动力气象学第1章描写大气运动的基本方程组
1 第一章 大气运动的基本方程组
NIM NUIST
进一步有：
lim 1 d (δτ ) = 1 ∂u + 1 ∂v + ∂w + 2w − v tgϕ δτ →0 δτ dt r cosϕ ∂λ r ∂ϕ ∂r r r
1 lim
δτ →0 δτ
d (δτ )
dt
=
1
r cosϕ
∂u
∂λ
+
1
r cosϕ
∂(v cosϕ ) ∂ϕ
+ ∂(wr 2 ) r 2∂r
∂x
故有
[ ] G G
di = u ∂i = u
G
G
j sinϕ − k cosϕ
dt ∂x r cosϕ
NIM NUIST
GG G G
G
确定
dj = ∂j + u ∂j + v ∂j + w ∂j dt ∂t ∂x ∂y ∂z
GG
而
∂j =∂j =0 ∂t ∂z
G
G
G
则有
dj = u ∂j + v ∂j dt ∂x ∂y
NIM NUIST
由图, 相似三角形, 有： 大小: 方向：
NIM NUIST
由图, 相似三角形, 有：
G dj
=
u
G ∂j
+v
G ∂j
=
− utgϕ
G i
−
v
G k
dt ∂x ∂y
rr
NIM NUIST
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
做类似分析， 可得
G dk
=
u
G i
+
v
G j
dt r r
第1章 大气运动基本方程组1 (2)
36
大气运动基本方程组
一、旋转坐标系下的基本方程组
• 湿空气：风、压、温、密度、湿度（7方程， 7变量） dV 1
dt g p 2 V F dp dt V 0 dT ART dp Q c p p dt dt q S V q t p Rd T (1 0.608q )
陈耀登
32
大气运动基本方程组
一、旋转坐标系下的基本方程组
3 状态方程
大气是一个的热力和动力系统，其热力学和动力学过 程是相互联系、相互制约的。处于平衡态的大气系统具有 确定性。可以用状态方程表征气压、温度和密度等状态参 量之间的基本关系。
一般式
干空气 Rd为干空气气体常数
湿空气
陈耀登
33
大气运动基本方程组
陈耀登
20
大气运动基本方程组
陈耀登
21
大气运动基本方程组
陈耀登
22
大气运动基本方程组
引言——数值天气预报现状
数值预报的应用日益广泛：
中、短期天气预报 气候数值模拟、气候预测和气候变化 中小尺度数值模拟
天气预报时间分类
0-2小时 临近预报 2-12小时 甚短期预报 12-48小时 短期预报 3-10天 中期预报 10天以上 长期预报
陈耀登
37
大气运动基本方程组
二、球坐标系中的基本方程组
前述基本方程组均为向量形式 实际天气预报需要标量形式：坐标 的选取？ • 地理位置P可以用局地直角坐标系中 的x,y,z表示。 • 地理位置P也可以用球坐标系中的 经度 、纬度 、与地心的距离r 表示。
P
陈耀登
动力气象学第1章.ppt
象出版社，2010 25、刘式适，刘式达，大气动力学（第二版），
北京大学出版社，2011
§1.1 基本假设 连续流体介质假设——质点力学的应用。 大气运动的速度、气压、密度和温度等物理量以及这 些场变量都是时间和空间的连续函数； 理想气体（无凝结）； 动力过程和热力过程相互作用； 大气为可压缩连续流体
大气的“低频变化”；大气环流的遥相关。
球面大气中罗斯贝波的经向频散并建立了大圆定理 (霍斯金斯等，1981年)；罗斯贝波铅直传播(恰尼等， 1961年)；提出了E-P通量概念；研究了大气对外源 强迫的响应，分析了低频变化的各种可能的起因等 等，从而促进行星波理论的新发展，为月、季度和 短期气候预报提供了理论基础。
