第一节 微分中值定理
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第三章第一节微分中值定理
f (a)
f ( )
.
g(b) g(a) g( )
当 g(x) x, g(b) g(a) b a, g(x) 1,
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
f (b) f (a) f ( ).
ba
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
证 作辅助函数
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) [g(x) g(a)].
g(b) g(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点, 使得 () 0.
即 f ( ) f (b) f (a) g( ) 0,
g(b) g(a)
f (b)
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
五、证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ；
2、当x 1时，e x ex .
六、设函数 y f ( x) 在x 0 的某邻域内且有n 阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试用柯西中值定理
证明： f ( x) f (n) (x)，（0 1 ）.
f (b) f (a) f ' ( )(b a)
成立. 注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
第三章第一节微分中值定理教学教案
拉格朗日中值公式
或 f ( b ) f ( a ) f ( )b ( a ).
设 f(x )在 [a ,b ]上连 在 (a ,b 续 )内， ,可导
x0,x0 x (a,b)则 , 有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x ( 0 1 ) 也 y 可 f ( x 0 x 写 ) x ( 0 成 1 ).
在区间 [x1, x2上] 用拉格朗日中值定理得：
f(x 2 ) f(x 1 ) f() (x 2 x 1 )(x1 x2)
由已知 f()0 得
f(x2)f(x1)0
所以f(x)在区间Ｉ上任意两点的函数值都相等
故f(x)在区间I上是一个常数.
例2 证 a明 r x c asri x c n ( c 1 o x 1 s ). 2
例1 验证罗尔 f(x定 )x2理 2x对 3在 区[间 1， 3]上的正 . 确性 解 显f然 (x)在 [1,3]上连 ,在 ( 续 1,3)内可导
且 f( 1 )0,f(3)0. 又 f(x)2(x1)
取 1,(1(1,3)), 则f()0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, yx,x [2,2];
f '( ) 0
证 f(x )在 [a ,b ]连 ,必 续 有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a ) f(b ), 最值不可能同时在取端得点 . 设 Mf(a),
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
二 、 试 证 明 对 函 数 y px 2 qx r 应 用 拉 氏 中 值 定 理
微分中值定理
上面两式相比即得结论.
第一节、中值定理
两个 不 一定相同
错!
柯西定理的几何意义:
f (b) f (a ) f ( ) F (b) F (a ) F ( )
弦的斜率
切线斜率
x F (t ) y f (t )
dy f ( t ) 注意: d x F ( t )
f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理知存在 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根 x0 .
2) 唯一性 . 假设另有 x1 (0, 1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0, f ( x ) 在以 x0 , x1为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1之 间至少存在一点 , 使 f ( ) 0. 但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, x (0, 1), 矛盾, 故假设不真!
第一节、中值定理
例5. 试证至少存在一点
证: 法1 用柯西中值定理 . 令
f ( x ) sinln x ,
使
F ( x ) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件,
因此
f (e ) f (1) f ( ) , (1, e ) F (e ) F (1) F ( )
证明提示: 设
f (a ),
xa
F ( x)
f ( x ),
a xb
f (b ), xb 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理.
第一节、中值定理
5 x 5 x 1 0 有且仅有一个小于1 例1.证明方程 的正实根 . 证: 1) 存在性 . 5 f ( x ) x 5 x 1, 则 f ( x ) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 设
第一节、中值定理
两个 不 一定相同
错!
柯西定理的几何意义:
f (b) f (a ) f ( ) F (b) F (a ) F ( )
弦的斜率
切线斜率
x F (t ) y f (t )
dy f ( t ) 注意: d x F ( t )
f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理知存在 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根 x0 .
2) 唯一性 . 假设另有 x1 (0, 1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0, f ( x ) 在以 x0 , x1为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1之 间至少存在一点 , 使 f ( ) 0. 但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, x (0, 1), 矛盾, 故假设不真!
第一节、中值定理
例5. 试证至少存在一点
证: 法1 用柯西中值定理 . 令
f ( x ) sinln x ,
使
F ( x ) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件,
因此
f (e ) f (1) f ( ) , (1, e ) F (e ) F (1) F ( )
证明提示: 设
f (a ),
xa
F ( x)
f ( x ),
a xb
f (b ), xb 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理.
