重庆大学《高数》下重修076月
高等数学上下册完整版教材
高等数学上下册完整版教材高等数学是大学数学的一门基础课程，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
下面是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述：第一章导数与微分1.1 导数的定义与几何意义1.2 基本求导法则1.3 函数的微分1.4 高阶导数与高阶微分1.5 隐函数与参数方程的导数1.6 微分中值定理与导数的应用第二章不定积分2.1 定积分的概念2.2 不定积分与不定积分的性质2.3 基本不定积分法2.4 特殊函数的不定积分2.5 不定积分的应用第三章定积分3.1 定积分的定义与几何意义3.2 定积分的性质3.3 定积分的计算方法3.4 牛顿-莱布尼茨公式3.5 定积分的应用第四章微分方程4.1 微分方程的概念与分类4.2 一阶微分方程4.3 高阶线性微分方程4.4 变量可分离的方程4.5 齐次线性微分方程4.6 非齐次线性微分方程4.7 常系数线性齐次微分方程4.8 微分方程的应用第五章多元函数的微分学5.1 多元函数的极限5.2 多元函数的偏导数5.3 多元复合函数的偏导数5.4 隐函数与参数方程的偏导数5.5 高阶偏导数5.6 多元函数的全微分5.7 多元函数的极值与最值第六章重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 极坐标下的二重积分6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算方法6.6 曲线积分的概念与性质6.7 曲线积分的计算方法6.8 曲线积分在物理学中的应用第七章曲面积分与格林公式7.1 曲面积分的概念与性质7.2 曲面积分的计算方法7.3 散度与无源场7.4 格林公式的推广与应用第八章空间解析几何与向量代数8.1 空间直角坐标系与向量8.2 空间曲线与曲面8.3 向量的运算与坐标表示8.4 点、直线与平面的方程8.5 空间向量的夹角与投影8.6 空间点、直线与平面的位置关系8.7 空间曲线与曲面的位置关系第九章广义与特殊函数9.1 广义积分的概念9.2 常数项一般项相消法9.3 幂函数、指数函数与对数函数9.4 三角函数与反三角函数9.5 常见特殊函数第十章数项级数10.1 级数概念与性质10.2 收敛级数的判定方法10.3 常见级数的和10.4 绝对收敛与条件收敛10.5 幂级数与泰勒展开10.6 常见函数的泰勒展开第十一章函数级数11.1 函数列与函数项级数11.2 函数列极限与函数项级数的一致收敛11.3 函数列极限的性质11.4 一致收敛级数的和函数的性质11.5 函数项级数的逐项积分与逐项求导11.6 Fourier级数以上是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述。
重庆大学高数(工学下)期末试题一(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量a b ⨯与,a b 的位置关系是().(A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. 答案:(B).分析:,a b 的向量积a b ⨯是一个向量,其方向垂直,a b 所确定的平面.2. 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为().(A)6y = (B)6y x =- (C)y x =- (D)y x =知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D).分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有y x =满足方程,故应选(D).3. 累次积分⎰⎰=-2022x y dy e dx ().(A))1(212--e (B))1(314--e (C))1(214--e (D))1(312--e 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 答案:(C).分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得)1(214--e ,只能选(C). 4．设曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶连续偏导数,且(0)0,f =则=)(x f ().(A)2x x e e -- (B)2xx e e --(C) 12-+-x x e e (D)21xx e e +-- 知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答案:(B).分析: 由积分与路径无关条件,有[()]cos ()cos x f x e y f x y '-=-命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密()().x f x f x e '⇒-=-由结构看,C,D 不满足方程,代入,B 满足,A 不满足,选B.5. 设直线方程为1111220,0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0,A B C D B D ≠则直线().(A) 过原点 (B) 平行于z 轴 (C) 垂直于x 轴 (D) 垂直于y 轴 知识点：直线与坐标轴的位置关系,难度等级：1. 答案:(D).分析:方程2220,0B y D D +=≠表示垂直于y 轴且不过原点的平面,11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩表示的直线位于垂直于y 轴且不过原点的平面上,不平行于z 轴,不垂直于x 轴.6. 设∑为球面2224(0)x y z z ++=≥的外侧,则2yzdzdx dxdy∑+⎰⎰().=(A)354(B)354π (C)12 (D)12π知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,难度等级：2. 答案:(D).分析: 添有向平面221:0(4)z x y ∑=+≤取下侧,则124,yzdzdx dxdy zdV π∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰1228.Dyzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰故有结果为D.二、填空题(每小题3分,共18分)7.121lim(1)sin x y x y →→⎛⎫- ⎪⎝⎭__________.= 知识点：二重极限,难度等级：1. 答案:0. 证明:1(1)sin01x x y--≤- 0,ε∴∀>取,δε=只要0,δ<必有1(1)sin0.x yε--<121lim(1)sin 0.x y x y →→⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 8. 已知lim6,n n a →∞=则11()n n n a a ∞+=-=∑__________. 知识点：级数和,定义,难度等级：1. 