15、Gill，大气-海洋动力学，海洋出版社，1988 16、叶笃正，李崇银，王必魁，动力气象学，科 学出版社，1988。 17、吕美仲，彭永清，动力气象学教程，气象出 版社，1990 18、巢纪平，厄尔尼诺和南方涛动动力学，气象 出版社，1993 19、余志豪，杨大升等，地球物理流体动力学， 气象出版社，1996
§1.2 地球大气的运动学和热力学特性
大气是重力场中的旋转流体。
大气运动一定是准水平的；静力平衡是大气运动的重 要性质之一；科里奥利力的作用。
大尺度运动中科里奥利力作用很重要。中纬度大尺度 运动中，科里奥利力与水平气压梯度力基本上相平 衡——地转平衡。
地球旋转角速度随纬度的变化，与每日天气图上的西 风带中的波动有关。
§1.4 动力气象学的发展简史与发展动向
18世纪，力学、物理学、化学和数学等基础科学的发 展，观测仪器地陆续发明，气象科学由纯定性的描述 进入了可定量分析的阶段，这是气象科学发展过程中 的一次飞跃。
动力气象学
动力气象学总学时：128（其中自学96，面授24，实习8）教材版本：动力气象学教程（吕美仲、彭永清编著）教学目的和要求：动力气象学是在热力学和流体力学的基础上，系统地讲述大气的热力过程和大气运动的基本规律，并指出这些规律的实践意义的一门专业基础课。
具体地说，它是应用物理学定律研究大气运动的动力过程、热力过程以及它们之间的相互关系，从理论上探讨大气环流、天气系统演变和其它大气动力过程，因而，它是天气学、数值天气预报及大气环流等专业课程的理论基础。
本课程，通过教学，目的在于使学生能深入地理解大气动力学的基本理论，了解近代动力气象学的主要进展，掌握用动力学方法分析和预报天气的基本原理和技术，从而使学生具有一定的理论水平和科学研究的能力。
为将来从事天气预报的业务及研究工作打下基础。
为达到上述目的，在教学中要求：⑴努力贯彻理论联系实际的原则。
在教学内容和取材上，从现今国内外气象业务部门及科研单位所使用的有代表性的方法和理论为主体，讲课中以讲授基本原理为重点，在讲深讲透基本理论的基础上，让学生进行必要的课堂讨论和作练习，使学生既能掌握基本原理，又能利用基本原理去探讨和解决实际问题。
⑵注重理论的系统性。
本课程是一门理论性较强的课程，在努力贯彻理论联系实际的原则下，要突出本课程的特点，在教学中应该注意有系统、有条理地介绍它的内容，强调各部分内容之间的有机联系，以使学生能掌握得深透。
教学的主要内容及学时分配：总学时：128课时，其中面授24课时，课堂练习8学时，自学96课时。
每章自学10学时，5~10章每章讲授4学时，其余4学时供课堂练习和答疑。
第一章大气运动的基本方程组§1.1全导数和局地导数§1.2旋转参考系中运动方程的矢量形式§1.3质量守恒定律--连续方程§1.4状态方程、热力学方程、水汽方程§1.5球坐标系中基本方程组§1.6局地直角坐标系中基本方程组§1.7闭合运动方程组、初始条件和边界条件第二章尺度分析与基本方程组的简化§2.1尺度概念、大气运动的尺度分类§2.2基本方程组的尺度分析§2.3无量纲方程、动力学参数§2.4 