刚体4-2

ห้องสมุดไป่ตู้
m∆v ( ∆m) u = (m −∆m)∆v 得到：∆m = u + ∆v 得到： ∆m = 118.81kg
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刚体的角动量和守恒定律 二、刚体的角动量和守恒定律
质点对点的角动量为： 质点对点的角动量为： L = r × P = r × m v 和角动量L一定是同 由于刚体做定轴转动其角速度ω和角动量 一定是同 方向， 方向， 所以我们可以采取了标量来表示它们 因此刚体上的一个质元, 因此刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动 刚体上的一个质元 可以写为 量可以写为： 2
其中a 其中 、b、ω
皆为常数，求该质点对原点的角动量。 皆为常数，求该质点对原点的角动量。
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解：已知
r = a cosωti + bsin ωt j
v = dr dt = −aω sin ωti + bω cosωt j
L = r ×mv
= mabω cos ωtk + mabω sin ωtk
飞船在A点喷气时质量减少 变为m’ 飞船在 点喷气时质量减少∆m 变为 ，速度增量为 点喷气时质量减少 ∆v 飞船的速度变为 A 其值为： 飞船的速度变为V 其值为：
vA = v + ∆v
2 0
(
2 1/ 2
)
飞船喷气后只受有心力作用，其角动量守恒： 飞船喷气后只受有心力作用， 角动量守恒：
mv0 (R + h) = mvBR
VB VA R h
∆V
V0 u
解：由万有引力和牛顿定律, 并设飞船的初速度为 0 由万有引力和牛顿定律 并设飞船的初速度为v 得到： 得到：
v Mm G =m 2 (R + h) R+h
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2 0
M Q g =G 2 R
Rg 得： v0 = R+h
2
1/ 2
=1612m/ s
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m 由一长为L的均匀细杆， 例3、由一长为L的均匀细杆，可 绕通过其中心点的轴在竖直平面 O V。 内转动，当杆静止在水平位置时， 内转动，当杆静止在水平位置时， L/4 有一只小虫以速率v。垂直落在 θ p 距点O 为L/4处，并背离转轴爬 r 向端点。 向端点。 设小虫和细杆的质量均为m, m,问要使细杆以恒定的角 设小虫和细杆的质量均为m,问要使细杆以恒定的角 速度转动，小虫应以多大的速率爬向端点？ 速度转动，小虫应以多大的速率爬向端点？
积分形式： 积分形式：
∫
t
0
Mdt = ∫ dL = L2 − L = ∆L 1
L 1
L2
左边为对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内 的积累效果，称为冲量矩 冲量矩； 的积累效果，称为冲量矩；右边为刚体对同一转动 轴的角动量的增量 角动量的增量。 轴的角动量的增量。
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∆L = Jω2 − Jω1 J也改变时(多个刚体）：∆ = J ω − J ω 也改变时(多个刚体）： L 2 2 1 1
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的光滑圆环上A 例1、半径为 的光滑圆环上 、半径为R的光滑圆环上 点有一质量为m 点有一质量为 的小球 ， 从 静止开始下滑，若不计摩擦力， 静止开始下滑，若不计摩擦力， 求小球到达B点时的角动量和 求小球到达 点时的角动量和 角速度。 角速度。
R θ Fn B P
A
解：小球受重力矩作用，由角动量定理得： V 小球受重力矩作用，由角动量定理得：
M=
dt
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在定轴转动中，如果整个刚体系统具有统一的角 在定轴转动中， 速度ω 并且其转动惯量不随时间变化（ 速度ω，并且其转动惯量不随时间变化（如单个 刚体且固定转轴在刚体内部）。则有： ）。则有 刚体且固定转轴在刚体内部）。则有： d d dω M= L= (Jω) = J = Jα dt dt dt 刚体定轴转动的转动定律实质是角动量定理的沿固 定轴方向的分量式的一种特殊形式。 定轴方向的分量式的一种特殊形式。
角动量、 §4.3 角动量、角动量守恒定律
• 质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点的角动量定理和角动量守恒定律 • 刚体的角动量定理和角动量守恒定律 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
§4.4 力矩的功、转动动能 力矩的功、
• 力矩的功和功率 • 转动动能和动能定理
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§4.3
角动量、 角动量、角动量守恒定律
J不变时（单个刚体）: 不变时（单个刚体）
3、角动量守恒定律
dL 在 = M 中 M = 0则 = 常 ,即 恒 若 L 量 守 dt
单个刚体： 单个刚体：ω不变 角动量L守恒的含义 角动量 守恒的含义: 守恒的含义 多个刚体： 多个刚体：（Jω）不变 刚体 M=0的原因，可能F＝0；r =0或者F∥r.在定轴转动 的原因， =0或者 的原因 中还有M≠0，但它与轴垂直，即外力 沿着轴向对定 但它与轴垂直 垂直， 外力F沿着轴向 沿着轴向对定 中还有 轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。 轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。