第一节、中值定理
5 x 5 x 1 0 有且仅有一个小于1 例1.证明方程 的正实根 . 证: 1) 存在性 . 5 f ( x ) x 5 x 1, 则 f ( x ) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 设
高中物理课件-第三章-微分中值定理、导数的应用
lim x3 1 . x x 1
一、 0 0 型不定式 定理：设函数 f (x) 与 F (x) 满足：
0
（１）在点 a 的某去心邻域U (a) 内可导且 F(x) 0;
（２）
lim
xa
f
(x)
0,
lim
x a
F ( x)
0;
f (x)
（３）
lim
xa
F
(
x)
存在（或
）．
则
lim
xa
f F
(x) (x)
提示： f (2) f (1) f (0) f (1) 0, 且 f (x) 在三个区间 [2,1], [1,0] 和[0,1] 上都满足 Rolle 定理的条件．
在 (2,1), (1,0), (0,1) 内分别至少存在一点1, 2, 3 使 f (1) 0, f (2) 0, f (3 ) 0 ．即 f (x) 0 至少有三个实根．
F( )
f
( ) 2
f
( )
由 F ( ) 0 得 f ( ) f ( ).
【例】设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a, b) 内可导且 f (a) f (b) 0,
证明：在(a,b) 内至少存在一点 使 f ( ) f ( ). 提示：令 F(x) ex f (x) ，可验证 F (x) 在[a,b] 上满足 Rolle
g(x) 0, f (a) f (b) g(a) g(b) 0.
证明：（１）在(a,b)内 g(x) 0;
（２）在(a,b)内至少存在一点, 使得
f ( ) g( )
f ( ) . g( )
提示：（１）假设c (a,b) 使 g(c) 0, 则由 Rolle 定理，
第一部分微分中值定理洛必达法则教学-PPT精选
limf(x)(或limf(x)) xx0 g(x) x g(x)
通常称为未定式，分别记为 0 和 。
0
下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而 有效的方法——罗必达法则。
1、 0 型未定式：
0
定理：若函数 f(x)和g(x) 满足下列条件：
(1 ) lim f(x ) 0 ,lig m (x ) 0 ;
[0, x]上满足拉格朗日定理的条件，因此有
f ( x ) f ( 0 ) f () x ( 0 ) ( 0 , x )
即 ln(1x) x
1
由于 0x ， 所以
x x x
1x 1
即
x ln1(x)x
1x
二、罗必达法则
如果当 x x0(或 x )时，两个函数f(x)和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分学中值定理 二、罗必达法则
一、微分学中值定理
1、罗尔定理 定理1 （罗尔定理）如果函数 y f(x)满足下
列条件： （1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)。
则在开区间（a,b)内至少存在一点 ，使得
f()0
lim2x3
xlnx
1
x
例9 求 lim lnsin3x
x0 ln sin x
解
limlns
in3x lims
1 .3c in3x
o3sx
x0 lnsinx x0
1 .coxs
sinx
3lim co3xs.lim six n x 0 coxsx 0si3 nx
x x 0
通常称为未定式，分别记为 0 和 。
0
下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而 有效的方法——罗必达法则。
1、 0 型未定式：
0
定理：若函数 f(x)和g(x) 满足下列条件：
(1 ) lim f(x ) 0 ,lig m (x ) 0 ;
[0, x]上满足拉格朗日定理的条件，因此有
f ( x ) f ( 0 ) f () x ( 0 ) ( 0 , x )
即 ln(1x) x
1
由于 0x ， 所以
x x x
1x 1
即
x ln1(x)x
1x
二、罗必达法则
如果当 x x0(或 x )时，两个函数f(x)和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分学中值定理 二、罗必达法则
一、微分学中值定理
1、罗尔定理 定理1 （罗尔定理）如果函数 y f(x)满足下
列条件： （1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)。
则在开区间（a,b)内至少存在一点 ，使得
f()0
lim2x3
xlnx
1
x
例9 求 lim lnsin3x
x0 ln sin x
解
limlns
in3x lims
1 .3c in3x
o3sx
x0 lnsinx x0
1 .coxs
sinx
3lim co3xs.lim six n x 0 coxsx 0si3 nx
x x 0
微分中值定理
22此sin x在[ 3 π, π]上满足罗
2
2
22
尔定理.应选C.