平面近似§2.5静力平衡大气、P坐标系第三章自由大气中平衡流畅§3.1自然坐标系§3.2平衡流场的基本形式与性质§3.3地转风随高度的变化、热成风§3.4地转偏差第四章环流定理、涡度方程和散度方程§4.1环流与环流定理§4.2涡度与涡度矢量方程§4.3泰勒——普劳德曼定理§4.4铅直涡度方程§4.5P坐标系中的涡度方程和散度方程§4.6位势涡度方程第五章大气行星边界层§5.1大气运动的湍流特性和平均运动方程组§5.2大气行星边界层及其特征§5.3属性的湍流输送通量及其参数化§5.4湍流运动发展的判据§5.5近地面层风随高度的分布§5.6埃克曼层风随高度的分布§5.7埃克曼抽吸与旋转减弱第六章大气能量学§6.1大气能量的主要形式§6.2大气能量方程§6.3静力平衡条件下大气中的能量转换§6.4有效位能§6.5大气中动能的消耗§6.6实际大气中的能量循环§6.7能量的转换过程第七章大气中的基本波动§7.1波动的基本概念§7.2微扰动法、基本方程组的线性化§7.3声波和LAMB波§7.4重力外波、重力慣性外波§7.5重力内波、性内波、重力慣性内波§7.6 波§7.7噪音与滤波第八章地转适应过程与准地转演变过程§8.1大尺度运动过程的阶段性§8.2正压大气中的地转适应过程§8.3斜压大气中的地转适应过程§8.4准地转运动的分类§8.5准地转运动方程组§8.6准地转位势倾向方程组与方程§8.7Q矢量、非热成风产生的二级环流的诊断第九章大气运动的稳定性理论§9.1流体动力学稳定性概念§9.2慣性不稳定§9.3开尔文——赫姆霍茨不稳定§9.4正压不稳定§9.5斜压不稳定第十章低纬度热带大气动力学§10.1热带运动系统概述§10.2热带大气运动的尺度分析§10.3热带扰动的生成与发展§10.4台风的结构与发展§10.5热带行星尺度波动。
《动力气象学》问题讲解汇编
“动力气象学”问题讲解汇编徐文金(南京信息工程大学大气科学学院)本讲稿根据南京信息工程大学“动力气象学”学位考试大纲（以下简称为大纲）要求的内容，以问答形式编写，以便学习者能更好地掌握“动力气象学”中的重要问题和答案。
主要参考书为：动力气象学教程，吕美仲、候志明、周毅编著，气象出版社，2004年。
本讲稿的章节与公式编号与此参考书一致（除第五章外）。
第二章（大纲第一章） 描写大气运动的基本方程组问题2.1 大气运动遵守那些定律？并由这些定律推导出那些基本方程？大气运动遵守流体力学定律。
它包含有牛顿力学定律，质量守恒定律，气体实验定律，能量守恒定律，水汽守恒定律等。
由牛顿力学定律推导出运动方程（有三个分量方程）、由质量守恒定律推导出连续方程、由气体实验定律得到状态方程、由能量守恒定律推导出热力学能量方程、由水汽守恒定律推导出水汽方程。
这些方程基本上都是偏微分方程。
问题2.2何谓个别变化？何谓局地变化？何谓平流变化？及其它们之间的关系？ 表达个别物体或系统的变化称为个别变化，其数学符号为dtd ，也称为全导数。
表达某一固定地点某一物理量变化称为局地变化，其数学符号为t ∂∂，也称为偏导数。
表达由空气的水平运动（输送）所引起的局地某物理量的变化称为平流变化，它的数学符号为∇⋅-V ρ。
例如，用dt dT 表示个别空气微团温度的变化，用tT ∂∂表示局地空气微团温度的变化。
可以证明它们之间有如下的关系z T w T V dt dT t T ∂∂-∇⋅-=∂∂ρ （2.4） 式中V ρ为水平风矢量，W 为垂直速度。
（2.4）式等号右边第二项称为温度的平流变化（率），第三项称为温度的对流变化（率）或称为垂直输送项。
问题2.3何谓绝对坐标系？何谓相对坐标系？何谓绝对加速度？何谓相对加速度？何谓牵连速度？绝对坐标系也称为惯性坐标系，可以想象成是绝对静止的坐标系。
而相对坐标系则是非惯性坐标系，例如，在地球上人们是以跟随地球一起旋转的坐标系来观测大气运动的，这种旋转的坐标系就是相对坐标系。
第1章_大气运动的基本方程组.
