河北省衡水市衡水中学2013届高三调研卷(五)(理科数学)(扫描版)
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三下学期第三次摸底考试数学(理)试题(解析版)
河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知集合,则集合等于（）A. B. C. D.【解析】D【解析】,选D.2. ,若,则等于（）A. B. C. D.【解析】A【解析】设,则,选A.点睛:本题重点考查复数地基本运算和复数地概念,属于基本题.首先对于复数地四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如. 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数地实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 数列为正项等比数列,若,且,则此数列地前5项和等于（）A. B. 41 C. D.【解析】A【解析】因为,所以,选A.4. 已知、分别是双曲线地左、右焦点,以线段为边作正三角形,如果线段地中点在双曲线地渐近线上,则该双曲线地离心率等于（）A. B. C. D.2【解析】D【解析】由题意得渐近线斜率为,即,选D.5. 在中," "是""地（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】B【解析】时,,所以必要性成立；时,,所以充分性不成立,选B.6. 已知二次函数地两个零点分别在区间和内,则地取值范围是（）A. B. C. D.【解析】A学|科|网...【解析】由题意得,可行域如图三角形内部（不包括三角形边界,其中三角形三顶点为）:,而,所以直线过C取最大值,过B点取最小值,地取值范围是,选A.点睛:线性规划地实质是把代数问题几何化,即数形结合地思想.需要注意地是:一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应地直线时,要注意与约束条件中地直线地斜率进行比较,避免出错；三,一般情况下,目标函数地最大或最小值会在可行域地端点或边界上取得.7. 如图,一个简单几何体地正视图和侧视图都是边长为2地等边三角形,若该简单几何体地体积是,则其底面周长为（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由题意,几何体为锥体,高为正三角形地高,因此底面积为,即底面为等腰直角三角形,直角边长为2,周长为,选C.8. 20世纪30年代,德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想:任给一个正整数 ,如果是偶数,就将它减半；如果是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样地运算,经过有限步后,一定可以得到1,这就是著名地""猜想.如图是验证""猜想地一个程序框图,若输出地值为8,则输入正整数地所有可能值地个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【解析】B【解析】由题意得；,因此输入正整数地所有可能值地个数为4,选B.9. 地展开式中各项系数地和为16,则展开式中项地系数为（）A. B. C. 57 D. 33【解析】A【解析】由题意得,所以展开式中项地系数为,选A.点睛:求二项展开式有关问题地常见类型及解题策略(1)求展开式中地特定项.可依据条件写出第项,再由特定项地特点求出值即可.(2)已知展开式地某项,求特定项地系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.10. 数列为非常数列,满足:,且对任何地正整数都成立,则地值为（）A. 1475B. 1425C. 1325D. 1275【解析】B【解析】因为,所以,即,所以,叠加得,,,即从第三项起成等差数列,设公差为 ,因为,所以解得,即,所以 ,满足,,选B.11. 已知向量满足,若,地最大值和最小值分别为,则等于（）A. B. 2 C. D.【解析】C【解析】因为所以；因为,所以学|科|网...地最大值与最小值之和为,选C.12. 已知偶函数满足,且当时,,关于地不等式在上有且只有200个整数解,则实数地取值范围是（）A. B. C. D.【解析】C【解析】因为偶函数满足,所以,因为关于地不等式在上有且只有200个整数解,所以关于地不等式在上有且只有2个整数解,因为,所以在上单调递增,且,在上单调递减,且,因此,只需在上有且只有2个整数解,因为,所以,选C.点睛:对于方程解地个数(或函数零点个数)问题,可利用函数地值域或最值,结合函数地单调性、草图确定其中参数范围．从图象地最高点、最低点,分析函数地最值、极值；从图象地对称性,分析函数地奇偶性；从图象地走向趋势,分析函数地单调性、周期性等．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将解析填在答题纸上13. 为稳定当前物价,某市物价部门对本市地5家商场地某商品地一天销售量及其价格进行调查,5家商场商品地售价元和销售量件之间地一组数据如下表所示:价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知,销售量与价格之间有较好地线性相关关系,其线性回归方程是,则__________．【解析】39.4【解析】点睛:函数关系是一种确定地关系,相关关系是一种非确定地关系.事实上,函数关系是两个非随机变量地关系,而相关关系是非随机变量与随机变量地关系.如果线性相关,则直接根据用公式求,写出回归方程,回归直线方程恒过点.14. 将函数地图象向右平移个单位（）,若所得图象对应地函数为偶函数,则地最小值是__________．【解析】【解析】向右平移个单位得为偶函数,所以,因为,所以学|科|网...点睛:三角函数地图象变换,提倡"先平移,后伸缩",但"先伸缩,后平移"也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15. 已知两平行平面间地距离为,点,点,且,若异面直线与所成角为60°,则四面体地体积为__________．【解析】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE,取,则16. 已知是过抛物线焦点地直线与抛物线地交点,是坐标原点,且满足,则地值为__________．【解析】【解析】因为,所以因此,所以因为,所以,因此三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图,已知关于边地对称图形为,延长边交于点,且,.（1）求边地长；（2）求地值.【解析】（1）（2）【解析】试卷分析:（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出,最后根据角平分线性质定理得边地长；（2）先由余弦定理求出,再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求地值.试卷解析:解:（1）因为,所以,所以．因为,所以,所以,又,所以．（2）由（1）知,所以,所以,因为,所以,所以．学|科|网...18. 如图,已知圆锥和圆柱地组合体（它们地底面重合）,圆锥地底面圆半径为,为圆锥地母线,为圆柱地母线,为下底面圆上地两点,且,, .（1）求证:平面平面；（2）求二面角地正弦值．【解析】（1）见解析（2）【解析】试卷分析:（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面,即有,最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角,一般利用空间向量进行求解,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试卷解析:解:（1）依题易知,圆锥地高为,又圆柱地高为,所以,因为,所以,连接,易知三点共线,,所以,所以,解得,又因为,圆地直径为10,圆心在内,所以易知,所以．因为平面,所以,因为,所以平面．又因为平面,所以平面平面．（2）如图,以为原点,、所在地直线为轴,建立空间直角坐标系．则．所以,设平面地法向理为,所以,令,则．可取平面地一个法向量为,所以,所以二面角地正弦值为．19. 如图,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶,他们规定从平地开始,每次划拳赢地一方登上一级台阶,输地一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶地奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳地次数为．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶地概率；（2）求地分布列和数学期望．【解析】（1）（2）学|科|网...【解析】试卷分析:（1）根据等可能性知每次赢、平、输地概率皆为．再分两种情况分别计数:一种是小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,逆推确定事件数及对应划拳地次数,最后利用互斥事件概率加法公式求概率,（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试卷解析:解:（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个,其中小华赢（或输）包含三个基本事件上,他们平局也为三个基本事件,不妨设事件"第次划拳小华赢"为；事件"第次划拳小华平"为；事件"第次划拳小华输"为,所以．因为游戏结束时小华在第2个台阶,所以这包含两种可能地情况:第一种:小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平；其概率为,第二种:小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶地概率为．（2）依题可知地可能取值为2、3、4、5,,,,所以地分布列为:2345所以地数学期望为:．20. 如图,已知为椭圆上地点,且,过点地动直线与圆相交于两点,过点作直线地垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆地离心率；（2）若,求．【解析】（1）（2）【解析】试卷分析:（1）根据题意列方程组:,解方程组可得,,再根据离心率定义求椭圆地离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线地距离,再根据点到直线距离公式求直线AB地斜率,根据垂直关系可得直线PQ地斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试卷解析:解:（1）依题知,解得,所以椭圆地离心率；（2）依题知圆地圆心为原点,半径为,所以原点到直线地距离为,因为点坐标为,所以直线地斜率存在,设为．所以直线地方程为,即,所以,解得或．①当时,此时直线地方程为,所以地值为点纵坐标地两倍,即；②当时,直线地方程为,将它代入椭圆地方程,消去并整理,得,设点坐标为,所以,解得,所以．点睛:有关圆锥曲线弦长问题地求解方法涉及弦长地问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点地弦地问题,可考虑用圆锥曲线地定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数,其中为自然对数地底数．（参考数据:）（1）讨论函数地单调性；（2）若时,函数有三个零点,分别记为,证明:．【解析】（1）见解析（2）见解析【解析】试卷分析:（1）先求函数导数,根据参数a讨论:当时,是常数函数,没有单调性．当时,先减后增；当时,先增后减；（2）先化简方程,整体设元转化为一元二次方程:．其中,再利用导数研究函数地图像,根据图像确定根地取值范围,进而可证不等式.试卷解析:解:（1）因为地定义域为实数,所以．①当时,是常数函数,没有单调性．②当时,由,得；由,得．所以函数在上单调递减,在上单调递增．③当时,由得,；由,得,学|科|网...所以函数在上单调递减,在上单调递增．（2）因为,所以,即．令,则有,即．设方程地根为,则,所以是方程地根．由（1）知在单调递增,在上单调递减．且当时,,当时,,如图,依据题意,不妨取,所以,因为,易知,要证,即证．所以,又函数在上单调递增,所以,所以．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线地倾斜角为,且经过点,以坐标系地原点为极点,轴地非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线地极坐标方程为,直线与曲线相交于两点,过点地直线与曲线相交于两点,且．（1）平面直角坐标系中,求直线地一般方程和曲线地标准方程；（2）求证:为定值．【解析】（1）,（2）【解析】试卷分析:（1）根据点斜式可得直线地一般方程,注意讨论斜率不存在地情形；根据将曲线地极坐标方程化为直角坐标方程,配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长:先列出直线参数方程,代入圆方程,根据及韦达定理可得,类似可得,相加即得结论.试卷解析:解:（1）因为直线地倾斜角为,且经过点,当时,直线垂直于轴,所以其一般方程为,当时,直线地斜率为,所以其方程为,即一般方程为．因为地极坐标方程为,所以,因为,所以．所以曲线地标准方程为．（2）设直线地参数方程为（为参数）,学|科|网...代入曲线地标准方程为,可得,即,则,所以,同理,所以．23. 选修4-5:不等式选讲已知实数满足．（1）求地取值范围；（2）若,求证:．【解析】（1）（2）见解析【解析】试卷分析:（1）因为,所以,又,即得地取值范围；（2）因为,而,即证.试卷解析:解:（1）因为,所以．①当时,,解得,即；②当时,,解得,即,所以,则,而,所以,即；（2）由（1）知,因为当且仅当时取等号,所以．。