对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可 导，因此应排除Ｄ.
综合之，本例应单选Ｃ.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，
弦线的方程为 y f (a) f (b) f (a) (x a) . ba
作辅助函数
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
ba
即可. ( x) 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线
弧两端点连线对应的纵坐标之差.
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
第一节 微分中值定理
一、引理 二、罗尔定理 三、拉格朗日中值定理
一、引理
引理 设f(x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有 f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )), 则有 f (x0 ) 0 . 证 若对x0的某邻域内的任何x,恒有f(x)≤f(x0).
还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必 要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定 理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.
例如 f (x) (x 1)2 在[0,3]上不满足罗尔定理的条
件( f (0) f (3)), 但是存在 1(0,3) ，使 f (1) 0 .
三、拉格朗日中值定理
定理4.2 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
第一节 微分学中值定理
柯西(Cauchy)中值定理 三、柯西 中值定理
柯西（Cauchy） 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x) 上连续, 内可导, 在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,且 不为零， F ' ( x)在(a, b)内每一点 (x 处均 不为零，那末在(a, b)内 至少有一点ξ(a < ξ < b),使等式
几何解释: 几何解释
A( F (a ), f (a ))，B( F (b), f (b))
y
C
X = F( x) Y = f ( x)
AB弦的斜率： 弦的斜率： 弦的斜率
f (b) − f (a ) k= F (b) − F (a )
A
B
D
F(ξ2 )F (b )
o
F (a ) F(ξ1 )
∴ 在( 0,1)内至少存在一点 ξ, 有
f (1) − f (0) f ′(ξ ) = 1− 0 2ξ
即 f ′(ξ ) = 2ξ[ f (1) − f (0)].
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 罗尔定理、 之间的关系； 之间的关系；
Rolle 定理
f (a) = f (b) Lagrange F( x) = x
π π 又 Q f ( 0) = arcsin 0 + arccos 0 = 0 + = , 2 2 π 即C = . 2 π ∴ arcsin x + arccos x = . 2
x 例2 证明当 x > 0时, < ln(1 + x ) < x . 1+ x 证 设 f ( x ) = ln(1 + x ),
高数01第三章第一节微分中值定理
y
C
y f ( x)
B
A
D
o a
1
2 b
推论1:若函数 在区间 I 上满足 在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得
x 则
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例3. 证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
练习: arctan x arc cot x , x ( , ) 2
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
不妨设 0 x1 x2 证：
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f ( 2 ) x1 x1 f ( )( 2 1 ) 0 ( x2 2 x1 x2 , 0 1 x1 ) (1 2 )
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
y
y f ( x)
o
a
b x
使 f ( ) 0.
在( a , b ) 内至少存在一点 例如, f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
x
f ( )sin f ( )cos =0
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f ( x)
o
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
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(0,1)
f ( x) e 1
' x
使
f (1) f (0) f ( ) 1 0
e 1 e 1 3 e e 1
ln e 1
13
f (b) f (a ) f ( ) ba 拉格朗日中值公式另外的表达方式：
f (b) f (a ) f ( )(b a ) ， 介于a和b之间
f (x)不满足条件(3)
7
例1
验证函数f ( x) x 2 4 x 3在闭区间[0, 4]满足 Roll定理的条件，并求出定理中的
验证 1 在闭区间[a,b]上连续:
初等函数在定义区间(-,+)连续,特别在[0,4]连续
2 在开区间(a,b)内可导： f ' ( x) 2x 4
22
x 的定义域？
当幂出现实数时，规定底大于0: a e
b b lna
x2
23
18
4. 柯西(Cauchy)中值定理
设函数f (x)及g (x)满足条件： (1)在闭区间[a, b]上连续， (2)在开区间(a, b)内可导， (3)在(a, b)内任何一点处g(x)均不为零， 则至少存在一点(a，b)内，使得
f (b) f (a ) f ( ) g(b) g(a ) g( )
所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。
则不妨设 (a, b) ， 使 f ( ) M .
由费马引理,
f ( ) 0 .
6
注意：
如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。
y
A
y
B
y A
B
A
a O
B b x a O c b x
a
O
b x
f (x)不满足条件(1) f (x)不满足条件(2)
增量y的精确表达式 .
