八年级下数学教案-第十七章--勾股定理

第十八章 勾股定理
18．1 勾股定理
一、教学目标
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

三、课堂引入
让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

毕达哥拉斯是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人。

希腊另一位数学家欧几里德在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。

并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。

因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。

所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了。

而他发现这个定理要比我们完了500多年。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 四、勾股定理及其证明
证明1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×
2
1
ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。

⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

另一种证明方法：
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

A B
b
b b b
a a
c
c
a
左边S=4×
2
1
ab ＋c 2 右边S=（a+b ）2
左边和右边面积相等，即 4×
2
1
ab ＋c 2=（a+b ）2 化简可证。

于是，我们得到直角三角形三条边之间的关系：
定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。

（勾股定理） 五、例题
例 1 如图，在Rt △ABC 中，两条直角边AC=5，BC=12，求斜边上的高CD 的长
分析：11
22
ABC S AC BC AB CD =
⋅=⋅△.代入数字即可。

六、课堂练习
1．勾股定理的具体内容是： 。

2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。

3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2
，则 =90°； 若
满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B 是 角。

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

七、课后练习
1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。

（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。

（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。

（已知a 、c ，求b ）
4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上。

求证：⑴AD 2－AB 2=BD ·CD
⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论。

A
B
b
A E
B。