河北省衡水市(新版)2024高考数学统编版能力评测(备考卷)完整试卷
河北省衡水市（新版）2024高考数学统编版能力评测(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，且，则当取最小值时，的值为（）A．B．C．D．第(2)题某同学口袋中共有个大小相同､质地均匀的小球其中个编号为，个编号为，现从中取出个小球，编号之和恰为的概率为（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，，，则（）A．B．C．D．第(4)题下列函数中最小值为4的是（）A．B．C．D．第(5)题如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为A．B．C．D．第(6)题一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件第(7)题已知集合，集合，集合，则（）A．B．C．D．第(8)题若为奇函数，则的单调递增区间是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在正方体中，下列说法正确的是（）A．若，，分别为，，的中点，则与平面平行B．若平面，正方体的棱长为2，则截此正方体所得截面的面积最大值为C．点在线段上运动，则三棱锥的体积不变D．是的中点，直线交平面于点，则，，三点共线第(2)题已知函数的导函数为，与的定义域都是R，且满足，，则下列结论正确的是（）A．的图象关于中心对称B．为周期函数C．D．是偶函数第(3)题某商场为了促进销售，对于进入商场的人员，可以进入商场掷骰子进行奖励，规定每位进入商场的人员可以随机投掷一颗质地均匀的正方体的骰子，每面上分别写着1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子三次，三次投掷向上点数分别为，，，若满足，，，分别为一等奖，二等奖，三等奖，只有这三等奖，则（）A．中一等奖的概率为B．中二等奖的概率为C．中三等奖的概率为D．没有中奖的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知是定义在上的奇函数，当时，，___________．第(2)题在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球，在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的最小值是________________．第(3)题如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知点，，动点满足，轴于点，点为线段的中点，点为坐标原点.(1)求点的轨迹的方程；(2)直线交曲线于，两点，求面积的最大值.第(2)题如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．(1)求证：B，D，E，四点共面；(2)求二面角的余弦值．第(3)题已知，，分别为三个内角，，的对边，且.(1)证明：；(2)若为的中点，且，，求的周长.第(4)题在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)已知点P的极坐标为，直线l与曲线相交于E，F两点，直线l与曲线相交于A，B两点，且，求实数m的值．第(5)题设抛物线，过轴上点的直线与相切于点，且当的斜率为时，.(1)求的方程；(2)过且垂直于的直线交于两点，若为线段的中点，证明：直线过定点.。
河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷(含解析)
河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知数列满足,则( )2．已知是第四象限角且,则的值为( )A.1B.C.3．函数处的切线的倾斜角为( )4．如图,平行四边形ABCD中,,,若,,则( )C.5．已知等差数列的公差小于0,前n项和为,若,则的最大值为( )A.45B.52C.60D.906．设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,若的周长为1.则( )D.2{}na12na+=11=-4a=αsinα=cos0ββ-=tan()αβ-1--()f x=())0,0f2AE EB=DF FC=CB m=CE n=AF=32+12n-1322m-+32n-{}nanS2a=844=nS ABC△2sin sin sinABCS A B C=△ABCsin sin sinA B C++=7．设函数,若函数在区间上有且仅有1个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知,在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．以下正确的选项是( )A.若,,则 B.若,C.若,则D.若,10．设正项等比数列的公比为q ,前n 项和为,前n 项积为,则下列选项正确的是( )A.B.若,则C.若,则当取得最小值时,D.若,则11．以下不等式成立的是( )A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,三、填空题()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦20,3⎛⎤⎥⎝⎦210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,211e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=>()a ∈R []2,1-[]2,1--(],1-∞[)2,-+∞a b >c d <a c b d ->-a b >c d <bd >22ac bc >33a b >a b >m >ba>{}n a n S n T 4945S S q S =+20252020T T =20231a =194a a =2246a a +1a =21()n n n a T +>11a <(0,1)x ∈1e ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞1e ln 2x x x x+>-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >,,13．已知函数的最小正周期为,则在区间上所有零点之和为________.14．若定义在上的函数满足:对任意的x ,,都有:,当时,还满足:,则不等式的解集为________.四、解答题15．已知函数.（1）求函数的单调区间;（2）函数在上恒成立,求最小的整数a .16．已知数列的前n 项和为,,.（1）证明:数列为等比数列;（2）若,求n 的值.17．凸函数是数学中一个值得研究的分支,它包括数学中大多数重要的函数,如,等.记为的导数.现有如下定理:在区间I 上为凸函数的充要条件为.（1）证明:函数上的凸函数;（2）已知函数.①若为上的凸函数,求a 的最小值;②在①的条件下,当a 取最小值时,证明:,在上恒成立.18．如图,在平面直角坐标系中,质点A 与B 沿单位圆周运动,点A 与B 初始位置如图所示,A 点坐标为,的速度运动,点A 逆时针24a b ⋅=λ∈R +()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->π()f x []2024π,2024π-()(),00,-∞+∞ () f x ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1f x x ≤-()()2e 1x f x x x =-+()f x ()f x a ≤[]2,1-{}n a n S 113a =18,3,nn na n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}2112n a --21161469n S n +=+2x e x ()f x ''()y f x '=()f x ()()0f x x I ''≥∈()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()g x [)1,+∞()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞()1,0AOB ∠=//s运动,点B 顺时针运动,问:（1）ls 后,扇形AOB 的面积及的值.（2）质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点,连接一系列点,,构成一个封闭多边形,求该多边形的面积.19．已知函数,（1）讨论的单调性;（2）当时,恒成立,求m 的取值范围;（3）当时,若的最小值是0,求的最大值.sin AOB ∠n P 1P 2P 3P ⋅⋅⋅()e x f x mx =-()g x =()f x 0x ≥()()f x g x ≥0x ≥()()f x ng x -m +参考答案1．答案：C 解析：因为当,;当,,故选:C.2．答案：C解析：因为是第四象限角且因为,所以所以,故选:C.3．答案：D解析：因为时,即故选:D.4．答案：D解析：因为四边形ABCD 为平行四边形,且,,所以,即①,又,即②,由①②得到,又,,所以.故选:D.5．答案：A12n a +=1n =21123a a =-=2n =3212a a =-=3=4312a a =-=αsin α=α=α=2sin cos 0ββ-=tan β=tan tan tan()211tan tan 31421234αβαβαβ--===-+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭---()f x =()15f x x ='0=()15f x x ='()f x =0x =2AE EB =DF FC =12AF AD DF AD DC =+=+ 22AF AD DC =+ 13CE CB BE CB BA =+=+ 33CE CB BA =+ +23AF CE CB += CB m = CE n =1322A m n F =-解析：设等差数列的首项为,公差为,由①,由,得到②,由①②得到,,又,,由,解得,,所以,,,又因为,所以当或时,的值最大,最大值为45,故选:A.6．答案：B（R 为的外接圆半径）,可得,,,且A ,B ,,则,,均为正数,因为,可得,又因为的周长为,所以故选:B.7．答案：A解析：因为,由正切型函数可知:的最小正周期且,显然在区间内至少有1个零点,在区间内至少有2个零点,若函数在区间上有且仅有1个零点,{}n a 1a (0)d d <2a =272713a a a ++=1888()442a a S +==1811a a +=2724a a =182711a a a a +=+=0d <27272411a a a a =⎧⎨+=⎩28a =73a =72381725a a d --===--19a =2(1)1199222n n n S n n n -=-=-+n *∈N 9n =10n =n S 2sin sin b cR B C===ABC △2sin a R A =2sin b R B =2sin c R C =()0,πC ∈sin A sin B sin C 11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C R A R B C A B C ==⨯⨯⨯=△1R =ABC △()2sin 2sin 2sin 2sin sin sin 1a b c R A R B R C A B C ++=++=++=sin sin sin A B C ++=0ω>()f x T =(f x ∈Z ()f x (),x x T +3,2x x T ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭,若,因为,则,且,即则,结合题意可知:,由题意可知:或,,所以的取值范围为.故选:A.8．