答案:1 6.a - 分析: 部分和数列12231111()()() 6.n n n n s a a a a a a a a a ++=-+-++-=-→-9.2221___________,ds x y z Γ=++⎰其中Γ为曲线cos ,sin ,tttx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧.知识点：对弧长的曲线积分,难度等级：2. 答案21).e- 解:弧长的微分为tds dt ==,22222.tx y z e ++=于是2222011).ds x y z e Γ=-++⎰⎰10. 平面3x y z a ++=被球面2222x y z R ++=(0)R <所截得一个圆,则该圆的半径为__________.=知识点：平面,球面,半径,难度等级：1. 答案分析:该圆的中心在平面3x y z a ++=上,且三个坐标相等,中心坐标为(,,),a a a,11．设曲线积分 ,4 L 22⎰++-=yx xdyydx I 其中L 为椭圆,1422=+y x 并取正向,则__________.I =知识点：对坐标的曲线积分,难度等级：2. 答案:.π分析: 可取椭圆的参数方程计算.12. 设∑是球面222x y z R ++=在第一卦限部分,则2__________.x dS ∑=⎰⎰知识点：对面积的曲面积分,对称性,难度等级2. 答案:4.6R π分析:222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()22213x y z dS ∑=++⎰⎰ 224114.386R R R ππ=⋅⋅=三、计算题(每小题6分,共24分) 13. 求微分方程()0y xxe d y x xdy -=+的通解. 知识点：齐次微分方程,通解,难度等级1. 分析：齐次微分方程,作变量代换yu x=化为可分离变量的微分方程.解: 方程两端同除以,x 得()0.y xye dx dy x+-=令,y vx =则.dy vdx xdv =+ 代入上式,得0,ve dx xdv -= 即 0.vdx e dv x--= 积分之,得ln .v x e C -+=故原方程的通解为ln .y xx e C -+=14. 计算2(2)(3),y L x y dx x ye dy -++⎰其中L 由从)0,2(A 到)1,0(B 的直线段22=+y x 及从)1,0(B 到)0,1(-C 的圆弧21y x --=所构成.知识点：对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级：2. 分析：补充线段构成闭曲线用格林公式.解 :如图,添加一段定向直线,CA 这样L 与CA 构成闭路.设所围的区域为,D 于是根据格林公式得:2211(2)(3)55(211)24y L CA Dx y dx x ye dy dxdy π+-++==⋅⋅+⋅⎰⎰⎰15(1).4π=+ 则L⎰=.L CACA→+-⎰⎰又2221(2)(3) 3.y CAx y dx x ye dy x dx --++==⎰⎰故25(2)(3)5(1)32.44y L x y dx x ye dy ππ-++=+-=+⎰ 15. 计算22(),x y dS ∑+⎰⎰其中∑为抛物面222z x y =--在xoy 面上方的部分.知识点：对面积的曲面积分,难度等级：2.分析：直接将曲面积分化为二重积分,用极坐标计算二重积分. 解:∑在xoy 的投影为22:2,xy D x y +≤且= 于是22()x y dS ∑+⎰⎰22(xyD x y =+⎰⎰20220112(14(14)84149.30d r r πθππ==⋅+-+=⎰ 16. 计算333,x dydz y dzdxz dxdy ∑++⎰⎰其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧.知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,球面坐标,难度等级：2 分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解:333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ 2223()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222053sin 12.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(,)z f x u =具有连续的二阶偏导数，而,u xy =求22.zx∂∂难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数.分析: 按复合函数的偏导数的求法两次对x 求偏导数，即可求出22.z x∂∂ 解:x x u z f y f '''=+ 22.xx xx xu uu z f yf y f ''''''''⇒=++18．利用斯托克斯公式计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体[]⨯1,0[]⨯1,0[]1,0的表面所得的截痕,若从z 轴正向看去,Γ取逆时针方向.知识点：对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,难度等级：3 分析: 通过斯托克斯公式将曲线积分转化为对面积的曲面积分,注意积分技巧:可将方程代入被积函数.解: 如图,我们将平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分取为,∑于是∑的单位法向量.n e =由斯托克斯公式得:dS y x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222cos coscos γβα ().x y z dS ∑=++ 观察上述积分,由于在∑上有3,2x y z ++=根据第二型曲面积分的计算公式,故396(6)().42xyxyD D I dS S ∑=-=-=-=-=-其中xy D 是∑在xOy 坐标平面的投影区域,而xyD S 为xy D 的面积.五、 证明题(每小题6分,共12分)19．试证:,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处偏导数存在,但是不可微.知识点：二元函数偏导数、可微,难度等级：1分析:先求出(0,0),(0,0)x y f f 然后说明(0,0)(0,0)x y z f x f y ∆-∆-∆不是比ρ更高阶的无穷小量就可以了.证明 : 0(,0)(0,0)lim 0(0,0);x x f x f f x∆→∆-==∆同理, (0,0)0.y f =则2200limlim.()()x x y y zx yx y ρρ→∆→∆→∆→∆→∆∆∆==∆+∆ 但是此极限不存在,故(,)f x y 在(0,0)处不可微.20. 证明:级数2(!)nn x y n ∞==∑满足方程0.xy y y '''+-= 知识点：幂级数,微分方程,难度等级：2. 分析：直接用幂数代入微分方程验证.证明: 因为20,(!)n n x y n ∞==∑所以122212(1),.(!)(!)n n n n nx n n x y y n n --∞∞==-'''==∑∑ 212222101122222111221(1)(!)(!)(!)(1)11(!)(!)(!)!(2)!!