云南2016届中考数学第一部分教材知识梳理第七章第三节图形的相似(含位似)
中考数学复习第30课时 图形的相似与位似
1. 定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形 叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的 相似比．
2. 性质：(1)相似多边形的对应边_成__比__例___； (2)相似多边形的对应角__相__等__； (3)相似多边形周长的比__等__于__相似比，相似多边形面积
的比等于___相__似__比__的__平__方___．
(三) 中考题型突破
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心
的位似图形，且相似比为
1, 3
∴
AD 1 . BG 3
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2.∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，
∴ OA AD 1 , ∴ OA 1 , OB BG 3 2 OA 3
解得：OA＝1，
∴OB＝3，∴C点坐标为(3，2)．
依题意，有△ADE∽△ABC.因为△ADE与△ABC 的周长之比为2∶3，所以 AD 2 . 由AD＝4，得AB
AB 3 ＝6，所以DB＝6－4＝2.
(三) 中考题型突破
4. (中考南京)如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 AD CD . CD BD
(1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB的大小． 证明：(1)∵CD是边AB上的高，
(三) 中考题型突破
2. (中考连云港一模)如图，将△ABC的三边分别扩大 一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点 为位似中心的位似图形，则P点的坐标是( A ) A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4)
(三) 中考题型突破
3．(中考咸宁)如图, 以点O为位似中心，将△ABC放 大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为( B ) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶6
中考数学知识点总结图形的相似
中考数学知识点总结图形的相似在中考数学中，图形的相似是一个重要的知识点。
它不仅在几何题目中频繁出现，也是解决实际问题的有力工具。
下面就让我们一起来详细了解一下图形相似的相关知识。
一、相似图形的概念相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。
比如说，两个正方形，它们的边长可能不同，但形状是一样的，这就是相似图形。
相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形就是相似多边形。
二、相似三角形1、相似三角形的判定（1）两角分别相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
（1）相似三角形对应边的比等于相似比。
（2）相似三角形对应角相等。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
三、相似三角形的应用1、测量高度在实际生活中，我们常常需要测量一些物体的高度，比如旗杆、建筑物等。
这时就可以利用相似三角形的知识来解决。
通过测量一些已知长度的线段和对应的角度，构建相似三角形，从而求出物体的高度。
2、测量距离相似三角形还可以用于测量距离。
比如，在河的一岸要测量到对岸某一点的距离，可以在这一岸选取两个点，构建相似三角形，通过测量已知边的长度和角度，来计算出河的宽度。
四、位似图形1、位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
（2）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。
3、位似图形的作图在位似图形的作图中，要先确定位似中心，然后根据位似比确定对应点的位置，最后连接各点得到位似图形。
中考数学专题复习《相似(含位似)》课件
知识点3：相似三角形
概 对应角相等，对应边成比例的三角形叫作相似三角形.相似三角形对应边的比叫 念 作相似比.
1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例； 性 2.相似三角形的对应高线的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 质
.
13..平相行似于三三角角形形的一周边长的比直等线于和相其似他比两，边面相积交比，等所于构相成似的比三的角平形方与. 原三角形相似； 2.两组角对应相等的两个三角形相似； 判 3.两边对应成比例且两边夹角相等的两个三角形相似； 定 4.三边对应成比例的两个三角形相似； 5.两直角三角形满足一组锐角相等或两直角边对应成比例或
知识点5：图形的位似
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点， 概念 对应边互相平行，那么这样的图形叫作位似图形，这个点叫做位
似中心，此时的相似比又称为位似比.
1.位似图形任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比； 2.位似图形任意一组对应边都互相平行(或在一条直线上)； 性质 3.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那 么位似图形上的对应点的坐标的比等于k或－k.
知识点1：比例线段及性质
比例 线段
比例 Байду номын сангаас项
比例 的性
质
黄金分割： 概念 【温馨提示】一条线段上有两个黄金分割点
知识点2：平行线分线段成比例
图示
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，简称平 基本
行线分线段成比例. 事实
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得 推论 的对应线段成比例.
