重庆大学高等数学(II-2) ( 第3次 )
重庆大学高等数学习题3-2
A 组1.用洛必达法则求下列极限：（1）02lim 1cos xxx e e x -→+-- （2）arctan 2lim 1x x xπ→+∞-（3）0cos lim sin x x e x x x →- （4）011limcot ()sin x x x x→- （5）10(1)lim xx x ex→+- （6）210sin lim ()x x x x +→ （7）011lim()sin x x x→- （8）sin 0lim xx x +→（9）lim(1)xx a x→∞+ （10）n 其中n 为正整数解析：考查洛必达法则的应用，洛必达法则主要应用于00，∞∞型极限的求解，当然对于一些能够化简为00，∞∞型极限的同样适用，例如00010⋅∞==∞等等，在求解的过程中，同样可以利用前面已经学到的极限的求解方法，例如等价无穷小、两个重要极限 解：（1）本题为型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x---→→→+--+===- （2）本题为型极限的求解，利用洛必达法则求解得 22221arctan 12lim lim lim 1111x x x x x x x x x π→+∞→+∞→+∞--+===+-（3）本题为0型极限的求解，利用洛必达法则求解得000cos sin 1lim lim lim sin sin cos 0x x x x x e x e x x xx x x →→→-+===∞+ （4）先化简，得2300011cos sin sin sin limcot ()lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x →→→→----=⋅==型极限的求解，利用洛必达法则求解得23220001sin 1cos 12lim lim lim 336x x x xx x x x x x →→→--=== （5）化简1ln(1)00(1)lim limx x xx x x e eexx+→→+--=型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0ln(1)ln(1)ln(1)lim 220002000ln(1)(1)ln(1)1lim lim lim(1)(1)ln(1)1ln(1)1ln(1)lim lim lim 222x x x x xxx x x x x x x xx e e x x x x e e x x x x x x x x x e e e e x x x →+++→→→→→→-+--+++=⋅=+-++-+--+====-（6）1∞型极限的求解，首先利用lne ，然后利用洛必达法则求解得222220002322000sin sin sin sin ln ln 11ln 11lim lim lim 001sin cos 112limlimlim 336sin lim ()lim x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x xxxx e eeexeeee+++→→→+++++→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→→----========（7）∞-∞型极限的求解，先化简再利用洛必达法则求解得2200000111sin sin 1cos 2lim()lim lim lim lim 0sin sin 22x x x x x xx x x x x x x x x x x x→→→→→----==== （8）00型极限的求解，先利用lne 化简，再利用洛必达法则求解得22002001ln lim limsin cos 1limlimsin ln sin cos sin sin 0lim lim 1x x x x xx xx x x x xx x x xxx x x e e eee++→→++→→++---→→======（9）1∞型极限的求解，先利用重要极限二化简lim(1)lim(1)lim(1)x x a a x a a ax x x a a a e x x x⋅⋅→∞→∞→∞+=+=+= 当然也可以先化简，再利用洛必达法则求解222ln()ln lim1[ln()ln ]1111limlim112limlim()2lim(1)lim()lim x x x x x x a xx x x x a x x x x x x a x x a x ax axax x a xxx aa x a e e x x eeeee →∞→∞→∞→∞→∞+-+-→∞→∞→∞--++--++++========（10）0∞型极限的求解，先化简，利用洛必达法则求解1ln212lim(2)lim lim1nn n nn n n nn e e→∞→∞→∞====2.已知21lim5sinxx bx cxπ→++=，求b，c的值解析：考查洛必达法则的应用，已知1limsin0xxπ→=，要使极限存在，则21lim()0xx bx c→++=同时可以利用洛必达法则求解解：根据上述分析得10b c++=21122lim limsin cosx xx bx c x b bx xππππ→→++++==-则25bπ+=-，解得52bπ=--则51cπ=+B组1.求下列极限（1）2222lim(1)(1cos)x x x xxxxe xe e ee x→+-+--（2）2lim(arctan)xxxπ→+∞⋅（3）1lnlim(cot)xxx+→（4）1111lim()x x xxxa b ca b c+++→++++（5）1limln1xxx xx x→--+（6）11112limnxx x xnxa a an→∞⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L，其中12,,,0na a a>L解析：考查极限的求解，求解极限的方法包括洛必达法则、等价无穷小、两个重要极限还可以利用换元求解，下面结合实例说明解：（1）型极限的求解，先化简再利用洛必达法则求解222200023220022(2)(2)(23)(3)lim lim lim11(1)(1cos)22(44)(4)(84)(5)1lim lim333x x x x x x x xxx x xx x x xx xxe xe e e x e x e x e x ee x x x xx e x e x e x ex→→→→→+-+-++-++==--⋅-++-++===（2）1∞型极限的求解，先化简为型极限，再利用洛必达法则求解222221221arctan ln arctan lim lim121ln arctan 12limarctan 12lim (arctan )lim x x x xx x x xx xx x x x x x x eeeeeππππππ→+∞→+∞→+∞⋅+⋅⋅-⋅→+∞→+∞-⋅-+⋅=====（3）0∞型极限的求解，先化简为型极限，再利用洛必达法则求解00csc cot cot lim 1ln cot 1lim 1sin ln ln 0lim(cot )lim x x x x x x xxxxxx x x e ee e +→+→++---→→====（4）1∞型极限的求解，先化简为型极限，再利用洛必达法则求解 