r t
为动点的位置矢的时间变化率，
也称为平流速度。F的个别变化率等于其局地变化率与平流 变化率之和。当动点就是空气质点时，气象上通常用 V 表 示空气运动的速度：
7
dy dz dx v w 其中： u dt dt dt F F F F dF F u v w V F 这样有： t x y z dt t d V 上式可以看成是“个别微分算子”： dt t
V i j k
w v y z
x分量
y分量
u w z x
v u x y
z分量
对于大尺度运动，垂直方向的涡度分量是主要的，天气学 上常常主要考虑垂直涡度分量z，并且约定：
在北半球：ζ>0，称之为气旋式涡度， ζ<0，称之为反气旋式涡度 在南半球，情况则相反：当ζ>0(ζ<0)时，称之为反气 旋式（气旋式）涡度。
T t 0 当 V T <0 时, 称为冷平流 ，可造成降温：
T t 0 当 V T >0 时, 称为暖平流 ，可造成升温：
TTT+ T+
T
T
V
V
冷平流
暖平流
例题20
三、速度场的散度和涡度
1、速度散度和连续方程
1）速度散度 考虑表面积为S、体积为τ的空气块 （如图），由于其表面上各点的速 度分布不均匀而引起的体积变化率
若将由于地球自转引起p点的移动速度称为牵连速度记为则p点的牵连位移为空气微团的绝对位移等于其相对位移与牵连位移之向量和除上式两端并取趋于零的极限则有绝对速度与相对速度的关系位于纬度处的空气质点的牵连速度就是该质点随地球自转时在纬圈平面上以角速作匀速圆周运动的线速度推导于是有
动力气象 第一章 大气运动的基本方程
(r
OM
)
r
OM ]
dar dr der dt dt dt
dar
dr
r
dt dt
M
R
r
O
da
d
dt dt
绝对坐标系中的个别变化与旋转坐标系中 的个别变化之间的关系，此公式适用于任 何矢量
三、绝对加速度与相对加速度的关系
d aVa dt
(d dt
)Va
Va V Ve
(d
)(V
动力气象学
本课程与其他课程的关系
动力气象研究地球大气的运动以及与之伴随的物 理状态的演变规律 • 广泛应用数学、物理学的成就（理论力学、热力 学、流体力学 、数学） • 与天气学有最直接的关系：动力气象是天气学的 理论基础，天气学则根据总结的规律对动力气象 提出具体要求和验证理论的事实 • 数值预报：提供数值预报的物理基础，出发点 • 与试验学科的关系
PPa: 绝对位移， Vat PePa: 相对位移，Vt
PPe: 牵连位移， Vet
PPa PaPe PPe
其对应速度之间的关系：
Va V Ve
dar dr der dt dt dt
绝对速度＝相对速度＋牵连速度
Ve ：地球旋转产生的线速度
Ve
R
r
(R :
纬圈面的半径矢
)
[
R
二、大气的基本特征
一个标准大气压： P0 1013 .25hPa 1000 hPa （海平面气压） 标准大气的密度为：1.29kg / m3
大气环绕地球并与地球一道旋转，必须考虑因旋转而产生 虚拟力
大气密度和压强都随高度增加而递减，具有层结特性，这 对于大气的垂直运动，风压场之间的相互影响起着重要作 用。大约95%的大气质量集中在离地面20km高度以下， 这层大气对于地球半径而言很薄，但其中天气千变
动力气象学第1章描写大气运动的基本方程组
因 3 V3
lim 1 0
d ( ) dt
，故速度散度与运动的参考系没有关系。
22.“ d / dt 0 是不可压缩流体的充分与必要条件”，这种说法正确吗？为什么？
答：不正确，是必要非充分的。 23.大气运动方程组和一般流体力学方程组主要差别有哪些？ 24.什么是均质大气？均质大气高度 h 的意义是什么？
18.在局地直角坐标系中是如何处理 f 2 sin 的？这种处理是否合理？
答：在中小尺度系统中取 f f0 ，其中 f0 2 sin 0 ；
2
在大尺度系统中取 f f0 y ，即 平面近似。
19.常用的热力学能学方程有哪些形式？
