第一章,证明
第一章 证明(二)
第一章证明（二）1. 你能证明它们吗（一）第一章证明（二）第一章证明（二）2．直角三角形（一）2．直角三角形（二）1．3 线段的垂直平分线（1）设计人：刘庆飞郭靖杜彩艳刘杰◇教学目标：1．要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题。
2．能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。
3．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。
◇教学重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理。
◇教学难点：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。
◇教学方法：引导探索◇教学过程：一、知识回顾什么是线段的垂平分线？二、学习新知识（一）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等1．让学生把准备好的方方正正的纸拿出来，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和E’B、FB和F’B的关系。
2．让学生说出他们观察猜测的结果是什么，并评价指正他们的结论。
3．证明猜想让学生把文字语言变成数学语言，根据图形写出已知和求证并证明。
4．选取证明完成地较好和较差的两位同学到黑板上板演自己的证明，其他同学在练习本上完成。
（针对两位同学的板书讲解证法，规范学生的证明过程，培养学生的逻辑思维能力）5．师生共同总结出线段垂直平分线的性质定理（二）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上让学生写出以上命题的逆命题，类比原命题画出图形、写出已知和求证并证明该逆命题，（之后教师评价指正证明过程）师生总结得：线段垂直平分线逆定理：（三）用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB 求作：线段AB 的垂直平分线。
作法：1、分别以点A 和B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ，2、作直线CD 。
直线CD 就是线段AB 的垂直平分线。
请你说明CD 为什么是AB 的垂直平分线，并与同伴进行交流。
（1、到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上2、两点确定一条直线）说明：因为直线CD 与线段AB 的交点就是AB 的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点。
九年级数学(上册)第一章
想一想: 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等?
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不驶向一胜定利 全
等.
的彼岸
如果其中一边的所对的角是直角呢?
如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.
请证明你的结论.
我能行 1
命题的证明
命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等.
BD=CD,DF=DE均为已知.因此, △ABC是等腰三角形可证. 驶向胜利
老师期望:
的彼岸
请将证明过程规化书写出来.
独立作业 2
习题1.5
2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂
C
足分别为E,F,DE=BF.
D
求证:(1)AE=AF;(2)AB∥CD.
F E
分析:(1)要证明AE=CF,
A′
三条边也对应相等. 你 如能图分,在别△写AB出C它和们△的A证′B′明C′中过,程∠吗C?=∠C′=900 ,
要切证记明 !!!命△题AB:两C≌边△及A其′B中′C一′ ,只边要的能对满角足对公应理相(等SS的S两),(S个A三S)角,(A形SA不)和一推定论全(等A.AS)中的一个即可.
老师期望:你能写出它的证明过程吗? 你能用根据上面的证明用文字写出一个结论吗?
B′
′ 要证明△ABC≌△A′B′C′ ,只要 命 请题分:别两将边每及个其判中断一的边证的明对过角程对书应写相出等来的.两个三角形不一定全等.
你一能条用 直根角据边上和面另的一证条明直用角文边字上写的出中一线个对结应论相吗等的? 两个直角三角形全等.