1111111110ln(ln ln ln )1111limln ln ln 1lim()lim ()x x x x x x x x x x a b c a b ca ab bc c x x x a b c a b cxxab cx x a a b b c ca b c a b ca b cab c ee a b cea b c +++++++++→+++++++++++⋅++++→→++++++++==++==（5）型极限的求解，直接利用洛必达法则求解 ln 2ln ln 111121[(ln 1)](ln 1)1limlim limlim211ln 1ln 11x x xx xx xx x x x e x x x e x ex x x x x x x x →→→→++--+-====---+-+- （6）1∞型极限的求解，先化简为型极限，再利用洛必达法则求解 1111111122222121111221112111ln ln ln ln 111lim1112lim ln lim lim x x x n n xxxn x x xn x x x a a a a a a n x x x a a a n n a a a nxx x x n nxnx x x a a a a a a eene→∞→∞⎛⎫---⎛⎫ ⎪⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅⎛⎫⎪ ⎪⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭-→∞→∞⋅+⎡⎤+++⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦=L L L L 112ln ln 12x x n n a a a na a a ⎛⎫ ⎪⋅++⋅ ⎪⎝⎭=L L 2.评论函数1(1),0()0,0xx x f x e x ⎧⎡⎤+⎪⎢⎥>⎪⎢⎥=⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪≤⎩在点0x =处的连续性解析：考查函数的连续性，只需证明0(0)lim ()x f f x →=解：已知(0)0f =01ln(1)lim00(1)1lim ()lim 1x x xxx x x f x e e e+→+++→→+==⋅=则函数在点0x =处不连续性。
重庆大学高等数学习题1-5
习题1-5 A 组1.求参数a 的值，使得函数24,2()2,2x x f x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩在点2x =处连续解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为00lim ()()x x f x f x →=解：本题中22224lim ()limlim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a =2.若函数(sin cos ),0()2,0x e x x x f x x a x ⎧+>=⎨+≤⎩是(,)-∞+∞上的连续函数，求a解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 解：已知(0)f a =lim ()lim(2)x x f x x a a --→→=+=，00lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a =3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =点处连续，求a 与b 的关系解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 解：已知(0)f a =20lim ()lim()x x f x a bx a --→→=+=，00sin sin lim ()lim lim x x x bx bxf x b b x bx+++→→→===则a b =4.求下列函数的间断点，并指出其类型 （1）2sin ()1x f x x =-（2）1()1x f x x -=-（3）2tan ()1x f x x =+ （4）20,0,01()42,134,3x x x f x x x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪≥⎩ 解析：考查间断点的类型，首先要找出间断点，一般为无定义点、无极限点和函数值不等于该点的极限值的点。
重庆大学2020年春季学期课程作业高等数学(II-1)
函数的间断点是（）。
A、oB、oC、oD、无间断点•收藏该题2、若，则的取值范围是（）。
oA、oB、oC、oD、•收藏该题3、设, 当从变到时，函数的增量为( ) 。
•oA、oB、oC、oD、•收藏该题4、( ) 。
•oA、oB、oC、oD、•收藏该题5、曲线所围平面图形的面积为( )。
•oA、oB、oC、oD、•收藏该题6、d( )=•oA、oB、oC、oD、•收藏该题7、函数，则（）。
oA、oB、1oC、oD、不存在•收藏该题8、函数在处的导数等于( )。
•oA、1oB、2oC、3oD、4•收藏该题9、是（）的一个原函数。
oA、oB、oC、oD、•收藏该题10、当时，下列函数是无穷小是( )。
•oA、oB、oC、oD、•收藏该题11、( )oA、oB、不存在oC、1oD、•收藏该题12、( )。
•oA、-1oB、1oC、oD、不存在•收藏该题13、三次曲线在处取极大值，点是拐点，则（）。
oA、oB、oC、oD、全部都错•收藏该题14、若，则（）。
•oA、1oB、-1oC、oD、•收藏该题15、若函数f(x)在点x o可导,下列说法错误的是( )。
oA、函数f(x)在点x o左导数存在oB、函数f(x)在点x o右导数存在oC、函数f(x)在点x o左右导数均存在oD、函数f(x)在点x o可导与左右导数是否存在无关•收藏该题16、下列式子中，正确的是（）。
•oA、oB、oC、oD、•收藏该题17、无穷多个无穷小量之和，则( )。
•oA、必是无穷小量oB、必是无穷大量oC、必是有界量oD、是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量•收藏该题18、=( )。
•oA、1oB、4oC、2oD、不存在•收藏该题19、下列函数在区间上单调减少的是（）。
•oA、oB、oC、oD、•收藏该题20、判断函数的极值点应该判断（）。
•oA、一阶导数为0的点和一阶导数不存在的点oB、二阶导数为0的点和二阶导数不存在的点oC、只判断一阶导数为0的点oD、只判断二阶导数为0的点•收藏该题21、区间[0,+∞)表示不等式( )。