作图步骤
(1)确定位似中心; (2)确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点; (3)描出新图形.
图形的位似—知识讲解
图形的位似--知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化. 【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.【典型例题】类型一、位似多边形1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选D ．【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）.A. 3倍B.21C.31 D.不知AB 的长度，无法判断【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.A B DE【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．A 1B 1C 1D 1E 1【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD； ∴四边形DEFG 即为所求．类型二、坐标系中的位似图形B C3.（优质试题•漳州）如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形．【思路点拨】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．4.（优质试题春•威海期末）如图△ABC的顶点坐标分别为A （1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为．【思路点拨】（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F 的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．【答案与解析】解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作；（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.。
云南中考数学 第一部分 教材知识梳理 第七章 第一节
图形的变化第一节视图与投影（含尺规作图）命题点1 常见几何体视图的判定(昆明考查1次，曲靖考查2次)1．(’13昆明2题3分)下面所给几何体的左视图是( )2. (’14曲靖3题3分)在下列几何体中，各自的三视图中只有两种视图相同的几何体是( )3. (’15曲靖2题3分)如图是一个六角螺栓，它的主视图和俯视图都正确的是( )命题点2 正方体组合体视图的判定(昆明考查2次)1. (’14昆明2题3分)左下图是由3个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是( )2. (’15昆明3题3分)由5个完全相同的正方体组成的立体图形如图所示，则它的俯视图是( )命题点3 已知三视图还原几何体及其相关计算(省卷考查2次，曲靖考查1次)第1题图1. (’14云南4题3分)如图是某几何体的三视图，则这个几何体是( )A. 圆柱B. 正方体C. 圆锥D. 球2. (’13曲靖3题3分)如图是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图是( )3. (’15云南3题3分)若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，则这个几何体是( )A. 正方体B. 圆锥C. 圆柱D. 球命题点4 几何体的表面展开图1. (’13玉溪2题3分)如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图，第1题图那么在原正方体中和“国”字相对的面上的字是( )A. 中B. 钓C. 鱼D. 岛2. (’13德宏13题3分)以下三组图形都是由四个等边三角形组成，能折成多面体的选项序号是______．第2题图命题点5 尺规作图(曲靖考查3次)1. (’14曲靖8题3分)如图，分别以线段AC的两个端点A、C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于B、D两点，连接BD、AB、BC、CD、DA.以下结论：①BD垂直平分AC，②AC平分∠BAD，③AC＝BD，④四边形ABCD是中心对称图形．其中正确的有( )A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④第1题图第2题图2. (’13曲靖8题3分)如图，以∠AOB的顶点O为圆心，取适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C、D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD.则下列说法错误的是( )A. 射线OE是∠AOB的平分线B. △COD是等腰三角形C. C、D两点关于OE所在直线对称D. O、E两点关于CD所在直线对称【答案】命题点1 常见几何体视图的判定1. A 【解析】本题考查三视图的有关概念．从侧面由左向右观察物体得到的视图叫左视图．圆锥的左视图与主视图相同，都是一个等腰三角形，所以选A.2. C 【解析】根据三视图的概念采用选项分析法如下：选项图形主视图左视图俯视图球圆圆圆正方体正方形正方形正方形圆柱长方形圆长方形三棱柱长方形三角形两个长方形一题多解：球和正方体都是三种视图相同的几何体，故可以先排除选项A、B，再对C、D分别进行分析即可得到答案．3. C 【解析】从物体正面看到的平面图形分为两部分，上面是一个矩形，下面是一个含有两条棱的矩形，从物体上面看到的平面图形是一个六边形且六边形内含有一个圆的图形，故选项C正确．命题点2 正方体组合体视图的判定1. B 【解析】主视图是从几何体正面看得到的图形，题中的几何体从正面看，得到的图形第一列是上下叠放的两个正方形，第二列是一个在下边的正方形，满足条件的只有B选项．2. C 【解析】本题考查几何体的三视图．由几何体的上方向下看，可以得到两行小正方形，其中上面一行有3个，下面一行有1个，且下面一行的1个小正方形在最左侧 .命题点3 已知三视图还原几何体及其相关计算1. C 【解析】本题考查了由几何体的三视图判断几何体的形状，逐项分析如下：选项主视图左视图俯视图正误A×B×C√D×2. A 【解析】从三视图可以知道，该几何体是一个圆柱，圆柱的侧面展开图是一个矩形，所以选A.3. A 【解析】本题考查根据几何体的三视图还原几何体．∵正方体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，∴这个几何体是正方体．命题点4 几何体的表面展开图1. C 【解析】正方体是由六个面组成的，每个顶点处邻接三个面，所以如果是对面，就说明这两个面没有公共顶点．这样就排除了其中的三个字“中”、“的”、“钓”，然后利用空间想象能力可知“鱼”在“国”的对面，所以选C.2. (1)(3) 【解析】本题的有效方法是动手操作，通过验证确定答案．命题点5 尺规作图1. C 【解析】由作图可知，AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，由菱形的性质可知，BD与AC互相垂直平分；AC和BD分别平分一组对角，菱形是中心对称图形，但AC≠BD，矩形的对角线才相等，所以选C.2. D 【解析】根据作图的方法逐一判断四个选项的正误．选项逐项分析正误A 根据作图方法可知△OCE≌△ODE(SSS)，所以∠AOE＝∠BOE，所以OE为∠AOB的平分线√B根据作图方法可知，OC＝OD，所以△COD是等腰三角形√C△OCE≌△ODE(SSS)，所以C点与D点关于直线OE对称√D因为两个弧的半径不同，所以点O、E点不是关于直线CD的对称点×。
中考数学(云南版)精讲课件：7.3
中考金题·精析
相似三角形的判定
【例 1】 (2015·梅州)已知：△ABC 中，点 E 是 AB 边的 中点，点 F 在 AC 边上，若以 A，E，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是 _A_F_＝__12_A__C_或__∠__A__F_E_＝__∠__A_B__C_.(写出一个即可)
【思路点拨】 本题考查相似三角形的判定．根据相似三 角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于 没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．
【解答】 分两种情况： ①∵△AEF∽△ABC，∴AE∶AB＝AF∶AC，即 1∶2＝AF∶ AC，∴AF＝12AC； ②∵△AFE∽△ABC，∴∠AFE＝∠ABC，∴要使以 A、E、 F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 AF＝12AC 或∠AFE＝ ∠ABC.
4．相似三角形解决实际问题中的应用
相似 建模思想
建立相似三角形模型
三角
形在
(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角
实际 生活 中的
常见题 目类型
形求解； (2)计算从底部能直接测量的物体的高度； (3)计算从底部不能直接测量的物体的高度；
应用
(4)计算不能直接测量的河的宽度.
知识点四 位似
1．概念：如果两个不仅是相似图形，而且对应顶点的连 线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心．
△ADE∽△ACB，得到AADC＝DBEC，代入已知数据即可. 【解答】∵△ADE∽△ACB，∴AADC＝DBCE，又AADC＝23，DE
＝10，∴BC＝15.