能满足公理(SSS),(SAS),(ASA) 如就图需:要在证已明知A∠BA=AOCB;的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;
第一章 什么是组合数学
当n为偶数时：
f(n)=
当n为奇数时：
f(n)=
证明：因为f(n)为2行n列的多米诺牌覆盖的棋盘。
所以当n为偶数时：
当所有多米诺牌都竖放时，有 种方法。
当只有1个（并列2个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
(1)当切除的方格位于奇数与奇数的位置时，因为m为奇数则m-1为偶数，因此除去方格所在的行，分成的剩余棋盘的行必然为偶数。所以该部分一定能完美覆盖；而方格所在的行数为1，列数为n-1为偶数，所以该部分也能被完美覆盖。因此，当切除的方格位于奇数行奇数列交叉处时剩下的棋盘可被完美覆盖。
（2）当切除的方格位于偶数行与偶数列交叉处时，以被切除的方格为中心分割出其周围紧邻的方格作为一部分，则该部分一定能被完美覆盖，而剩余部分经过分割必然会分成行与列至少有一个偶数的各部分棋盘。因此该各部分也能被完美覆盖。因此，当切除的白色方格位于偶数行与偶数交叉处时，剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
综合（1）（2），则如果切除棋盘上的任意一个白色方格，那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
3.解：犯人不能得到自由。
假设囚室为一张8行8列且由黑白方格构成的棋盘，设左上角方格为白色，则对角位置方格也为白色。如果从左上角白色方格能够依次通过每个方格到达右下角的白色方格，则需要跨越63次，然而左上角白格到白格需要跨越偶数次。因此假设于事实矛盾。所以，犯人不能得到自由。
当只有2个（并列4个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
当只有3个（并列6个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
……
当最多只有n/2个（并列即：f(n)=
同理:当n为奇数时：
第一章 逻辑与证明(2)
15
NEC-DM
p
T T T F T F F F
q
T T F T F T F F
r
T F T T F F T F
q∨r
p → (q∨r)
¬q
¬r
¬p
p → (q∨r) ¬q ¬r _________ ¬p
注意到：当p → (q∨r) ，¬q ， ¬r 三 个命题都为T的时候，¬p也为T，因此本 论证有效。
NEC-DM
例
假设d、d1、d2 和x 是任意实数 if d=min(d1,d2) and x ≤d then x ≤d1 and x ≤d2 证明：根据min 的定义可以推出d ≤ d1 并且d ≤ d2。 依x ≤ d 并且d ≤ d1，可以根据前面的定理（例 1.5.5 的第二个定理）推出x ≤ d1。由于x ≤ d 并且d ≤ d2，可以根据前面的同一个定理推出 x ≤ d2。因此，x ≤ d1 并且x ≤ d2。
2
NEC-DM
1.5.2 命题逻辑的有效论证
从一系列前提得出结论的方法称为演绎推理。 前提：已知的命题系列 结论：由假设得出的结论
结论从前提导出 结论为真 任何论证过程都有形式： 如果p1并且p2并且…并且pn, 则q。 论证有效在于形式不在于内容
3
NEC-DM
定义
一个论证过程是一系列的命题， p1,p2,…,pn/∴q p1,p2,…,pn称为前提，命题q是结论 如p1,p2,…,pn全为真，则q也必为真， 那么论证有效；否则论证过程是无 效的
假设３段论
p q pq
析取３段论
化简
附加
pq p
p pq
pq qr pr
pq p q
8
九(上)第一章：证明(二)试题
第一部分：基础复习九年级数学(上)第一章：证明(二)一、中考要求：1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力．2．进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义．3．了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质、定理及判定定理．4．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立．5．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线；已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2012、2013年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:(二)中考热点：新课标对本章的要求不高，但比较简单的几何证明题仍是2014年中考的热点题型三、中考命题趋势及复习对策本章主要考查对命题、定理等概念的理解及运用定义、定理证明问题的过程，在中考题中以证明题的形式出现，一般占5～7分，因此同学们在复习时应注意认真理解概念，分清题目的条件和结论，正确地写出证明过程。
★★★(I)考点突破★★★考点1：利用定理证明一、考点讲解：公理1、一直线截两条平行线所得的同位角相等，公理2．两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行．公理3．若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等．公理4．全等三角形的对应边相等，对应角相等．定理1.平行线的性质定理：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补．定理2．平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行．定理3．三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和等于180°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．定理4．直角三角形全等的判断定理：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等．定理5．角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）定理6．垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）定理7．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．定理8、等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质和判定定理．二、经典考题剖析：【考题1－1】（深圳南山）如图l－l－1，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点．（1）求证：AF⊥DE；（2）求证：FH= GH．证明：【考题1－2】（湛江） 在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD+BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明..三、针对性训练：1．如图1－1－4，Rt △ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高；DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则图中与∠C （除∠C 外）相等的角的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．如图1－1－5，△ABC 中，△ABC 和△ACB 的外角平分线交于点O ，设∠BOC=α，则∠A 等于（）.90-2 B.90-2.180-2 .180-2A C D αααα3．如图1－1－6，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ，以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可作出（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个4．如图1－1－7，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边， △ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP 重合， 如果AP=3，那么PP ′的长等于（ ） A ．