【小初高学习】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.2 第二课时排列的应用-缺

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【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.5 二项式定理-含解析

第1课时二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a ＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a 或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n －r b r 叫做二项展开式的第r ＋1项(也称通项)，用T r ＋1表示，即T r ＋1＝C r n an －r b r ． 3．二项式系数C r n (r ＝0，1，2，…，n )叫做第r ＋1项的二项式系数．1．(a ＋b )n 中，n ∈N *，a ，b 为任意实数． 2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C 0n ，C 1n ，…，C r n ，…，C n n .4．(a ＋b )n 的二项展开式中，字母a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐次减1直到0；字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n .[例1] 求下列各式的展开式：(1)(a ＋2b )4；(2)⎝⎛⎭⎫2x －32x 25. [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开． [精解详析] (1)根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n an －r b r ＋…＋C n n b n，得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 32b ＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.(2)法一：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝⎛⎭⎫－32x 2＋ C 25(2x )3⎝⎛⎭⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝⎛⎭⎫－32x 23＋C 45(2x )·⎝⎛⎭⎫－32x 24＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.法二：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝（4x 3－3）532x 10＝132x 10[C 05(4x 3)5＋ C 15(4x 3)4·(－3)＋…＋C 45(4x 3)·(－3)4＋C 55·(－3)5]＝132x10(1 024x 15－3 840x 12＋5 760x 9－4 320x 6＋1 620x 3－243) ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10. [一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a －b )n 的展开式中会出现正负间隔的情况．1．写出(1＋2x )4的展开式．解：(1＋2x )4＝C 04×14×(2x )0＋C 14×13×(2x )1＋C 24×12×(2x )2＋C 34×11×(2x )3＋C 44×1×(2x )4＝1＋8x ＋24x 2＋32x 3＋16x 4. 2．求⎝⎛⎭⎫x －12x 4的展开式．解：法一：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝C 04()x 4－C 14()x 3·12x＋C 24(x )2·⎝⎛⎭⎫12x 2－C 34x ·⎝⎛⎭⎫12x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.法二：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.[例2] 已知二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10.(1)求展开式中的第5项；(2)求展开式中的常数项．[思路点拨] (1)直接利用通项公式求解； (2)利用通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r⎝⎛⎭⎫a ＝x 2，b ＝12x ，设第r ＋1项为常数项，令x 的指数等于0即可求出r .[精解详析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10的展开式的第5项为T 5＝C 410·(x 2)6·⎝⎛⎭⎫12x 4＝C 410·⎝⎛⎭⎫124·x 12·⎝⎛⎭⎫1x 4＝1058x 10.(2)设第r ＋1项为常数项，则T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r·⎝⎛⎭⎫12x r＝C r 10·x 20－52r ·⎝⎛⎭⎫12r(r ＝0，1，2，…，10)，令20－52r ＝0，得r ＝8，所以T 9＝C 810·⎝⎛⎭⎫128＝45256，即第9项为常数项，其值为45256.[一点通](1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n an －r b r表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项T r ＋1依赖于r ，公式中的二项式的第一个量a 与第二个量b 的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n .(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定T r ＋1中r 的值或取值范围以满足题设的条件．3．(x －2y )6 展开式中的第4项为________．解析：由二项展开式的通项得，(x －2y )6展开式中的第4项为C 36x6－3·(－2y )3＝－160x 3y 3. 答案：－160x 3y 34．二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．解析：二项展开式的通项是T r ＋1＝C r n x 3n －3r x －2r ＝C r n x 3n －5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r 3(r ＝0，1，2，…，n )，故当r ＝3时，n 有最小值5.答案：55．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项．解：⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x16－3r4(r ＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝⎛⎭⎫－120C 08x 4＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝⎛⎭⎫－128C 88x －2＝1256x 2.[例3] 已知二项式⎝⎛⎭⎫3x －23x 10. (1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数．[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数． [精解详析] ⎝⎛⎭⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是 T r ＋1＝C r 10()3x 10－r·⎝⎛⎭⎫－23x r(r ＝0，1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 310＝120. (2)第4项的系数为C 31037⎝⎛⎭⎫－233＝－77 760.[一点通] 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C r n ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．6．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________．解析：x 2的系数是四个二项展开式中4个含x 2的系数和，则有－C 02(－1)0＋C 13(－1)1－C 24(－1)2＋C 35(－1)3＝－(C 02＋C 13＋C 24＋C 35)＝－20.