答案：A解析：因为,当时,,所以时,,即上单调递增,当时,,所以,由题知在上恒成立,在上恒成立,3ππ88⎛⎫>--= ⎪⎝⎭πω=>3ω<<03ω<<π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ3ππ,48484x ωωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭5ππππ3ππ7π8844848ωω-<--<-<-<5ππππ3ππ884484x ωωω-<--<-<-<ππ5π7π,0,,2288⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ3ππ,8484ωω⎫---⎪⎭π3ππ0284πππ842ωω⎧-<-≤⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩3πππ0842πππ0284ωω⎧<-≤⎪⎪⎨⎪-≤--<⎪⎩2ω<≤ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>1x >()f x =()f x '==1x >()0f x '>()f x =)+∞1x ≤11e e ()2x x f x ax ---=-11e e ()2x x f x a --+'=-11e e ()02x x f x a --+'=-≥(,1]-∞a ≥,当且仅当,即时取等号,所以,,得到,所以,故选:A.9．答案：AC解析：对于选项A,由,得到,又,所以,故选项A 正确,对于选项B,取,显然有,,不满足对于选项C,由,得到,又,所以,即,所以,故选项C 正确,对于选项D,取,,,显然有,,所以选项D 错误,故选:AC.10．答案：AB解析：因为数列为正项等比数列,则,,,对于选项A:因为,所以,故A 正确;对于选项B:若,所以,故B 正确;对于选项C:因为,则,当且仅当时,等号成立,若取得最小值,则,即,解得,故C 错误;112≥⨯=11e e x x --=1x =1a ≤13211a +≤=+2a ≥-21a -≤≤c d <c d ->-ab >ac bd ->-3,2,3,2a b c d ===-=-a b >c d <1,1bd=-=-a c >22ac bc >2()0a b c ->20c >0a b ->a b >33a b >3a =-4b =-5m =a b >m >4514435233b a-+-==<==-+-{}n a 10a >0q >0n T >9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+4945S S q S =+20252020T T =52021202220232024202520231a a a a a a =⋅⋅⋅⋅==20231a =19464a a a a ==22446628a a a a +≥=462a a ==2246a a +462a a ==34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩121a q =⎧⎨=⎩对于选项D:例如,,则,可得,,因为,则,可得,即,符合题意,但,故D 错误;故选:AB.11．答案：ABC解析：A 选项,令,,则恒成立,故在上单调递增,则,令,则,故在上单调递增,故,所以,A 正确;B 选项,由A 选项知,时,单调递增,单调递减,则,所以,B 正确;C 选项,令,,则,,,11a =2q =12n n a -=011121122222n n n n T a a a -++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==()21()22nn n n n a +==()2212222n n n n n T --⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭*n ∈N 22n n n >-2222n n n ->21()n n n a T +>11a =()e 1x f x x =--(0,1)x ∈()e 10x f x ='->()f x (0,1)x ∈()()00f x f >=()1ln g x x =-(0,1)x ∈()221110xg x x x x='-=-+>()g x (0,1)x ∈()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞()f x ()g x ()()1e 2f x f >=-()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()πe sin cos 1e sin 14x x w x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛+∈ ⎝(π4x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又在上恒成立,故在恒成立,故在上单调递增,又,故,即当时,,C 正确;D 选项,令,则当时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减,其中,在上单调递增,在上单调递减,且,,画出两函数图象如下:时,不满足存在,使得当时,,D 错误.故选:ABC 12．答案：4e 1x >π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()πe sin 104x w x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00w =e sin 0x x x ->π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >()t x =()0,π∈()t x ='()10e x x t x -'=>()1,πx ∈()10exxt x -'=<()ex xt x =()1,πx ∈π2ππ122et ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()πt =()sin q x x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π12q ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π0q =π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x >1π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,πx x ∈sin x <sin x x x <,,,当且仅当时,等号成立,故答案为:4.13．答案：解析：因为且,则的最小正周期为,解得,所以令,解得,令,可得可知在,内有2个零点,且这2个零点关于直线对称,即这2个零点和为,所以所有零点之和为.故答案为:.14．答案：解析：因为对任意的x ,,都有:令,可知24a b ⋅=()2222224432164421616a a b b b λλλλλλ=+⋅+=++=+++≥ 2λ=-+ +10120π3-()21cos 2()sin πcos sin cos 2xf x x x x x x ωωωωωω-=-=1πsin 22sin 223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x 2ππ2T ω==1ω=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π22π3x k +=+∈Z πx k =∈Z ()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x ()π,1πk k +⎡⎤⎣⎦k ∈Z πx k =∈Z 2πx k =∈Z ()()π101202202420232023π4048π63-+-+⋅⋅⋅++⨯=-⎡⎤⎣⎦10120π3-(][),11,-∞-+∞ ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x y ==()()()12110f f f =⇒=令,可知令,得故函数为偶函数,令要使则显然函数为偶函数;因为当时,得所以当时函数单调递减,此时也单调递减因为需要故因为为偶函数所以当时,的解为故不等式的解集为故答案为:15．答案：（1）单调增区间为,,单调减区间为（2）3解析：（1）因为,则,因为恒成立,由,得到或,由,得到,所以函数的单调增区间为,,减区间为.（2）由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递1x y ==-()()()12110f f f =-⇒-=1y =-()()()()()1f x f x f f x f x -=+-⇒-=() f x ()()1g x f x x =-+()1f x x ≤-()0g x ≤()()1g x f x x =-+,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110f f x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x >()f x ()()1g x f x x =-+()()11110g f =-+=()0g x ≤1x ≥()()1g x f x x =-+0x <()0g x ≤1x ≤-()1f x x ≤-(][),11,-∞-+∞ (][),11,-∞-+∞ (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+()()2e (1)e x x f x x x x x '=+=+e 0x >()0f x '>1x <-0x >()0f x '<10x -<<()f x (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+[)2,1--(1,0)-减,在区间上单调递增,又,,显然有,所以在区间上最大值为,又函数在上恒成立,所以,得到最小的整数.16．答案：（1）证明见解析（2）6解析：（1）因为,所以当,时,,即,时,,又时,,所以数列为首项为1,公比为3的等比数列.（2）由（1）知,所以,又由,可得,,,所以,又,所以,整理得到,解得,所以n 的值为6.17．答案：（1）证明见解析解析：（1）因为因为,又,所以,(]0,1()31ef -=()1e f =(1)(1)f f -<()()2e 1x f x x x =-+[]2,1-e ()f x a ≤[]2,1-e a ≥3a =18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数2n ≥n *∈N 212(1)122(23)1232312123123123(8)123(12)n n n n n n a a a a a a --+--+---=-=-=-=--=-2n ≥n *∈N 212(1)112336n n a a ----=-1n =11213121a -=-={}2112n a --121123n n a ---=121312n n a --=+18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数22234n n a --=+2n ≥n *∈N 211232211321242()()n n n n n S a a a a a a a a a a a +++=+++++=+++++++ 1011313[33312(1)](3334)16122316111313n nnn n n n n n +---=++++++++++=+++=⨯++-- 21161469n S n +=+231611161469n n n ++⨯+=3729n =6n =()f x =()f x '=()f x ''=4222156316(048x x x -+=-+>()1,x ∈+∞63(1)0x x ->故在区间上恒成立,即函数上的凸函数.（2）①因为,所以由题知在区间上恒成立,即上恒成立,,则在区间上恒成立,令,对称轴为,所以当时,取到最大值,最大值为1,所以,得到.②由（1）知,令,则令在区间恒成立,当且仅当时取等号,所以上单调递增,得到,当且仅当时取等号,即在区间恒成立,当且仅当时取等号,即在区间上单调递增,所以令,令,得到,则在区间上恒成立,即在区间上单调递减,()42632(631)0(1)x x f x x x -+''=>-()1,+∞()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()22ln 2g x ax x '=---2()2g x a x ''=-221()20g x a x x ''=-+≥[)1,+∞22a x ≥-)1,+∞(]0,1t =∈222a t t ≥-(]0,122y t t =-1t =1t =22y t t =-21a ≥a ≥()21()2ln ln 2g x x x x x a =--∈R 21()()22ln ln 22H x g x x x x x x x =+=--+1()2ln 222ln H x x x x x x '=---+=-()2ln m x x x =--222222121(1)()10x x x x x x x x-+-'=-+==≥[)1,+∞1x =()2ln m x x x =--)1,+∞()(1)0m x m ≥=1x =1()2ln 0H x x x x'=--≥[)1,+∞1x =21()2ln ln 22H x x x x x x =--+[)1,+∞1()(1)22H x H ≥=+=()()31()23231x x xF x -=+-+312x t =-≥2(1)(2)t y t t =+-+22220(2)t y t t --'=<+-[2,)+∞2(1)(2)t y t t =+-+[2,)+∞所以即当,时取等号,所以,在上恒成立.