重庆大学高数(工学下)期末试题一(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量a b ⨯与,a b 的位置关系是().(A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. 答案:(B).分析:,a b 的向量积a b ⨯是一个向量,其方向垂直,a b 所确定的平面.2. 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为().(A)6y = (B)6y x =- (C)y x =- (D)y x =知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D).分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有y x =满足方程,故应选(D).3. 累次积分⎰⎰=-2022x y dy e dx ().(A))1(212--e (B))1(314--e (C))1(214--e (D))1(312--e 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 答案:(C).分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得)1(214--e ,只能选(C). 4．设曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶连续偏导数,且(0)0,f =则=)(x f ().(A)2x x e e -- (B)2xx e e --(C) 12-+-x x e e (D)21xx e e +-- 知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答案:(B).分析: 由积分与路径无关条件,有[()]cos ()cos x f x e y f x y '-=-命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密()().x f x f x e '⇒-=-由结构看,C,D 不满足方程,代入,B 满足,A 不满足,选B.5. 设直线方程为1111220,0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0,A B C D B D ≠则直线().(A) 过原点 (B) 平行于z 轴 (C) 垂直于x 轴 (D) 垂直于y 轴 知识点：直线与坐标轴的位置关系,难度等级：1. 答案:(D).分析:方程2220,0B y D D +=≠表示垂直于y 轴且不过原点的平面,11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩表示的直线位于垂直于y 轴且不过原点的平面上,不平行于z 轴,不垂直于x 轴.6. 设∑为球面2224(0)x y z z ++=≥的外侧,则2yzdzdx dxdy∑+⎰⎰().=(A)354(B)354π (C)12 (D)12π知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,难度等级：2. 答案:(D).分析: 添有向平面221:0(4)z x y ∑=+≤取下侧,则124,yzdzdx dxdy zdV π∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰1228.Dyzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰故有结果为D.二、填空题(每小题3分,共18分)7.121lim(1)sin x y x y →→⎛⎫- ⎪⎝⎭__________.= 知识点：二重极限,难度等级：1. 答案:0. 证明:1(1)sin01x x y--≤- 0,ε∴∀>取,δε=只要0,δ<必有1(1)sin0.x yε--<121lim(1)sin 0.x y x y →→⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 8. 已知lim6,n n a →∞=则11()n n n a a ∞+=-=∑__________. 知识点：级数和,定义,难度等级：1. 答案:1 6.a - 分析: 部分和数列12231111()()() 6.n n n n s a a a a a a a a a ++=-+-++-=-→-9.2221___________,ds x y z Γ=++⎰其中Γ为曲线cos ,sin ,tttx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧.知识点：对弧长的曲线积分,难度等级：2. 答案21).e- 解:弧长的微分为tds dt ==,22222.tx y z e ++=于是2222011).ds x y z e Γ=-++⎰⎰10. 平面3x y z a ++=被球面2222x y z R ++=(0)R <所截得一个圆,则该圆的半径为__________.=知识点：平面,球面,半径,难度等级：1. 答案分析:该圆的中心在平面3x y z a ++=上,且三个坐标相等,中心坐标为(,,),a a a,11．设曲线积分 ,4 L 22⎰++-=yx xdyydx I 其中L 为椭圆,1422=+y x 并取正向,则__________.I =知识点：对坐标的曲线积分,难度等级：2. 答案:.π分析: 可取椭圆的参数方程计算.12. 设∑是球面222x y z R ++=在第一卦限部分,则2__________.x dS ∑=⎰⎰知识点：对面积的曲面积分,对称性,难度等级2. 答案:4.6R π分析:222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()22213x y z dS ∑=++⎰⎰ 224114.386R R R ππ=⋅⋅=三、计算题(每小题6分,共24分) 13. 求微分方程()0y xxe d y x xdy -=+的通解. 知识点：齐次微分方程,通解,难度等级1. 分析：齐次微分方程,作变量代换yu x=化为可分离变量的微分方程.解: 方程两端同除以,x 得()0.y xye dx dy x+-=令,y vx =则.dy vdx xdv =+ 代入上式,得0,ve dx xdv -= 即 0.vdx e dv x--= 积分之,得ln .v x e C -+=故原方程的通解为ln .y xx e C -+=14. 计算2(2)(3),y L x y dx x ye dy -++⎰其中L 由从)0,2(A 到)1,0(B 的直线段22=+y x 及从)1,0(B 到)0,1(-C 的圆弧21y x --=所构成.知识点：对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级：2. 分析：补充线段构成闭曲线用格林公式.解 :如图,添加一段定向直线,CA 这样L 与CA 构成闭路.设所围的区域为,D 于是根据格林公式得:2211(2)(3)55(211)24y L CA Dx y dx x ye dy dxdy π+-++==⋅⋅+⋅⎰⎰⎰15(1).4π=+ 则L⎰=.L CACA→+-⎰⎰又2221(2)(3) 3.y CAx y dx x ye dy x dx --++==⎰⎰故25(2)(3)5(1)32.44y L x y dx x ye dy ππ-++=+-=+⎰ 15. 计算22(),x y dS ∑+⎰⎰其中∑为抛物面222z x y =--在xoy 面上方的部分.知识点：对面积的曲面积分,难度等级：2.