答案：－207．在二项式(1－x 2)20的展开式中，第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________．解析：第4r 项与第r ＋2项的二项式系数分别为C 4r －120和C r ＋120，由题设得C 4r －120＝C r ＋120.由组合数性质得4r －1＝r ＋1或4r －1＝20－(r ＋1)． 4r －1＝r ＋1没有整数解．由4r －1＝20－(r ＋1)，得r ＝4. 答案：48．求⎝⎛⎭⎫2x 2＋1x 9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．解：通项公式为T r ＋1＝C r 9(2x 2)9－r·⎝⎛⎭⎫1x r＝29－r ·C r9x 18－3r ，故第3项的二项式系数为C 29＝36，第4项的系数为 26C 39＝5 376.1．求二项展开式特定项的一般步骤2．求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r项；②求含x r(或x p y q)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．3．二项式系数与项的系数的区别二项式系数C r n与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．课下能力提升(八)一、填空题1．(a＋2b)10展开式中第3项的二项式系数为________．解析：第3项的二项式系数为C210＝10！8！×2！＝45.答案：452．(四川高考改编)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15. 答案：153．二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x 25的展开式中的常数项为________．解析：∵T r ＋1＝C r 5(－1)r x 15－5r，令15－5r ＝0，∴r ＝3. 故展开式中的常数项为C 35(－1)3＝－10.答案：－104．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________．解析：a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n，又∵a ∶b ＝3∶1， ∴C n －3n C n －2n ＝C 3nC 2n ＝31，即n （n －1）（n －2）·26n （n －1）＝3，解得n ＝11. 答案：115.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 9的展开式中有理项共有________项．(用数作答) 解析：由T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r⎝⎛⎭⎫1x r＝C r9x 18－3r, 依题意需使18－3r 为整数，故18－3r ≥0，r ≤6，即r ＝0，1，2，3，4，5，6共7项．答案：7 二、解答题 6．求()x －2y 37的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：∵T 4＝C 37()x 7－3(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9，∴第四项的二项式系数为C 37＝35，第四项的系数为－280. 7．若⎝⎛⎭⎫x －ax 26展开式的常数项为60，则常数a 的值．解：二项式⎝⎛⎭⎫x －ax 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x6－r()－a rx －2r ＝C r 6x6－3r()－a r.当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.8．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x 项的系数及二项式系数．解：⎝⎛⎭⎫x ＋12x n展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r n ·()x n －r⎝⎛⎭⎫12x r＝⎝⎛⎭⎫12rC r nxn －2r 2.由题意知，C 0n ，12C 1n ，14C 2n 成等差数列，则C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．∴T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫12rC r 8x 4－r .令4－r ＝1，得r ＝3.∴含x 项的系数为⎝⎛⎭⎫123C 38＝7，二项式系数为C 38＝56.第2课时二项式系数的性质及应用(a ＋b )n 的展开式的二次式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？提示：2，4，8，16，32，64，…，其系数和为2n . 问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n ＝2，4，6时，中间一项最大，n ＝3，5时中间两项最大．二项式系数的性质一般地，(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C nn 有如下性质： (1)C m n ＝C n －mn；(2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r ＜n －12时，C r n ＜C r ＋1n ；当r ＞n －12时，C r ＋1n ＜C rn ； (4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n．1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．2．当n 为偶数时，二项式系数中，以C n2n 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以Cn －12n 和Cn ＋12n (两者相等)最大．3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等．[例1] 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.[思路点拨] 根据展开式的特点，对x 合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解．[精解详析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2＋…－a 7＝37② (1)令x ＝0，则a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7 ＝37＝2 187. [一点通](1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]．1．设(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________．解析：∵T r ＋1＝C r 6(2x )6－r (－1)r ＝(－1)r 26－r C r 6x6－r， ∴a r ＝(－1)r 26－r C r 6. ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝[2×(－1)－1]6＝36. 答案：362．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x n的展开式中各项系数的和为________．解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为⎝⎛⎭⎫12－11n＝0. 答案：03．已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)求a 1＋a 3＋a 5.解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.① (2)令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－243.② ∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5 ＝－(－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5)， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝243. (3)a 1＋a 3＋a 5＝①＋②2＝－121.