【例 3】 (2014·曲靖)如图，把一张三角形纸片 ABC 沿中 位线 DE 剪开后，在平面上将△ADE 绕着点 E 顺时针旋转 180°， 点 D 到了点 F 的位置，则 S△ADE∶S▱BCFD 是( A )
中考新突破(云南版)2016年中考数学第1部分教材同步复(精)
知识点五 圆内接四边形及其性质
1．定义：在同圆或等圆内，四边形的各个顶点在同一个 圆上的四边形叫做圆的内接四边形．
2．性质：
(1)圆内接四边形的对角互补． (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相 邻的内角的对角)．
中考金题·精析
垂径定理及推论
【例 1】 (2015· 湘西)如图，在⊙O 中，∠OAB＝45° ，圆
知识点三 弦、弧、圆心角
等圆或同圆中，相等的圆心角所对的_____ 弧 相 1．定理：在__________ 弦 相等，所对的_______ 弦心距 相等． 等，所对的_____ 2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 一组量相等，那么它 两条弦或两条弦的弦心距这四组量中有___________
并且平分弦所对的弧．
3．垂径定理与推论的延伸：根据圆的对 称轴(如图所示)， 在以下五条结论中， ①AC ＝ BC ；②AD ＝BD ；③AE＝BE；④AB⊥CD； ⑤CD 是直径. 只要满足其中两个，另外三个 结论一定成立，即知二推三．
【注意】 在使用垂径定理的推论时注意“弦非直径”这
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一条件，因为所有的直径互相平分，但互相平分的直径不一定 垂直．
3．圆的有关概念：(1)弦：连接圆上任意两点的线段；(2) 半径 的2倍；(3)弧：圆上任意 直径：经过圆心的弦，直径等于_____ 两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫 优弧；(4)圆心角：顶点在圆心且两边都和圆相交的角叫圆心
角；(5)圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫圆周角．
【解答】 连接 BC，∴∠D＝∠A，∵AB 是⊙O 的直径， AC ∴∠ACB＝90° ， ∵AB＝3×2＝6， AC＝2， ∴cosD＝cosA＝ ＝ AB 2 1 ＝ . 6 3
初三数学图形的相似知识点1
1.各角分别相等、的两个多边形叫做相似多边形,根据这个定义,两个形一定是相似的.2.正方形ABCD的边长为3,正方形A'B'C'D'的边长为2,则正方形ABCD及正方形A'B'C'D'的相似比为,正方形A'B'C'D'及正方形ABCD的相似比为.一、相似三角形(1)相似三角形的定义:若两个三角形的三角分别相等,三边成比例,则这两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的定义是由相似多边形的定义迁移得到的.(2)相似三角形的表示:如果ΔABC及ΔA'B'C'相似,就记作ΔABC ∽ΔA'B'C',符号“∽”读作“相似于”,利用“∽”表示两个图形相似时,对应顶点要写在对应的位置上,主要目的是为了指明对应角,对应边.(3)相似比:两个三角形相似,对应边的比叫做相似比,相似比是有顺序的,若ΔABC及ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'及ΔABC的相似比为1/k[知识拓展](1)相似三角形及全等三角形的联系及区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比等于1∶1的两个相似三角形是全等三角形.两个等腰直角三角形一定相似, 两个等边三角形一定相似。
(3)书写两个三角形相似时,注意对应点的位置要一致,即若ΔABC ∽ΔDEF ,则说明A 的对应点是D ,B 的对应点是E ,C 的对应点是F.(4)相似三角形的传递性:如果ΔABC ∽ΔA'B'C', ΔA'B'C'∽ΔA ″B ″C ″,那么ΔABC ∽ΔA ″B ″C ″.5.黄金分割比值:若设AB =1,AC =x ,则BC =1-x ,由黄金分割的定义得方程: ,解方程得 ,所以黄金比值为= ≈ .6.点C 是线段AB 上的一个黄金分割点,且AC >BC ,若AB =5 cm,则AC = ,BC = .2.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ,则图中相似三角形共有( )A.1对 B .2对 C .3对 D .4对4.在△ABC 与△A'B'C'中,AB=6,BC=12,AC=15,A'B'=8,B'C'=16,当A'C'= 时,△ABC ∽△A'B'C'.1.定理:两角 的两个三角形相似.2.定理:两边 且夹角 的两个三角形相似.3.定理:三边 的两个三角形相似.4.