分析：直接将曲面积分化为二重积分,用极坐标计算二重积分. 解:∑在xoy 的投影为22:2,xy D x y +≤且= 于是22()x y dS ∑+⎰⎰22(xyD x y =+⎰⎰20220112(14(14)84149.30d r r πθππ==⋅+-+=⎰ 16. 计算333,x dydz y dzdxz dxdy ∑++⎰⎰其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧.知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,球面坐标,难度等级：2 分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解:333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ 2223()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222053sin 12.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(,)z f x u =具有连续的二阶偏导数，而,u xy =求22.zx∂∂难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数.分析: 按复合函数的偏导数的求法两次对x 求偏导数，即可求出22.z x∂∂ 解:x x u z f y f '''=+ 22.xx xx xu uu z f yf y f ''''''''⇒=++18．利用斯托克斯公式计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体[]⨯1,0[]⨯1,0[]1,0的表面所得的截痕,若从z 轴正向看去,Γ取逆时针方向.知识点：对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,难度等级：3 分析: 通过斯托克斯公式将曲线积分转化为对面积的曲面积分,注意积分技巧:可将方程代入被积函数.解: 如图,我们将平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分取为,∑于是∑的单位法向量.n e =由斯托克斯公式得:dS y x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222cos coscos γβα ().x y z dS ∑=++ 观察上述积分,由于在∑上有3,2x y z ++=根据第二型曲面积分的计算公式,故396(6)().42xyxyD D I dS S ∑=-=-=-=-=-其中xy D 是∑在xOy 坐标平面的投影区域,而xyD S 为xy D 的面积.五、 证明题(每小题6分,共12分)19．试证:,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处偏导数存在,但是不可微.知识点：二元函数偏导数、可微,难度等级：1分析:先求出(0,0),(0,0)x y f f 然后说明(0,0)(0,0)x y z f x f y ∆-∆-∆不是比ρ更高阶的无穷小量就可以了.证明 : 0(,0)(0,0)lim 0(0,0);x x f x f f x∆→∆-==∆同理, (0,0)0.y f =则2200limlim.()()x x y y zx yx y ρρ→∆→∆→∆→∆→∆∆∆==∆+∆ 但是此极限不存在,故(,)f x y 在(0,0)处不可微.20. 证明:级数2(!)nn x y n ∞==∑满足方程0.xy y y '''+-= 知识点：幂级数,微分方程,难度等级：2. 分析：直接用幂数代入微分方程验证.证明: 因为20,(!)n n x y n ∞==∑所以122212(1),.(!)(!)n n n n nx n n x y y n n --∞∞==-'''==∑∑ 212222101122222111221(1)(!)(!)(!)(1)11(!)(!)(!)!(2)!!(1)!!!n n n n n n n nn n n n n nn n n n n x nx x xy y y x n n n n n x nx x n n n x x x n n n n n n --∞∞∞===--∞∞∞===--∞∞∞===''-'''+-=+--=++--=+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 21111(1)!(1)!(1)!!(!)(1)(1)(1)!!0n n nn n n nn x x x n n n n n n n xn n ∞∞∞===∞==+-+-++-+=+=∑∑∑∑∴方程0xy y y '''+-=成立.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设球在动点(),,P x y z 处的密度与该点到球心距离成正比,求质量为m 的非均匀球体2222x y z R ++≤对于其直径的转动惯量． 知识点：立体的转动惯量,难度等级：2. 分析：利用转动惯量公式,球坐标计算三重积分.解:设球体方程为2222:,x y z R Ω++≤密度函数ρ=则球体的质量为:234(,,)sin Rm x y z dxdydz k k d d r dr k R ππρθϕϕπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以,密度函数为ρ=计算该球体绕z 轴转动的转动惯量:22224235232240()(,,)(24sin sin 39Rm I x y x y z dxdydz xy R m d d r dr mR d mR R πππρπθϕϕϕϕπΩΩ=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22．将质量为m 的物体垂直上抛,假设初始速度为0,v 空气阻力与速度成正比(比例系数为k ),试求在物体上升过程中速度与时间的函数关系.知识点：微分方程的初值问题,难度等级：1 分析: 只需将二阶导数表示出来就可证之.解: 根据条件,空气阻力为.kv 于是物体上升过程中受力为()kv mg -+(其中负号表示力与运动方向相反),而运动加速度为.dva dt=因而得微分方程 .dv m kv mg dt=-- 又知初始速度为0v ,故得初值问题0,(0).dv kv g dt mv v ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ 因此000000(1.)()()ttkkkk k k dtdtt t t t tm m mm m mgm mg v egedt v ee v e v e k m k kg -----⎰⎰=-+=+-+=+⎰。
