为点态收敛和一致收敛两种。
点态收敛是指对于每一个$x$，级数$%sum%limits_{n=1}^%inftyf_n(x)$都收敛，而一致收敛则是指存在一个收敛的函数$S(x)$，使得对于任意$%epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，对于所有$x$都有$|%sum%limits_{k=1}^n f_k(x)-S(x)|<%epsilon$。
下面将介绍函数项级数的一致收敛的判别方法：一、Weierstrass判别法Weierstrass判别法是判定函数项级数一致收敛的最常用方法之一。
其基本思想是将原函数项级数中的每一项$f_n(x)$都用一个上界函数$M_n(x)$来代替，并且要求这个上界函数满足以下两个条件：1. 对于任意$n$和$x$，都有$|f_n(x)|%leq M_n(x)$。
2. 上界函数$M_n(x)$的函数项级数$%sum%limits_{n=1}^%infty M_n(x)$在该区间内收敛。
如果满足上述条件，则原函数项级数在该区间内一致收敛。
二、Abel判别法Abel判别法是另一种判定函数项级数一致收敛的方法。
其基本思想是将原函数项级数表示为两个部分的乘积：$%sum%limits_{n=1}^%infty a_n(x)b_n(x)$，其中$a_n(x)=%sum%limits_{k=1}^n f_k(x)$，$b_n(x)$是一个单调有界函数。
如果满足以下两个条件，则原函数项级数在该区间内一致收敛：1. 函数$a_n(x)$在该区间内一致有界。
2. 函数$b_n(x)$在该区间内一致收敛到某个函数$B(x)$。
§4 函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别练习参考解答
§4 函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别练习参考解答1．讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性(1) ()n f x =(,)x ∈-∞+∞； (2) ()sin ,n x f x n =(,)x l l ∈-； (3) (),1n nxf x nx =+ (0,1)x ∈；(4) 1(),1n f x nx=+ ① [,),0,x a a ∈+∞> ② (0,)x ∈+∞；(5) 2233(),1n n x f x n x=+ ① [,),0,x a a ∈+∞> ② (0,)x ∈+∞； (6) (),1n nxf x n x=++ [0,1]x ∈； (7) 2(),n n n f x x x =- [0,1]x ∈(8) 1(),n n n f x x x +=- [0,1]x ∈； (9) ()ln ,n x xf x n n= (0,1)x ∈；(10) 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,)x ∈-∞+∞；(11) 2()(),x n n f x e --=① [,],x l l ∈- ② (,)x ∈-∞+∞。
解 (1) x x f =)(，由于n x nx x f x f n 11)()(22≤-+=-，于是 )()(sup),(),(x f x f f f d n x n -=+∞-∞∈)(0∞→→n ，所以{})(x f n 在(,)-∞+∞上一致收敛。
(2) 对于()0sinlim )(lim ,,==-∈∀∞→∞→nxx f l l x n n n ， 所以极限函数()0≡x f []l l x n ,sup lim -∈∞→=-)()(x f x f n ()l l x n ,sup lim -∈∞→0sin-nx0=。
所以()sin ,n xf x n=在()l l ,-上一致收敛。
(3) 对于()1,0∈∀x 11lim)(lim ,=+=∞→∞→nx nxx f n n n ，所以极限函数()1≡x f ()1,0sup lim ∈∞→x n =-)()(x f x f n ()1,0suplim ∈∞→x n 11-+nxnx0≠。
函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用函数项级数是由一系列函数的和组成的级数，通常用于描述函数的展开式或泰勒级数。
对于某些函数项级数，我们希望判断其在一定的条件下是否具有一致收敛性，这对于分析和解决问题具有很大的价值。
本文将介绍一些函数项级数一致收敛性的判别方法及其应用。
一、函数项级数收敛的定义设 $f_n$ 为定义在区间 $I$ 上的函数序列，如果存在函数 $f$ 使得$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ 对于所有 $x\in I$ 成立，则称函数序列$\{f_n\}$ 在 $I$ 上逐点收敛于函数 $f$，并记为 $f_n\to f$（$n\to\infty$）。
二、Weierstrass 判别法Weierstrass 判别法是判断函数项级数一致收敛性的重要方法之一。
它通常用于非负函数项级数。
证明如下：设 $s_N(x)=\sum_{n=1}^{N}f_n(x)$ 为前 $N$ 项和函数，$s(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 为级数的和函数。
由于 $|f_n(x)|\leq M_n$，所以对于 $m>n$，有 $|s_m(x)-s_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|\leq \sum_{k=n+1}^{m}M_k$。
三、Abel 判别法1. 证明 Riemann 积分的线性性如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，则它们的线性组合$\alpha f(x)+\beta g(x)$ 也在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，并且$$\int_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int_a^bf(x)dx+\beta\int_a^bg(x)dx$$如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续，则它们的线性组合也在$[a,b]$ 上一致连续。