3 B ．2 3 C ．3 2 D ．45．如图1－1－8，在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，点D 、E 、F 分别是三边的中点，且CF=2 cm ，则DE= _________cm ．6、如图1－1－9，在△ABC 和△DEF 中，已知AB=DE ，要使△ABC ≌△DEF ，根据三角形全等的判定定理，还需添加条件______________（填上你认为正确的一种）．7．在方格纸上有一个△ABC ，它的顶点位置如图1－1－10所示，则这个三角形是________三角形．8．如图1－1－1 所示，把△ABC 绕点C 顺时针旋转 35°，得ΔA ′B ′C ′交AC 于点D ，若∠A ′DC=90o，则∠A=__________.9．如图1－l－12，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为14，BC=6，则AB长为______________.10 如图1－1－13，在△ABC中，∠BAC=90 在，延长BA 到D，使AD=12AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG．考点2：命题一、考点讲解：1．命题的组成：命题由条件和结论两部分组成．2．命题的形式：命题的形式通常写成“如果……，那么……”的形式．3．真命题与假命题：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题（注意：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题〕二、经典考题剖析：【考题2－1】（湖南长沙）请用“如果…，那么……”的形式写一个命题：_________________.【考题2－2】（南宁）如图1－1－14，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）①AE=AD ②AB=AC③OB=OC ④∠B=∠C【考题2－3】（江苏盐城）下列命题中，假命题是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．菱形的对角线相等且互相平分三、针对性训练：1．下列命题中，真命题是（）A．面积相等的两个三角形是全等三角形B．有两边及一组对应角相等的两个三角形全等C．全等三角形的周长相等D．有一条直角边对应相等的两个三角形全等2．下列命题中正确的是（）A．实数是有理数B．无限小数是无理数C．数轴上的点与有理数一一对应D．数轴上的点与实数一一对应3．下列命题为假命题的是（）A．等腰三角形的两腰相等B．等腰三角形的两底角相等C．等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合D．等腰三角形是中心对称图形4．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的是（）A．全等三角形的对应角相等B．两个图形关于轴对称，则两个图形是全等形C．等边三角形是锐角三角形D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.5．如图1－1－15，在△ABC中，CD⊥AB，请你添加一个条件，写出一个正确的结论（不在图中添加辅助线）条件：_____________________________________ 结论：_____________________________________6．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是__________________________. 7．如图1－1－16，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，给出5个论断：①CD⊥AB；②BE⊥AC；③AE=CE；④∠ABE＝30°；⑤CD=BE⑴如果论断①、②、③、④都成立，那么论断⑤一定成立吗？答：________________________.⑵从论断①、②、③、④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是________________．（只需填论断的序号）⑶用⑵中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明．考点3：尺规作图一、考点讲解：1．五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；作三角形．2．尺规作图要求：了解尺规作图的步骤，会写已知、求作和作法（不要求证明）．二、经典考题剖析：【考题3－1】（湖北宜昌）如图1－l－17，已知△ABC，（1）作∠B的角平分线（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)（2）若∠C=90○，∠B=60○，BC=4，∠B的平分线交AC于点D，请求出线段BD的长．三、针对性训练：1．利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（）A．已知三边B．已知两边及夹角C．已知两角及夹边D.已知两边及其中一边的对角2．用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（）A．已知两条直角边B．已知两个锐角C．已知一直角边和一锐角D已知斜边和一直角边3．作线段的垂直平分线的理论，根据是_______和两点确定一条直线．4．请根据图1－l－19所示的作图痕迹，填写画线段AB的垂直平分线的步骤．第一步：分别以_______、________为圆心，以大于_________半的长度为半径画弧，两弧在AB的两侧分别相交于点_____和_______；第二步：经过点_______和______画______，直线CD就是线段AB的垂直平分线．5、∠AOB如图1－l－20所示，请用直尺和圆规作出∠AOB的平分线．要求保留作图痕迹，不写作法）6．如图1－l －20是由1个圆1个半圆和1个三角形组成的图形．请你以直线AB 为对称轴，把原图形补成轴对称图形．（用尺规作图，不要求写做法和证明，但要保留作图痕迹）★★★(II)新课标中考题一网打尽★★★ 【回顾1】（杭州）如图1－1－22,在等腰Rt ABC 中,AC=BC,以斜边AB 为一边作等边ABD ,使点C,D 在AB 的同侧;再以CD 为一边作等边CDE ,使点C,E 落在AD 的异侧.若AE=1,则CD 的长为（）(A)1【回顾2】（安徽）下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC 的角A 等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法 ．（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？ （2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）【回顾3】（温州）如图，在Rt △ABC 中，已知AB ＝BC ＝CA ＝4cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1cm/s ；点P 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为2cm/s ，设它们运动的时间为x(s)。
九年级数学(上册)第一章
例题欣赏P 例题欣赏 211
例2 已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1 是它的一个外角, E为边AC上一点,延长 2 BC到D,连接DE. C 求证: ∠1>∠2. 3 证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), E 5 ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大 于任何一个和 它不相邻的内角). 4 1 A B F ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). 把你所悟到的 证明一个真命 ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于 题的方法,步骤, 任何一个和 它不相邻的内角). 书写格式以及 注意事项内化 ∴ ∠1>∠2(不等式的性质). 为一种方法.