[例2] (1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[思路点拨] 求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第r ＋1项系数最大，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，确定r 的值．[精解详析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有 C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，解得5≤r ≤6. ∴r ＝5或r ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. [一点通](1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得．4．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________．解析：∵(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n ＋1＝9，∴n ＝8.答案：85．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为________．解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n ，而各项的二项式系数的和等于2n ，根据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3. 所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r 3()x 3－r⎝⎛⎭⎫3x r＝3r C r3x 32－32r ，显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 13＝9.答案：9 6．在()x 23＋3x25的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项．解：(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项系数最大，则T r ＋1＝C r 5()x235－r(3x 2)r ＝3r C r 5x10＋4r 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15，∴72≤r ≤92，∴r ＝4.即展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.[例3] 求证：2n ＋2·3n ＋5n －4(n ∈N *)能被25整除．[思路点拨] 将2n ＋2·3n ＋5n －4＝4·6n ＋5n －4转化为25的倍数即可证明． [精解详析] 原式＝4·6n ＋5n －4 ＝4·(5＋1)n ＋5n －4＝4·(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋C 2n ·5n －2＋…＋C n n )＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52＋C n －1n ·51)＋4C nn ＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋20n ＋4＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋25n .以上各项均为25的整数倍，故2n ＋2·3n ＋5n －4能被25整除．[一点通] 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．7．求证：5151－1能被7整除．证明：5151－1＝(49＋2)51－1＝C051·4951＋C151·4950·2＋…＋C5051·49·250＋C5151·251－1.易知除C5151·251－1以外各项都能被7整除．又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C017717＋C117·716＋…＋C1617·7＋C1717－1＝7·(C017·716＋C117·715＋…＋C1617)．显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．8．求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除．证明：当n＝0时，原式＝0，可被676整除．当n＝1时，原式＝0，也可被676整除．当n≥2时，原式＝27n－26n－1＝(26＋1)n－26n－1＝(26n＋C1n26n－1＋…＋C n－2n ·262＋C n－1n·26＋1)－26n－1＝26n＋C1n26n－1＋…＋C n－2n·262.每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除．综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．1．用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．2．二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，则满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2，由不等式组解出r 的值． 3．余数及整除问题 (1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路．课下能力提升(九)一、填空题1．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．解析：由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，则⎝⎛⎭⎫x ＋128的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8x8－r ⎝⎛⎭⎫12r，令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x5⎝⎛⎭⎫123＝7x 5.答案：7x 52．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：令x ＝1，2n ＝64⇒n ＝6.由T r ＋1＝C r 6·36－r·x 6－r2·(－1)r ·x －r2＝(－1)r C r 636－r x 3－r，令3－r ＝0⇒r ＝3. 所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.答案：－5403．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________. 解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.答案：104．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10其通项公式为：T r ＋1＝C r 10210－r(－1)r (1－x )r ，a 8是r ＝8时，第9项的系数．所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.答案：1805．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________．解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.答案：256 二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，① 令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中 (1)二项式系数最大的项； (2)系数最小的项．解：(1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x )8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T 4＝C 38(－x )3＝－56x 3，T 6＝C 58(－x )5＝－56x 5.8．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除．证明：∵32n ＋2－8n －9＝9n ＋1－8n －9＝(1＋8)n＋1－8n－9·8n＋1－8n－9＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋C n＋1n＋1＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除.。