§4 OK函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别
§4 函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的Cauchy 准则；函数项级数一致收敛性的Weierstrass 判别法；Dirichlet 判别法和Abel 判别法。
4.1 一致收敛性1 函数列及极限函数定义 4.1(逐点收敛) 对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，若I x ∈∀，数列{})(x f n 收敛，设它的极限是)(x f ，即I x ∈∀，有 )()(lim x f x f n n =∞→，则称函数列{})(x f n 在区间I 收敛于)(x f ，并称)(x f 是函数列{})(x f n 的极限函数。
例4.1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x ，用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-，且∞→n l i m )(x f n = ∞→n lim n x =⎩⎨⎧=<. 1, 1 , 1 ||, 0 x x (4.1)证 任给0>ε（不妨设1<ε），当10<<x 时，由于nn x x f x f =-)()(，故只要取xx N ln ln ),(εε=，则当),(x N n ε>时，就有ε<-)()(x f x f n 。
而当0=x 和1=x 时，则对任何正整数n ，都有ε<=-0)0()0(f f n ，ε<=-0)1()1(f f n 。
这就证得{}n f 在]1,1(-上收敛，且有(4.1)式所表示的极限函数。
当1>x 时，则有)(∞→+∞→n x n，当1-=x 时，对应的数列为 ,1,1,1,1--它显然是发散的。
所以函数列{}n x 在区间]1,1(-外都是发散的。
例4.2 设)(x f n =nnxsin 。
用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0。
函数项级数和函数列一致收敛
函数项级数和函数列一致收敛函数项级数和函数列是数学中非常重要的概念。
在许多数学领域，我们经常会遇到这两个概念，并且它们在解决许多问题时发挥着重要的作用。
本文将介绍函数项级数和函数列的概念，并探讨它们之间的联系和应用。
首先，我们来看看函数项级数的概念。
一个函数项级数是指一系列函数的无穷和。
具体而言，给定一个函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$，其中$f_n(x)$是一个函数序列。
我们可以将级数记为$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$。
函数项级数的收敛性是指$S(x)$是否存在有限的极限。
当级数对于所有的$x$都收敛时，我们说该函数项级数是一致收敛的。
与之相对应的是函数列。
函数列是一系列函数的序列。
对于给定的$x$，函数列的极限是指当$n$趋向于无穷大时，函数序列中的每个函数在$x$处的极限都存在，并且这些极限构成了一个函数。
具体而言，给定一个函数列$(f_n(x))$，其极限为$f(x)$，可以表示为$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$。
函数项级数和函数列之间存在着紧密的联系。
实际上，函数项级数可以看作是函数列的一种特殊情况。
考虑一个函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$，我们可以构造一个函数列$(S_n(x))$，其中$S_n(x)$表示级数的部分和，即$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$。
函数列$(S_n(x))$就是函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$的部分和函数列。
一个重要的问题是函数项级数和函数列的收敛性之间的关系。
当级数对于所有的$x$都收敛时，我们说该函数项级数是一致收敛的。
类似地，当函数列对于所有的$x$都收敛时，我们也说该函数列是一致收敛的。
可以证明，函数项级数的一致收敛性等价于其部分和函数列的一致收敛性。
也就是说，如果函数项级数收敛于函数$S(x)$，那么它的部分和函数列也收敛于$S(x)$。
函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用1. 引言1.1 研究背景函数项级数是数学分析中一个重要的研究对象，它是由无穷个函数组成的无穷级数求和。
在实际的应用中，往往需要研究级数的收敛性，其中一致收敛性是一个重要的性质。
一致收敛性指的是对于每一个给定的ε>0，存在一个N，使得当n>N时，级数的部分和与其极限的差的绝对值小于ε。
函数项级数一致收敛性的研究有着重要意义，它可以帮助我们更好地理解函数序列之间的关系，从而应用到不同的数学问题中。
函数项级数的一致收敛性判别方法有多种，比较判别法和魏尔斯特拉斯判别法是常用的方法之一。
比较判别法通过比较级数与已知收敛的级数的大小关系来判断级数的收敛性，而魏尔斯特拉斯判别法则利用函数项级数中的Cauchy收敛原理来判断其收敛性。
在实际应用中，函数项级数的一致收敛性判别方法可以帮助我们解决各种数学问题，例如在微积分和数学分析中的应用。
通过深入研究函数项级数的一致收敛性，我们可以更好地理解其数学性质，为进一步的研究提供基础。
【研究背景】1.2 研究意义函数项级数是数学中重要的概念之一，它在分析学、数学物理等领域中有着广泛的应用。