（2）2解析：（1）由题意可知:,,且点,若,则所以扇形AOB 的面积且（2）若质点A 与质点B 的每一次相遇,,,解得,,的周期为4,即交点有4个,当时,;当时,;当时,;当时,;22(21)(22)y ≤+=-+[)1,x ∞∈+()()31()23231x xxF x -=+≤-+1x =()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞AOB ∠=s t π12t -ππcos ,sin 44A t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭1t =πππ4412AOB ⎛⎫∠=+--=⎪⎝⎭217π1212S =⨯⨯=ππππππ1sin sin sin cos cos sin 4343432AOB ⎛⎫∠=+=+=+= ⎪⎝⎭ππ2π124t k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭k ∈N 6t k =∈N 3π2k =∈N 3π2k =∈N 1k =13π2θ=-()111cos ,sin P θθ2k =23π3ππ16θ=-=()222cos ,sin θθ3k =39π3ππ2162θ=-=-()333cos ,sin θθ4k =43π6π16θ=-=()444cos ,sin P θθ可得即,O ,以及,O ,均三点共线,且,,.19．答案：（1）答案见解析（2）（3）解析：（1）由函数,可得,若时,可得,所以在R 上单调递增;若时,令,解得,当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增.综上可得:当时,在R 上单调递增;若时,在上单调递减,在上单调递增.（2）令函数因为当时,恒成立,所以在上恒成立,又因为,要使得在上恒成立,则恒成立,令可得,即在上为单调递增函数,所以,解得,即实数m 的取值范围为.（3）当时,若的最小值是0,即在上恒成立,34θθ-=23θ-=12θ-=1P 3P 2P 4P 1324PP P P ⊥13242PPP P ==132412222PP P P ⋅=⨯⨯=(,1]-∞177e()e x f x mx =-()e x f x m '=-0m ≤()0f x '>()fx 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<()f x (,ln )m -∞ln x m >()0f x '>()f x (ln ,)m +∞0m ≤()f x 0m >()f x (,ln )m -∞(ln ,)m +∞()()()e x h x f x x g x m =-=-()e x x m '-=0x ≥()()f x g x ≥()0h x ≥[0,)+∞()00h =()0h x ≥[0,)+∞()0h x '≥()()e x x h x m ϕ-'==()e e e 0xx x x ϕ'==--=>()h x [0,)+∞()()min 010h x h m ''==-≥1m ≤(,1]-∞0x ≥()()f x ng x -()()()e 0x m x f x n mx g x ---=≥=[0,)+∞即在上恒成立,显然相切时取得等号,由函数,可得所以切线方程为即因为切线过原点,则解得,,所以,令,其中,可得,令,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以可得则,e x mx -≥[0,)+∞e x y -=00,e x x -e x y -'=00e |x x x y ='=00e ()x y x x ⎛=-- ⎝000e (1)e x x y x x ⎛=+-- ⎝00e 0(1)e x x m x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩00(1e x n x =-0002000e (1)e (1)e x x x m x x x =--=-+02000(1(1e )x m x x x +=-++-02000(1(1e x x x x =-++-⋅()2(1(1e x F x x x x =-++-⋅0x >()(1)F x x x '=+-()0F x '=x =10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F x '>()F x 1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0F x '<()F x ()177F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭4349==()1743e e 49xm x x =-()1743e e 49xm x -'-=107⎛⎫'= ⎪⎝⎭只需证明:当时,,当时,,令因为和为增函数,所以,所以为增函数,因为,所以当时,,当时,,所以即的最大值为10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>()()7143e e 49xn x m x '=--=()e x x =-'e xy =y =()x '()()010n x n ''>=>()m x 107m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>7m +≤4349==m +7。
高三数学模拟卷
第 1 页 共4页（高三理数） 第 2 页 共4 页（高三理数）数据如下： 则y 对x 的线性回归方程为 ( )A 1-=x y ． B. 1+=x y C ．8821+=x y D.176=y 5. 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系（ ）A. 99.9%B. 99%C. 97.5%D. 95%A.第10项 B .第9项 C .第8项 D :第7项 7. 已知33)6cos(-=-πx ，则=-+)3cos(cos πx x ( )A.332-B. 332±C. 1-D.1±8. 过(2,2)点且与曲线222220x y x y ++--=相交所得弦长为( )A ．3420x y -+=B ．3420x y -+=或2x =班级______________________________________ 姓名____________________ 考场号________________ 考号_______________----------------------------------------------------密---------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------第 3 页 共4页（高三理数） 第 4 页 共4 页（高三理数）C ．3420x y -+=或2y =D ．2x =或2y =9. 已知两点(2,2),(2,1)A B ，O为坐标原点，若OA tOB -≤ t 的值为( )A.56 B. 65 C.1 D.34 10. 把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）A.168B.96C.72D.14411. 某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ） A ．π42616++ 2cm B ．π32616++ 2cm C ．π42610++ 2cm D ．π32610++ 2cm12．方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）A ．sin cos ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos sin ϕθθ=D ．sin sin θθϕ=-第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为14.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = 求b=15. 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，则ab 312+的最小值为16. 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是__________． 三、解答题（共6个小题，共70分）17. （本题满分12分）为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：(1)000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；(2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)，并作出频率分布直方图；(3)若成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？18．（本题满分12分）如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点.（1）求证：AB 1// 面BDC 1；（2）求二面角C 1—BD —C 的余弦值； （3）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.第 5 页 共4页（高三理数） 第 6 页 共4 页（高三理数）19.（本题满分12分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.半径OM R = ，45MOP ∠=，OB 与OM 之间的夹角为θ.（1）将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.（2）若m R 3=，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？ 其最大值是多少？20．（本题满分12分）如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点且172AF =，252AF =.（1）求曲线1C 和2C 的方程；（2）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线12C C 、依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点、H 为BE 中点，问22BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.12分） 设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．将函数()y f x =图象向右平移一个单位即可得到函数()y x ϕ=的图象，试写出()y x ϕ=关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设a =，e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.10分。
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a.∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直． 以O 为坐标原点，OA u u u r 的方向为x 轴的正方向，|OA u u u r |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC uuu r ＝(1,0，1BB u u u r ＝1AA u u u r ＝(－1，0)，1AC u u u r ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)． 故cos 〈n ，1AC u u u r 〉＝11A C A C⋅u u u r n n＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)． 而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝2. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF . 23． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
高一(上)期末数学试卷(理科)河北省衡水中学(解析版)