【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.5.2 二项式系数的性质及应

1．5.2 二项式系数的性质及应用[对应学生用书P21](a ＋b )n 的展开式的二次式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n . 问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n ＝2,4,6时，中间一项最大，n ＝3,5时中间两项最大．二项式系数的性质一般地，(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C nn 有如下性质： (1)C m n ＝C n －m n；(2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r ＜n －12时，C r n ＜C r ＋1n ；当r ＞n －12时，C r ＋1n ＜C rn ； (4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．2．当n 为偶数时，二项式系数中，以C n 2n 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以Cn －12n和C n ＋12n(两者相等)最大． 3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等．[对应学生用书P22][例1] 已知0127(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.[思路点拨] 根据展开式的特点，对x 合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解．[精解详析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2＋…－a 7＝37② (1)令x ＝0，则a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7 ＝37＝2 187. [一点通](1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]．1．设(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.解析：∵T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－1)r＝(－1)r 26－r C r 6x 6－r，∴a r ＝(－1)r 26－r C r 6.∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ＝[2×(－1)－1]6＝36. 答案：362．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中各项系数的和为________．解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为⎝⎛⎭⎫12－11n ＝0. 答案：03．已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)求a 1＋a 3＋a 5.解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.① (2)令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－243.② ∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－243. (3)a 1＋a 2＋a 3＝①＋②2＝－121.[例2] (1＋2x )n 的项和系数最大的项．[思路点拨] 求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第r ＋1项系数最大，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，确定r 的值．[精解详析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有 C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，解得5≤r ≤6. ∴r ＝5或r ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. [一点通](1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得．4．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________. 解析：∵(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n ＋1＝9，∴n ＝8.答案：85．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为________．解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n ，而各项的二项式系数的和等于2n ，根据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r 3()x 3－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 3x 32－32r ，显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 13＝9.答案：96．在⎝⎛⎭⎫x 23＋3x 25的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项．解：(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项， ∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项系数最大，则T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫x 235－r (3x 2)r ＝3r C r5x 10＋4r3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15，∴72≤r ≤92，∴r ＝4.即展开式中第5项系数最大， T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.[例3] [思路点拨] 将2n ＋2·3n ＋5n －4＝4·6n ＋5n －4转化为25的倍数即可证明． [精解详析] 原式＝4·6n ＋5n －4 ＝4·(5＋1)n ＋5n －4＝4·(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋C 2n ·5n －2＋…＋C n n )＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52＋C n －1n ·51)＋4C n n ＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋20n ＋4＋5n －4 ＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋25n . 以上各项均为25的整数倍，故2n ＋2·3n ＋5n －4能被25整除．[一点通] 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．7．求证：5151－1能被7整除．证明：5151－1＝(49＋2)51－1＝C 051·4951＋C 151·4950·2＋…＋C 5051·49·250＋C 5151· 251－1.易知除C 5151·251－1以外各项都能被7整除．又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C 017717＋C 117·716＋…＋C 1617·7＋C 1717－1 ＝7·(C 017·716＋C 117·715＋…＋C 1617)．显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．8．求证：对任何非负整数n,33n －26n －1可被676整除．证明：当n ＝0时，原式＝0，可被676整除．当n ＝1时，原式＝0，也可被676整除．当n ≥2时，原式＝27n －26n －1＝(26＋1)n －26n －1＝(26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －2n ·262＋C n －1n ·26＋1)－26n －1 ＝26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －2n·262. 每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除．综上所述，对一切非负整数n,33n －26n －1可被676整除．1．用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．2．二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，则满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r T r ＋1≥T r ＋2，由不等式组解出r 的值． 3．余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路．[对应课时跟踪训练(九)]一、填空题1．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．解析：由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，则⎝⎛⎭⎫x ＋128的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫12r ，令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝⎛⎭⎫123＝7x 5.答案：7x 52．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：令x ＝1,2n ＝64⇒n ＝6. 由T r ＋1＝C r 6·36－r·x 6－r 2·(－1)r ·x －r 2＝(－1)r C r 636－r x 3－r，令3－r ＝0⇒r ＝3. 所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.答案：－5403．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________.解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.答案：104．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________.解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10其通项公式为：T r ＋1＝C r 10210－r(－1)r (1－x )r ，a 8是r ＝8时，第9项的系数．所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.答案：1805．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.答案：256 二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，① 令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T5＝C48(－x)4＝70x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝C38(－x)3＝－56x3，T6＝C58(－x)5＝－56x5.8．求证：32n＋2－8n－9能被64整除．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(1＋8)n＋1－8n－9＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋C n＋1·8n＋1－8n－9n＋1＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．。

