MATLAB多项式和线性方程组的求解
MATLAB中对线性方程组求解一种方法
实验报告MATLAB中对线性方程组求解一种方法一．前言MATLAB是一个功能强大的线性方程组求解工具，它特别适合求解大规模的线性方程组。
由于MATLAB是专为矩阵运算而设计的，它的运算效率较高，而且可以使用循环结构，因此用MATLAB可以求解需要千万次运算量的复杂方程组。
下面介绍的求解方法对于小规模方程组也是非常有效的。
二．实验原理迭代法就是用某种极限国采取逐步逼近线性方程组精确解的方法。
方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不便等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。
迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似逼近精确解。
如Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法。
三．实验目的1.熟练MATLAB中运用迭代方法求解线性方程组的原理；2.熟练MATLAB中矩阵的运用和程序设计。
四．实验步骤1．Jacobi迭代法对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即aii≠0(i=1,2,…,n)，则可将A分解为A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对角元素，L与U为A的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为：x=D-1(L+U)x+D-1b与之对应的迭代公式为：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b这就是Jacobi迭代公式。
如果序列{x(k+1)}收敛于x，则x必是方程Ax=b的解。
Jacobi迭代法的MATLAB函数文件Jacobi.m如下：function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin)format longif nargin==3eps= 1.0e-6; %默认精度M = 200; %参数不足时默认后两个条件elseif nargin<3error('参数不足');returnelseif nargin==5;M=varargin;end[n,m]=size(A);nb=length(b);%当方程组行与列的维数不相等时，停止计算，并输出出错信息if n~=merror('矩阵A行数和列数必须相等!');return;end%当方程组与右端项的维数不匹配时，停止计算，并输出出错信息if n~=nberror('矩阵A的行数必须和b的长度相等!');return;endD =zeros(n,n);for i=1:nif A(i,i)==0error('A对角线元素为零！')return;endD(i,i)=A(i,i); %得到矩阵DendB=inv(D)*(D-A); %B为迭代矩阵g=inv(D)*b; %g为右端项pr=max(abs(eig(B))) %求迭代矩阵谱半径if pr>=1error('迭代矩阵谱半径大于1迭代法不收敛');return;endk=0;tol=1;while tol>=epsx = B*x0+gk = k+1; %迭代步数tol = norm(x-x0);%前后两步迭代结果的误差x0 = x;if(k>=200)disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！');return;endend2. 例题用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。
matlab求解多项式
matlab求解多项式
在MATLAB中，可以使用polyfit函数来求解多项式。
polyfit函数的基本语法为：
p = polyfit(x, y, n)
其中，x是自变量的向量，y是因变量的向量，n是多项式
的阶数。
polyfit函数会返回一个多项式的系数向量p，p的长度为
n+1，其中p(1)为多项式的常数项系数，p(2)为一次项系数，依此类推。
例如，假设有以下数据点：
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 4, 6, 8, 10]
要求解一个一次多项式，可以使用以下代码：
p = polyfit(x, y, 1)
这样，p就是一个包含两个元素的向量，p(1)为常数项系数，p(2)为一次项系数。
如果要求解一个二次多项式，可以将n参数设置为2：
p = polyfit(x, y, 2)
同样，p就是一个包含三个元素的向量，p(1)为常数项系数，p(2)为一次项系数，p(3)为二次项系数。
通过polyval函数可以使用求解得到的多项式进行预测，
其基本语法为：
y_pred = polyval(p, x_pred)
其中，p为多项式的系数向量，x_pred为待预测的自变量，y_pred为通过多项式预测得到的因变量。
例如，使用上述求解得到的一次多项式进行预测，可以使
用以下代码：
x_pred = [6, 7, 8, 9, 10]
y_pred = polyval(p, x_pred)
这样，y_pred就是通过一次多项式预测得到的因变量值。
Matlab多项式运算与代数方程求解
上机要求
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将所有文件作为附件，通过 foxmail 以邮件形式发给
mhjs@system.mail 邮件主题为：机号-学号-姓名，其中机号为 两位数 三个字段之间用英文状态下的减号连接 每个 M 文件的第一行添加一条注解语句:
% 机号-学号-姓名
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注意：f 不是方程！也不能使用符号表达式！
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fzero 举例
例：求 f(x)=x3-3x+1 在区间 [-2, 0] 内的实根。
f=@(x) x^3-3*x+1; x0=fzero(f,[-2,0])
例：求 f(x)=sin(x) 在 10 附近的实根。
fzero(@sin,10)
用 fzero 求零点时可以先通过作图确定零点的大致范围
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代数方程符号求解
solve 也可以用来解方程组 solve(f1,f2, ...,fN, v1,v2, ...,vN)
求由 f1 , f2 , ... , fN 确定的方程组关于 v1 , v2 , ... , vN 的解
x 2 y z 27 xz3 x 2 3 y 2 28
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多项式运算中， 使用的是多项式
系数向量，
不涉及符号计算！
内容提要
多项式运算
多项式转化为符号表达式：poly2sym, sym2poly
四则运算：conv、deconv
导数与积分：ployder、polyint 求值与零点：polyval、polyvalm、roots、poly
代数方程求解
线性方程组数值求解：linsolve 非线性方程数值求解：fzero 非线性方程符号求解：solve
matlab多项式运算和方程组的求解
二、多项式（1）多项式的表达式和创建MATLAB中使用一维向量来表示多项式，将多项式的系数按照降幂次序存放在向量中。
例如：多项式2X4+3X3+5X2+1可以用向量[2 3 5 0 1]来表示。
例2-1，输入多项式3x4-10x3+15x+1000在命令窗口输入：p=[3 -10 0 15 1000]输出结果如下：（2）多项式求根1、多项式的根找出多项式的根，即使多项式为零的值，MATLAB提供了特定的函数roots求解多项式的根。
例2-2，求解多项式3x4-10x3+15x+1000的根。
在命令窗口输入：输出的结果如下：2、由根创建多项式在MATLAB中，无论是一个多项式，还是它的根，都是以向量形式存储的，按照惯例，多项式是行向量，根是列向量。
因此当我们给出一个多项式时，MATLAB 也可以构造出相应的多项式，这个过程需要使用函数poly。
例2-3输入及结果（3）多项式四则运算1，多项式的加法MATLAB并未提供一个特别的函数，如果两个多项式向量大小相同，那么多项式相加时就和标准的数组加法相同。
例2-4在命令窗口输入：a=[1 3 5 7 9];b=[1 2 4 6 8];c=a+b输出结果：C（x）=2x4+5x3+9x2+13x+172、多项式的乘法运算在MATLAB中，函数conv支持多项式乘法（运算法则为执行两个数组的卷积）。
例2-5在命令窗口输入：a=[1 3 5 7 9]; b=[1 2 4 6 8];c=conv(a,b)输出的结果如下：C(x)=x8+5x7+15x6+35x5+69x4+100x3+118x2+110x+72PS：conv指令只能进行两个多项式的乘法，两个以上的多项式的乘法需要重复使用conv。
3、多项式的除法运算在MATLAB中，由函数deconv完成的。
例2-6在命令窗口输入：c=[1 5 15 35 69 100 118 110 72];b=[1 2 4 6 8]; [a,r]=deconv (c,b)输出的结果：（4）多项式微分1、多项式的导数MATLAB为多项式求导提供了函数polyder。
用MATLAB做线性代数实验
【2】参数方程解的判别 【注意】 ：含有参数情况的线性方程组的解的情况讨论，不能直接使用 Matlab 中 的函数：rank,rref,因为 Matlab 会默认这些参数及其表达式不等于零。因此，应 该编写独立的过程加以讨论。 试就参数 s 的各种情况，讨论下述线性方程组的解的情况：
sx y z 1 x sy z s 。 2 x y sz s
p1 ( x ) q( x ) p2 ( x ) r ( x ) , d (r ( x )) d ( p2 ( x ))
例如，求多项式 f ( x ) x 3 6 x 2 11 x 6 , g( x ) x 5 2 x 2 1 的最大公因式和最小公倍 式。 p=[1 -6 11 -6]; q=[1 0 0 -2 0 1]; [q1,r1]=deconv(q,p) [q2,r2]=deconv(p,r1(4:6)) %注意保证第一个分量不能为零 [q3,r3]=deconv(r1(4:6),r2(3:4))
x2 x3 2 x2 3 x 2
分解为最简分式之和的程序如下：
-0.5000 - 1.3229i -1.0000 r = [] 结果表示出来即是：
f ( x)
如果是在实数范围内分解：
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
用 MATLAB 做线性代数实验
1. 多项式运算
【1】表示方法与根 表示方法：降幂，向量形式. 例如， p( x ) 2 x x 3 x5 被表示为向量 p=[-1 0 1 0 2 0] 而不是 p=[0 2 0 1 0 -1] 或者 p=[2 1 -1]. 相关 MATLAB 函数 函数名 含义 %注意保证第一个分量不能为零
Matlab数组运算及线型方程组的求解
数组运算及线型方程组的求解1．“：”号的用法。
用“：”号生成行向量a=[1 2 3 4 5 6 7 89 10]、b=[5 3 1 -1 -3 -5]；用线性等分命令linspace重新生成上述的a和b向量。
另，在100和10000之间用对数等分命令logspace生成10维的向量c。