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
14
f ( x) 在 如果在( a , b ) 内恒有 f ( x ) 0 , 则 推论1 ( a , b ) 内为一常数 .
x1 , x2 ( x1 x2 ), 证明 在(a, b)内任取两点
在 [ x1 , x2 ] 上对 f ( x ) 使用拉格朗日定理,
容易验证, ( x) 满足罗尔定理的条件,
于是 (a, b) ,使
f (b) f (a) ' ( ) g ( ) f ( ) 0 ， g (b) g (a)
'
即
f (b) f (a) f ( ) ' ， . g (b) g (a) g ( )
3 f (a) f (b)：f(0)=f(4)=3
解方程：f ' ( ) 0
2 -4 0
=2
8
例2 试证方程
证明：
3
f ( x) x3 x C
恰有一个实根
1 C lim f ( x) x 1 2 3 x x x 根据极限的定义， 对于A=1>0 ,
费马（Fermat，1601-1665），法 国人，与笛卡尔共同创立解析几何。 因提出费马大、小定理而著名于世。
2
1. 预备定理——费马(Fermat)定理
若函数 f ( x )在 (a, b)内一点 x0取得最值， 且f ( x )在点x0可导，则 f ( x0 ) 0.
几何解释:
曲线在最高点或最 低点如果有切线，则切 线必然是水平的。
容易验证, ( x) 满足罗尔定理的条件,
1 在闭区间[a,b]上连续: 2 在开区间(a,b)内可导： 3(a) (b) f (a)
20
证明
作辅助函数
f (b) f (a) ( x)g (b) g (a)
故 f ( x)
, x [ 1, 1] .
17
x ln(1 x ) x . 例9 证明当x 0时, 1 x 1 t ), 证 设 f (t ) ln(
f (t )在[0, x]上满足拉格朗日定理的 条件 ,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
1 f (0) 0, f (t ) , 1 t
又 0 x
x 由上式得 l n( 1 x) , 1 1 1 1, 1 1 1 x 1 x 1
x x x x, 即得 ln( 1 x ) x. 1 x 1 1 x
则 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
f ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ) 0 ，
即 f ( x2 ) f ( x1 ) .
由 x1 , x2 的任意性可知, f ( x ) 常数, x (a, b) .
15
推论2 如 果 f ( x ) 和g ( x ) 在( a , b ) 内 可导 , 且在 ( a , b ) 内 恒 有 f ( x ) g ( x ) , 则 在 ( a , b ) 内f ( x ) 和 g ( x ) 最多相差一个常数 . 证明 作辅助函数
( x) f ( x) g( x) ,
21
作业讲解 P144_4:设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)....(x-2010) ,问f' (x)有几个根。
解：函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)....(x-2010)是一个 2011 次多项式，
恰好有2011个实数根:
x k k 1,
' k xk , xk 1 ,满足f( k )=0.
第四章
微分中值定理和 导数的应用
1
第一节
微分中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。
1. 预备定理——费马(Fermat)定理
若函数 f ( x )在 (a, b)内一点 x0取得最值， 且f ( x )在点x0可导，则 f ( x0 ) 0.
y C
A
yf (x)
B
O a
b
x
5
证 f ( x ) 在 [a , b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x ) M .
由此得 f ( x ) 0. (a , b), 都有 f ( ) 0.
( 2) 若 M m . f (a ) f (b ),
f ( x )
由推论1知,
而
, x [1, 1]
1 1 x2
1 1 x2
0 , x ( 1, 1)
f ( x ) C , x ( 1, 1)
f ( 0)
2
,
且
f ( 1) f (1)
2
,
2 类似可得： arctanx arccot x ,x R . 2
如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉 说明： 格朗日中值定理.
19
证明
作辅助函数
f (b) f (a) ( x) g ( x ) g ( a ) f ( x ) g (b) g (a)
分母不为零，因为：
g (b) g (a) g ' ( )(b a) 0
而f ( x)在点x0可导，所以f ( x0 ) 0 .