2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.3.1 条件概率-缺答案

2.3独__立__性2．3.1 条件概率[对应学生用书P31]三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取．问题1：三名同学抽到中奖奖券的概率相等吗？提示：相等．问题2：求第一名同学没有抽到中奖奖券的概率．提示：用A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，则P (A )＝23.问题3：求最后一名同学抽到中奖奖券的概率．提示：用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”则 P (B )＝13.问题4：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？提示：用C 表示事件“在第一名同学没有中奖的前提下，最后一名同学抽到中奖奖券”．事件C 可以理解为还有两张奖券，其中一张能中奖，则P (C )＝12.1．条件概率的概念一般地，对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率，记为P (A |B )．2．条件概率的计算公式(1)一般地，若P (B )>0，则事件B 已发生的条件下A 发生的条件概率是P (A |B )＝P (AB )P (B ). (2)利用条件概率，我们有P (AB )＝P (A |B )P (B )．1．由条件概率的定义可知，P (A |B )与P (B |A )是不同的；另外，在事件B 发生的前提下，事件A 发生的可能性大小不一定是P (A )，即P (A |B )与P (A )不一定相等．2．在条件概率的定义中，要强调P (B )>0.3．P (A |B )＝P (AB )P (B )可变形为P (AB )＝P (A |B )P (B )，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．[对应学生用书P31][例1] 6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？ [思路点拨] 根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解． [精解详析] (1)设x 表示抛掷红色骰子所得到的点数，用y 表示抛掷蓝色骰子所得到的点数，则试验的基本事件总数的全集Ω＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤6,1≤y ≤6}，如图所示，由古典概型计算公式可知：P (A )＝1236＝13，P (B )＝1036＝518，P (AB )＝536. (2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝53613＝512.[一点通] 利用P (A |B )＝P (AB )P (B )求条件概率的一般步骤：(1)计算P (B )；(2)计算P (AB )(A ，B 同时发生的概率)；(3)利用公式P (A |B )＝P (AB)P (B )计算．其中(1)(2)可利用古典概型等有关计算概率的方法求解．1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．解析：记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”，则事件AB 为“两次都取到白球”，依题意知P (A )＝35，P (AB )＝35×24＝310，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P (B |A )＝12.答案：122．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问另一个小孩是男孩的概率是多少？解：一个家庭的两个小孩只有4种可能：{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}．由题意知这4个事件是等可能的，A ＝“其中一个女孩”，B ＝“其中一个男孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}．∴P (AB )＝24，P (A )＝34.∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2434＝23.3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为 A 26＝30，根据分步计数原理第1次抽到舞蹈节目的事件数为A 14A 15＝20，于是P (A )＝2030＝23.(2)因为第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件数为A 24＝12，于是P (AB )＝1230＝25.(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.[例2] 7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球，若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．[思路点拨] 设出基本事件→求相应事件概率→求试验成功的概率[精解详析] 设A ＝{从第一个盒子中取得标有字母A 的球}， B ＝{从第一个盒子中取得标有字母B 的球}， R ＝{第二次取出的球是红球}， W ＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P (A )＝710，P (B )＝310， P (R |A )＝12，P (W |A )＝12，P (R |B )＝45，P (W |B )＝15.事件“试验成功”表示为RA ＋RB ，又事件RA 与事件RB 互斥，故由概率的加法公式，得P (RA ＋RB )＝P (RA )＋P (RB ) ＝P (R |A )·P (A )＋P (R |B )·P (B ) ＝12×710＋45×310＝0.59. [一点通] 为了求得比较复杂事件的概率．往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．4．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为________．解析：设事件A 表示“任选一名同学是男生”；事件B 为“任取一名同学为三好学生”，则所求概率为P (B |A )．依题意得P (A )＝4060＝23，P (AB )＝560＝112.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11223＝18.答案：185．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解：设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ＋B ＋C ，E ＝A ＋B .由古典概型的概率公式及加法公式可知P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620，P (AD )＝P (A )，P (BD )＝P (B )， P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D )． P (A )P (D )＋P (B )P (D )＝210C 62012 180C 620＋2 520C 62012 180C 620＝1358. 故所求的概率为1358.1．P (A |B )表示事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．2．若事件A ，C 互斥，则P [(A ＋C )|B ]＝P (A |B )＋P (C |B )．[对应课时跟踪训练(十二)]一、填空题 1．已知P (AB )＝310，P (B )＝35，则P (A |B )＝________. 解析：P (A |B )＝P (AB )P (B )＝31035＝12.答案：122．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．解析：设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则P (AB )＝C 25C 2100，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝5×4100×995100＝499.答案：4993．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为________．解析：“第一次抛出偶数点”记为事件A ，“第二次抛出偶数点”记为事件B ，则P (A )＝3×66×6＝12， P (AB )＝3×36×6＝14.所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.答案：124．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“三个人去的景点不相同”，B ＝“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于________．解析：由题意知，P (B )＝C 13·223×3×3＝49，P (AB )＝A 333×3×3＝29.∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝2949＝12.答案：125．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．解析：设动物活到20岁的事件为A ，活到25岁的事件为B ，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，由AB ＝B ，所以P (AB )＝P (B )．所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.40.8＝0.5.答案：0.5 二、解答题6．某个班级有学生40人，其中有共青团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人，如果要在班里任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组里的概率是多少？现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率是多少？解：设A ＝{在班里任选一个学生，该学生属于第一小组}，B ＝{在班里任选一个学生，该学生是共青团员}，P (A )＝1040＝14，即这个代表恰好在第一小组里的概率是14.P (A |B )＝P (AB )P (B )＝4401540＝415，即这个团员代表恰好在第一小组的概率为415.7．任意向x 轴上(0,1)这一区间内投掷一个点，问 (1)该点落在区间⎝⎛⎭⎫0，12内的概率是多少； (2)在(1)的条件下，求该点落在⎝⎛⎭⎫14，1内的概率．解：由题意可知，任意向(0,1)这一区间内投掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的．令A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 0<x <12，由几何概型的计算公式可知．(1)P (A )＝121＝12.(2)令B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14<x <1，则AB ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14<x <12，故在A 的条件下B 发生的概率为 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12－1412＝12.8．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．解：记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B . P (A )＝C 25C 36＝1020＝12，P (BA )＝C 14C 36＝15，P (B |A )＝P (BA )P (A )＝25，即在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 2.4.1 二项分布》4