高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若角α与角β终边相同，则一定有（）A．α+β=180°B．α+β=0°C．α﹣β=k360°，k∈Z D．α+β=k360°，k∈Z2．已知集合M={x|≤1}，N={x|y=lg（1﹣x）}，则下列关系中正确的是（）A．（∁R M）∩N=∅B．M∪N=R C．M⊇N D．（∁R M）∪N=R 3．设α是第二象限角，且cos=﹣，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx|5．已知tanα=﹣，且tan（α+β）=1，则tanβ的值为（）A．﹣7 B．7 C．﹣D．6．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，向上平移1个单位，得到的函数解析式为（）A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1 C．y=sin（2x+）+1 D．y=sin（2x﹣）+17．函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）8．在△ABC中，已知lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则三角形一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形9．已知函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a x+b 的大致图象是（）A．B．C．D．10．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上任意n个值x1，x2，…x n总满足[f（x1）+f（x2）+…+f（x n）]≤f（），则称f（x）为D的凸函数，现已知f（x）=sinx 在（0，π）上是凸函数，则三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）A．B．3C．D．311．已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定12．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a：b：c=：4：3，设=cosA，=sinA，又△ABC的面积为S，则=（）A．S B．S C．S D．S二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设是奇函数，则a+b的取值范围是．14．函数y=3sin（x+10°）+5sin（x+70°）的最大值为．15．已知奇函f（x）数满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=﹣2x，则f（log210）等于．16．给出下列命题：①存在实数x，使得sinx+cosx=；②函数y=2sin（2x+）的图象关于点（，0）对称；③若函数f（x）=ksinx+cosx的图象关于点（，0）对称，则k=﹣1；④在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，则四边形ABCD的形状一定是矩形．则其中正确的序号是（将正确的判断的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知cos（α﹣）=，sin（+β）=，且β∈（0，），α∈（，），求sin （α+β）的值．18．设幂函数f（x）=（a﹣1）x k（a∈R，k∈Q）的图象过点．（1）求k，a的值；（2）若函数h（x）=﹣f（x）+2b+1﹣b在[0，2]上的最大值为3，求实数b的值．19．锐角三角形ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量，且（1）求角B的大小；（2）若b=1，求a+c的取值范围．20．已知函数f（x）=2﹣2cos2（+x）﹣cos2x（1）求函数f（x）在x∈[0，π]时的增区间；（2）求函数f（x）的对称轴；（3）若方程f（x）﹣k=0在x∈[，]上有解，求实数k的取值范围．21．如图，△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=．（Ⅰ）求：BC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积．22．已知=（sinωx，cosωx），=（cosωx，cosωx）其中ω＞0，若函数f（x）=﹣的图象上相邻两对称轴间得距离为2π（1）求方程f（x）﹣=0在区间[0，17]内的解；（2）若=+，求sinx；（3）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的值域．2015-2016学年河北省衡水中学高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若角α与角β终边相同，则一定有（）A．α+β=180°B．α+β=0°C．α﹣β=k360°，k∈Z D．α+β=k360°，k∈Z【考点】终边相同的角．【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值．【分析】根据终边相同的角的表示方法，直接判断即可．【解答】解：角α与角β终边相同，则α=β+k360°，k∈Z，故选：C．【点评】本题是基础题，考查终边相同的角的表示方法，定义题．2．已知集合M={x|≤1}，N={x|y=lg（1﹣x）}，则下列关系中正确的是（）A．（∁R M）∩N=∅B．M∪N=R C．M⊇N D．（∁R M）∪N=R 【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，即可做出判断．【解答】解：M中的不等式，当x＞0时，解得：x≥1；当x＜0时，解得：x≤1，即x＜0，∴M=（﹣∞，0）∪[1，+∞），∁R M=[0，1），由N中y=lg（1﹣x），得到1﹣x＞0，即x＜1，∴N=（﹣∞，1），∁R N=[1，+∞），则M∪N=R，（∁R M）∩N=[0，1），故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．设α是第二象限角，且cos=﹣，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数值的符号；诱导公式的作用．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式和平方关系及其三角函数在各个象限的符号即可得出．【解答】解：α是第二象限角，是第一或第三象限角．∵cos==﹣，∴为第三象限角．故选C．【点评】熟练掌握诱导公式和平方关系及其三角函数在各个象限的符号是解题的关键．4．下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx|【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数单调性，周期性和奇偶性分别进行判断即可得到结论．【解答】解：A．函数y=tanx为奇函数，不满足条件．B．函数y=|sinx|满足既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数．C．y=cosx的周期为2π，不满足条件．D．y=|cosx|在（0，）上是减函数，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期性，奇偶性和单调性．5．已知tanα=﹣，且tan（α+β）=1，则tanβ的值为（）A．﹣7 B．7 C．﹣D．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】直接利用两角和的正切函数公式求解即可．【解答】解：∵tanα=﹣，且tan（α+β）=1，可知tan（α+β）==1，即=1，解得tanβ=7．故选：B．【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式的应用，属于基本知识的考查．6．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，向上平移1个单位，得到的函数解析式为（）A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1 C．y=sin（2x+）+1 D．y=sin（2x﹣）+1【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y=sin（2x+）+1，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由函数的解析式可得A=4，==6+2，可得ω=．再根据sin[（﹣2）×+φ]=0，可得（﹣2）×+φ=kπ，k∈z，再结合|φ|＜，∴φ=，∴y=4sin（x+），故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．8．在△ABC中，已知lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则三角形一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】由对数的运算性质可得sinA=2cosBsinC，利用三角形的内角和A=π﹣（B+C）及诱导公式及和差角公式可得B，C的关系，从而可判断三角形的形状【解答】解：由lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2可得∴sinA=2cosBsinC即sin（B+C）=2sinCcosB展开可得，sinBcosC+sinCcosB=2sinCcosB∴sinBcosC﹣sinCcosB=0∴sin（B﹣C）=0∴B=C∴△ABC为等腰三角形故选：A【点评】本题主要考查了对数的运算性质及三角函数的诱导公式、和差角公式的综合应用，属于中档试题．9．已知函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a x+b 的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】压轴题．【分析】由函数f（x）=log a（x+b）的图象可求出a和b的范围，再进一步判断g（x）=a x+b 的图象即可．【解答】解：由函数f（x）=log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=log a（x+b）的图象由f（x）=log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=a x+b的大致图象是B故选B【点评】本题考查指对函数的图象问题，是基本题．10．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上任意n个值x1，x2，…x n总满足[f（x1）+f（x2）+…+f（x n）]≤f（），则称f（x）为D的凸函数，现已知f（x）=sinx 在（0，π）上是凸函数，则三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）A．B．3C．D．3【考点】函数的值．【专题】转化思想；函数的性质及应用；三角函数的求值；不等式的解法及应用．【分析】由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC≤3，即可得出．【解答】解：由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC≤3==，当且仅当A=B=C=时取等号．∴sinA+sinB+sinC的最大值为．故选：C．【点评】本题考查了凸函数的性质、三角形内角和定理、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；数形结合．【分析】根据题意画出图形，在边BC上任取一点E，连接AE，根据已知不等式左边绝对值里的几何意义可得k=，再利用向量的减法运算法则化简，根据垂线段最短可得AC 与EC垂直，进而确定出三角形为直角三角形．【解答】解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选A【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量的减法的三角形法则的应用，及平面几何中两点之间垂线段最短的应用，利用了数形结合的思想，要注意数学图形的应用可以简化基本运算．12．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a：b：c=：4：3，设=cosA，=sinA，又△ABC的面积为S，则=（）A．S B．S C．S D．S【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由题意，利用比例的性质及余弦定理可求cosA=，结合A的范围可求A的值，利用三角形面积公式可求三角形面积，由已知可求向量，，利用平面向量的数量积的运算化简即可得解．【解答】解：由题意可设：a=x，b=4x，c=3x，x＞0，则由余弦定理可得：cosA===，结合A∈（0，π），可得A=．从而解得△ABC的面积为S=||||sinA=||||，可得：=cosA=，=sinA=，可得：=||||cosA=||×||×=||||=S，故选：D．【点评】本题主要考查了比例的性质，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的数量积的运算在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设是奇函数，则a+b的取值范围是．