(1)!!!n n n n n n n nn n n n n nn n n n n x nx x xy y y x n n n n n x nx x n n n x x x n n n n n n --∞∞∞===--∞∞∞===--∞∞∞===''-'''+-=+--=++--=+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 21111(1)!(1)!(1)!!(!)(1)(1)(1)!!0n n nn n n nn x x x n n n n n n n xn n ∞∞∞===∞==+-+-++-+=+=∑∑∑∑∴方程0xy y y '''+-=成立.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设球在动点(),,P x y z 处的密度与该点到球心距离成正比,求质量为m 的非均匀球体2222x y z R ++≤对于其直径的转动惯量． 知识点：立体的转动惯量,难度等级：2. 分析：利用转动惯量公式,球坐标计算三重积分.解:设球体方程为2222:,x y z R Ω++≤密度函数ρ=则球体的质量为:234(,,)sin Rm x y z dxdydz k k d d r dr k R ππρθϕϕπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以,密度函数为ρ=计算该球体绕z 轴转动的转动惯量:22224235232240()(,,)(24sin sin 39Rm I x y x y z dxdydz xy R m d d r dr mR d mR R πππρπθϕϕϕϕπΩΩ=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22．将质量为m 的物体垂直上抛,假设初始速度为0,v 空气阻力与速度成正比(比例系数为k ),试求在物体上升过程中速度与时间的函数关系.知识点：微分方程的初值问题,难度等级：1 分析: 只需将二阶导数表示出来就可证之.解: 根据条件,空气阻力为.kv 于是物体上升过程中受力为()kv mg -+(其中负号表示力与运动方向相反),而运动加速度为.dva dt=因而得微分方程 .dv m kv mg dt=-- 又知初始速度为0v ,故得初值问题0,(0).dv kv g dt mv v ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ 因此000000(1.)()()ttkkkk k k dtdtt t t t tm m mm m mgm mg v egedt v ee v e v e k m k kg -----⎰⎰=-+=+-+=+⎰。
重庆大学高数(工学下)期末试题九(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 已知向量{}4,3,4a =-与向量{}2,2,1b =则a b ⋅=().(A) 6 (B) 6- (C) 1 (D) 3- 知识点:向量的内积；难度等级:1。
答案: (A).2. 设arctan ,4z xy π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则zx∂=∂().(A))4(1π++xy xy (B)2)4(11π+++xy x(C)22)4(1)4(sec ππ+++xy xy xy (D)2)4(1π++xy y知识点:多元函数偏导数；难度等级:1。
答案: (D). 3. 两个半径为R 的直交圆柱体所围立体的表面积是(). (A) 004Rdx dy ⎰ (B) 08Rdx ⎰(C) 04Rdx ⎰ (D) 016Rdx ⎰知识点:二重积分的应用；难度等级:2。
答案:(D)分析:可设两个圆柱面的方程为222222,.x y R x z R +=+=由对称性,为第一卦象的面积的8倍.又由对称性,在第一卦限两个曲面部分面积相等,故可取在第一卦限222x z R +=部分面积的16倍,而该面积为00,Rdx ⎰选D.4．设u =(1,0,1)()().rot gradu =(A)14(B)0 (C)(0,0,0) (D)(1,0,1)知识点:旋度定义；难度等级:1。
答案:(C)分析:经计算,对应的旋度场为无旋场,即任意一点处旋度为0,命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密选C.5. 微分方程231xy y e ''-=+的一个特解为().(A)313x y e =+ (B) 213x y e =+(C) 313x y e =- (D) 213xy e =- 知识点:二阶常系数非齐次线性微分方程；难度等级: 2。
重庆大学高数(工学下)期末试题五(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 如果,a b 为共线的单位向量,则它们的数量积().a b ⋅=(A) 1 (B) 0 (C) 2- (D) cos(,)a b 知识点:向量的数量积,难度等级:1. 答案:D分析:||||a b a b ⋅=cos(,)a b =cos(,).a b 2. 微分方程21x y '=的通解是().(A) 1y C x =+ (B) 1y C x=+ (C)1Cy x =-+ (D) 1y xC =-+ 知识点:微分方程,难度等级:1.答案: D分析:将方程改写为21,dy dx x =并积分,得通解1,y C x=-+故应选(D).3. 设空间区域2222,x y z R Ω++≤：则().Ω=(A) 4R π (B) 443R π; (C) 4 32 R π (D) 42 R π知识点:三重积分计算,难度等级:2. 答案: A4．若L 是上半椭圆cos sin x a ty b t=⎧⎨=⎩取顺时针方向,则L ydx xdy -⎰的值为().(A) 0 (B)2ab π(C) ab π (D)ab π- 知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1.答案: C分析: 题中半椭圆面积为,2ab π要用格林公式,添有向线段1:0(:).L y x a a =-→ 112,0.DL L L dxdy ab π-+===⎰⎰⎰⎰故选C.5. 设函数(),0f x x >连续,并对0x >的任意闭曲线,L 有命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密34()0,Lx ydx xf x dy +=⎰且(1)2,f =则()f x =().(A)242412423-+-x x x (B)324122424x x x -+- (C)31x + (D)xx 13+知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:3.答案:D分析:由条件知,积分与路径无关,有3(4)(()).x y xf x y x ∂∂=∂∂即34()().x f x xf x '=+A,B 选项显然不满足方程,而C 含常数,也不能满足方程,故选D.验证D 满足,或用一阶线性微分方程求出为D. 6. 曲面z =包含在柱面222x y x +=内部那部分面积().=(A) π(B)(C)(D) 知识点:曲面面积,难度等级:2. 答案:B分析: 在xOy 投影区域22:2,D x y x +≤化为二重积分为D=,选B.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 级数12(2)!nn n n ∞=∑的和为__________.