集合知识点

合集下载

集合章节知识点

集合章节知识点

集合章节重点知识点1、元素的特性:确定性 、 无序性 、 互异性.2、3、集合间的基本关系注1、子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集,即A ⊆A .(2)对于集合A ,B ,C ,如果A ⊆B ,且B ⊆C ,那么A ⊆C .(子集的传递性) 注2、规定:空集是任何集合的子集,空集是任何集合的真子集.注3、含有n 个元素的集合子集个数为2n ;真子集个数为2n −1;非空真子集个数为2n -2; 4、集合的基本运算、注1、(1)交集的性质:;;;;B A A B A A B B A A A A A ⊆⇔==== φφ(2)并集的性质:;;;;A B A B A A B B A A A A A A ⊆⇔==== φ (3)补集的性质:()()();;;A A C C A C A U A C A U U U U ===φ(4)反演率(德·摩根定律) : 交、并、补(且、或、非)之间的关系①集合形式()()()I I I C A B C A C B =,()()()I I I C A B C A C B =②命题形式:()()()p q p q ⌝∧=⌝∨⌝,()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝(5)I I A B A B A A B B A C B C A B I⊆⇔=⇔=⇔=∅⇔=(其中I 为全集)常用的数集自然数集正整数集整数集 有理数集实数集 记法NN ∗ZQR定义符号表示 图形表示子集 集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素 (即若x ∈A ,则x ∈B )A ⊆B (或B ⊇A )真子集 集合A ⊆B ,但存在元素x ∈B ,且x ∉A (A ⊆B,但A ≠B )A ⫋B(或B ⫌A)集合相等 组成集合A 与集合B 的元素完全相同或集合A,B 互为子集(A ⊆B 且B ⊆A)A =B定义符号表示图形表示交集由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合A ∩B ={x|x ∈A 且x ∈B}并集 属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合A ∪B ={x|x ∈A 或x ∈B}补集如果集合A 是全集U 的一个子集,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合{}A U A C U ∉∈=x x x 且5、∅之一次/二次方程模型识别特征:不确定集合A 确定集合B 应用方法:讨论不确定集合A 是否为空集67、一般地,如果p ⇒q ,且q ⇒p ,那么称p 是q 的充分必要条件,简称充要条件,记作p ⇔q . 8、p:x ∈P , q:x ∈Q 若q p ⇒,则Q P ⊆9、含有量词的命题的否定:改量词,否结论⊆。

集合的全部知识点总结

集合的全部知识点总结

集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念,广泛应用于各个领域。

本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。

一、集合的基本概念1. 集合的定义:集合是由确定的元素组成的整体,没有重复元素,顺序不重要。

2. 元素和集合的关系:元素是集合的组成部分,用于描述集合的特征。

3. 表示方法:- 列举法:将集合的所有元素逐个列举出来。

- 描述法:通过一定的特征或条件来描述集合。

4. 空集和全集:- 空集:不含有任何元素的集合,用符号∅表示。

- 全集:包含所有元素的集合,用符号U表示。

二、集合的运算1. 交集:两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合,用符号∩表示。

2. 并集:两个集合的所有元素组成的新集合,用符号∪表示。

3. 差集:一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合,用符号-表示。

4. 互补集:在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合,用符号A'表示。

5. 笛卡尔积:由两个集合的所有有序对构成的集合,用符号×表示。

三、集合的性质1. 包含关系:集合A包含于集合B,表示为A⊆B,当且仅当A的每个元素都是B的元素。

2. 相等关系:如果两个集合A和B互相包含,即A⊆B且B⊆A,则称A和B相等,表示为A=B。

3. 幂集:一个集合的所有子集所构成的集合,用符号P(A)表示。

4. 交换律、结合律和分配律:集合的交换律、结合律与数的运算性质类似,具有相似的性质。

四、集合的应用1. 概率论与统计学:集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础,通过对事件的集合进行分析与运算。