第二章概率§二项分布江苏省新海高级中学闫辉一、教学目标：1知识与技能（1）理解n次独立重复试验模型；理解二项分布的概念；（2）能利用n次独立重复试验模型及二项分布解决一些简单的实际问题。

2过程与方法在具体问题的解决过程中，领会二项分布需要满足的条件，培养运用概率模型解决实际问题的能力。

3在利用二项分布解决一些简单的实际问题过程中，深化对某些随机现象的认识，进一步体会数学在日常生活中的广泛运用。

二、教学重点和难点：重点：理解n次独立重复试验模型；理解二项分布的概念；难点：利用二项分布解决一些简单的实际问题。

三、教学方法：自主探究，合作交流和启发式相结合四．教学过程：（一）复习：超几何分布（二）新课引入：，且各次击中目标与否是相互独立的。

用X 引例某射击运动员进行了4次射击，假设每次击中目标的概率均为34表示4次射击中击中目标的次数，求X的分布列。

阅读并回答本节思考交流1一、n次独立重复试验1n次独立重复试验的定义：一般指在同样条件下可以重复进行的，各次之间相互独立的一种试验。

2．n次独立重复试验的特点：⑴每次试验只有两种相互独立的结果，分别可以称为“成功”和“失败”；⑵每次试验“成功”的概率为p ，每次试验“失败”的概率为1p -；⑶各次试验之间是相互独立的。

观察：二项式413()44+ 的二项展开式：思考：X 的分布列4413()()()44k k k P X k C -== 相当于二项展开式的什么？二、二项分布二项分布的定义：在n 次独立重复试验中，某事件A 在每次试验中“成功”的概率为p 。

若变量X 表示在n 次试验中事件A “成功”的次数。

()(1)k k n k n P X k C p p -==- ，0,1,2,3,k n =⋅⋅⋅ 如果X 的分布列如上所述，则称X 服从参数为,n p 的二项分布。