知识点:级数的和.难度等级:2. 答案:e分析: 11121.(2)!!(1)!n n n n n n e n n n ∞∞∞======-∑∑∑8. 222()__________,c x y z ds ++=⎰其中c 为螺线cos ,sin ,(02).x a t y a t t a bt π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩的一段.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案：2222(343a b ππ+ 解:弧长的微分为,ds =于是222222222202()()(343cx y z ds a b t dt a b πππ++=+=+⎰9. 过已知点A )1,2,1(-和B )7,2,5(-作一平面,使该平面与x 轴平行,则该平面方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:2. 答案:20.y -=分析:平面的法向量n AB ⊥,且n i ⊥,取606(0,6,0),100i j kn AB i =⨯=-=过点A (1,2,1),-平面方程为0(1)6(2)0(0)0,x y z ⋅-+⋅-+⋅-=即20.y -= 10. 函数zy u x =在点(1,2,1)-处沿(1,2,2)a =-方向的方向导数为______.知识点:函数的方向导数.难度等级:1答案：1.6解 : (1,2,2)a =-⇒122cos ,cos ,cos .333αβγ-===1(1,2,1)(1,2,1)1(1,2,1)(1,2,1)1;2ln 0;z zzy y z u y xx u x x zy y------∂=⋅=∂∂=⋅=∂(1,2,1)(1,2,1)ln ln 0.z y z ux x y y z --∂=⋅=∂111.236u a ∂⇒=⨯=∂ 11.设∑为平面326x y z ++=在第一卦限的部分的上侧,将⎰⎰∑++Qdzdx Pdydz Rdxdy 化为对面积的曲面积分的结果为__________.知识点:两种曲面积分之间的转换.难度等级:2. 答案:32().555P Q R dS ∑++⎰⎰ 分析:第二型曲面化为第一型曲面积分,只需求出有向曲面侧的单位法向量,与被积向量函数作内积即可,平面法向量为{3,2,,长度为5故得结果.12. 设∑是圆锥面z =被圆柱面ax y x 222=+所截的下部分,则()xy yz zx dS ∑++⎰⎰__________.=知识:对面积的曲面积分,对称性.难度等级:3.答案4. 分析: 曲面关于x 轴对称,xy yz +为关于y 的奇函数,故只需算zx 的积分值,2cos 3422cos .xya D zxdS d dr θππθθ-∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 计算积分(2),c a y dx xdy -+⎰其中c 为摆线(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤的一拱.知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2分析:已知了积分路径的参数方程,直接代入计算积分. 解: 由题设(1cos ),sin .dx a t dt dy a tdt =-=于是{}20(2)[(2(1cos )](1cos )(sin )sin ca y dx xdy a a t a t a t t a t dt π-+=---+-⎰⎰[]222202sin cos sin 2.at tdta t t t a πππ==--=-⎰14. 求32sin (2cos cos )0x d x x dx θθθθ+-+=的通解.知识点:微分方程,变量代换,一阶线性微分方程.难度等级:2 分析:sin cos d d θθθ=,若令cos z θ=,原方程可化为一阶线性方程.解: 将原方程改写为2sin cos 2cos .x d dx dx xdx xθθθθ+-+= 令cos ,y xθ=则2sin cos .x d dxdy xθθθ+=-于是方程化为 2.dyxy x dx+= 这是一阶线性非齐次方程.由通解公式2221().2x x x y e xe dx C Ce --=+=+⎰ 故21cos .2x x Cxe θ-=+15. 计算,2222⎰⎰∑+++z y x dxdy z xdydz 其中∑是由曲面222R y x =+及平面,(0)z R z R R ==->所围成立体表面外侧. 知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:3 分析:利用高斯公式并注意对称性. 解:利用高斯公式,并注意对称性,知22222222222()0.()z dxdy z x y dV x y z x y z ∑Ω+==++++⎰⎰⎰⎰⎰ 又dydz z R y R dydz z R y R z y x xdydz⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+--++-=++212222222222222212yzD RR RdzR z --==+⎰⎰⎰⎰2212[arctan ]2.2R R z R R R R ππ-=⋅=22222.2xdydz z dxdy R x y z π∑+⇒=++⎰⎰ 16. 计算第二类曲线积分222,Ly dx z dy x dz ++⎰其中L 为球面2222R z y x =++与柱面对)0,0(22>≥=+R z Rx y x 的交线,其方向是面对着正x 轴看去是反时针的.知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,对称性.难度等级:3分析: 利用斯托克斯公式,合一投影,并注意对称性的使用.解:222222Ldydz dzdx dxdyy dx z dy x dz x y z y z x ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰dxdyy yx R xy x ydxdyxdzdx zdydz xyD ⎰⎰⎰⎰+--+-=++-=∑)(222222xyD xdxdy =-⎰⎰(∵xy D 关于x 轴对称,(,)f x y y 是关于y 的奇函数)⎰⎰--=22cos 02cos 2ππθθθR dr r d342034cos 3.4R d R πθθπ=-=-⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．判断级数111(1)nn e n∞=--∑的敛散性.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2 分析:取211n n ∞=∑用比较判别法的极限形式. 解: 1200211111limlim lim .122nx xn x x e e x e n x x n →∞→→-----===由于211n n ∞=∑收敛,故级数111(1)n n e n ∞=--∑收敛.18．求函数2232z x y x =+-在闭域22(,)|194x y D x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭上的最大值和最小值.