2. 数据库管理系统:集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用,用于筛选、合并和处理数据。

3. 逻辑学与集合论关系:集合论与逻辑学相辅相成,通过集合的运算和逻辑连接词(与、或、非)进行逻辑推理。

4. 集合在数学证明中的应用:集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用,可以简化证明过程。

总结:集合是数学中不可或缺的重要概念,它具有基本的定义、运算和性质。

高中数学集合知识点归纳

高中数学集合知识点归纳

高中数学集合知识点归纳一、集合的基本概念1. 集合的定义:集合是由一些明确的、互不相同的元素所构成的整体,用大写字母如A, B, C等表示。

2. 元素:集合中的每一个成员被称为元素,用小写字母如a, b, c等表示。

3. 空集:不包含任何元素的集合称为空集,记作∅。

4. 集合的表示:集合通常可以通过列举法或描述法来表示。

例如,集合A = {1, 2, 3} 或 A = {x | x 是一个正整数}。

二、集合间的关系1. 子集:如果集合B的所有元素都是集合A的元素,则称B是A的子集,记作B ⊆ A。

2. 真子集:如果集合B是A的子集,并且B不等于A,则称B是A的真子集,记作B ⊂ A。

3. 补集:对于集合A,其在全集U中的补集是包含U中所有不属于A的元素的集合,记作A' 或 C_U(A)。

4. 交集:两个集合A和B的交集是包含同时属于A和B的所有元素的集合,记作A ∩ B。

5. 并集:两个集合A和B的并集是包含属于A或属于B的所有元素的集合,记作A ∪ B。

三、集合运算1. 德摩根定律:对于任意集合A和B,(A ∪ B)' = A' ∩ B' 和 (A ∩ B)' = A' ∪ B'。

2. 集合的幂集:一个集合的所有子集构成的集合称为该集合的幂集。

3. 笛卡尔积:两个集合A和B的笛卡尔积是所有可能的有序对(a, b)的集合,其中a属于A,b属于B,记作A × B。

四、特殊集合1. 有限集:包含有限个元素的集合称为有限集。

2. 无限集:包含无限个元素的集合称为无限集。

3. 有界集:如果集合中的所有元素都小于或等于某个实数,那么这个集合是有上界的;类似地,如果所有元素都大于或等于某个实数,则集合有下界。

4. 区间:实数线上的一段,包括开区间、闭区间和半开半闭区间。

五、集合的应用1. 函数的定义域和值域:函数的定义域是函数中所有允许输入的x值的集合;值域是函数输出的所有y值的集合。

数学集合考试知识点总结

数学集合考试知识点总结

数学集合考试知识点总结
一、集合的概念
1.集合的定义和表示方法
2.集合的元素和特点
3.集合的分类和运算
二、集合的表示法
1.集合的文字表示法
2.集合的符号表示法
3.集合的图示表示法
三、集合的运算
1.集合的并运算
2.集合的交运算
3.集合的差运算
4.集合的补运算
四、集合的性质
1.集合的包含关系
2.集合的等价关系
3.集合的互斥关系
4.集合的幂集和子集
五、集合的应用
1.集合在实际问题中的应用
2.集合在逻辑推理中的应用
3.集合在概率统计中的应用
六、集合的衍生概念
1.无限集合与有限集合
2.空集与全集
3.真子集与假子集
4.集合的基数和势
七、集合的证明方法
1.集合的等价证明
2.集合的包含证明
3.集合的互斥证明
4.集合的运算证明
八、集合的实际问题
1.集合的交叉问题
2.集合的包含问题
3.集合的运算问题
4.集合的应用问题
以上是数学集合考试知识点的总结,希望对大家的学习有所帮助。

集合主要知识点总结

集合主要知识点总结

集合主要知识点总结一、集合的基本概念1.1 集合的定义集合是由若干个元素组成的整体,这些元素可以是任意的事物或对象。

集合用大括号{}表示,其中的元素用逗号分隔。

例如,集合A = {1, 2, 3, 4, 5},表示集合A由1,2,3,4,5这五个元素组成。

1.2 集合的性质- 集合中的元素是无序的,即集合中的元素没有先后顺序。

- 集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素不重复。

- 集合可以是有限集合,也可以是无限集合。

二、集合的运算2.1 并集定义:设A和B是两个集合,它们的并集记为A∪B,表示A和B中所有的元素组成的集合。

记法:A∪B = {x | x∈A或x∈B}例如,A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。

2.2 交集定义:设A和B是两个集合,它们的交集记为A∩B,表示A和B中公共的元素组成的集合。

记法:A∩B = {x | x∈A且x∈B}例如,A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A∩B = {3}。