重庆大学高数(下)期末试题四(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设,,a b c 满足条件,a c b c ⋅=⋅则().(A) a c = (B) a b c =- (C) b c = (D) ()a b c ⊥- 知识点:向量的运算.难度等级:1. 答案:(D)分析:由a b a c ⋅=⋅得()0a b c ⋅-=,,,a b c 都非零,所以()a b c ⊥-. 2. 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12,x x y C e C e -=+其中12,C C 为独立的任意常数.则该方程为().(A)xy y e ''-= (B) 20y y ''-=(C)0y y ''+= (D)0y y ''-= 知识点:微分方程通解,微分方程,难度等级:1. 答案: (D)分析:由通解中的两个独立解,x x e e -知.方程对应的特征方程的特征根为121, 1.λλ==-因此对应的特征方程是2(1)(1)10.λλλ-+=-= 于是对应的微分方程应是0.y y ''-=故应选(D).3. 设222: (1)1,x y z Ω++-≤则2[23]x xyz dV Ω+-⎰⎰⎰().=(A)0 (B)3π (C)3π- (D)4π- 知识点:三重积分,对称性,难度等级:2. 答案:(D)分析: 积分区域关于yoz 面对称.22x xyz +为关于x 的奇函数.积分值为0,余下为3-倍体积.球体体积为4/3,π故选D. 4．设有曲线积分22,4Lydx xdyI x y -+=+⎰其中L 为不过原点的光滑闭曲线,并取正向,则I 的值为().命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密(A)0 (B)2π (C)2π- (D)π 知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2. 答案:(D)分析: 由于内部含有不连续点.不能直接用格林公式.设曲线L 到原点最小距离为2,a 取曲线222:4C x y a +=的顺时针方向.与曲线L 构成闭区域.在该闭区域上使用格林公式.结果为0.故22222222cos sin 22.4C a a ydx xdy I d x y aπθθθπ-+-+===+⎰⎰选D.5. 经过两平面4310,x y z -+-=520x y z +-+=的交线作平面,π并使π与y 轴平行的方程为(). (A) 142130x y --= (B) 211430x z -+= (C) 211430x z +-= (D) 211430x z ++= 知识点:平面方程,平面束.难度等级:2. 答案:(C)分析:设平面π的方程为52(431)x y z x y z λ+-++-+-=即(14)(5)(31)20.x y z λλλλ++-+-+-=当5λ=时211430x z +-=与y 轴平行.6. 设()f u 具有连续导数.∑是曲面22z x y +=与228z x y --=所围成立体表面之外侧.则zdxdy dzdx yxf x dydz yx f y++⎰⎰)(1)(1=().(A) 16π (B) 16π- (C) 8π- (D)因()f u 未知.故无法确定.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:2. 答案:(A)分析: 利用高斯公式可得积分为所围成立体体积.48416,yyD D V dy dxdz dy dxdz π=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰选A.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设函数10()0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩在[],ππ-上的傅立叶级数的和函数为(),s x 则(4)s π=__________.知识点:傅里叶级数,和.难度等级:1. 答案:1.2分析:傅立叶级数的和函数为()s x 是以2π为周期的周期函数.(00)(00)1(4)(0).22f f s s π-++=== 8. 设∑为平面1x y z -+=在第四卦限的上侧.(,,)f x y z 为连续函数.则[(,,)]d d [2(,,)]d d [(,,)]d d ______.f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑+++++=⎰⎰知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:3. 答案:1.2分析:原积分{}}[(,,)],[2(,,)],[(,,)]1,1,1f x y z x f x y z y f x y z z dS ∑=+++-⎰⎰)1.2xyD x y z dS dxdy ∑=-+==⎰⎰9. 曲线z xyy ==⎧⎨⎩1在点(2,1,2)处的切线与x 轴正向所成的倾角为__________.知识点:曲线的切线,夹角.难度等级:2. 答案:.4π分析:曲线z xyy ==⎧⎨⎩1在点(2,1,2)处的切线与x 轴正向所成的倾角θ的正切为z xy =在点(2,1处关于x 的偏导数的值.即(2,1)(2,1)tan 1,z y x θ∂===∂所以.4πθ=10. 设L 是从点() 0, ,ππe e A -沿曲线cos , sin , t tt x e t y e t z e ===到点()1 , 0 , 1B 的弧段, 则第一类曲线积分()222 LI x y z ds =++⎰的值为__________.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案:()31.3e π- 分析: ()22222 0 (t t t L I x y z ds e e dtπ=++=+⎰⎰)31.e π=- 11. 由曲线2,2y x y x ==+所围成的平面薄片其上各点的面密度为21,x μ=+则此薄片的质量M 为__________. 知识点:薄片的质量,难度等级:2. 答案:153.20分析:密度函数为被积函数.积分区域为曲线所围.故222221153(1)(1).20x Dx M x dxdy dx x dy +-=+=+=⎰⎰⎰⎰ 12. 设积分曲面∑是球面222:2,x y z az ++=则曲面积分222()_____.x y z d S ∑++=⎰⎰ 知识点:对面积的曲面积分,难度等级:2. 答案:48.a π分析:由于投影面有重叠.需将球面分为上下两个半球面计算.12,∑=∑+∑1:∑z a =2:z a ∑=在曲面上被积函数等于2,az 计算合并化简得二重积分2222448.x y a a a π+≤=⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题00430,6,10x x y y y y y ==''''-+===的解.知识点:二阶线性常系数微分方程的初值问题,难度等级:1. 分析:求特征根,写出通解,再求特解.解: 特征方程为2430,λλ-+=其根121,3,λλ==故通解为123.x x y C e e C =+代入初值条件可解得124, 2.C C ==从而特解为342.x x y e e =+14. 求幂级数2211(!)(2)!n n n xn +∞=∑的收敛域.知识点:幂级数的收敛域,难度等级:2 分析:比值法.并讨论端点的敛散性.解: 2232221((1)!)