中南财大09-10线性代数试卷

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3. 设线性方程组 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
一 16
二 10
三 20
四 45
五 9
六
七
总分 100
______________________________________________________________________________ 得分 评阅人 一、填空题（每小题 2 分，共 16 分）
学生姓名：
1. 设α1 , α 2 , α 3 是三维列向量，且 α1 , α 2 , α 3 = 3 ，则 α1 + α 2 , 2α1 , α 2 − α 3 = _______________. 2. A, B 为 n 阶方阵，若 ( A + B ) 2 = A2 + 2 AB + B 2 ，则 A, B 满足____________________. 3. A 为 n 阶方阵，若 A = O ，则 ( E − A) −1 = ______________________________.
1 1 1. 设 A = 1 ⋮ 1
2 3 ⋯ n 2 0 ⋯ 0 0 3 ⋯ 0 ，求 A 的第一行元素的代数余子式之和 A11 + A12 + ⋯ + A1n ． ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ n
1 −2 0 2. 设 n 阶矩阵 A, B 满足条件 A + B = AB ，且 B = 2 1 0 ，求矩阵 A . 0 0 2
T
α 2 = (2,1,1)T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量, 求 A 的另一个特征值 λ3 及对应的特征向量.
பைடு நூலகம்
5. 求一个正交线性替换，将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 4 x1 + 3 x2 + 3 x3 + 2 x2 x3 化为标准型.
2 2 2
得分
评阅人 五、证明题（9 分）
2. 若 A = ±1 ，则 A 是正交矩阵.
4. 若 A = 3. 设 n 阶矩阵 A 相似于 B ，则存在对角矩阵 Λ ，使 A , B 都相似于 Λ .
2 −1 2 1 , B = ，则 A 与 B 是合同的. −1 2 1 2
得分
评阅人 四、计算下列各题（每小题 9 分，共 45 分）
课堂号：________
中南财经政法大学 2009 –2010 学年第一学期
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
3
年级：
4. 设 n 维向量α1 , α 2 , α 3 线性无关， 且向量组α1 + α 2 , α 3 + α1 , α 2 − kα 3 线性相关， k 满足___________. 则 5. 设向量 β 可由向量组α1 , α 2 ,⋯ , α s 唯一地线性表示，则α1 , α 2 ,⋯ , α s , β 的极大无关组是 _______________________. 6. 设 3 阶矩阵 A 的特征值分别是 −1,1, 2 ，则 A* 的特征值是___________________. 7. 设方阵 A, B 满足 P −1 AP = B ，若α 是 A 的对应于 λ 的特征向量，则 B 的对应于 λ 的特征向量是 __________. 8. 二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 2 x1 x2 + x2 − 2 x3 的正惯性指数是__________.
1. 设 A, B 为 n 阶方阵，若方程组 AX = O 的解都是方程组 BX = O 的解，则 r ( A) ≥ r ( B ) .
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（B） β 必不可由α , γ , δ 线性表示 （D）δ 必不可由α , β , γ 线性表示 ） （D AB 相似于 BA
5. 设矩阵 A 相似于 B ，则下列结论不正确的是（ ． （A） A = B （B） r ( A) = r ( B )
（C） tr ( A) = tr ( B )
得分
评阅人 三、判断正误并说明理由（每小题 5 分，共 20 分）
（A） λ = −2 （B） λ = 2
）
（C） λ = −1 ）
（D） λ = 1
3. 齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充要条件是（ （A）系数矩阵 A 的任意两个列向量线性相关. （B）系数矩阵 A 的任意两个列向量线性无关
（C）系数矩阵 A 中至少有一个列向量是其余列向量的线性组合 （D）系数矩阵 A 中任一列向量都是其余列向量的线性组合 4. 若向量组α , β , γ 线性无关，α , β , δ 线性相关，则（ （A）α 必可由 β , γ , δ 线性表示 （C）δ 必可由α , β , γ 线性表示 ）
期末考试试卷
课程名称： 《线性代数》 （A）卷 ） 课程代号：_09006050__ 考试形式：闭卷、笔试 使用对象：经济、管理各专业
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学号：
题号 分值 得分
设 n 阶矩阵 A 的每行元素之和均为零，且 r ( A* ) = 1 . （1）证明： r ( A) = n − 1 ； （2）求齐次线性方程组 AX = 0 的全部解.
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2 2 2
院（系） ：
专业：
得分
评阅人 二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）
1. 设 A 为 n 阶方阵， k 为非零常数，则下列等式不成立的是（ （A） ( kA) = kA
T T
）
n
（B） r ( kA) = k r ( A)
（C） kA = k
A
（D） (kA) = k
*
n −1
A*
λ 1 1 2. 设 A = 1 λ 1 ，且 r ( A) = 2 ，则（ 1 1 λ
x1 − x2 + 2 x3 = −1 3x1 + x2 + 4 x3 = 1 ， ax + bx + cx = d 1 2 3
已知η1 = ( 0,1, 0 ) ,η 2 = ( −3, 2, 2 ) 是此方程组的两个解，试求该方程组的全部解.
T T
4. 设三 阶实对 称矩 阵 A 的秩 r ( A) = 2 ， λ1 = λ2 = 6 是 A 的 二 重特征 值 . 若 α1 = (1,1, 0) ，