2.3 补集定义:设A是一个集合,它的补集记为A',表示全集中除A之外的所有元素组成的集合。

记法:A' = {x | x∈全集且x∉A}例如,A = {1, 2, 3},全集为{1, 2, 3, 4, 5},则A' = {4, 5}。

2.4 差集定义:设A和B是两个集合,它们的差集记为A-B,表示A中去掉与B中相同的元素后的集合。

记法:A-B = {x | x∈A且x∉B}例如,A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A-B = {1, 2}。

三、集合的关系3.1 子集定义:设A和B是两个集合,如果A中的所有元素都属于B,那么A是B的子集。

记法:A⊆B例如,A = {1, 2, 3},B = {1, 2, 3, 4, 5},则A是B的子集。

3.2 相等集合定义:设A和B是两个集合,如果A是B的子集,且B是A的子集,那么A等于B。

集合的知识点

集合的知识点

集合的知识点集合是数学中一个基本的概念,在许多学科和领域中都有广泛的应用。

本文将介绍集合的定义、基本运算和常用的集合表示方法,以及集合之间的关系和重要的集合定理。

一、集合的定义集合是由元素组成的,元素之间没有顺序关系的整体。

记作A={a,b,c,...},其中a,b,c,...为元素。

集合中的元素可以是任意对象,例如数字、字母、词语、图形等等。

二、集合的基本运算1. 并集(Union):将两个或多个集合中的所有元素合并为一个集合。

记作A∪B。

2. 交集(Intersection):两个或多个集合中共有的元素组成的集合。

记作A∩B。

3. 差集(Difference):从一个集合中减去与另一个集合相同的元素后所剩下的元素组成的集合。

记作A-B。

4. 互斥集(Disjoint):两个集合没有共同的元素,互不相交。

5. 补集(Complement):相对于某个全集U,一个集合未包含的元素组成的集合。

记作A'或A^c。

三、集合的表示方法1. 列举法:直接列举集合中的元素。

例如A={1,2,3,4,5}。

2. 描述法:通过描述集合中元素的特点来表示集合。

例如A={x | x 是正整数,且x<5},表示A是由小于5的正整数组成的集合。

3. 定义法:通过给出集合的定义来表示集合。

例如A是所有偶数的集合,可以表示为A={x | x是偶数}。

四、集合之间的关系1. 包含关系:若集合A中的所有元素都是集合B的元素,则称集合B包含集合A,记作A⊆B。

若A⊆B且B⊆A,则称A和B相等,记作A=B。

2. 子集关系:若集合A中的所有元素都是集合B的元素,且集合B 中存在集合A中没有的元素,则称集合A是集合B的真子集,记作A⊂B。

3. 交集为空:若两个集合的交集为空集,则称两个集合互斥,即A∩B=∅。

4. 并集和交集的关系:对于任意两个集合A和B,有下面两个重要的集合定理:- 分配律:A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)- 结合律:A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)五、重要的集合定理1. 德摩根定律:- 对于任意两个集合A和B,有 (A∪B)' = A'∩B'- 对于任意两个集合A和B,有(A∩B)' = A'∪B'2. 两个集合互为补集:- 若A和B是某个全集U的子集,且A∪B=U,A∩B=∅,则称A和B互为补集。

集合知识点归纳总结

集合知识点归纳总结

集合知识点归纳总结一、集合的定义与性质1. 集合的基本定义:集合是由一些确定的元素组成的整体。

2. 集合的表示方法:列举法、描述法、集合运算法等。

3. 集合的关系:包含关系、相等关系、互斥关系等。

4. 集合的运算:并集、交集、差集、补集等运算。

二、集合的分类1. 空集与全集:空集是不包含任何元素的集合,全集是指定范围内的所有元素的集合。

2. 子集与真子集:如果一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素,则称前者为后者的子集;若两个集合既有子集关系又不相等,则称前者为后者的真子集。