2 A 2 B
和月球质量M得值代入上式得： 将引力常数G 和月球质量M得值代入上式得：
vA =1615m/ s
∴ ∆v = v − v =100m/ s
2 A 2 0
若在飞船喷气的短暂时间内， 若在飞船喷气的短暂时间内，不计月球的引 可认为在飞船喷气过程中动量守恒 动量守恒： 力，可认为在飞船喷气过程中动量守恒：
作用在杆上的外力矩为小虫的重力矩，由角动量定理知： 作用在杆上的外力矩为小虫的重力矩，由角动量定理知：
d( Jω) dJ M = mgr cosθ = =ω dt dt
因为细杆和小虫绕轴的转动惯量为： 因为细杆和小虫绕轴的转动惯量为：
2 mL dJ dr 2 J= + mr 得到 ： = 2mr 12 dt dt
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Z 上一章曾得到一对内力的力矩 之和为零，如图。 之和为零，如图。 ro ∆mj fij rj ∆mi Oi ri
r r M = −M ij ji r r r dL ∴M = M = 外 dt
刚体是特殊的质点组。 刚体定轴转动中， 刚体是特殊的质点组。在刚体定轴转动中，只有沿 定轴转动中 着轴向的角动量 角动量L 同时刚体受到的外力矩 力矩也都和轴 着轴向的角动量 ，同时刚体受到的外力矩也都和轴 向平行。 向平行。因此对于刚体的定轴转动来说可以写出如 下标量公式： 下标量公式： dL
∫
L
0
LdL = m gR
L = mR
2
3/ 2
∫
θ
0
cosθdθ
1/ 2
(2g sin θ )
Q L = mR ω
2g ∴ ω= sin θ R
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本题也可以用质点的功能原理求解。 本题也可以用质点的功能原理求解。
质量为m 例2、质量为m的登月飞船在离 月球表面h=100 月球表面h=100km 处绕月球作 圆周运动，其登月方式为在A 圆周运动，其登月方式为在A点 以u =10000m/s的速度向外侧喷 使飞船与月球表面相切， 气，使飞船与月球表面相切， 到达B点。已知月球的半径 R=1700km,月球表面的重力加速 度g=1.62m/s2,问飞船在登月过 程中消耗燃料的质量Δm 。
解：小虫落在细杆上为完全非弹性碰撞，由于碰撞时 小虫落在细杆上为完全非弹性碰撞， 间极短， 间极短，所以重力矩的作用可以忽略从而认为碰撞前 后系统角动量守恒， 后系统角动量守恒，即：
2 2 mL L L mv0 = + m ω 4 12 4
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12v0 所以杆的角速度为 ： ω = 7L
u r
r
r
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u r r r u r r u r dL r = v × mv + r × F ＝ × F r dt r u uu r r 它是合外力对同一固定点 它是合外力对同一固定点o的力矩 ＝ 令： r × F M ， u r M uu dL r M 即： ＝ F dt m θ v v t2 r r o 或者： Mdt = L2 − L 1 ∫
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律 1、质点对某点 的角动量： 、质点对某点O的角动量 的角动量：
r
r
r
质点 ：r ， v ，P m
则 对 坐 原 O 角 量 其 点 标 点 的 动 ： L = r × P = r × mv
r
r r
r
r
L o m r
大小： 大小：L＝rmvsinθ
P θ
方向： 方向：右手螺旋定则判定 单位： 单位：kgm2/s 量纲： 量纲：ML2T-1
2
L
注意： 注意：作圆周运动的质点的 角动量L 角动量 ＝m r v
P r
o
其方向垂直于圆周所在平面， 其方向垂直于圆周所在平面，由右手法则确定
例1、一质量为 的质点沿着一条空间曲线 、一质量为m的质点沿着一条空间曲线 运动，该曲线在直角坐标下的矢径为： 运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：
r = a cosωti + bsin ωt j
联立以上各式得到： 联立以上各式得到：
dr 又Q θ = ωt mgr cosθ = 2mrω dt dr g 7Lg 12v0t 小虫速率：v = = cosωt = cos dt 2ω 24v0 7L
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如图所示,一质量为m的子弹以水平速度 例4、如图所示,一质量为 的子弹以水平速度 v0射入 一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4, 3/4,已 一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,已 知棒长为l,质量为M. 知棒长为 ,质量为 .求子弹穿出后棒的角速度ω。 选取子弹和棒为系统， 解: 选取子弹和棒为系统，由于子弹穿出 木杆的速度很快，所需时间很短， 木杆的速度很快，所需时间很短，因此在 子弹和木杆的接触过程里重力矩可以忽略。 子弹和木杆的接触过程里重力矩可以忽略。 所以系统角动量守恒： 所以系统角动量守恒： M