【考点】奇函数．【专题】计算题．【分析】由题意和奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出a+b的范围．【解答】解：∵定义在区间（﹣b，b）内的函数f（x）=是奇函数，∴任x∈（﹣b，b），f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，∴=，则有，即1﹣a2x2=1﹣4x2，解得a=±2，又∵a≠2，∴a=﹣2；则函数f（x）=，要使函数有意义，则＞0，即（1+2x）（1﹣2x）＞0解得：﹣＜x＜，即函数f（x）的定义域为：（﹣，），∴（﹣b，b）⊆（﹣，），∴0＜b≤∴﹣2＜a+b≤﹣，即所求的范围是；故答案为：．【点评】本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力．14．函数y=3sin（x+10°）+5sin（x+70°）的最大值为7．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】分别把（x+10°）与（x+70°）化为（x+40°﹣30°）与（x+40°+30°），展开两角和与差的三角函数，整理后利用辅助角公式化积，则答案可求．【解答】解：y=3sin（x+10°）+5sin（x+70°）=3sin（x+40°﹣30°）+5sin（x+40°+30°）=3[sin（x+40°）cos30°﹣cos（x+40°）sin30°]+5[sin（x+40°）cos30°+cos（x+40°）sin30°]=[sin（x+40°）﹣cos（x+40°）]+[sin（x+40°）+cos（x+40°）]=4sin（x+40°）+cos（x+40°）=7[sin（x+40°）+cos（x+40°）]=7sin[x+40°+α]≤7．故答案为：7．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，训练了辅助角公式的应用，是中档题．15．已知奇函f（x）数满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=﹣2x，则f（log210）等于．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用奇偶性与条件得出f（x）的周期，根据函数奇偶性和周期计算．【解答】解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），∴函数f（x）是以2为周期的奇函数，∵3＜log210＜4，∴﹣1＜﹣4+log210＜0，∴0＜4﹣log210＜1．∴f（log210）=f（﹣4+log210）=﹣f（4﹣log210）=2==．故答案为：．【点评】本题考查了函数奇偶性与周期性的应用，找到函数周期是解题关键．16．给出下列命题：①存在实数x，使得sinx+cosx=；②函数y=2sin（2x+）的图象关于点（，0）对称；③若函数f（x）=ksinx+cosx的图象关于点（，0）对称，则k=﹣1；④在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，则四边形ABCD的形状一定是矩形．则其中正确的序号是③④（将正确的判断的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明．【分析】根据正弦型函数的图象和性质，可判断①②③，根据向量模的几何意义，可判断④．【解答】解：sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，∉[﹣，]，故①为假命题；当x=时，2x+=，此时函数取最大值，故函数y=2sin（2x+）的图象关于直线x=对称，故②为假命题；若函数f（x）=ksinx+cosx的图象关于点（，0）对称，则，解得：k=﹣1，故③为真命题；在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，即平行四边形ABCD的两条对角线长度相等，则四边形ABCD的形状一定是矩形，故④为真命题；故答案为：③④【点评】本题考查的知识点是和差角（辅助角）公式，三角函数的对称性，向量的模，向量加法的三角形法则，难度中档．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知cos（α﹣）=，sin（+β）=，且β∈（0，），α∈（，），求sin （α+β）的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；整体思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．【分析】由α、β的范围求出的范围，结合已知求出sin（α﹣）和cos （+β）的值，则sin（α+β）的值可求．【解答】解：∵α∈（，），∴，又cos（α﹣）=，∴，又∵β∈（0，），∴，sin（+β）=，∴，则sin（α+β）=sin[（）+（）]=sin（）cos（）+cos（）sin（）=．【点评】本题考查两角和与差正弦、余弦，关键是“拆角、配角”思想方法的运用，是中档题．18．设幂函数f（x）=（a﹣1）x k（a∈R，k∈Q）的图象过点．（1）求k，a的值；（2）若函数h（x）=﹣f（x）+2b+1﹣b在[0，2]上的最大值为3，求实数b的值．【考点】二次函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据幂函数的定义和性质进行求解即可求k，a的值；（2）若函数h（x）=﹣f（x）+2b+1﹣b在[0，2]上的最大值为3，利用换元法转化一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求实数b的值．【解答】解：（1）设幂函数f（x）=（a﹣1）x k（a∈R，k∈Q）的图象过点．则a﹣1=1，即a=2，此时f（x）=x k，即=2，即=2，解得k=4；（2）∵a=2，k=4，∴f（x）=x4，则h（x）=﹣f（x）+2b+1﹣b=﹣x4+2bx2+1﹣b=﹣（x2﹣b）2+1﹣b+b2，设t=x2，则0≤t≤4，则函数等价为g（t）=﹣（t﹣b）2+1﹣b+b2，若b≤0，则函数g（t）在[0，4]上单调递减，最大值为g（0）=1﹣b=3，即b=﹣2，满足条件．若0＜b≤4，此时当t=b时，最大值为g（b）=1﹣b+b2=3，即b2﹣b﹣2=0，解得b=2或b=﹣1（舍）．若b＞4，则函数g（t）在[0，4]上单调递增，最大值为g（4）=3b﹣15=3，即3b=18，b=6，满足条件综上b=﹣2或b=2或b=6．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质的应用以及一元二次函数的性质，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．19．锐角三角形ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量，且（1）求角B的大小；（2）若b=1，求a+c的取值范围．【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理．【专题】计算题；函数思想．【分析】（1）首先运用向量的平行的充要条件得出边a、b、c的一个等，通过变形为分式再结合余弦定理可得cosB=，结合B∈（0，π）得B=；（2）根据正弦定理将a+c变形为关于角A的一个三角函数式，再结合已知条件得出A的取值范围，在此基础上求关于A的函数的值域，即为a+c的取值范围．【解答】解：（1）∵∴（c﹣a）c﹣（b﹣a）（a+b）=0∴a2+c2﹣b2=ac 即三角形ABC中由余弦定理，得cosB=，结合B∈（0，π）得B=（2）∵B=∴A+C=由题意三角形是锐角三角形，得∴再由正弦定理：且b=1∴a+c==∵∴∴ 2∴【点评】本题综合了向量共线与正、余弦定理知识，解决角的取值和边的取值范围等问题，考查了函数应用与等价转化的思想，属于中档题．20．已知函数f（x）=2﹣2cos2（+x）﹣cos2x（1）求函数f（x）在x∈[0，π]时的增区间；（2）求函数f（x）的对称轴；（3）若方程f（x）﹣k=0在x∈[，]上有解，求实数k的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由条件化简得到f（x）=1+2sin（2x﹣），求出f（x）的单调递增区间，得出结论．（2）根据对称轴的定义即可求出．（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=k在x∈[，]上有交点，根据正弦函数的定义域和值域求出f（x）的值域，可得k的范围．【解答】解：（1）f（x）=2﹣2cos2（+x）﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），由2x﹣∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，得x∈[﹣+kπ，+2kπ]，k∈Z，可得函数f（x）在x∈[0，π]时的增区间为[0，]，[，π]，（2）由2x﹣=kπ+，k∈Z，∴得函数f（x）的对称轴为x=+，k∈Z，（3）∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，即2≤1+2sin（2x﹣）≤3，要使方程f（x）﹣k=0在x∈[，]上有解，只有k∈[2，3]．【点评】本题主要考查三角函数的化简，正弦函数的图象的对称性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．21．如图，△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=．（Ⅰ）求：BC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积．【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由sin的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos∠ABC的值，设BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到关于a与b的关系式，记作①，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB和cos∠BDC，由于两角互补，得到cos∠ADB等于﹣cos∠BDC，两个关系式互为相反数，得到a与b的另一个关系式，记作②，①②联立即可求出a与b的值，即可得到BC的值；（Ⅱ）由角ABC的范围和cos∠ABC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin∠ABC 的值，由AB和BC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积，由AD=2DC，且三角形ABD和三角形BDC的高相等，得到三角形BDC的面积等于三角形ABC面积的，进而求出三角形BDC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin=，所以cos∠ABC=1﹣2=1﹣2×=．在△ABC中，设BC=a，AC=3b，由余弦定理可得：①在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：，．因为cos∠ADB=﹣cos∠BDC，所以有，所以3b2﹣a2=﹣6 ②由①②可得a=3，b=1，即BC=3．（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos∠ABC=，则sin∠ABC==，又AB=2，BC=3，则△ABC的面积为ABBCsin∠ABC=，又因为AD=2DC，所以△DBC的面积为×2=．【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．22．已知=（sinωx，cosωx），=（cosωx，cosωx）其中ω＞0，若函数f（x）=﹣的图象上相邻两对称轴间得距离为2π（1）求方程f（x）﹣=0在区间[0，17]内的解；（2）若=+，求sinx；（3）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的值域．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【专题】综合题；函数思想；整体思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由数量积的坐标表示结合倍角公式、两角和的正弦化简f（x）的解析式，再由已知求得ω，最后求解三角方程得答案；（2）由=+，得，进一步得，转化为倍角的余弦求解；（3）由已知等式结合正弦定理求得B，由三角形内角和定理得到A的范围，则函数f（A）的值域可求．【解答】解：（1）=，∵函数f（x）的图象上相邻两对称轴间得距离为2π，∴，T=，得，∴f（x）=，由f（x）﹣=0，得=，即，∴，或．在区间[0，17]内的解为；（2）若=+，则，得，∴cos（x+）=，得sinx=；（3）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴由正弦定理得cosB=，则B=，∴A∈（0，），则，故函数f（A）的值域为（，]．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了平面向量的数量积运算，考查余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．。