知识点:二元函数在闭区域上的最值.难度等级:2分析:先求函数的驻点,得到在区域内部可能的最值点,然后求边界上可能的最值点.解:由22060x yz x z y =-=⎧⎨==⎩得D 内驻点(1,0),且(1,0) 1.z =-在边界22194x y +=上()21121233.3z x x x =--+-≤≤1220.3z x '=--<11(3)15(3) 3.z z -==比较后可知函数z 在点(1,0)取最小值(1,0)1z =-在点(3,0)-取最大值(3,0)15.z -=五、 证明题(每小题6分,共12分)19．设函数(,,)F x y z 具有一阶连续偏导数,且对任意实数t 有(,,)(,,)(k F tx ty tz t F x y z k =是自然数),试证曲面(,,)0F x y z =上任一点的切平面都通过一定点(设在任一点处,有2220.x y z F F F ++≠).知识点:齐次函数,切平面.难度等级:2 分析:曲面(,,)0F x y z =在一点000(,,)x y z 的切平面方程为000()()()0,x y z F x x F y y F z z ⋅-+⋅-+⋅-=求出此方程,可以发现坐标原点(0,0,0)满足方程.证明: 由已知条件可得.x y z xF yF zF kF ++=曲面上点000(,,)x y z 处的切平面方程为 000()()()0.x y z F x x F y yF z z ⋅-+⋅-+⋅-= 即000000(,,)0.x y z x y z xF yF zF x F y F z F kF x y z ++=++==易知0,0,0x y z ===满足上述平面方程,所以曲面的任意切平面都通过定点.20. 设0,n P >n P 单调增,且11n nP ∞=∑收敛.证明:(1)12n nn u P P P =+++单调减.(2)21n n u ∞=∑收敛.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2 证:(1)1121121n n n nn nu u P P P P P P +++-=-++++++1212112121(1)()()()()n n n n n P P P n P P P P P P P P P ++++++-+++=++++++121121210()()n n n n P P P nP P P P P P P +++++-=<++++++ 12n nnu P P P ∴=+++单调减.(2)2122222,n n n n n n u P P P nP P =≤=+++而11n nP ∞=∑收敛,由比较判别法,21n n u ∞=∑收敛.六、 应用题 (每小题8分,共16分)21. 设在xoy 面上有一质量为M 的匀质半圆形薄片, 占有平面闭域222,,0{()|},D x y x y R y =+≤≥过圆心O 垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点,P .OP a =求半圆形薄片对质点P 的引力.知识点:平面薄片对质点的引力,难度等级:3分析: 由引力公式,建立二重积分计算解: 设P 点的坐标为(0,0,.)a 薄片的面密度为222.12M MRR μππ== ()000,,设所求引力为,,().x y z F F F F =由于薄片关于y 轴对称, 所以引力在x 轴上的分量0,x F = 而2223/2()y Dm yF G d x y a μσ=++⎰⎰2223/2sin ()Rm G d d a πρθμθρρ=+⎰⎰2223/22223/2sin ()2()RRm G d d a m G d a πρμθθρρρμρρ=+=+⎰⎰⎰24GmM R π= 2223/2()z Dm aF G d x y a μσ=-++⎰⎰2223/2()Rm Ga d d a πρμθρρ=-+⎰⎰2223/22()2(1Rm Ga d a GmM R ρπμρρ=-+=-⎰22．一质量为m 的船以速度0v 沿直线航行,在0t =时,推进器停止工作(动力关闭). 假设水的阻力正比于,n v 其中n 为一常数,v 为瞬时速度,求速度与滑行距离的函数关系.知识点:微分方程模型.难度等级:2 分析:据牛顿第二定律建立微分方程.解: 船所受的力=向前推力-水的阻力=0,n kv -加速度为.dvdtα=于是,由题设有 00,|.n t dvmkv v v dt==-= 设距离为()x x t =,则上述方程化为.n dv dv dx dvmm mv kv dt dx dt dx=⋅=⋅=- 故有1.n mv dv kdx -=-当2n ≠时,两边积分得,22.2nmv kx c n-=-+- 代入000|,|0,t t v v x ====得20.2n mv c n-=-故 220.(2)n n k n v x v m---=-+ 当2n =时,同理可解得 0.k x mv v e-=。
重庆大学2009级高等数学三(下)试卷参考答案
《高等数学（III-Ⅱ）》课程试卷参考答案2009~2010学年 第2学期一．填空题（每小题4分，共20分）1． 设2sin y x z =，则2cos 2y xy yz =∂∂2． 设22yx z +=，则22yx ydy xdx dz ++=3．微分方程04'4''=+-y y y 的通解为)(212x C C e y x+=4．幂级数nn nxn ∑∞=13的收敛半径为35．交换二次积分dx y x f dy y⎰⎰010),(的积分次序为⎰⎰110),(xdy y x f dx二．计算题（每小题8分，共32分）1．设)ln(32y x z +=，求yx zx z∂∂∂∂∂2,解：322yx x xz +=∂∂，=∂∂∂yx z 22322)(6y x xy+-2．判定无穷级数∑∞=133n n n的敛散性。
解：==+∞→nn n a a 1limρ133)1(3lim331>=++∞→nn n n n所以原级数发散。
3．求微分方程221xy xdxdy =-的通解解：此方程为一阶线性微分方程，所以其通解为)()2(]2[2121C x x C xdx x C dx ex ey dxx dxx +=+=+⎰⎰=⎰⎰-4．设 3cos ,,sin t v e u t uv z t==+=，求dtdz .解：tdtdv udtdu vdtdz cos ++=t t e t t e t t c o s s i n 3c o s 323+-=三．计算题（每小题8分，共40分）．1．设),(xy e xy f z =，f 具有一阶连续偏导数，求yzx z ∂∂∂∂,解：21f yeyf xz xy+=∂∂，21f xexf yz xy+=∂∂命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密2．计算二重积分 dxdyxy D⎰⎰22，其中 D 是由曲线 x y x 222=+围成的平面区域。
2007级高等数学(1-1)试题参考答案及评分标准
重庆大学 高等数学I-I （理工综合班）（ 课程试卷2006 ~2007 学年 第 一 学期开课学院： 数理学院 考试日期： 2008年1月9日考试方式：考试时间： 120 分钟注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文用小四号宋体；2.按A4纸缩小打印一．每小题6分，共60分1．求极限3tan sin limx x x x -→解：3sin sin limxx x x -→613cos 1limsin lim23=-=-=→→xx xxx x x2． 设000,2sin ,,)(2>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x x x x xb x a x f 在0=x处连续，求常数ba ,的值。