4
2. 罗尔(Rolle)定理
如果函数 yf (x)满足条件： (1) 在闭区间 [a, b] 上 连续，(2)在开区间(a, b)内可导，(3) f (a)f (b)，则至 少存在一点(a, b)，使得f () 0。 几何解释: 如果连续光滑的曲 线 yf (x) 在端点 A、 B 处的纵坐标相等。 那么，在曲线弧上至 少有一点 C( , f()) ，曲线在 C点的切线 是水平的。
y
y f ( x)
o
1
2
x
3
证明: 只就f ( x)在x0达到最大值证明。
由于f ( x )在x0达到最大值，所以只要 x0 x在(a, b)内, 就有f ( x0 x ) f ( x0 ), 即 f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 极限 从而 0 , 当x 0时; x 的保 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 号性 0 , 当x 0时; x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 这 样 f ( x0 ) lim 0 x 0 x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x0 ) lim 0. x 0 x
在曲线弧 AB 上 至少有一点 C , 在 该点处的切线平 行于弦 AB .
O y C1 y=f (x) B
C2 A
a
h
b
x
11
证明
作辅助函数
f (b) f (a ) F ( x ) f ( x ) f (a ) ( x a) ， ba
容易验证, F ( x) 满足罗尔定理的条件,
k 1,2,3,...,2011
当1 k 2010，在 xk , xk 1 上，f(x)满足Roll定理的条件，所以
即1, 2 , 3 ,...,2010是f ' (x)的2010个根。
由于f ' ( x)是2010次多项式，最多有2010个根。 故f ' ( x)恰好有2010个根。
或
f (b) f (a) f [a (b a)](b a) ,0 1 ,
f ( x) e 1
' x
使
f (1) f (0) f ( ) 1 0
e 1 e 1 3 e e 1
ln e 1
13
f (b) f (a ) f ( ) ba 拉格朗日中值公式另外的表达方式：
f (b) f (a ) f ( )(b a ) ， 介于a和b之间
f (x)不满足条件(3)
7
例1
验证函数f ( x) x 2 4 x 3在闭区间[0, 4]满足 Roll定理的条件，并求出定理中的
验证 1 在闭区间[a,b]上连续:
初等函数在定义区间(-,+)连续,特别在[0,4]连续
2 在开区间(a,b)内可导： f ' ( x) 2x 4
22
x 的定义域？
当幂出现实数时，规定底大于0: a e
b b lna
x2
23
18
4. 柯西(Cauchy)中值定理
设函数f (x)及g (x)满足条件： (1)在闭区间[a, b]上连续， (2)在开区间(a, b)内可导， (3)在(a, b)内任何一点处g(x)均不为零， 则至少存在一点(a，b)内，使得
f (b) f (a ) f ( ) g(b) g(a ) g( )
所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。
则不妨设 (a, b) ， 使 f ( ) M .
由费马引理,
f ( ) 0 .
6
注意：
如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。
y
A
y
B
y A
B
A
a O
B b x a O c b x
a
O
b x
f (x)不满足条件(1) f (x)不满足条件(2)
增量y的精确表达式 .
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
14
f ( x) 在 如果在( a , b ) 内恒有 f ( x ) 0 , 则 推论1 ( a , b ) 内为一常数 .
x1 , x2 ( x1 x2 ), 证明 在(a, b)内任取两点
在 [ x1 , x2 ] 上对 f ( x ) 使用拉格朗日定理,
容易验证, ( x) 满足罗尔定理的条件,
于是 (a, b) ,使
f (b) f (a) ' ( ) g ( ) f ( ) 0 ， g (b) g (a)
'
即
f (b) f (a) f ( ) ' ， . g (b) g (a) g ( )
3 f (a) f (b)：f(0)=f(4)=3
解方程：f ' ( ) 0
2 -4 0
=2
8
例2 试证方程
证明：
3
f ( x) x3 x C
恰有一个实根
1 C lim f ( x) x 1 2 3 x x x 根据极限的定义， 对于A=1>0 ,
费马（Fermat，1601-1665），法 国人，与笛卡尔共同创立解析几何。 因提出费马大、小定理而著名于世。
2
1. 预备定理——费马(Fermat)定理
若函数 f ( x )在 (a, b)内一点 x0取得最值， 且f ( x )在点x0可导，则 f ( x0 ) 0.