(22)!lim lim 1(!)4(2)!n n n n n x x n n x n ++→∞→∞++=< 2.x ⇒<当2x =时,221221111(!)(!)2(2)!!2(2)!(2)!(21)!!n n n n n n x n n n n n ++∞∞∞=====-∑∑∑通项极限不为0故发散.幂级数2211(!)(2)!n n n x n +∞=∑的收敛域为 2.x <15.过两平面0134=-+-z y x 和025=+-+z y x 的交线作一平面π过点(1,1,1), 求该平面方程.难度等级：2；知识点：空间解析几何. 分析： 写出过已知直线的平面束方程. 解： 设所求的平面方程为 431(52)x y z x y z λ-+-++-+= (1) 将点)1,1,1(代入(1)得57λ=-.将57λ=-代入(1)得 所求的平面方程为233226170x y z -+-=.16. 计算2(),I z x dydz zdxdy ∑=+-⎰⎰其中∑是抛物面)(2122y x z +=介于0=z 及2=z 之间的部分的下侧.知识点:对坐标的曲面积分. 难度等级:3分析:直接计算,化曲面积分为 二重积分.解 : 首先,计算2(),z x dydz ∑+⎰⎰其中12,∑=∑+∑1:x ∑=前侧;2:x ∑=后侧.2()zx dydz ∑+⎰⎰2z =(-y12()z x dydz ∑=++⎰⎰⎰⎰∑+2)(2dydz x z ⎰⎰⎰⎰---+-+=yzyzD D dydz y z z dydz y z z))(2()2(222222222224.yz D y dyπ-===⎰⎰⎰⎰其次,2222211()()4.22xyD zdxdy x y dxdy d rrdr πθπ∑-=-+-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是,8.I π=四、解答题(每小题6分,共12分)17．设曲线积分[]⎰-+L dy x x xf dx x yf 2)(2)(在右半平面)0(>x 内与路径无关,其中(),(1)1,().f x f f x =可导且求知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程. 难度等级:2分析: 利用积分与路径无关的条件得微分方程. 解:由积分与路径无关的条件知:[]2()2(),yf x xf x x y x∂∂⎡⎤=-⎣⎦∂∂ 即有1()() 1.2f x f x x'+=解上面的微分方程得()f x C =+将1)(=x f 代入上式得1.3C =所以1()2).3f x x =+18．设为不自交的光滑闭曲线.求[]sin().grad x y z dr Γ++⋅⎰知识点:梯度,曲线积分向量表示.难度等级:2分析: 斯托克斯公式解: .记是以为边界的任意光滑曲面,其正侧与的正向按右手法则确定.应用斯托克斯公式.可得.五、证明题(每小题6分,共12分)19．设函数z f x y =(,)在P x y 000(,)处有连续的偏导数.证明它在P 0处沿等值线的切线方向的方向导数为零. 知识点:等值线,方向导数,难度等级:2分析:等值线(,)f x y C =上一点000(,)P x y 处的法向量为(,),x y f f 所以切向量为(,).y x f f -由方向导数的计算公式0z z a a∂=∇⋅∂即可得到结Γ[sin()]cos()()grad x y z x y z i j k ++=++++∑ΓΓ[sin()]cos()()grad x y z dr x y z dx dy dz ΓΓ++⋅=++++⎰⎰0000dydz dzdx dxdy ∑=++=⎰⎰论.证明:函数z f x y =(,)的等值线(,)f x y C =上一点P x y 000(,)处的法向量为(,),x y f f 所以切向量为(,).y x a f f =-z f x y =(,)沿此方向的方向导数为(,)(,)0.y x x y f f z z a f f a a a∂=∇⋅=⋅-=∂ 20. 设)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数.且0()lim 0.x f x x →=证明级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛11n n f 绝对收敛. 知识点:极限,泰勒中值定理,比较判别法.难度等级:3 分析:由已知0()lim0x f x x→=可得(0),(0)f f ',利用泰勒中值定理建立函数()f x 与零点间的关系.证明:1. 0()lim0x f x x→= 0()(0)lim ()lim0.x x f x f f x x x→→⇒==⋅= 00()(0)()(0)limlim 0.x x f x f f x f x x∆→→∆-'⇒===∆ ⇒由泰勒中值定理.存在1(0,),nξ∈使得2111()(0)(0)().2f f f f n n nξ'''=++ 211()().2f f n nξ''⇒≤2.又)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数.故存在0,M >使得().f x M ''≤2211().22Mf M n n n ⇒≤=⇒级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛.六、应用题(每小题8分,共16分)21. 在均匀的半径为R 的半圆形薄片的直径上, 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上, 问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？知识点:质心,难度等级:2分析:根据已知条件建立恰当坐标系.要求可得一方程.解方程可得结果解:设所求矩形另一边的长度为,H 建立坐标系, 使半圆的直径在x 轴上, 圆心在原点. 不妨设密度为31/.g cm ρ=由对称性及已知条件可知0,x y ==即0.Dydxdy =⎰⎰从而0.RRHdx ydy --=⎰即3221[()]0,2RR R x H dx ---=⎰亦即32210.3R R RH --=从而.H =因此,. 22．求原点到曲线221x y zx y z ⎧+=⎨++=⎩的最长和最短距离.知识点:条件极值.难度等级:3分析: 先写出目标函数.即曲线上的点(,,)x y z 到原点的距离.然后用拉格朗日乘数法可得条件极值点.解:原点到曲线上点(,,)x y z 的距离d =需要求出222x y z ++在221x y zx y z ⎧+=⎨++=⎩下的极值.令L =22222()(1),x y z x y z x y z λμ++++-+++-则由拉格朗日乘数法得2222022020.010x y z L x x L y y L z L x y z L x y z λμλμλμλμ⎧=++=⎪=++=⎪⎪=-+=⎨⎪=+-=⎪⎪=++-=⎩解方程组得驻点12x y ==-此时2z =d及驻点12x y ==-此时2z =.d。
重庆大学高数工学下资料期末试题十二含答案资料全