linspace(1,10,10) linspace(5,-5,6) ak=logspace(2,4,10)2. 已知多项式a(x)=x2+2x+3，b(x)=4x2+5x+6，求a，b积的微分。
a=[1 2 3];b=[4 5 6];c=polyder(a,b)c=poly2str(c,'x')3.用生成下列矩阵，取出方框内的数组元素a=[1:5;10:-1:6;11:15;16:20;21:25]q=a(2,2:3)m=a(2:4,4)n=a(4:5,1:3)4. 生成一个9×9维的魔方矩阵，提取其中心的3×3维子矩阵M，利用sum函数检验其各行和各列的和是否相等。
并且实现上述中心矩阵左旋90°或右旋90°，左右翻转，上下翻转a=magic(9)a =47 58 69 80 1 12 23 34 45 57 68 79 9 11 22 33 44 46 67 78 8 10 21 32 43 54 56 77 7 18 20 31 42 53 55 66 6 17 19 30 41 52 63 65 76 16 27 29 40 51 62 64 75 5 26 28 39 50 61 72 74 4 1536 38 49 60 71 73 3 14 2537 48 59 70 81 2 13 24 35>> m=a(4:6,4:6)m =20 31 42 30 41 52 40 51 62 >> c=rot90(m)c =42 52 62 31 41 51 20 30 40 >> c=rot90(m,-1)c =40 30 20 51 41 31 62 52 42 >> s=fliplr(m)s =42 31 20 52 41 30 62 51 40 >> w=flipud(m)w =40 51 62 30 41 52 20 31 425.已知a=[1 2 3:4 5 6;7 8 0]，求其特征多项式并求其根、特征值和特征多项式6. 计算二重不定积分7.求解微分方程。
Matlab学习指导第四章 数值计算
2x1-x2-x3=4
3x1+4x2-2x3=11 3x1-2x2+4x3=11
A=[ 2,-1,-1 ; 3,4,-2; 3,-2,4 ]; b=[4; 11; 11]; det(A), rank(A), rank([A,b]) x=A\b
方程组的解的三种情况:
对于方程Ax=b, A为Am×n矩阵,有三种情况: 当m=n时,此方程成为"恰定"方程,求解精确解 当m>n时,此方程成为“超定”方程,寻求最小二乘解 (直线拟
合)
1) 恰定方程组的解
当m<n时,此方程成为"欠定"方程,寻求基本解 matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程 x = 方程组Ax=b (A非奇异)，解为x=A\b 例4.2.1-2 求下列方程组的解 3.00 1.00 1.00
通俗地讲, 拟合就是由已知点得到一条曲线, 使该曲线 最能反映点所代表的规律.比如做欧姆定理的实验的时 候,由于实验中存在误差,最后拟合得到的曲线是一条 直线,而且肯定只有部分点落在拟合的直线上,但此时 该直线和测试点的方差最小.由拟合直线的斜率就可以 知道电阻的阻值.拟合是探测事物变化规律的办法. 插值就是根据函数上某些已知点(或实验数据),按一定 规律(插值方法)寻求未知的点,比如已知一个常用对数 y=log(x)表,是按照x=0.1:0.1:10制表的,如果按已知数 据求y=log(2.897)就可以用插值得到.表制得越密,插值 越准确．
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对于方程组Ax=b, 采用x=A\b计算，如果方程组为yC=d, 要使用右除，即指令为y=d/C
Ax=bx'A'=b'yC=d x=A\bx'=b'/A'y=d/C 例4.2.1-1 解下列方程组 2x1+2x2+3x3=3
matlab解方程组的函数
matlab解方程组的函数在科学和工程计算中，解方程组是一项非常常见且重要的任务。
方程组是由多个方程组成的集合，其中每个方程都包含有待求解的未知变量。
解方程组的目标是找到一组满足所有方程的未知变量的值。
Matlab是一种功能强大的数值计算软件，它提供了许多用于解方程组的函数。
本文将介绍一些常用的Matlab解方程组函数，并使用实例演示它们的用法。
一、Matlab解方程组的函数概述Matlab提供了多种解方程组的函数，包括直接法和迭代法。
这些函数可以帮助我们高效地求解线性方程组和非线性方程组。
以下是一些常用的Matlab解方程组函数：1.linsolve函数：用于求解线性方程组。
它可以使用直接法（LU分解、Cholesky分解）或迭代法（Jacobi、Gauss-Seidel）来解线性方程组。
2.fsolve函数：用于求解非线性方程组。
它使用迭代法来逐步逼近非线性方程组的解。
3.ode45函数：用于求解常微分方程组。
它使用Runge-Kutta方法来数值求解微分方程组。
4.vpasolve函数：用于求解符号方程组。
它可以求解包含符号未知变量的方程组。
接下来，我们将详细介绍每个函数的用法，并给出相关的实例。
二、linsolve函数2.1 求解线性方程组linsolve函数用于求解线性方程组，语法如下：X = linsolve(A, B)其中，A是系数矩阵，B是常数向量。
函数将返回未知变量的解向量X。
2.2 示例考虑以下线性方程组：2x + 3y = 74x - 5y = 2我们可以使用linsolve函数求解：A = [2, 3; 4, -5];B = [7; 2];X = linsolve(A, B);结果X将包含未知变量x和y的解。
三、fsolve函数3.1 求解非线性方程组fsolve函数用于求解非线性方程组，语法如下：X = fsolve(fun, X0)其中，fun是一个函数句柄，表示非线性方程组的函数，X0是初始解向量。