河北省衡水中学2023届高三上学期期末考试数学(理)试题
2015〜2016学年度上学期高三年级期末考试数子试卷(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷（非选择题)两部分,共150。
考试时间120分钟。
第I 卷(选择題共60分）一、选择题（每小题5分,共60分。
下列每小题拼给选项只有一项符合题意,请将正确解析地序 号填涂在答题卡上）1.若复数63aii+-（其中a ∈R,i 为虚数単位）地实部与虚部相等,则a=A.3 B.6C.4D.122.若集合A= {x Z ∈∣2<2x+2≤8} B=(22x x ->0},则A ⋂(R C B )所含地元素个数为（）A. 0 B. 1C. 2D. 33.…..,那么是这个数列地第（）项A. 23 B. 25 C. 19 D. 244.若曲线a x 2+by 2= l 为焦点在X 轴上地椭圆,则实数a,b 满足（）A.a2>b2B.1a >1bC. 0<a<bD. 0<b<a5.已知函数f (x)=sin x+λcos x 地图象地一个对称中心是点(3π,0),则函数g(x)=Asin xcos x+sin 2 x 地图象地一条对称轴是直线A. x=56π B. x= 43π C. x =3πD. x=3π-6.某程序框图如下图所示,若该程序运行后输出地值是7/4,则A. a=3 B a = 4 C.a = 5 D. .a = 67.如图,在∆ABC 中,13AN NC = ,P 是BN 上地一点,若AP =mAP +29AC则实数m 地值为()A. 1 B 1/3 C 1/9 D 38,在(1-2x)（1+x）5地展开式中,x3地系数是A.20B.-20C.10D. -109.如图,棱长为1地正方体ABCD —A1B1C1D1中,P为线段A1B上地动点,则下列结论错误地是A．DC1⊥D1PB．平面D1A1P⊥平面A1APC.∠APD1地最大值为90°D.AP+PD110.甲、乙、丙3人进行擂台赛,每局2人进行单打比赛,另1人当裁判,每一局地输方当下一局地裁判,由原来裁判向胜者挑战,比赛结束后,经统计,甲共打了5局,乙共打了6局,而丙共当了2局裁判,那么整个比赛共进行了（）A.9 局B.11 局C.3局D. 18局11.某几何体地三视图如下图所示,三视图是边长为1地等腰直角三角形和边长为1地正方形,则该几何体地体积为（）A 16B13. C.12D.2312.已知函数(](]1,1()12,1,3xf xx x⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩,其中m>0,且函数()(4)f x f x=+,若方程3()f x-x= 0恰有5个根,则实数m地取值范围是（AB.83C.4(3D.48(,)33第II 卷(非选择題共90分）二、填空题(每题5分,共20分,把解析填在答题纸地横线上）13.函数:y=log 3(2cos x+1),x 22,33ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ 地值域为 。
2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题(解析版)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（一）（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4M =，{}0,3,5N =，则N ()U M = ð（）A.{}0,5B.{}1,2,3,4C.{}1,2,3,4,5 D.U【答案】B 【解析】【分析】根据集合并补运算即可求得.【详解】{}0,1,2,3,4,5U =，{}0,3,5N =，所以{}1,2,4U N =ð，所以(){}1,2,3,4U M N = ð，故选：B.2.已知复数z 满足(43i)i z +=-，则z 的虚部为（）A.425-B.425 C.4i 25-D.4i 25【答案】A 【解析】【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.【详解】因为(43i)i z +=-，所以()()()i 43i i 34i 43i 43i 43i 2525z ---===--++-，所以z 的虚部为425-.故选：A.3.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()y f x g x =+的最大值为a ，则a 的值不可能为（）A.1B.1C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据图象的平移变换得到()()sin 22g x x ϕ=+，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到()()()2y f x g x x α=+=+，最后根据三角函数的性质求a 的范围即可.【详解】由题意得()()sin 22g x x ϕ=+，则()()()sin 2sin 22y f x g x x x ϕ=+=++sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2x x xϕϕ=++()1cos 2sin 2sin 2cos 2x x ϕϕ=++()2x α=+()2x α=+，sin 2tan 1cos 2ϕαϕ=+，因为[]cos 21,1ϕ∈-[]0,2，所以[]0,2a ∈.故选：D.4.在等比数列{}n a 中，若1512a a a ⋅⋅为一确定的常数，记数列{}n a 的前n 项积为n T .则下列各数为常数的是（）A.7TB.8T C.10T D.11T 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件判断出6a 为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，()3411511111512a a q a a a a q q a =⋅⋅=⋅⋅为确定常数，即6a 为确定常数.7712674T a a a a a == 不符合题意；()48127845T a a a a a a == 不符合题意；()5101291056T a a a a a a == 不符合题意；11111210116T a a a a a == 为确定常数，符合题意.故选：D 5.关于函数4125x y x -=-，N x ∈，N 为自然数集，下列说法正确的是（）A.函数只有最大值没有最小值B.函数只有最小值没有最大值C.函数没有最大值也没有最小值D.函数有最小值也有最大值【答案】D 【解析】【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值.【详解】()22594192252525x x y x x x -+-===+---，52x ¹，由反比例函数的性质得：y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y >，y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y <，又因为N x ∈，N 为自然数集，所以min y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上取到，2x =时,min 7y =-，同理max y 在5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上取到，3x =时,max 11y =，所以当N x ∈，N 为自然数集时，函数有最小值也有最大值.故选：D .6.已知函数()πcos 12f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.【详解】令()11ππ12m k k -=∈Z ，得()11ππ12m k k =+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()11ππ12x k k =+∈Z 对称．令()22ππ4π62m k k +=+∈Z ，得()22ππ124k m k =+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22ππ124k x k =+∈Z 对称．因为()11π{|π}12m m k k =+∈Z ()22ππ{|}124k m m k =+∈Z 所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件．故选：A.7.O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A. B. C. D.8【答案】C 【解析】【分析】首先根据焦半径公式求点M 的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点()00,Mxy ，()2,0F ,所以026MF x =+=，得04x =，0y =±,所以MOF △的面积011222S OF y =⨯=⨯⨯故选：C8.,,a b c 为三个互异的正数，满足2ln 0,31ba cc a a-=>=+，则下列说法正确的是（）A.2c a b ->-B.2c b a -≤-C.2c a b +<+D.2c a b+≤+【答案】A 【解析】【分析】对于2ln 0cc a a-=>可构造函数()2ln f x x x =-，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得02a c <<<，对于31ba =+，可在同一坐标系下画出函数x y =及31x y =+的图象，可得02a b <<<，再由不等式性质可知A 正确.【详解】由2ln0cc a a-=>得2ln 2ln c c a a -=-且c a >，构造函数()2ln f x x x =-，所以()21f x x'=-，易得()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得02a c <<<，易知函数x y =及31x y =+交于点()2,10，作出函数x y =及31x y =+的图象如下图所示：由图知02a b <<<所以02a b c <<<<，即,2a b c <<，由此可得2a b c +<+，即2c a b ->-.故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（）A.这10个数据中至少有8个数小于或等于31B.把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C.把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D.把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31【答案】AB 【解析】【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由100.757.5⨯=，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A ，B 正确，C ，D 错误.故选：AB .10.函数()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则下列结论正确的是（）A.()()3.14D D π>B.()D x 的值域为[]2,3C.()()D D x 是偶函数 D.a ∀∈R ，()()D x a D a x +=-【答案】AC 【解析】【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.【详解】()3D π=，()3.142D =，()()3.14D D π>，A 正确；()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ，则()D x 的值域为{}2,3，B 错误；x ∈Q 时，x -∈Q ，()()()22D D x D ==，()()()22D D x D -==，所以()()()()D D x D D x =-，x ∉Q 时，x -∉Q ，()()()32D D x D ==，()()()32D D x D -==，()()()()D D x D D x =-，所以()()D D x 为偶函数，C正确；x =时，取1a =()()12D x a D +==，()(13D a x D -=-=，则()()D x a D a x +≠-，D 错误.故选：AC11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，轴截面ABCD 为等腰梯形，且满足2224cm CD AB AD BC ====.下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面ABCD 的面积为2B.