答：（1）用气温、比容表述
cv
dT dt
p d dt
Q
因 v u 0,u U , 则由球坐标系 dV 分量表达式可知
dt
dV
U 2 tan
U2 j
k
dt
r
r
而
2 V 2U cos j k 2U sin k i
fUk
fUj
2
k
2
R
sin
j
2
R
cos
k
2
r
cos
sin
j
2
r
cos2
k
于是
d aVa
U2 (
tan
解：用自然坐标系，
V 2T
Vt (
T
s
t
T n
n)
V
T s
用
0
直角坐标系将V 分解
图 1.1
3
V 2T
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第一章描写大气运动的基本方程组复习思考题1.支配大气运动状态和热力状态的基本物理定律有哪些？大气运动方程组一般有几个方程组成？哪些是预报方程？哪些是诊断方程？答：基本物理定律是牛顿运动定律、质量守恒定律、热力学能量守恒定律、气体实验定律；大气运动方程组一般有六个方程组成（三个运动方程、连续方程、热力学能量方程、状态方程）；若是湿空气还要加一个水汽方程。
运动方程、连续方程、热力学能量方程是预报方程，状态方程是诊断方程。
2.研究大气运动变化规律为什么选用旋转坐标系？旋转参考系与惯性参考系中的运动方程有什么不同？答：相对于惯性参考系中的运动方程而言，旋转参考系中的运动方程加入了视示力（科里奥利力、惯性离心力）。
3.地球旋转对大气运动有哪些动力作用？答：产生惯性离心力，相对于地球有运动的大气还受科里奥利力作用。
4.科里奥利力是怎样产生的？他与速度的关系如何？南北半球有何区别？它在赤道、极地的方向如何？答：由于地球旋转及空气微团相对于地球有运动时产生；科里奥利力垂直于V，在北半球指向运动的右侧，在赤道处沿半径向外，在极地其垂直于地轴向外。
5.惯性离心力是怎样产生的？如果没有地球旋转，此力存在不存在？答：处在旋转坐标系中产生的；若没有地球旋转，此力不存在。
6.曲率项力怎样产生的？如果没有地球自转，此力存在不存在？答：由于地球的球面性引起的；若没有地球旋转，此力不存在。
7.惯性离心力与科里奥利力有哪些异同点？答：都是在旋转参考系中的视示力，惯性离心力恒存在，而大气相对于地球有运动时才会产生科里奥利力。
8.为什么把地球引力与惯性离心力合并为重力？答：地球引力*g 仅与空气微团的位置有关，而惯性离心力R 2Ω也只与空气微团的位置有关，从逻辑上很自然将这两力合并在一起。
地球引力与惯性离心力的矢量和称作重力。
9.为什么地球不可能是一个绝对球体？答：惯性离心力可分解为两个相互垂直的分力。
一个分立部分抵消了地球引力，一个分立与地表面相切指向赤道。
后一个分立促使物体向赤道方向运动。
在这个分立的长久作用下，便在一定程度上决定了地球球壳的形状，使地球在赤道处隆起，地球成为扁平的椭球体。
10.重力的方向如何？与等高面是否垂直？海平面上的重力如何？答：重力g的方向垂直于等重力位势面，且由高重力位势指向低重力位势；与等高面不垂直海平面为等重力位势面，重力与海平面垂直。
11.如何认识不考虑重力在水平面上的分量？答：因地心引力与重力的夹角非常小（不到0.1度），在水平方向的分量很小，以致我们就认为重力指向地心。
12.物理上什么样的力是位势力（或保守力）？位势力有哪些主要的性质？答：保守力：在物理系统里，假若一个粒子，从起始点移动到终结点，由于受到作用力，所做的功，不因为路径的不同而改变。
则称此力为保守力。
假若一个物理系统里，所有的作用力都是保守力，则称此系统为保守系统。
由于保守力所做的功与运动物体所经过的路径无关,因此，如果物体沿闭合路径绕行一周，则保守力对物体所做的功恒为0。
因为保守力的功具有这样的特点，所以在只有保守力作用在物体上的情况下可以定义势能(位能)。
13.重力位势与重力位能这两个概念有何差异？引进重力位势这个概念有何好处？答：重力位势：重力位势Φ表示移动单位质量空气微团从海平面（Z=0）到Z 高度，克服重力所做的功。