试一试P 试一试 213
你认识 外角吗? B
D E A
已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. 证明(1):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 C (外角意义),
∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻 的任何一个外角). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义), ∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外角). ∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
九年级数学（上册） 第一章 证明(二)
1.你能证明它们吗（1） 证明（一）回顾与思考
回顾与思考
直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗 人,你还能找到这样的例子吗?
a a b b a bc
驶向胜利 的彼岸
d
回顾与思考
“原名” 知多少
原名:某些数学名词称为原名. 定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也 就是给出它们的定义(definition) . 命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement). 每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部 分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项. 一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其 中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命 题称为假命题(false statement). 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之 具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例 (counter example).
九年级数学第一章《证明》检测试题(A)
九年级第一章《证明》检测试题（A ）（满分120分，考试时间120分钟，考试形式为闭卷）姓名 得分一、选择题（每小题4分，共32分）1．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于( )A ．270°B ．135°C ．90°D ． 315°2．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8 cm D ．10cm3．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交CB 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54.等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ）A ．4B ．10C ．4或10D ．以上答案都不对5．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ）A ．30°B ．36°C ．45°D ．70°6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．边长为2的等边三角形的内有一点0，那么0到三角形各边的距离之和为 ( )A ．3B ．23C ．2D ．43 8．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的大小是（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60° 二、填空题（每小题4分，共32分）9．在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 交于D 点，则∠BCD 的度数为 。
第一章 三角形的证明1
第一章 三角形的证明（性质）1.等腰三角形的性质定理；（1）等腰三角形的两个底角相等；（ ）∵ ∴（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合。
（ ）①∵ ∴ ②∵ ∴ ③∵ ∴2．等边三角形三个 都相等，且每个角都是 。
3.直角三角形的性质定理；（1）勾股定理： （2）Rt △中 （3）Rt △中，30°角。
数学符号∵∴ 4.线段的垂直平分线性质；线段垂直平分线上的点到 。
∵∴5.角平分线性质定理。
角平分线上的点到 ． ∵∴第一章 三角形的证明（判定）1. 等腰三角形的判定定理；有两个角相等的三角形是等腰三角形（ ）∵ ∴ ∴2．三个角都相等的三角形是 三角形。
3.直角三角形的判定定理；（1）勾股逆定理：数学符号∵∴（2）若 ，则△ABC 是Rt △。
4.线段的垂直平分线判定定理；到一条线段两个端点的距离相等个点在 。
∵∴5.角平分线判定定理。
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在 ．∵∴6．全等三角形的判定定理① ② ③ ④ 特别地在Rt △中， （ ）在∴ （ ）NAPBC M 21EDCPOB A NAPBC M 21EDCPOBA巩固基础习题1 姓名1．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝44°,则∠B ＝ ° 2．已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于 ．3．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，延长BC 到D ，使CD ＝AC ，则∠C DA ＝ 度. 4．一个正三角形的边长为a ，它的高是（ ） A ． 3 a B ．32 a C ．12 a D ．34a5．至少有两边相等的三角形是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形 6．已知：如图，点D 是△ABC 内一点，AB ＝AC ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．7．如图，若∠A ＝15°，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠DEF 等于多少？ F D ECBA8．在ΔABC 中，DB 平分∠ABC ，DC 平分∠ACB ，过D 作直线EF //BC ，交AB 、AC 于E 、F ，若AB =8，AC =7，则ΔAEF 的周长等于多少？巩固基础习题2 姓名1.已知：如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ∠BAC=120° D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E.2．已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，BE=CF ，则下列说法正确的有几个（ ） 1）AD 平分∠EDF ；2）△EBD ≌△FCD ；3）BD=CD ；4）AD⊥BC ．（A ）1个 （B ）2个（C ）3个 （D ）4个 3．