重庆大学《高等数学(工学类)》课程试卷20 —20 学年第学期答案:C.题号-一一二——三三四五六七八九十总分得分考试时间: ___ 120 分开课学院：数统学院课程号: 考试日期: ___________弊作绝拒、纪考肃严、信守实诚、争竞平公室教试考名姓号学级年班、业专院学考试提示1. 严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试；2. 考试作弊，留校察看,毕业当年不授学位；请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等，属严重作弊，开除学籍.2.曲线x sect, y csct,z sectcsct在对应于t —点处的切线方程4是()•(A)拧¥ 22 z 2(B)x、+晋(C)：22Z2 (D)x22育晋难度等级：1;知识点：多元微分学的几何应用答案:B.分析：t —时切点为G 2 '-2 2),切向量a (、-2、• 2,0).所以切线4方程为x二1 2三二.与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选(B).1 0、选择题(每小题3分,共18分)1.设Z x y x, 则-( ).xx(A)y x x y 1 (B) y x In xln y 丄xx(C) y x x y In x In 1 y _x(D) x 1x y iy x In x — x难度等级：2;知识点：偏导数t2t3、3.物质沿曲线:x t, y —,z — (0 t 1)分布,线密度为 2 3它的质量为().1 1A 0 t1 t2 t4dt (B) 0 -1 t2 t4dt(C) :t、1 t2 t4dt (D) :t2.1 t2 t4dt难度等级：2 ;知识点：第一类曲线积分的应用答案:C.组题人.审题人.命题时间教务处制则分析：化为疋积分,被积函数为只有C 符合. 4.设rm 2, n 1r m与 n 的r , r r r r J r r r—,a = 4m 2 n, b m 2n, c2m 3n ,则r 2 ar r 3(a b) 2(b c ：)1 ( ). (A) 126(B) 102 (C) 103(D)104难度等级：1 ；知识点：二重积分 答案：(A)分析：四个选项都是先 y 后x 的积分顺序，曲线求交点得为(1,1),(2,4),积分区域为1 x 2,x 2 y x 2,显然(D)不符合,(C)下限小于上限不符合,(B)积分限不对，只有(A)符合. 6.设积分曲面为球面X 2 y 2 z 2 R 2的外侧，贝y难度等级：2 ;知识点：向量代数 答案：(D) 分析：「2 a(4rn n )2儲28mn n n 216 22 0 165r r , r r 、, r r 、 r 2 r r 小r 2朋a b (4 mn) (m2n) 4m7m n 2n 4 20 214r b c (mn2n)(2rm 3n) 2rri 2 2mn n 6n 2 2r 2 _r r r ra 3(a b) 2(b c)1 65 3 142 2 1 104x 2和y( 5.设积分区域D 由y 2 x 2(A) 1dx x 2f(x, y)dy1 x 2(C) 2dx 2f(x,y)dyx 2 围成，则 f (x, y)dD2 2(B) 1dx 0 f(x, y)dy 1 x 2(D) 0dx 2f (x,y)dy).O(X 2 z 2)3(xdydz ydzdx zdxdy)).(A) 0 (B)4 (C) 4 R 2(D) £ R 3难度等级：2;知识点：对坐标曲面积分的计算，高斯公式答案：(B).分析：先将 的方程代入被积函数，然后使用高斯公式，故选 B.二、填空题(每小题3分,共18分)7.极限难度等级：2;知识点:多元函数极限答案4分析:可通过分母有理化和等价无穷小的代换约去分母上的无穷小量,使分母的极限不为零.解：讪―y sin2x_ 1计网"2«6 1 4.xy 0J xy 1X0 xy8. 函数z 2x3 4xy y2 2x的驻点为_______________ . 答案：!，,1,2.3 3难度等级：1；知识点：多元函数极值分析:驻点处函数的偏导数等于0.2解:由Z x 6x 4y 20解得驻点：丄，2 , 1, 2 . z y 4x 2y 0 3 3 9. 设空间区域：x2 y2 z2 R2,则T x2~y2~ dV,难度等级：2;知识点:三重积分答案：R4.难度等级：1；知识点:旋度答案：一一x y2z 3y 3x z11. 设f(x) x4e x2,则f(69) (0)难度等级：2;知识点:函数展开成幕级数答案：0.n 2n分析：f (x) x4e x x4------- x f(69) (0) 0.因为 f (x) X4e X 幕n 0 n!级数的x69的系数为0.12. 设％(x),y2(x),y3(x)是线性微分方程y P(x)y Q(x)y f (x)的三个线性无关的解，则微分方程的通解是_________ .难度等级：1;知识点：二阶非齐次线性微分方程的通解答案：G(%(x) y3(x)) C2(y2(x) y3(x)) y3(x).类似的也可.分析:由二阶线性微分方程通解的结构定理，y.(x) V3(x)与分析：:0 2 ,0,0r R,2 2-x y z2dv 二dR2d r r sin drR4.10.设向量场v A (2zv3y)iv3x z j y 2x k,则旋度rotA Y2(x) y3(x)是齐次微分方程y P(x)y Q(x)y 0的解，因此原方程的通解为G(%(x) y3(x)) C2(y2(x) y3(x)) y3(x).三、计算题(每小题6分,共24分)y 2x=2V4V 6,113.判断级数r(a 0)的敛散性.n 1 1 a难度等级：2;知识点:敛散性的判别分析:对参数进行讨论.M (x o, y°,Z o)处相切•难度等级：2 ;知识点：曲面的切平面•分析F(x,y,z) 0在点(x o,y o,z o)处的切平面的法向量为n (F x,F y,F z)，两曲面在M(X o,y°,Z o)相切，说明法向量平行，且14.求微分方程xy y y2满足初始条件y— 1的解•难度等级：2;知识点：一阶线性微分方程.分析：方程为n 2的贝努利方程的初值问题•这是n 2的贝努利方程，在原式两边同除以xy2得丄dy丄y dx xydz 1zdx x 时针方向•解：(1) 0 a 1,lim 乙n1 a 1^ 1J n im T J7 I故级数发散M(X o,y o,z。
2020年春季学期课程作业高等数学(II-1)第2次13616540-重庆大学网络教育学院-参考资料
重庆大学网络教育学院-2020年春季学期课程作业高等数学（II-1）第2次-参考资料
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一、单项选择题 (共 30 题、63 / 90 分 )
1、
若，则的取值范围是（）。
A、
B、
C、
D、
参考答案是：A
2、
骆驼被称为“沙漠之舟”，其体温随时间的变化而变化，则下列量可以视为常量的是（）。
A、
气温
B、
体温
C、
时间
D、
骆驼的体重
参考答案是：D
3、
在定义区间的最小值是（）。
A、
B、
C、
1
D、
不存在
参考答案是：D
4、
曲线所围平面图形的面积为( )。
A、
B、。
高等数学(II-1)
D. 4
重庆大学网络教育学院
76. 数列
的极限为（ ）。
A. 1
B. -1
C. 0
D. 不存在
77. 区间[0,+∞)表示不等式( )。
A.