解： a x a x =+-→)(lim 2，22sin lim=+→xxx ，b f =)0(，所以当2,2==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。
3．设xx yarctan)1(2+=，求'y ，''y解：x y 2'=2211)1(arctan xx x +⋅++x 2=1arctan +x''y 2=212arctan xx x ++4．证明当1>x 时，exex>证： ex e x f x-=)(，)1(0)('>>-=x e e x f x，所以当1>x 时，)(x f 单调增加，从而 0)1()(=>f x f故当 1>x 时，ex ex>5．计算定积分 dxx x ⎰-π3sinsin解：dx x x ⎰-π03sinsin =-=⎰dx x x π2)sin1(sin dx x x cos sin 0⎰π-=⎰xdx x cos sin 2πxdx x cos sin 2⎰ππ-=⎰x d x sin sin 2πx d x sin sin 2⎰ππ2023s i n 32πx=34s i n 32223=-ππx6．已知xx ln 是函数)(x f 的一个原函数，求dxx xf)('⎰解：2'ln 1ln )(x x x x x f -=⎪⎭⎫⎝⎛=， ⎰⎰⎰-==dx x f x xf x xdfdx x xf)()()()('CxxC xx xx +-=+--=ln 21ln ln 17．求不定积分：dxx ⎰arctan解：dxxx x x dx x ⎰⎰+-=21arctan arctanCx x x ++-=)1l n (21a r c t a n 2命题人：组题人：审题人：命题时间：学院 专业 年级 学号 姓名封线密8．设0,,11)(<≥⎪⎩⎪⎨⎧+=x x e xx f x求⎰-2)1(dxx f解：令1-=x t ，则1+=t x⎰-2)1(dx x f ⎰⎰⎰--++==111111)(dt t dt edt t f t2ln 11+-=-e9．设dt t tx x F x⎰+-=1)(，求)('x F解：dt ttx x F x⎰+-=1)(-+=⎰dt t x x11dtttx⎰+01=)('x F xxxx dt tx+-+++⎰1111)1ln(11x dtt x+=+=⎰10．设)(x y y=是由方程1=+yexy所确定的隐函数，求)0('y 。
重庆大学高数(下)期末试题11(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分一、 选择题(每小题3分,共18分)1. 设,yu xy x =+则22u x ∂=∂__________.答案:32.y x难度等级：1；知识点：偏导数.2. 已知级数1nn n a x ∞=∑满足11lim ,3n n na a +→∞=且lim 2,n n n ab →∞=则级数1n n n b x ∞=∑的收敛半径为__________.答案:3.难度等级：2；知识点：幂级数分析:1111111limlim 2, 3.233n n n n n n n n n n b b a a R b a a b +++→∞→∞+==⨯⨯== 3. 若曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率等于(1),yx-+且过点(2,1),则该曲线方程是__________.答案:14.2y x x =-+难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程4. 设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)__________.Lxy y dx x x dy -+-=⎰答案:18.π-难度等级：2；知识点：格林公式分析:利用格林公式可化为被积函数为2-的二重积分,而积分区域面积为9,π故得.5. 设()f t 具有连续导数, (0)0,(0)1,f f '=={}2222(,,)|,x y z x y z t Ω=++≤则1lim40I f d t t V π==⎰⎰⎰+Ω→__________. 答案:1.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密难度等级：2；知识点：三重积分6. 求以向量23a m n =+和4b m n =-为边的平行四边形的面积为 ，其中,m n 是互相垂直的单位向量. 答案：11.难度等级：2；知识点：向量代数.分析：为了便于计算,令,m i n j ==,则23a i j =+,4b i j =-,230(0,0,11),140i j ka b ⨯==--平行四边形的面积为20011a b ⨯=+=二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设非零向量,,a b c 满足条件0a b c ++=,则a b ⨯().=(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯ 答案:(B).难度等级：1；知识点：向量代数分析:在0a b c ++=的两边左乘以b得到()0,b a b c b ⨯++=⨯0,b a b b b c ⨯+⨯+⨯=即0.a b b c -⨯+⨯=于是.a b b c ⨯=⨯8. 设函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处沿任何方向有方向导数,则z f x y =(,)在点(,)x y 00处().(A)偏导数存在(B)可微 (C)偏导数不一定存在 (D)偏导数连续 答案:(C).难度等级：2；知识点：偏导数与方向导数分析:函数z =(0,0)处沿任何方向的方向导数均为1,但偏导数不存在,所以应选(C).9. 微分方程22x y y '''=的通解是().(A)1221ln(1)C x y x C C -=--+ (B) 1211ln(1)C x x y C C C -=--+ (C)12211ln(1)C x x y C C C -=-+ (D) 12211ln(1)C x x y C C C -=--+ 答案: (D).难度等级：2；知识点：可降阶微分方程分析:方程为二阶非线性方程.令,u y '=则方程降为一阶方程22,x u u '=这是变量可分离方程.分离变量得22,du dxu x=积分得111.C u x =+将u y '=代入并积分可得12211,ln(1)C x x y C C C -=--+故应选(D).10.曲线2,x t y z t ===在点(4,8,16)处的法平面方程为().(A) 8132x y z --=- (B) 8140x y z ++= (C)x-y+8z=124 (D) 8116x y z +-=答案:(B).难度等级：1；知识点：多元微分学在几何上的应用 分析:法平面的法向量就是曲线的切向量,为(1,1,8),n =所以法平面方程为:(4)(8)8(16)0.x y z -+-+-=即 8140.x y z ++= 与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选B).11. 