如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件 _______或 ； 若利用“HL ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条4.如图，有一个直角△ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P.Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，当AP= 时,才能使ΔABC ≌ΔPQA.5.如图,在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于 D,DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为________cm.6.如图，在△ABC 中，已知D 是BC中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=ACFDECBA求证： AB AE 41巩固基础习题3 姓名1.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ，且BC ＝DC .你能说明BE 与DF 相等吗？2．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=30°.求证:BD=14AB3.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ． （1）若BC 在DE 的同侧（如图①）且AD =CE ，说明：BA ⊥A C ．（2）若BC 在DE 的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．巩固基础习题4 姓名1.已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果EC=7cm ，那么ED= cm ；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=2．已知：△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边一上的中线，AB 的垂直平分线交AD 于O求证：OA=OB=OC ．3.已知：如图，P 是么AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：(1)OC=OD ；(2)OP 是CD 的垂直平分线．P DAE COBA B C DE F12 CADBE。
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第一章 证明（二）§1.1、等腰三角形（一） （1）教学目标： 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
3、结合实例体会反证法的含义。
重点难点重点：了解作为证明基础的几条公理的内容 难点：掌握证明的基本步骤和书写格式教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法 教学手段： 多媒体课件 教学过程： 复习：什么是等腰三角形？你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。
试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？新课讲解：在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理♦ 本套教材选用如下命题作为公理 :♦ 1.两直线被第三条直线所截如果同位角相等,那么这两条直线平行; ♦ 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; ♦ 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS ）♦ 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA ） ♦ 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS ） ♦ 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS ）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证：△ABC ≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180° （三角形内角和等于180°）∴∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E)又∵∠A=∠D,∠B=∠E （已知） ∴∠C=∠F又∵BC=EF （已知）∴△ABC ≌△DEF （ASA ）（这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。
） 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（教师提出问题，并利用A B CFE D等腰三角形纸片帮议助学生回忆。
学生充分讨论问题1，借助等腰三角形纸片回忆有关性质。
）（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？（等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。
） 定理：等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角。
已知：如图，在ABC 中，AB ＝AC 。
求证：∠B ＝∠C（引导学生证明定理“等腰三角形的两个底角相等”，重点引导学生做辅助线，将等腰三角形分成两个全等的三角形： 我们刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等。
实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形。
能否通过作一条线段，得到两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等呢？） 证明：取BC 的中点D ，连接AD 。
∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ， ∴△ABC △≌△ACD (SSS)∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等)（让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。
做∠BAC 的平分线，交BC 边于D ；过点A 做AD ⊥BC 。
学生指出该定理的条件和结论，写出已知、求证，画出图形，并选择一种方法进行证明。
） 想一想：在上图中，线段AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ （应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD 具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。
）推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
随堂练习：做教科书第4页第1，2题。
课堂小结：通过这节课的学习你学到了什么知识？ 作业：1、基础作业：P5页习题1.1 1、2。