B.
C.
D.
78. 若函数 在某点 极限存在，则（ ）。
A.
在 的函数值必存在且等于极限值
B.
在 函数值必存在，但不一定等于极限值
C.
在 的函数值可以不存在
D. 如果
的反函数为_____。 ， ______ 。
所围成的图形的面积为______
38.
______
39. 已知 40. 曲线
,则
______。
在 处的切线方程为______
四、计算题（本大题共 0 分，共 20 小题，每小题 0 分）
1. 判定曲线
的凹凸性。
C. 单调函数
D. 周期函数
54. 关于不定积分的性质，下列表述错误的是 ( ) 。
A.
B.
C.
D.
55. 设 在
的左右导数存在且相等是 在
A. 充分必要的条件
B. 必要非充分的条件
C. 必要且充分的条件 D. 既非必要又非充分的条件
56. 函数
A. 单调增加 B. 单调减少 C. 有界
在定义域内（ ）。
4. 单调有界数列必有极限。（ ）
5. 任意两点割线的斜率大于其中一点切线的斜率.（ ）
6. 函数的极值点一定是函数的驻点。
7. 两个无穷小量的和是无穷小量。
8. 由参数方程确定的函数具备函数的两个要素。(
)
9. 若
，则
。（）
10.
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第3次作业
一、填空题（本大题共40分，共 10 小题，每小题 4 分）
1. 写出级数的通项为： ______ 。
2. 级数的敛散性为 ______ 。
3. 函数的定义域为 ______ 。
4. 设平面通过点（1，3，-2），且垂直于向量
，求该平面的方程。
5. 由曲线绕y轴一周所得的旋转面方程为 ______ 。
6. 设，且函数f可微，则
______
7. 已知D由及x轴围成，则
______ 。
8. 过点(3,0,－1)且与平面平行的平面方程为 ______ 。
9. 一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程。
10. 设，其中
具有连续的二阶偏导数， ____________。
二、计算题（本大题共40分，共 8 小题，每小题 5 分）
1. 判断级数的敛散性。
2. 利用二重积分的性质估计
(其中是
矩形区域 )的值。
3. 求曲面在点(1,1,2)处的切平面和法线方程。
4. 求两平面，
的夹角。
5. 已知三角形ABC的顶点是A(1,2,3),B(3,4,5), C(2,4,7)，求三角形的面积。
6. 求微分方程满足的
特解。
7. 求的所有二阶偏导数。
8. 把对坐标的曲线积分
化成对弧长的曲线积分，其中L为 (1)在 xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； (2)沿抛物线
从点(0,0)到点(1,1)； (3)沿上半圆周
从点(0,0)到点(1,1)。
三、证明题（本大题共20分，共 2 小题，每小题 10 分）
1. 证明：若数列收敛于a,则级数。
2. 设级数和收敛, 证明级数
收敛。
答案：
一、填空题（40分，共 10 题，每小题 4 分）
1.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
2.
参考答案：
发散
解题方案：
评分标准：
3.
参考答案：
解题方案：评分标准：
4.
参考答案：
解题方案：评分标准：
5.
参考答案：
解题方案：评分标准：
6.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
7.
参考答案：2
解题方案：评分标准：
8.
参考答案：
解题方案：评分标准：
9.
参考答案：
解题方案：评分标准：
10.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
二、计算题（40分，共 8 题，每小题 5 分）
1.
参考答案：
该级数尽管是一个交错级数，但是容易验证，该级数的通项极限为1，根据级数收敛的必要条件可知，该级数是发散的。
解题方案：
评分标准：
2.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
3.
参考答案：
解题方案：
4.
参考答案：
解题方案：评分标准：
5.
参考答案：
解题方案：评分标准：
6.
参考答案：解题方案：
7.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
8.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
三、证明题（20分，共 2 题，每小题 10 分）
1.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
2.
参考答案：
解题方案：评分标准：。