几何解释:
曲线在最高点或最 低点如果有切线，则切 线必然是水平的。
容易验证, ( x) 满足罗尔定理的条件,
1 在闭区间[a,b]上连续: 2 在开区间(a,b)内可导： 3(a) (b) f (a)
20
证明
作辅助函数
f (b) f (a) ( x)g (b) g (a)
故 f ( x)
, x [ 1, 1] .
17
x ln(1 x ) x . 例9 证明当x 0时, 1 x 1 t ), 证 设 f (t ) ln(
f (t )在[0, x]上满足拉格朗日定理的 条件 ,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
1 f (0) 0, f (t ) , 1 t
又 0 x
x 由上式得 l n( 1 x) , 1 1 1 1, 1 1 1 x 1 x 1
x x x x, 即得 ln( 1 x ) x. 1 x 1 1 x
则 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
f ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ) 0 ，
即 f ( x2 ) f ( x1 ) .
由 x1 , x2 的任意性可知, f ( x ) 常数, x (a, b) .
15
推论2 如 果 f ( x ) 和g ( x ) 在( a , b ) 内 可导 , 且在 ( a , b ) 内 恒 有 f ( x ) g ( x ) , 则 在 ( a , b ) 内f ( x ) 和 g ( x ) 最多相差一个常数 . 证明 作辅助函数
( x) f ( x) g( x) ,
21
作业讲解 P144_4:设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)....(x-2010) ,问f' (x)有几个根。
解：函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)....(x-2010)是一个 2011 次多项式，
恰好有2011个实数根:
x k k 1,
' k xk , xk 1 ,满足f( k )=0.
第四章
微分中值定理和 导数的应用
1
第一节
微分中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。
1. 预备定理——费马(Fermat)定理
若函数 f ( x )在 (a, b)内一点 x0取得最值， 且f ( x )在点x0可导，则 f ( x0 ) 0.
y C
A
yf (x)
B
O a
b
x
5
证 f ( x ) 在 [a , b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x ) M .
由此得 f ( x ) 0. (a , b), 都有 f ( ) 0.
( 2) 若 M m . f (a ) f (b ),
f ( x )
由推论1知,
而
, x [1, 1]
1 1 x2
1 1 x2
0 , x ( 1, 1)
f ( x ) C , x ( 1, 1)
f ( 0)
2
,
且
f ( 1) f (1)
2
,
2 类似可得： arctanx arccot x ,x R . 2
如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉 说明： 格朗日中值定理.
19
证明
作辅助函数
f (b) f (a) ( x) g ( x ) g ( a ) f ( x ) g (b) g (a)
分母不为零，因为：
g (b) g (a) g ' ( )(b a) 0
而f ( x)在点x0可导，所以f ( x0 ) 0 .
4
2. 罗尔(Rolle)定理
如果函数 yf (x)满足条件： (1) 在闭区间 [a, b] 上 连续，(2)在开区间(a, b)内可导，(3) f (a)f (b)，则至 少存在一点(a, b)，使得f () 0。 几何解释: 如果连续光滑的曲 线 yf (x) 在端点 A、 B 处的纵坐标相等。 那么，在曲线弧上至 少有一点 C( , f()) ，曲线在 C点的切线 是水平的。
y
y f ( x)
o
1
2
x
3
证明: 只就f ( x)在x0达到最大值证明。
由于f ( x )在x0达到最大值，所以只要 x0 x在(a, b)内, 就有f ( x0 x ) f ( x0 ), 即 f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 极限 从而 0 , 当x 0时; x 的保 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 号性 0 , 当x 0时; x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 这 样 f ( x0 ) lim 0 x 0 x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x0 ) lim 0. x 0 x
在曲线弧 AB 上 至少有一点 C , 在 该点处的切线平 行于弦 AB .
O y C1 y=f (x) B
C2 A
a
h
b
x
11
证明
作辅助函数
f (b) f (a ) F ( x ) f ( x ) f (a ) ( x a) ， ba
容易验证, F ( x) 满足罗尔定理的条件,
k 1,2,3,...,2011
当1 k 2010，在 xk , xk 1 上，f(x)满足Roll定理的条件，所以
即1, 2 , 3 ,...,2010是f ' (x)的2010个根。
由于f ' ( x)是2010次多项式，最多有2010个根。 故f ' ( x)恰好有2010个根。
或
f (b) f (a) f [a (b a)](b a) ,0 1 ,