3. 有限集与无限集:元素个数有限的集合称为有限集,元素个数无限的集合称为无限集。

三、集合的运算1. 并集:将两个或多个集合中的所有元素都放在一起,得到的新集合即为并集。

2. 交集:两个集合中共有的元素组成的集合称为交集。

3. 差集:从一个集合中减去另一个集合的元素,得到的新集合称为差集。

4. 补集:相对于某个全集,与该集合不相交的元素组成的集合称为补集。

四、集合的表示与应用1. 集合的表示方法:列举法、描述法、集合运算法等。

2. 集合的应用场景:数学、计算机科学、概率论等领域中都有集合的应用。

3. 集合的问题求解:通过集合的运算和性质,解决实际问题中的集合相关的计算和逻辑推理。

五、集合的常用性质与定理1. 幂集:一个集合的所有子集构成的集合称为幂集。

2. 对称差:两个集合的对称差是指两个集合的并集减去交集。

3. 德摩根定律:集合运算中的德摩根定律包括并集的德摩根定律和交集的德摩根定律。

4. 集合的基数:集合的基数是指集合中元素的个数。

5. 区间表示法:用数轴上的区间来表示集合。

六、集合的应用举例1. 数学中的集合:数学中的各种概念和定理都可以用集合的语言来表达和证明。

2. 数据库中的集合:数据库中的查询、连接和操作都可以用集合的概念来描述和实现。

3. 概率论中的集合:概率论中的事件和样本空间都可以用集合的概念来表示和计算。

(完整版)《集合》知识点总结

(完整版)《集合》知识点总结

《集合》知识点总结一、集合有关概念1.集合的含义一般地,把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 2.集合中元素的三个特性:确定性 互异性 无序性3.集合的表示:{}⋅⋅⋅如:{}我校的篮球队员,{}太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋用拉丁字母表示集合:A ={}我校的篮球队员,B ={}1,2,3,4,5 集合的表示方法:列举法与描述法。

列举法:{,}a b ⋅⋅⋅,c,d,描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。

{|32}x x ->语言描述法:例:{}不是直角三角形的三角形Venn 图:注:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N正整数集 *N N +或 整数集Z 有理数集Q 实数集R4.集合的分类:有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合 例:2{|5}x x =-二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集 注意:A B ⊆有两种可能(1)A 是B 的一部分;(2)A 与B 是同一集合。

反之,集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)例:设A={x|210x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作B A ⊆ (或B ⊇/A) ③如果A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,记为∅规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

结论:有n 个元素的集合,含有2n 个子集,12n -个真子集(2)交、并、补集的混合运算①集合交换律 A B B A ⋂=⋂ A B B A ⋃=⋃②集合结合律 ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ ()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃③集合分配律 ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃ (3)容斥定理()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂()()()()()card A B C card A card B card C card A B ⋃⋃=++-⋂()()()card A B card B C card A B C -⋂-⋂+⋂⋂card 表示有限集合A 中元素的个数。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

集合的概念
.教学目标:理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题,掌握集合问题的
常规处理方法.
教学重点:集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法,集合语言、集合思想的运用.: (一)主要知识:
1.集合、子集、空集的概念;
2.集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法;
3.若有限集A 有n 个元素,则A 的子集有2n
个,真子集有21n
-,非空子集有21n
-个,非空真子集有22n
-个.
集合的运算
教学目标:理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质,能利用数轴或文氏
图进行集合的运算,进一步掌握集合问题的常规处理方法.
教学重点:交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用. (一)主要知识:
1.交集、并集、全集、补集的概念; 2.A
B A A B =⇔⊆,A B A A B =⇔⊇;
3.()U U U C A C B C A B =,()U U U C A C B C A B =.
(二)主要方法:
1.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用;
2.含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出问题; 3.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键.
考点要点总结与归纳:
1. 集合的概念:能够确切指定的一些对象的全体。

2. 集合中元素的性质:确定性,互异性,无序性。

3. 集合的表示方法:列举法,描述法,图示法。

4. 子集的概念:A 中的任何一个元素都属于B 。

记作:A B ⊆
5. 相等集合:A B ⊆且B A ⊆
6. 真子集:A B ⊆且B 中至少有一个元素不属于A 。

记作:A ≠⊂B
7. 交集:B}x A x |{x B A ∈∈=⋂且
8. 并集:}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或
9. 补集:A}x x |{x A C U ∉∈=且U 应该注意的问题:
1. 集合中的元素是确定的,各不相同。