设有一分布非均匀的曲面,∑其面密度为(,,),x y z ρ则曲面∑对x 轴的转动惯量为().(A)xdS ∑⎰⎰ (B)(,,)x x y z dS ρ∑⎰⎰(C)2x dS ∑⎰⎰ (D)22()(,,)y z x y z dS ρ∑+⎰⎰答案:(D).难度等级：1；知识点：曲面积分的应用分析:A,C 明显不对,B 被积函数不对,D 是转动惯量. 12. 设流速场{0,0,1},v =则流过球面2222x y z R ++=的流量值为().(A)0 (B)24R π (C)334R π (D)1 答案:(A).难度等级：2；知识点：第二型曲面积分的应用.分析:通量00.dxdy dV ∑ΩΦ===⎰⎰⎰⎰⎰三、 计算题(每小题6分,共24分)13. 求微分方程3dy y dx x y =+的通解. 难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非线性方程，需变形为一阶线性方程求解.解 方程改写为21dx x y dy y-=, 这是关于()x x y =的一阶线性非齐次方程，故通解为2()dydyyyx ey edy C -⎰⎰=+⎰ 21()2y y C =+即32y x Cy =+.14. 设(,)z z x y =由方程(,)0f y x yz -=所确定，其中f 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂.难度等级：2；知识点：隐函数的高阶偏导数. 分析 由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数的偏导数xzFz x F ∂=-∂，求出zx∂∂后再对x 求偏导数即可得22z x ∂∂.解11221f f z x yf y f -∂=-=∂ 21112221221222()()1z zf yf f f yf f z x x x y f ∂∂-+--+∂∂∂=⋅∂ 211121221232222f f f f fyf yf yf=-+-15.将函数()ln(f x x =+展成关于x 的幂级数. 难度等级：2；知识点：函数展开成幂级数分析:有对数,反三角函数需要求导后展开,然后逐项积分解:()f x '====0(21)!!(1).(2)!!n nn n x n ∞=-=-∑20(21)!!(),.(2)!!n n n f x x x R n ∞=-'⇒==∈∑ 21(21)!!()(1),.(2)!!21n knn n x f x dx x R n n +∞=-'⇒=-∈+∑⎰21(21)!!()(1),.(21)(2)!!nn n n f x x x R n n ∞+=-⇒=-∈+∑16. 计算2232(()(2),xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰其中∑为上半球体0z ≤≤表面的外侧.难度等级：2；知识点：高斯公式分析:题设曲面为封闭曲面,利用高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解: 2232(()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰222()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222205sin 2.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17. 设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求函数),(y x z z =的极值点和极值.难度等级：3；知识点：多元函数极值解:方程0182106222=+--+-z yz y xy x 两边分别对,x y 求偏导数得到26220,(1)6202220.(2)x x y y x y yz zz x y z yz zz ---=⎧⎪⎨-+---=⎪⎩令00x yz z =⎧⎪⎨=⎪⎩得260,62020x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩即3.x yz y =⎧⎨=⎩ 代入方程0182106222=+--+-z yz y xy x 得 3.y =±因此有两个驻点(9,3),(9,3).--相应的函数值为3, 3.-方程(1),(2)两边再次分别对,x y 求偏导数得到22222()20(3)622220(4)20422()20.(5)xx x xxx xy y x xy y yy y yy yz z zz z yz z z zz z yz z zz ⎧---=⎪⎪-----=⎨⎪----=⎪⎩将9,3,3,0,0x y x y z z z =====代入(3),(4),(5)得到21150,,,0.623xx xy yy A z B z C z AC B ==>==-==->故点(9,3)是(,)z z x y =的极小值点,极小值(9,3) 3.z = 同样将9,3,3,0,0x y x y z z z =-=-=-==代入(3),(4),(5)得到 21150,,,0.623xx xy yy A z B z C z AC B ==-<====--> 故点(9,3)--是(,)z z x y =的极大值点,极大值(9,3) 3.z --=-18. 计算23,ydx xzdy yz dz Γ-+⎰其中Γ为圆周222, 2.x y z z +==若从z 轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向.难度等级:2,知识点:斯托克斯公式,曲面积分的概念,二重积分的性质分析:曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式化为对面积的曲面积分.解:取∑为平面2z =被Γ所围成的部分的上侧,∑的法线向量为(0,0,1),n =其方向余弦为(cos ,cos ,cos )(0,0,1).αβγ=于是23ydx xzdy yz dz Γ-+⎰2cos cos cos 3(3)dS x y z yxzyzz dSαβγ∑∑∂∂∂=∂∂∂-=--⎰⎰⎰⎰ 2245520.x y dSdxdy π∑+≤=-=-=-⎰⎰⎰⎰五、证明题(每小题6分,共12分)19. 证明下列第二类曲线积分的估计式: .L xdx ydy LM +≤⎰其中L 为积分路径L 的弧长,M 为函数22y x +在L 上最大值.难度等级：3；知识点：第二类曲线积分分析:将题设积分转化为对弧长的积分,再进行估值,并注意将被积函数表成向量的点积.证明:设路径L 上的单位切向量为(cos ,sin ).αα利用两类曲线积分的联系可得(cos sin )LL xdx ydyx y dsαα+=+⎰⎰cos sin {,}{cos ,sin }LLx y ds x y dsαααα≤+=⋅⎰⎰.LMdsML =≤=⎰⎰20. 设函数)(0x f 在),(+∞-∞内连续,10()(),1,2,.xn n f x f t dt n -==⎰证明:(1)1001()()(),1,2,;(1)!xn n f x f t x t dt n n -=-=-⎰ (2)对于区间),(+∞-∞内的任意固定的,x 级数()∑∞=1n n x f 绝对收敛.