简记为：~(,)X B n p阅读并回答本节思考交流2例1:有N 件产品,其中有M 件次品现从中取出n 件,用X 表示n 次抽取中含有次品的个数 n M ≤,n N M ≤-,M N <⑴采取放回式抽样,求X 的分布列;⑵采取不放回式抽样,求X 的分布列;例2某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9。

【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.3 第二课时组合的应用-缺

第二课时组合的应用[对应学生用书P15][例1]队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选．[思路点拨]特殊元素特殊对待，特殊位置优先安排．[精解详析](1)1名女生，4名男生，故共有C15·C48＝350种．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165种．(3)至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法C12·C411＋C22·C311＝825种，或采用间接法共有C513－C511＝825种．[一点通]解答组合应用题的总体思路：(1)整体分类：从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集等于空集，即“不重”，计算结果时使用分类计数原理．(2)局部分步：整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．解析：法一：选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，共有C12C26＋C22C16＝2×15＋6＝36(种)选法；法二：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，共有C38－C36＝56－20＝36(种)选法．答案：362．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种．答案：753．设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有多少种？解：从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C25＝10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是2，故此时有10×2＝20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C45＝5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是3，故此时有5×3＝15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×4＝4种选择方法．根据分类计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49种选择方法．[例2](1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？[思路点拨]解答本题可用直接法或间接法进行．[精解详析]法一：(直接法)(1)可确定直线C44＋C14C15＋C25＝31条．(2)可确定三角形C24C15＋C14C25＋C35＝80个．(3)可确定四边形C24C25＋C14C35＋C45＝105个．法二：(间接法)(1)可确定直线C29－C24＋1＝31条．(2)可确定三角形C39－C34＝80个．(3)可确定四边形C49－C44－C34C15＝105个．[一点通]解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．4．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有________个．解析：C37－3＝32.答案：325．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成__________个平行四边形．解析：第一步，从m条中任选2条，C2m；第二步，从n条中任选2条C2n.由分步计数原理，得C2m·C2n.答案：C2m·C2n6．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的任意3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身．所以所作的不同平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．所以最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，又平面α∥β，所以体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．[对应课时跟踪训练(六)]一、填空题1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法．故有C13·C27＝3×21＝63种不同选法．答案：632．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．答案：163．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最多有C420＝20×19×18×17＝4 845个．4×3×2×1答案：4 8454．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：125．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．解析：先在编号为2,3的盒内放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120种方法．答案：120二、解答题6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝126(种)．(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C12种取法．所以，共有C12·C47＝70种取法．7．某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816种．(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有C518＝8 568(种)．(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有C12·C418种选法；甲、乙两人都参加，则有C318种选法．故共有C12·C418＋C318＝6 936种选法．8．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C38种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C15种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C24种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C22种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有C38×C15×C24×C22＝1 680(种)．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5 二项式定理》

构造思维搭载体，突破教学难点--------二项式定理教学设计与思考1、背景描述笔者最近参加了学校组织的青年教师根本功大赛，讲授了“二项式定理〞这节课，在备课过程中，收集了大量的资料，在同组老师悉心帮助下，进行了深入研究。

二项式定理为苏教版选修2-3 第一章第5节第1课时，是在计数原理之后学习的一个重要应用，然而从知识的长远来看，它是开启微分学的一把钥匙，也是对于多项式乘法和知识的开发和拓展，开拓学生的视野，了解辉煌的数学史，激发学生学习的数学兴趣。

本节课的重点是二项式的定理发现，形成过程，二项式定理的简单应用。

难点在于二项式系数的生成。

就二项式定理这一内容而言，就是一个展开式，毕业后初次遇到这个课题，笔者竟一时想不起具体的公式，然后看到了问题是=？，理性的思考了下这个问题，应该是用从特殊到一般，归纳推理的解决方案。