重力位能：重力位能可简称为位能。
重力场中距海平面z 高度上单位质量空气微团所具有的位能为gz=Φ引进重力位势后，g等重力位势面（等Φ面）相垂直，方向为高值等重力位势面指向低等重力位势面，其大小由等重力位势面的疏密程度来确定。
所以，重力位势的空间分布完全刻画除了重力场的特征。
14.位势高度的量纲是什么？因位势米与几何米在数值上差不多，能否写成11gpm m ≈？答：位势高度的量纲是22L T-；位势高度的本质是重力位势，而不是高度。
15.何谓薄层近似？去薄层近似简化球坐标系中运动方程组应注意什么问题？答.在球坐标的运动方程中，当r 处于系数地位时用a 代替，当r 处于微商地位时用z r δδ=代替是相当精确的，这一近似被郭晓岚称为薄层近似。
使用时要不违背绝对角动量守恒原理。
不违背机械能守恒原理。
16.在什么情况下，基本方程中可以不考虑地球曲率的影响？答：在中低纬度局部地区的大气运动中，运动方程中的所有曲率项都可以略去。
17.什么是局地直角坐标系？该坐标系是如何考虑地球旋转的？去掉方程中2cos fϕ=Ω 是否合理？局地直角坐标系与球坐标系有何联系与区别？答：坐标系的原点取在所指定地点的海平面上，X 轴原点指向东，Y 轴指向正北，而Z 轴向天顶，由一点移到另一点时，这样坐标系的坐标轴将发生变化。
把球面视为平面，而且认为水平面绕铅直轴以角速度/2sin f ϕ=Ω旋转；合理，略取后仍然符合科里奥利力和曲率项力都不做功的原则。
局地直角坐标系实际上是球坐标系的简化形式，它保持了球坐标系的标架，但忽略了球面曲率的影响。
18.在局地直角坐标系中是如何处理2sin f ϕ=Ω的？这种处理是否合理？答：在中小尺度系统中取0f f =，其中002sin f ϕ=Ω；在大尺度系统中取0f f y β=+，即β平面近似。
19.常用的热力学能学方程有哪些形式？答：（1）用气温、比容表述Q dt d p dt dT c v=+α（2）用气压、气温表述Qdt dp dt dT c p =-α（3）用气压、密度表述Q Tc dtd dt p d v 1ln ln =-ργ，γ为Poisson 指数（4）用位温表述Q Tc dtd p 1ln =θ20.如何理解大气中短时期的热力过程可视为绝热过程？答：在空气运动的短期变化过程中，可以认为空气微团与外界无热量交换，这就是绝热过程。
21.试阐述速度散度的物理意义？速度散度与运动的参考系有没有关系？答：速度散度33V ∇代表物质体积元的体积在运动中的相对膨胀率。
因3301()lim d V dtδτδτδτ→∇= ，故速度散度与运动的参考系没有关系。
22.“/0d dt ρ=是不可压缩流体的充分与必要条件”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确，是必要非充分的。
23.大气运动方程组和一般流体力学方程组主要差别有哪些？24.什么是均质大气？均质大气高度h 的意义是什么？答：假设空气密度ρ不随高度变化，即是均质大气模式；在均质大气处，实际大气的气压和密度分别近似等于地面气压和密度的1e。
习题1.说明温度平流变化的物理意义，证明2nT T V T V V s n∂∂-∇=-=-∂∂ 其中/T s ∂∂表示温度平流沿水平速度方向变化率，/T n -∂∂是温度梯度的大小，n V 是水平速度在水平温度梯度方向上的分量。
解：用自然坐标系，20()T T T V T Vt t n Vs n s =∂∂∂-∇=-+=-∂∂∂ 用直角坐标系将V分解图1.120()()s n nT T T V T V t V n t n V s n n =∂∂∂-∇=-++=-∂∂∂ 2.如果大气中中存在另外的一个运动系统（如飞机、轮船、气压系统等），设在运动系统中观测到的温度随时间的变化率为/T t δδ，运动系统相对于地面的速度为C，试证明有下列关系式成立，即3()dT TV C T dt tδδ=+-∇ 解：在固定坐标系中：以速度V运动的质点的个别变化可展开为：3d T TV T d t t δδ=+∇ 在运动坐标系中（设其移动的速度为C ），空气质点必以)(C V-的速度相对于运功坐标系运动。
