三线合一练习题

(完整)数学北师大版八年级下册三线合一

专题训练(六)__“三线合一”好解题►类型之一证明线段相等1．已知：如图6－ZT－1所示，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE.图6－ZT－1[解析] 欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E.根据等腰三角形的“三线合一”和等边三角形的性质可得∠DBE＝1∠ABC＝30°.再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得∠E2＝30°.由此可得结论．证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠ABC＝30°.(等腰三角形的“三线合一”)∴∠DBE＝12∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB为△CDE的外角，∠ACB＝60°，∴∠CDE＋∠E＝60°.∴∠CDE＝∠E＝30°.又∵∠DBE＝30°，∴BD＝DE.(等角对等边)2．如图6－ZT－2所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.图6－ZT－2[解析] 本题可通过全等三角形来证线段相等．在△ABD和△ACE中，已知AB＝AC，BD＝EC且∠B＝∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD＝AE的结论．也可根据等腰三角形三线合一来证明．证明：过点A作AF⊥BC于点F.图ZT－6－1∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF.(等腰三角形底边上的高是底边上的中线)又∵BD＝CE，∴BF－BD＝CF－CE，即DF＝EF，∴AF是DE的垂直平分线，∴AD＝AE.►类型之二证明两线垂直3．如图6－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：AD⊥BC.图6－ZT－3[解析] 首先证明∠DBC＝∠DCB，可得DB＝DC，再加上条件AB＝AC，公共边AD ＝AD，可利用SSS证明△ABD≌△ACD，进而得到∠BAD＝∠CAD，再根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出AD⊥BC.本题通过证明AD是BC的垂直平分线也可得证，如下面的证法．证明：延长AD交BC于点M，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD，即∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AD⊥BC.图ZT －6－24．如图6－ZT －4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 上一点，∠DBC ＝12∠BAC.求证：AC ⊥BD.图6－ZT －4[解析] 首先过点A 作AE ⊥BC 交BC 于点E ，交BD 于点F.由AB ＝AC ，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得∠CAE ＝12∠BAC ，又由∠DBC ＝12∠BAC ，在△ADF 与△BEF中，易证得∠ADF ＝∠BEF ＝90°，即可得AC ⊥BD.证明：如图ZT －6－3，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点F.图ZT －6－3∵AB ＝AC ，AE ⊥BC ，∴∠CAE ＝12∠BAC.(等腰三角形的“三线合一”)又∵∠DBC ＝12∠BAC ，∴∠CAE ＝∠DBC.∵∠1＝∠2，∠ADF ＝180°－∠2－∠CAE ，∠BEF ＝180°－∠1－∠DBC ， ∴∠ADF ＝∠BEF.∵AE ⊥BC ，∴∠BEF ＝90°. ∴∠ADF ＝90°.∴BD ⊥AC.► 类型之三证明角的倍分关系5．已知：如图6－ZT －5所示，AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ，垂足为E ，AE ＝ED ，PB 分别与线段CF ，AF 相交于点P ，M ，∠F ＝∠MCD.求证：∠BAC ＝2∠MPC.图6－ZT －5[解析] 先由AF 平分∠BAC 证明∠BAE ＝12∠BAC ，再根据等腰三角形“三线合一”和线段垂直平分线的性质证明∠CDE ＝∠BAE.从而∠CDE ＝12∠BAC.然后在△MDC 和△MPF中证明∠MDC ＝∠MPF.进而得∠MPF ＝∠MDC ，∠MPC ＝∠CDE ＝12∠BAC 即可．证明：∵AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ， ∴∠BAE ＝∠CAE ＝12∠BAC ，CE ＝BE.∵CE ⊥AE ，AE ＝ED ， ∴AC ＝CD.∴∠CDE ＝∠CAE ＝12∠BAC.∵BC ⊥AF ，CE ＝BE ， ∴CM ＝BM. ∴∠CMA ＝∠BMA. 又∵∠BMA ＝∠PMF ， ∴∠CMD ＝∠PMF.又∵∠F ＝∠MCD ，∠MPF ＝180°－(∠F ＋∠PMF)，∠MDC ＝180°－(∠MCD ＋∠CMD)，∴∠MPF ＝∠MDC.∴∠MPC ＝∠CDE ＝∠CAE ＝12∠BAC.∴∠BAC ＝2∠MPC.► 类型之四证明线段的倍分关系6．如图6－ZT －6，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 为BC 上一点，ED ⊥BC 于点E ，交CA的延长线于点F，求证：AD＝AF.图6－ZT－6[解析] 方法一：由AB＝AC，根据等边对等角的性质，可得∠B＝∠C.又由DE⊥BC，根据等角的余角相等和对顶角相等，可得∠F＝∠ADF，又由等角对等边，可证得AD＝AF.图ZT－6－4方法二：过点A作AG⊥BC，由等腰三角形的“三线合一”可得∠BAG＝∠CAG.再由平行线的性质证明∠F＝∠CAG，∠ADF＝∠BAG.进而可得结论．证明：(方法一)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BDE＝90°.∴∠F＝∠BDE.∵∠ADF＝∠BDE，∴∠F＝∠ADF.∴AD＝AF.(方法二)如图ZT－6－4，过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，∴∠BAG＝∠CAG.(等腰三角形“三线合一”)∵AG⊥BC，ED⊥BC，∴AG∥EF.∴∠F ＝∠CAG ，∠ADF ＝∠BAG . ∴∠F ＝∠ADF. ∴AD ＝AF.7．[2013·五河期末改编] 如图6－ZT －7所示，过等边三角形ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E.Q 为BC 延长线上一点，且PA ＝CQ ，连接PQ 交AC 边于点D. 求证：(1)PD ＝DQ ； (2)DE ＝12AC.图6－ZT －7[解析] (1)过点P 作BC 的平行线交AC 于点F ，通过证明△PDF 和△QDC 全等，可推出PD ＝DQ ；(2)由△APF 是等边三角形和PE ⊥AC ，可推出AE ＝EF ＝12AF.由△PDF 和△QDC 全等，可得出FD ＝CD ＝12FC ，进而可得DE 的长．证明：(1)过点P 作PF ∥BC ，交AC 于点F.图ZT －6－5∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°. 又∵PF ∥BC ，∴∠APF ＝∠AFP ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∴△APF 是等边三角形．∴PA ＝AF ＝PF. 又∵PA ＝CQ ，∴PF ＝CQ. ∵PF ∥BC ，∴∠FPD ＝∠Q. 在△PFD 和△QCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠FPD ＝∠Q ，∠PDF ＝∠QDC ，PF ＝QC ，∴△PDF ≌△QDC.(AAS) ∴PD ＝QD.(2)由(1)知PA ＝AF ，又∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF ＝12AF.(等腰三角形的三线合一)由(1)知△PDF ≌△QDC ，∴FD ＝CD ＝12FC.∴DE ＝EF ＋FD ＝12AF ＋12FC ＝12(AF ＋FC)＝12AC.。