2、拓展作业：《目标检测》3、预习作业：P5-6页 议一议板书设计：D A B C§1.1、你能证明它们吗(一) 公理：SASASA SSS 推论：AAS 三线合一 D AB C§1.1.2 等腰三角形（二） （2）教学目标：1、 经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，证明等腰三角形的一些线段相等2、 借助等腰三角形的三线合一推论解决实际问题3、 运用三角形全等证明等腰三角形其它相等的线段重点难点：重点：证明等腰三角形的判定定理难点：借助等腰三角形的判定定理解决实际问题教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法 教学手段：多媒体课件 教学过程：从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们学习了等腰三角形的性质。
其实等腰三角形还有很多性质，你还能发现其中一些相等的线段吗？你能证明它们吗？一、 师生共同研究形成概念1、 等腰三角形的性质二☆ 想一想 书本P 4 想一想应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD 具有的性质和特征，从而得到结论。
这一结论通常简述为“三线合一”。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 ✧ 强调这三线具体指的是哪三条✧要运用这个定理证明时，里面所包含的三个结论并不一定是全部都有用的，要根据具体情况选取2、 等腰三角形性质的应用先自己试试作出等腰三角形两底角的平分线，再度量它们是否相等，再证明。
✧ 找准两个要证明全等的三角形，并把它们拉开，这样对我们的解题很有帮助3、 讲解例1例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，BD ，CE 是△ABC 的角平分线。
求证：BD = CE 。
分析：先让学生经过自己的观察、探索发现相等的 线段，再引导他们去证明。
4、 讲解例2例2证明：等腰三角形两腰上的高相等。
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，BE ，CD 是等 腰三角形△ABC 两条腰上的高。
求证：CD = BE 。
分析：由上例有很多相同之处，证明方法基本相同，先让学生经过自己的观察、探索发现相等的线段，再引导他们去证明。
例3如图，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，D 是△ABC 的边BC 上的一点，连接AD 、BE 。
求证：AD = BE 。
EABCDD CBAE 演示作图过程，让学生深刻理解分析：这是对等边三角形性质的应用。
5、 议一议☆ 议一议 书本P 6 议一议这里的两个问题都是由特殊结论归纳出一般结论。
教学时应有意识地向学生渗透这种思想方法。
让有能力的学生自己试试。
二、 随堂练习1、 《练习册》 P 22、 如图，E 是△ABC 内的一点，AB = AC ，连接AE 、BE 、CE ，且BE = CE ，延长AE ，交BC 边于 点D 。
求证：AD ⊥BC 。
三、 小结等腰三角形的性质，常常可以简捷地证明角相等、线段相等、两直线互相垂直。
在几何解题中，不能一概依赖全等三角形，要学会选择最简的解题途径。
这一节课我们还学习了等腰三角形的性质定理及其两个推论的内容及其应用。
等腰三角形的两个底角相等及等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合的性质非常重要，是我们今后证明两个角相等，两条线段相等及两条直线互相垂直的重要依据，所以同学们一定要掌握。
四、 作业书本 P 9 习题1.2 1板书设计：DCBAEEABCD§1.1、你能证明它们吗(二)探索——发现——猜想——证明§1.1.3 等腰三角形（三） （3）教学目标1、 能够用综合法证明等腰三角形的判定定理2、 借助等腰三角形的判定定理解决实际问题3、 结合实例体会反证法的含义重点难点：重点：等腰三角形的判定定理 难点：体会反证法的含义教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法 教学手段：多媒体课件 教学过程：一、 从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们学习了等腰三角形的性质。
但我们可曾想过，怎样的一个三角形才是等腰三角形？我们这节课就来研究这个问题。
我们还研究数学证明的另一种方法——反证法。
二、 师生共同研究形成概念1、 议一议☆ 议一议 书本P 7 议一议这里应引导学生养成“反过来”思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假。
这也是获得数学结论的一条途径。
2、 等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形。
等角对等边 ∵ ∠A =∠B ， ∴ AB = AC要判定一个三角形是等腰三角形，除用定义外，还可以用判定定理判定。
只要发现一个三角形有两个角相等，则马上断定，这个三角形为等腰三角形。
3、 讲解例题例1如图，∠A =∠B ，CE ∥DA ，CE 交AB 于E 。
求证：CE = CB 。
分析：此例题是等角对等边的具体应用， 比较简单，要引导学生写出解题步骤。
例2 如图，在△ABC 中，AB = AC ，DE ∥BC ，求证：△ADE 是等腰三角形。
例3如图，ABC ∆中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD = CE 。
求证：ABC ∆是等腰三角形。
分析：此例题是等角对等边的具体应用，引导学生写出解题步骤。
4、 反证法《李子不好吃》古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动。
小朋友问他为何EABCD EABCDD CBA EDCBAE不去摘，他说：“树长在路边，若李子好吃，早就没了！但现在李子还有那么多，肯定李子是苦的，不好吃的。
”小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃。
王戍在说明李子不好吃时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法。
☆ 想一想 书本P 7 想一想从直观上看，学生不难得出结论，但这里要求学生不仅能借助直观得出结论，而且还要证明它，也就是要让学生体会证明的必要性。
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。
反证法步骤：1） 假设：假设命题的结论不成立2） 归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果3） 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确5、 讲解例题例4一个三角形中不能有两个直角。
分析：按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A 、∠B 、∠C 中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角”成立，然后从这个假定出发推下去，找出矛盾。
证明：假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，即∠A =∠B = 90°，则∠A +∠B + ∠C = 90°+ 90°+∠C = 180°+ ∠C > 180°。