所以，空气质点的个别变化在运动坐标系中可展开为：3()dT TV C T d t tδδ=+-∇ 3.设O x y z ''''-是一惯性坐标系，O xyz '-是固定在地球上随地球一起旋转的旋转坐标系，f 是一标量场，惯性坐标系中(,,,)f f x y z t '''=，全导数3()a a a d f f V f dt t∂=+∇∂ (/)a f t ∂∂是惯性坐标系中固定点上f 随时间的变化率，a V是绝对速度，3f -∇ 是惯性坐标系中梯度；旋转坐标系中(,,,)f f x y z t =，全导数3()r d f fV f d t t∂=+∇∂ (/)r f t ∂∂是旋转坐标系中固定点上f 随时间的变化率，3V相对速度，试用数学方法证明a r d f d fdt dt=即一标量场的全导数与参考系无关。
图1.2提示：(如图1.2)（1）z y x ,,分别是t z y x ,,,'''的函数，),,,(t z y x f 是t z y x ,,,'''的复合函数，即),,,(t z y x f ),,,(t z y x x x '''=，),,,(t z y x y y '''=，),,,(t z y x z z '''=利用复合函数微分法则，可求得a t f )/(∂∂与r t f )/(∂∂之间的关系；（2）令k z j y i x r++=，k z j y i x r ''+''+''= ，则r t r )/(∂∂ 为旋转坐标系中固定点观测到惯性坐标系中矢径的变率，即牵连速度c c t r V )/(∂∂=相反有ac t r V )/(∂∂-=（3）梯度不依赖坐标系ff 33~∇=∇4.计算45N跟随地球一起旋转的空气微团的牵连速度。
解：由速度公式a V V r =+Ω⨯ 可知，牵连速度为：rΩ⨯大小为sin r r ϕΩ⨯=Ω；方向为向东。
5.设流场是定常的、均匀的、沿纬圈的带状环流，试求微团的绝对速度和绝对加速度。
解：（1）绝对速度设空气微团沿纬圈的相对速度V U i =，式中U 为常量。
又地转角速度可分解成cos sin j kϕϕΩ=Ω+Ω而位置向量r rk=则牵连速度cos e V r r i ϕ=Ω⨯=Ω故绝对速度(cos )a e V V V U r iϕ=+=+Ω（2）绝对加速度空气微团的绝对加速度22a a d V d VV R d t d t=+Ω⨯-Ω因0,,v u u U ===则由球坐标系dVdt分量表达式可知22tan dV UU j k dtr rϕ=- 而22222222cos 2sin sin cos cos sin cos V U j k U k ifUk fUj k R j R k r j r kϕϕϕϕϕϕϕΩ⨯=Ω⨯+Ω⨯-+-Ω=Ω-Ω=Ω-Ω于是22222tan (cos sin )(cos )a a d V U U fU r j fU r kdt r rϕϕϕϕ=++Ω-++Ω注：对于绝对加速度的大小和合成方向可作如下分析因绝对加速度a a d V dt在i 和j方向上的分量能够写作22sin (2cos )cos U U r r ϕϕϕ+Ω+Ω和22cos (2cos )cos U U r r ϕϕϕ-+Ω+Ω很容易得到绝对加速度的大小22(2cos )cos a a d V U U r dt r ϕϕ=+Ω+Ω 因绝对加速度的一个分量与j方向一致，一个分量与k 方向相反，故若令合成的绝对加速度向量与j向量的夹角为α（见图1.3），则有cos tan cot tan()sin 2ϕπαϕϕϕ===-图1.3故说明绝对加速度的方向与n -方向一致，即指向地轴。