初二第二讲三线合一

“三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。

求证：BE=CE。

变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。

求证：AD垂直平分BC。

变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。

求证：AD垂直平分EF。

例2．如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。

【巩固练习】1、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。

2、在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ，则∠BAC ＝________，∠DAC ＝________，BD ＝________cm 。

3、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝________。

4、已知△ABC 中，∠A ＝n °，角平分线BE 、CF 相交于O ，则∠BOC 的度数应为（）（A ）90°－n 21°（B ）90°＋ n 21°（C ）180°－n °（B ）180°－n 21° 5、下列两个三角形中，一定全等的是（）（A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B ）两个等边三角形（C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形（D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形6、已知：如图，△ABC 中，AB=AC 。

20北师大八年级下册三线合一的习题(提高)

三线合一的习题（提高）第1关1．如图，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，EF 与AD 交于点G ．求证：AD 垂直平分EF ．请填空。

证明；∵AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴( )，∠AED ＝∠AFD ＝90°，在Rt △AED 和Rt △AFD 中，{( )DE ＝DF ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD （HL ），∴( )，又∵AG 是∠BAC 的角平分线，∴AG ⊥EF ，( )，∴AD 垂直平分EF ．①AD=AD ②AE ＝AF ③GE= GF ④ DE ＝DFA 、②①③④B 、②①④③C 、④①②③D 、④①③②1、选C解析：根据角平分线的性质、全等三角形和等腰三角形三线合一即可证明结论．证明：∵AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠AED ＝∠AFD ＝90°，在Rt △AED 和Rt △AFD 中，{AD =AD DE ＝DF， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD （HL ）∴AE＝AF，又∵AG是∠BAC的角平分线，AG⊥EF，GE= GF，∴AD垂直平分EF．第2关2如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．求证：AE＝BE+2CM。

证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴（）在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴（），∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，∠DCE =45°∴DM＝ME，∠DCM＝∠ECM ＝12∴（）∴（）∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．①AD＝BE②DM＝ME＝CM③∠ACD＝∠BCE④∠CDE＝∠CED＝∠DCM＝∠ECMA、③①④②B、③②④①C、④①③②D、④②③①2、选A解析:证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，最后证出DM＝ME＝CM即可证得结论．证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，∠DCE =45°∴DM＝ME，∠DCM＝∠ECM＝12∴∠CDE＝∠CED＝∠DCM＝∠ECM∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．。

等腰三角形及三线合一经典试题-难题

等腰三角形及三线合一经典试题难题1．等腰三角形的对称轴是（）2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80°4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108°5．等腰三角形的一个内角为80，则另两个内角的度数为6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AECC B ADEP ECAH FGEDCABHF10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( )11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ．12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH 的形状并说明理由．13．如图，中，，试说明：．14.如图3，在∆ABC 中，∠=A 90ο，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥C图315.已知，如图1，AD是∆ABC的角平分线，DE、DF分别是∆ABD和∆ACD的高。

沪教版初一下等腰三角形三线合一

等腰三角形等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。

求证：BE=CE。

变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。

求证：AD垂直平分BC。

变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。

求证：AD垂直平分EF。

例2．如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。

【巩固练习】1、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。

2、在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ，则∠BAC ＝________，∠DAC ＝________，BD ＝________cm 。