2. 集合与元素的属于关系与集合之间的包含关系,两者不能混淆。

集合
例题讲解:
例1.(复旦附中2008高一月考)已知集合{}t M ,3,1=,{}
12+-=t t P ,若M P M =⋃,则t =_____________.
例2.(控江中学期末题).设集合M=,24k x x k Z ππ⎧⎫=
+∈⎨⎬⎩⎭,N=,42k x x k Z ππ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
, A. M=N B. M
≠⊂N C. N ≠⊂M D. M
N=∅
例3.(华师大二附期中考试题) 如图所示,,


的三个子集,则阴影部分所
表示的集合是( )
(A )
(B )
(C )
(D )
例4.(上海中学高分精讲精练) 设全集
,若



则下列结论正确的是( ) (A )

(B )

(C )

(D )

例5(上外附中期末题)设全集为U ,集合A 、B 是U 的子集,定义集合A 、B 的运算: A *B ={x |x ∈A ,或x ∈B ,且x ∉A ∩B },则(A *B )*A 等于( )
A .A
B .B
C .()U C A B ∩
D .()U A C B ∪
例6.(四大名校考点要点范例解析)
已知集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤-
=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
+≤≤=n x n x N m x m x M 43|,31|,且N M ,都是集合 {}10|≤≤x x 的子集,如果把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤|的“长度”,那么N M 的“长度”的最小值是____________________.
例7.(市北中学月考试题)已知集合{}52|≤≤-=x x A ,{}121|-≤≤+=m x m x B ,
且⊆B A ,求实数m 的取值范围.
例8.(上海中学高三摸底考试)已知集合2{263}A x k x k =-+<<-,{}B x k x k =-<<且A 是B 的真子集, 求实数k 的取值范围。

例9.(上海市重点中学试题集锦)集合A ={x |x 2-ax +a 2-19=0},B ={x |x 2-5x
+6=0},C ={x |x 2+2x -8=0},若∅A ∩B ,A ∩C =∅,求a 的值.
例10.(交大附中高三模拟考试)设集合{}42|<<-=x x A , 集合{
}
023|2
2=+-=a ax x x B . (1)求使B B A = 的实数a 的取值范围;
(2)是否存在实数a ,使φ≠B A 成立?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
作业
1.(上海中学期末题)集合{}21|≤<=x x A ,集合{}a x x B <=|,满足A ≠⊂B ,则实数a 的范围是______.
2. (控江中学期末模拟题)若集合
、、,满足,,
则与之间的关系为()
(A)(B)(C)(D)
3.给定集合A、B,定义A※B={x|x=m-n,m∈A,n∈B}.若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合A※B中的所有元素之和为()
A.15 B.14 C.29 D.-14
4 . 已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ax,ax2}. 若A=B,求实数x的值.
5.(华师大二附期中测试题)设全集合,,
,求,,,
高一数学第一章集合数学测试题
一、选择题(每小题5分,计5×12=60分)
1.下列集合中,结果是空集的为()
(A)(B)
(C)(D)
2.设集合,,则()
(A)(B)(C)(D)
3.下列表示①②③④中,正确的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.满足的集合的个数为()
(A)6 (B) 7 (C) 8 (D)9
5.若集合、、,满足,,则与之间的关系为()
(A)(B)(C)(D)
6.下列集合中,表示方程组的解集的是()
(A)(B)(C)(D)
7.设,,若,则实数的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
8.已知全集合,,,那么
是()
(A)(B)(C)(D)
9.已知集合,则等于()
(A)(B)
(C)(D)
10.已知集合,,那么()
(A)(B)(C)(D)
11.如图所示,,,是的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()
(A)(B)(C)(D)
12.设全集,若,,
,则下列结论正确的是()
(A)且(B)且(C)且(D)且
二、填空题(每小题4分,计4×4=16分)
13.已知集合,,则集合
————
14.用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为——----------
15.设全集,,,则的值为16.若集合只有一个元素,则实数的值为-----------三、解答题(共计74分)
17.(本小题满分12分)若,求实数的值。

18.(本小题满分12分)设全集合,,
,求,,,。

相关文档
最新文档