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (如图),如果 ,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的, 的比叫做黄金比.7.如图所示,点C是线段AB的黄金分割点,则点C应满足的条件是.(用比例式表示)8.若点P是AB的黄金分割点,则线段AP,PB(AP>PB),AB满足关系式:,即AP是及的比例中项.9.如图所示,已知ΔABC∽ΔADE,AD=6 cm,DB=3 cm,BC=9.9 cm,∠A=70°,∠B=50°.求:(1)∠ADE的大小;(2)∠AED的大小;(3)DE的长.6利用相似三角形测高方法一:利用阳光下的影子来测量旗杆的高度思路一【操作方法】一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长.∵太阳的光线是平行的,∴AE∥CB,∴∠AEB=∠CBD,∵人及旗杆是垂直于地面的,∴∠ABE=∠CDB=90°,∴ΔABE∽ΔCDB.∴,即CD= .因此,只要测量出人的影长BE,旗杆的影长DB,再知道人的身高AB,就可以求出旗杆CD的高度了.1.某建筑物在地面上的影长为36 m,同时高为1.2 m的标杆影长为2 m,那么该建筑物的高为m.2.如图所示,身高为1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当走到C点时,她的影子顶端正好及树的影子顶端重合,并测得BC=3.2 m,CA=0.8 m,则树的高度为()A.4.8 mB.6.4 mC.8 mD.10 m方法二:利用镜子的反射测旗杆的高度【操作方法】选一名学生作为观测者.在他及旗杆之间的地面上平放一面镜子,固定镜子的位置,观测者看着镜子来回调整自己的位置,使自己能够通过镜子看到旗杆顶端.测出此时他的脚及镜子的距离、旗杆底部及镜子的距离就能求出旗杆的高度.点拨:反射角=入射角.∵反射角=入射角,∴∠AEB=∠CED.∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°,∴ΔABE∽ΔCDE.∴,∴CD= .因此,测量出人及镜子的距离BE,旗杆及镜子的距离DE,再知道观测者的眼睛及地面的距离AB,就可以求出旗杆CD的高度。
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图形的变化
第三节 图形的相似（含位似）
命题点1 相似三角形的相关计算(省卷考查1次，曲靖考查3次)
1. (’13西双版纳8题3分)如图，AB ∥CD ，
AO OD ＝23，则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是( )
A . 25
B . 32
C . 49
D . 23
第1题图
第2题图
2. (’14曲靖6题3分)如图，把一张三角形纸片ABC 沿中位线DE 剪开后，在平面上将△ADE 绕着点E 顺时针旋转180°，点D 到了点F 的位置，则S △ADE ∶S ▱BCFD 是( )
A . 1∶4
B . 1∶3
C . 1∶2
D . 1∶1
第3题图
3. (’15曲靖11题3分)如图，若△ADE ∽△ACB ，且AD AC ＝23
，DE ＝10，则BC ＝________． 命题点2 相似三角形的实际应用
1. (’13德宏20题6分)如图，是一个照相机成像的示意图．
(1)如果像高MN 是35 mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，拍摄点离景物有多远？
(2)如果要完整的拍摄高度是2 m 的景物，拍摄点离景物有4 m ，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
第1题图
【答案】
命题点1 相似三角形的相关计算
1. D 【解析】∵AB ∥CD ，∴△AOB ∽△DOC ，∵AO ∶OD ＝2∶3，∴△AOB 与△DOC 的周长比为2∶3.
2. A 【解析】本题考查了相似三角形的相关计算．∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，12DE BC =，∴△ADE ∽△ABC ，∴21()4
ADB ABC S DE S BC ==△△，∵S 四边形BCFD ＝S 梯形BCED ＋S △CEF ＝ S 梯形BCED ＋S △ADE ＝S △ABC ，∴S △ADE ∶S ▱BCFD ＝1∶4.
3. 15 【解析】根据相似三角形的对应边成比例，列出比例式即可．∵△ADE ∽△ACB ， ∴AD AC ＝DE BC ，又∵AD AC ＝23，DE ＝10，∴23＝10BC
，∴BC ＝15. 命题点2 相似三角形的实际应用
1. 解：(1)由题意可知，△MNL ∽△BAL .设拍摄点离景物x m ，则有
35504.9x =，解得x ＝7，经检验，x ＝7是方程的解．
答：拍摄点离景物7 m.
(2)由题意可知，△MNL ∽△BAL .设相机的焦距应调整为y mm ，则有
2354y
=，解得y ＝70，经检验，y ＝70是方程的解．
答：相机的焦距应调整为70 mm.。