3、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝________。

4、已知△ABC 中，∠A ＝n °，角平分线BE 、CF 相交于O ，则∠BOC 的度数应为（）（A ）90°－n 21°（B ）90°＋ n 21°（C ）180°－n °（B ）180°－n 21° 5、下列两个三角形中，一定全等的是（）（A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B ）两个等边三角形（C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形（D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形6、已知：如图，△ABC 中，AB=AC 。

等腰三角形性质：三线合一”专题

1 / 4分析：如图1, AB 二AC, BD 丄AC 于D,作底边BC E 为垂足，则可知ZEAC=ZEAB=-a ,又Z2E4C = 90° - ZC, Zp = 90° - ZC,所以 ZEAC = p, P = *cc 。

例四.已知：如图 2, A ABC 中，AB 二 AC, CE 丄 AE 于 E, CE = - BC , E 在△/（：外，求证：ZACE 二 ZB 。

2分析：欲证ZACE=ZB,由于AC 二AB,因此只需构造一个与RtAACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。

等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是著爼的等腰三角形“三线台一”性质。

"三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】例1・如图所示，在等腰AABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上。

求证:BE=CEo 变式练习1-1如鮒在Z\ABC 中，AB 二AC D 是形外一点且BD 二CD 变式练习1-2已知，如图所示，AD 是△ABC, DE 、DF 分别求证：AD 垂直平分EF 。

求证：AD 垂直平分BC 。

是Z\ABD 和ZXACD 的髙。

例二：如图ZkABC 中，AB=AG ZA=36° , BD 平分ZABC, 4,且ABDC 周长为24,求AE 的长度。

例三.等腰三角形顶角为ou —腰上的高与底边所夹的角 DE 丄AB 于E,若CD=系式为P二是（3,则p 与a 的关上的高AE,/?2 / 4证明：作AD 丄BC 于D, VAB=AC, ••• BD = -BC2又-CE = -BC. •••BD=CE°在 RtAABD 和 RtZkACE 中，AB=AC> BD 二CE, /.RtAABD^RtAACE (HL)。

初二第二讲---三线合一

“三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。

例1．如图所示，在等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上。

求证：BE=CE 。

变式练习1-1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是形外一点，且BD=CD 。

求证：AD 垂直平分BC 。

变式练习1-2 已知，如图所示，AD 是△ABC ，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高。

求证：AD 垂直平分EF 。

例2．如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。

【巩固练习】1、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。

2、在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ，则∠BAC ＝________，∠DAC ＝________，BD ＝________cm 。

ABC E D3、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝________。

4、已知△ABC 中，∠A ＝n °，角平分线BE 、CF 相交于O ，则∠BOC 的度数应为（）（A ）90°－n 21°（B ）90°＋ n 21°（C ）180°－n °（B ）180°－n 21° 5、下列两个三角形中，一定全等的是（）（A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B ）两个等边三角形（C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形（D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形6、已知：如图，△ABC 中，AB=AC 。

三线合一专题练习

三线合一专题练习
一、直接运用三线合一证题
1、如图,在Rt ABC △中,
90=∠B ,ED 是AC 的垂直平分线,交AC 于点D ,交BC 于点E ．已知 10=∠BAE ,则C ∠的度数为 A ． 30 B ． 40 C ． 50
D ． 60
2、已知,如图1,AD 是∆ABC 的角平分线,DE 、DF 分别是∆ABD 和∆ACD 的高; 求证：AD 垂直平分EF
A
1 2
E
F
B D C
图1
3、如图2,∆ABC 中,AB ＝AC,AD 为BC 边上的高,AD 的中点为M,CM 的延长线交AB 于点K,求证：AB AK =3
A
K
M
E
图2
二、做辅助线利用三线合一
4、如图3,在∆ABC 中,∠=A 90
,AB AC =,D 是BC 的中点,P 为BC 上任一点,作PE AB ⊥,PF AC ⊥,垂足分别为E 、F
求证：1DE ＝DF ；2DE DF ⊥ A
E
F
B D P 图3
5、如图,在等腰梯形ABCD中,G为对角线交点,△ADG、△GBC为正三角形;F、E、H为AG、BG、DC的中点; 连接CE BF
1求证：△EFH为正三角形；
2若AD=2,BG=3,求S△EFH；
ACB ADB90 ,M、N分别为AB、CD的中点,求6、如图4,已知四边形ABCD中,∠=∠=
⊥
证：MN CD
C
N
D
A M B
图4
7、如图,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE＝CD,DM ⊥BC,垂足为M;求证：M是BE的中点;
A
D
1
B M
C E。

(完整)数学北师大版八年级下册三线合一

初二第二讲 三线合一

20北师大八年级下册三线合一的习题(提高)

等腰三角形及三线合一经典试题-难题

沪教版初一下等腰三角形三线合一

等腰三角形性质：三线合一”专题

初二第二讲---三线合一

三线合一专题练习

初二第二讲三线合一