研究函数项级数的一致收敛性对于深入理解这一概念的性质和特点具有重要意义。
一致收敛性是函数项级数收敛的一种较强的方式，它能够保证收敛的速度和稳定性，从而使得我们能够更好地掌握级数的性质和行为。
研究函数项级数的一致收敛性，不仅可以帮助我们更好地理解级数的收敛性质，还可以为我们解决实际问题提供有力的数学工具。
在实际应用中，我们经常会遇到需要考察函数项级数的收敛性的情况，比如在数值计算、信号处理、概率论等领域中都会涉及到函数项级数的处理。
研究函数项级数的一致收敛性具有重要的理论意义和实际应用价值。
1.3 研究目的研究目的是对函数项级数的一致收敛性进行深入探讨，通过研究不同的判别方法来确定函数项级数是否在整个定义域上一致收敛。
通过对比比较判别法和魏尔斯特拉斯判别法的优缺点，可以更好地理解和判断函数项级数的收敛性。
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§4 函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的Cauchy 准则；函数项级数一致收敛性的Weierstrass 判别法；Dirichlet 判别法和Abel 判别法。
4.1 一致收敛性1 函数列及极限函数定义 4.1(逐点收敛) 对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，若I x ∈∀，数列{})(x f n 收敛，设它的极限是)(x f ，即I x ∈∀，有 )()(lim x f x f n n =∞→，则称函数列{})(x f n 在区间I 收敛于)(x f ，并称)(x f 是函数列{})(x f n 的极限函数。
例4.1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x ，用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-，且∞→n l i m )(x f n = ∞→n lim n x =⎩⎨⎧=<. 1, 1 , 1 ||, 0 x x (4.1)证 任给0>ε（不妨设1<ε），当10<<x 时，由于nn x x f x f =-)()(，故只要取xx N ln ln ),(εε=，则当),(x N n ε>时，就有ε<-)()(x f x f n 。
而当0=x 和1=x 时，则对任何正整数n ，都有ε<=-0)0()0(f f n ，ε<=-0)1()1(f f n 。
这就证得{}n f 在]1,1(-上收敛，且有(4.1)式所表示的极限函数。
当1>x 时，则有)(∞→+∞→n x n，当1-=x 时，对应的数列为 ,1,1,1,1--它显然是发散的。
所以函数列{}n x 在区间]1,1(-外都是发散的。
例4.2 设)(x f n =nnxsin 。
用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0。
证 由于对任何实数x ，都有nn nx 1sin ≤， 故对任给的0>ε，只要ε1=>N n ，就有ε<-0sin n nx 。
所以函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nx sin 的收敛域为无限区间),(+∞-∞，函数极限0)(=x f 。
例4.3 考查以下函数列的收敛域与极限函数：) (∞→n 。
⑴ )(x f n =xx xx nn n n --+-。
)(x f n →,sgn x x Ρ。
⑵ )(x f n =121+n x 。
)(x f n →,sgn x x Ρ。
⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列。
令)(x f n =⎩⎨⎧≠∈=.,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D ， ∈x ] 1 , 0 [。
⑷ )(x f n =2222x n xe n -。
)(x f n →0，x Ρ。
⑸ 设 )(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n n n n n有)(x f n →0，∈x ] 1 , 0 [，) (∞→n 。
（ 注意⎰≡101)(dx x f n ）2 函数列的一致收敛性问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f ，) (∞→n 。
试问：通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的。
上述例4.1、例4.3⑴⑵说明连续性未能遗传，而例4.3⑶说明可积性未能遗传。
例4.3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传， 但∞→n lim()⎰⎰∞→≠110)(lim )(dx x f dx x f n n n 。
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段。
特别是表达非初等函数的一种手段。
对这种函数，∞→n lim )(x f n 就是其表达式。
于是，由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要。
那末，在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”。
一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果。
定义4.2(一致收敛) 设函数列{})(x f n 在区间I 收敛于极限函数)(x f 。
若任意的0>ε，存在,N n N ?¥＞，I x ∈∀，有ε＜)()(x f x f n -， (4.2)称函数列{})(x f n 在区间I 上一致收敛或一致收敛于极限函数)(x f 。
记作)(x f n −−→−vc u..)(x f 。