难度等级：3；知识点：无穷级数 证明:(1)由函数)(0x f 在),(+∞-∞内连续,1011000()(),1,2,()();(0)lim ()0,,(0)0(2).xn n nn xk x f x f t dt n f x f x f f t dt f k --→=='=⎧⎪⇒⎨===≥⎪⎩⎰⎰11()()(1)!xn f t x t dt n -⇒--⎰ 1101()()(1)!xn x t df t n -=--⎰ 1110102101(()()()())(1)!1()()(2)!xn x n xn x t f t f t d x t n f t x t dt n ---=----=--⎰⎰().n f x ==(2) 函数0()f t 在t x ≤上连续,⇒存在0()0,,()().M x t x f t M x >∀≤≤由(1),1001001()()()(1)!1()()()(1)!xn n xn n f x f t x t dt n f x f t x t dt n --=--⇒=--⎰⎰10()()()().(1)!!n xn n M x x M x f x x t dt n n -⇒≤-=-⎰ 由于0()!nn M x x n ∞=∑收敛,故级数()∑∞=1n n x f 绝对收敛.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设均匀柱体密度为,ρ占有闭区域222,,{()|,0,}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤ 求它对于位于点00,0(),)(M a a h >处单位质量的质点的引力. 分析:由空间物体引力公式和对称性,利用直角坐标计算即可 解:由柱体的对称性可知, 沿x 轴与y 轴方向的分力互相抵消, 故0,x y F F ==而 2223/2[()]z z aF G dv x y z a ρΩ-=++-⎰⎰⎰2222223/20()[()]hx y R dxdyG z a dzx y z a ρ+≤=-++-⎰⎰⎰ 2223/2000()[()]hRrdrG z a dz d r z a πρθ=-+-⎰⎰⎰012()[hG z a dz a z πρ=--⎰2[G h πρ=-22. 按P.F.Verhulst 人口增长规律:当人口数充分大时,大致按有机增长规律随时间成正比例增长(设比例系数为a ).如考虑到疾病和其它原因,有一个与人口数的平方成反比的的负增长率(设比例系数为b ).已知0t =时,人口数为0,x 求在时刻t 时的人口数(),x t 并问当t →∞时人口数如何？难度等级:3;知识点:常微分方程模型,可分离变量的微分方程的初值问题.分析:只需将二阶导数表示出来就可证之. 解:据题意可得如下初始值问题200.t dx ax bxdtx x =⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 将方程分离变量,积分得020,xt x dxdt ax bx =-⎰⎰ 即有 00()1ln.()x a bx t ax a bx -=-解出x 得000.atatax e x a bx bx e=-+ 而且,当t →∞时,.a x b→。
重庆大学高等数学(工学类)课程试卷
2.若2lim ()x x a x x a xe dx x a
+∞-→+∞-=+⎰，求a 的值。
3、设函数()y y x =由方程322
2221y y xy x -+-=所确定，试求()y y x =的驻点，并判断它是否是极值点。
4. 计算
22(tan 1)x e x dx +⎰。
5. 设12
01()()1x f x xe f x dx x =-+⎰，求(),()f x f x '。
6. 已知1(2),(2)02
f f '==及20()1f x dx =⎰，求120(2)x f x dx ''⎰。
四、证明题（每小题9分，本题共18分）
1、证明方程0ln x x e π=
-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同的实根。
2、设()f x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可微，且0()sin 0f x xdx π
=⎰，0()cos 0f x xdx π
=⎰。
证明：在(0,)π内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=。
五、应用题（本题共10分）用自重200N 的抓斗将井深30米内开始时重2000N 的污泥提升到井口，已知铁链每米重50N ，提升速度为每秒3米，提升过程中污泥以每秒20N 的速度从抓斗的漏孔中漏掉，问克服重力作功多少焦耳？。
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(1.1) (1.2)
重庆大学高等数学（下）（重修班）课程试卷
课程试卷
2006 ~2007 学年
第 二 学期 开课学院： 数理学院
考试日期：2007年6月
考试方式：
考试时间：120 分
一、 填空题（每空2分，共20分）
⒈ 设向(4,3,4),(2,2,1),a b -==
求a b ⋅= ，a b ⨯= 。
⒉设积
D 是由曲线1,,22
y x y x y ===围成的区域，
则D
dx dy =⎰⎰ 。
⒊ 已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个解分别为212,x x y e y e -==，则该微分
方程为 ，该微分方程的通解为 。
⒋ 级数011
()2
3n n n ∞
=+∑的和为 。
⒌ 级数1
1(1)n
n n ∞
-=-∑的收敛半径为 ，收敛区间为 。
6．已知ln(3)x
z y
=+，则(1,2)
dz
= 。
7．函数
1
2x
-关于x 的幂级数展开式及其收敛域为 。
二、 计算题（每小题8分，共80分）
⒈ 求函数 222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度
gradu 。
2．求函数u xyz =在(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。
命题人：
组题人：
审题人：
命
题时间：
学院 专业 年级 学号 姓名
封
线
密
3．求曲面23
z
z e xy
-+=在点(1,2,0)
M处的切平面方程。
4．求通过点(0,0,2)
A和点(6,5,0)
B-且与平面
1:52100 x y z
π+--=垂直的平面方程。
5．用格林公式计算积分(1cos)(sin)
x x
C
I e y dx e y y dy
⎡⎤
=---
⎣⎦
⎰ ，其中C是由直线,0,1
y x x y
===所构成的三角形回路正向一周。
6．求解微分方程
1
dy
dx x y
=
+。
7．设 ()y z xy x x ϕ=+，其中()t ϕ为可导函数，求z z
x y
x y
∂∂+∂∂。
8．利用高斯公式计算积分
333I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=++⎰⎰ ，其中∑为球面2222
y z a x ++=的外侧。
9．化下列二次积分为极坐标形式下的二次积分
11
(,)I dx f x y dy =⎰⎰
10．求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体。
. . .
. . . . . . . . . . .。