该圆台的表面积为211πcmC.该圆台的体积为3cmD.【答案】AB 【解析】【分析】求出圆台的高12O O 可判断A ；由圆台的表面积和体积公式可判断B ，C ；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆可判断D .【详解】对于A ，由2224cm CD AB AD BC ====，可得高12O O ==则圆台轴截面ABCD 的面积为()214m 22⨯+=，故A 正确；对于B ，圆台的侧面积为()()2π1226πcm S =⋅+⨯=侧，又()22ππm1c S =⨯=上，()22π24πcm S=⋅=下，所以()26ππ41cm π1πS =++=表，故B 正确；对于C ，圆台的体积为()()3173π142πcm 33V =++=，故C 错误；对于D ，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD 存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆，故D 错误，故选：AB.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()12f x x=在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，则=a __________.【答案】12-##-0.5【解析】【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为()12f xx =-，所以21()f x x'=+，因为()f x 在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，所以1(1)12f a '=+=，解得12a =-.故答案为：12-13.已知力123,,F F F ，满足1231N ===F F F ，且123++=F F F 0，则12-=F F ________N.【解析】【分析】将123++=F F F 0变形后平方得到相应结论，然后将12-F F 平方即可计算对应的值.【详解】由123++=F F F 0，可得123+=-F F F ，所以()()22312-=+F F F ，化简可得222312122F =++⋅F F F F ，因为1231===F F F ，所以1221⋅=-F F ，所以12-====F F【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解.14.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为______.【答案】622【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,)b P c a -，2(,0)F c ，22(2,b PF c a=- ，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =-- ，由223PF MF = 得2(2,3(,)b c c x y a-=--，223()3c c x b y a =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,)33b M c a ，21(,33b OM c a = ，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a⋅=-= ，c e a =，222b c a =-代入得2222(1)0e e --=，因为1e >故解得622e +=，故答案为：2+．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足,2AB BD BD ⊥=，且223cos 3a S ab C =-+.（1）求角B ；（2）求21AD CD+的取值范围.【答案】（1）2π3（2）3,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan B =，进而求解即可；（2）在BCD △中由正弦定理可得1sin DC C=，在Rt △ABD 中，可得2sin AD A =，进而得到21sin sin A C AD CD +=+，结合三角恒等变化公式化简可得21πsin 3C AD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】2cos 3a S ab C =-+ ，23sin cos 3a ab C ab C ∴=-+，即sin cos 3a b C b C =-+，由正弦定理得，3sin sin sin sin cos 3A B C B C =-+，()3sin sin sin sin cos 3B C B C B C ∴+=-+，cos sin sin sin 3B C B C ∴=-，sin 0C ≠，tan B ∴=由0πB <<，得2π3B =.【小问2详解】由（1）知，2π3B =，因为AB BD ⊥，所以π2ABD ∠=，π6DBC ∠=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC BDDBC C=∠，即π2sin16sin sin DC C C==，在Rt △ABD 中，2sin sin AD A BD A==，sin sin 21sin si 22n 11A CC CA A D D∴++=+=，2π3ABC ∠=，π3A C ∴+=,21ππππsin sin sin sin sin cos cos sin sin sin 3333A C C C C C C C AD CD ⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π03C << ，ππ2π,333C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πsin ,132C ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以21AD CD +的取值范围为3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16.已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-（2）242n n n T n +=+【解析】【分析】（1）先用()1n +替换原式中的n ，然后两式作差，结合n a 与n S 的关系，即可得到{}n a 为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得n S 及1n a +，代入1n n n n S b a a +=化简，得到n T 的式子，裂项相消即可.【小问1详解】2241n n n a a S +=-Q ，2111241n n n a a S ++++=-，两式作差得:()()1120n n n n a a a a +++--=，102n n n a a a +>∴-=Q ，{}n a ∴成等差数列，又当1n =时，()2110a -=，所以11a =即()11221n a n n =+-⨯=-【小问2详解】由（1）知21n a n =-，则()()1212122n n n a a n n S n ++-===，即()()()()21111212142121n n n n S n b a a n n n n +⎡⎤===+⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦1111482121n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故1111111483352121n n T n n ⎛⎫=+-+-++- -+⎝⎭L 2111482148442n n n n n n n n +⎛⎫=+-=+= ⎪+++⎝⎭.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和62⎫⎪⎪⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求AB 的范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[]3,4【解析】【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解；【小问1详解】由题意可知，将点3(1,2代入椭圆方程，得222291416241a ba b⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b==，所以椭圆的标准方程为22143x y+=.【小问2详解】由（1）知()11,0F-，()21,0F，当直线l的斜率为0时，24AB a==，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1x my=+，()11,A x y，()22,B x y，联立221431x yx my⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，得22(34)690m y my++-=，易得()22Δ636(34)0m m=++>，则12122269,3434my y y ym m--+==++，所以AB==2221212443434mm m+===-++，因为20m≥，所以2344m+≥，所以240134m<≤+，所以34AB≤<，综上，34AB≤≤，即AB的范围是[]3,4.18.《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：（1）从质量指标值在[)55,75的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.（2）经估计知这组样本的平均数为61x =，方差为2241s =.检验标准中55n x ns a ⎧⎫-=⨯⎨⎬⎩⎭，55n x ns b ⎡⎤+=⨯⎢⎥⎣⎦，N n *∈，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？【答案】（1）25；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.【小问1详解】由题意可知[)[)55,6565,750.330.22P P ==，所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：223225C C 42C 105P +===;【小问2详解】因为2241s =，知16s ，则11611661165455755 5a b -+⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>，又22612166121653059055a b -⨯+⨯⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%--==<，，所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．19.如图，//AD BC ,且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，//EG AD 且EG ＝AD ，//CD FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN //平面CDE ；（2）求平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,根据空间向量可证MN //平面CDE ；（2）利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，3(0,,1)2M ，N (1，0，2)．依题意，DC ＝(0，2，0)，DE ＝(2，0，2)．设0n ＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，得0y =，令z ＝－1，得1x =，则0(1,0,1)n =- ，又3(1,,1)2MN =- ，可得00MN n ⋅= ，直线MN ⊄平面CDE ，所以MN //平面CDE .【小问2详解】依题意，可得(1,0,0)BC =- ，(1,2,2)BE =- ，(0,1,2)CF =- ，设111(,,)n x y z = 为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得10x =，令11z =，得11y =，则(0,1,1)n =，设222(,,)m x y z = 为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得20x =，令21z =，得22y =，则(0,2,1)m =，因此有cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅ 2152=⨯31010=.于是10sin ,10m n <>= .所以平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值为1010.。