一致收敛的几何意义。
定理4.1(一致收敛的Cauchy 准则) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛，⇔0 , N e ">$ ¥， , , N n m >∀⇒ ε<-n m f f 。
( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f 。
)证 ⇒ ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-)⇐ 易见逐点收敛。
设∞→n lim )(x f n =，……，有 2|)()(|ε<-x f x f n m 。
令∞→m ，⇒ εε<≤-2|)()(|x f x f n 对∈∀x D 成立，即)(x f n −−→−vc u ..)(x f ，) (∞→n ，∈x D 。
定理4.2 在D 上n f −−→−vc u ..f ，) (∞→n ，⇔ 0|)()(|sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n 。
证明 ⇒ 已知函数列{})(x f n 在区间D 一致收敛于极限函数)(x f ，即0,,N n N e "$?¥＞＞，D x ∈∀，有ε＜)()(x f x f n -。
从而，ε≤-∈|)()(|sup x f x f n Dx ，即0|)()(|sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n 。
⇐ 已知0|)()(|sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n ，即0,,N n N e "$?¥＞＞，有ε＜|)()(|sup x f x f n Dx -∈。
从而，D x ∈∀，有ε＜)()(x f x f n -，即函数列{})(x f n 在区间D 一致收敛于极限函数)(x f 。
推论 设在数集D 上 )(x f n →)(x f ， ) (∞→n 。
若存在数列}{n x ⊂D ， 使0 |)()(|→/-n n n x f x f ，则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛。
应用此推论判断函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛时，常选 n x 为函数=)(x F n )(x f n ―)(x f 在数集D 上的最值点。
3 验证函数列一致收敛性 例4.4 设 )(x f n nnxsin =。
证明函数列)}({x f n 在¡内一致收敛。
证明 sin 1lim sup |()()|lim suplim 0n n n n x xx f x f x nn挝-=? ，所以，由定理4.2，函数列)}({x f n 在¡内一致收敛。
例4.5 证明函数列 221)(xn nxx f n +=在 ]1,0[ 上收敛但不一致收敛。
证明 1） 函数列在 ]1,0[ 上收敛。
显然 对任意的]1,0[∈x ，0)(21→+=nxnx f nn ； 2） 但 )(x f n 不一致收敛于0 先看一看函数列的图像可以看出，对于 5.00<ε，无论 n 再大，)(x f n 的图像总有一部分落在0ε－带以外。
事实上存在 01n x n =，0001|()()|2n n f x f x e -=>，所以该函数列是不一致收敛的。
例4.6 设 )(x f n 2222x n xen -=。
证明在¡内 )(x f n →0， 但不一致收敛。
证 显然有)(x f n →0， |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫⎝⎛-ne n f n ，) (∞→n 。
由推论，)}({x f n 不一致收敛。
例4.7 设 221)(xn x x S n +=。
证明在) , (∞+∞-内)(x S n −−→−vc u ..0， ) (∞→n 。
证 易见 ∞→n lim ()()0n S x S x ==，而由nnx x n n x n x x S x S n 21)(1||2211|||)()(|222≤+⋅=+=- 可知1lim sup |()()|lim02n n n x S x S x nÎ-?¡。
所以，由定理4.2，函数列{()}n S x 在¡内一致收敛。
例4.8 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 (, 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n 证明：∞→n lim )(x f n =0， 但在] 1 , 0 [上不一致收敛。
证 10≤<x 时， 只要1->x n ， 就有)(x f n =0。
因此， 在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0。
0)0(=n f ， ⇒ )0(f =∞→n lim )0(n f =0。
于是， 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0。
但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x ， ) (∞→n ，因此 ， 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛。
例4.9 设)(x f n n x =。
证明函数列)}({x f n 在]1,0[上不一致收敛，但在1,],0[<αα 上一致收敛。
证明 先看看该函数列的图像对于10<ε，不管n 再大，n x 的图像总有一部分落在0ε－带以外。
事实上，我们容易看出n e n n ⇒→-1)11( 充分大时，31)11(>-n n 所以该函数列在]1,0[上不一致收敛。
再看看该函数列在 1,],0[<αα 上的图像对任意的 0>ε，总存在N Î¥，当n N >时，n x 的图象将全部落入ε－带之内。