所以笔者就想假设干年后学生大概也是跟我相差无几，那么本节课能留给学生什么呢？我想培养学生一种解决问题的能力作为重要，所以课上的重点是二项式定理的形成过程。

对于突破二项式系数的生成这一难点，可以构造思维搭载体，帮助学生建立系数生成的过程，理解二项式系数生成的本质者打算采用探究式教学的方法，主要采用对话和引导的方式，本节课力图表达“过程〞和其中蕴含的数学思想方法，以，的展开式为知识的生长点，要得到的展开式，再加上刚学过的推理证明，学生自然会想到用特殊到一般，归纳猜测的方法，归纳猜测展开式，再加以证明。

在推测一般展开式的规律时，可以猜测说出，项数，项的结构特征，系数规律难以发现，思路受阻后，教师启发学生转换思维角度，重新审视问题，构造思维的搭载体，把观察结论的规律转换为探寻多项式乘法的形成过程规律，以为例，分析每项的产生及得到每一项的方法数，引出用组合数表示展开式各项的系数，突破教学难点，在二项式定理的发现过程中，积极调动学生的思维，留给学生充分的思维量，让学生自主发现二项式定理的形成。

2、片段实录1.创设情境激发兴趣师：恩格斯说：“牛顿由于创立了二项式定理和无限理论而创立了科学的数学。

2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.2 排列含解析

第1课时排列与排列数公式1．甲、乙两名同学参加一项活动，其中一名参加上午的活动,另外一名参加下午的活动．问题1：甲在上午和乙在上午是相同的安排法吗？提示：不是．问题2:有几种不同的排法？提示：两种．甲上午，乙下午；甲下午，乙上午．2．若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．问题3：让你去安排这项活动，需要几步？提示:分两步．问题4:它们是什么？提示：第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学．问题5：有几种排法?提示：上午有3种，下午有2种,因分步完成共3×2＝6种．问题6:这些排法相同吗？提示：不相同,它们是有顺序的．3．从a、b、c中任取两个元素，按照一定的顺序排成一列．问题7：共有多少种不同的排列方法?提示：3×2＝6种．问题8:试写出它们的排列．提示：ab，ac,ba,bc，ca,cb。

排列的定义一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

已知数字1，2，3，4,5，6。

问题1:从1，2，3，4，5,6中选出两个数字，能构成多少个没有重复数字的两位数?提示：有6×5＝30（个）．问题2：从1，2，3,4，5，6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数字的三位数？提示：有6×5×4＝120（个）．问题3：从1，2，3，4，5，6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数字的四位数?提示：有6×5×4×3＝360（个）．问题4:若从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素排成一列,有多少种不同的排法？提示:有n(n－1)（n－2)…（n－m＋1）（个）．排列数全排列定义从n不同元素中取出m个(m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列表示法A错误!A错误!公式乘积形式A错误!＝n（n－1) （n－2）…（n－m＋1)A错误!＝n(n－1)（n－2)·…·3·2·1阶乘形式A错误!＝错误!A错误!＝n！性质A错误!＝1；0！＝1备注n，m∈N*，且m≤n1．判断一个具体问题是不是排列问题主要看从n个元素中取出m个元素后,在安排m个元素时，是有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列．也就是说排列与元素的顺序有关，与元素顺序无关的不是排列．2．排列与排列数是两个不同的概念,排列是一个具体的排法，不是数;排列数是所有排列的个数,它是一个数．[例1] 下列哪些问题是排列问题：（1）从10名学生中抽2名学生开会；（2）从2,3，5,7，11中任取两个数相乘；（3)以圆上的10个点为端点作弦；(4）10个车站,站与站间的车票．［思路点拨] 利用排列的定义去判断，关键是看取出的元素是否与顺序有关．［精解详析] （1)2名学生开会没有顺序，不是排列问题．(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关,不是排列问题．（3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．(4）车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的,是排列问题．［一点通] 判断一个具体问题是否有顺序的方法：变换元素的位置,看结果有无变化，若有变化，则与元素的顺序有关，是排列问题；否则，为非排列问题．1．更改例题的各条件如下,请重新判断是不是排列问题:(1)抽2名学生当正、副班长；（2）取两个数相除；(3）以圆上10个点为端点作有向线段;（4）10个车站间站与站的票价．解：(1)2名学生当正、副班长是有顺序的，故是排列问题．（2）两个数有除数和被除数之分,有顺序，是排列问题．（3)有向线段有起点和终点之分，有顺序，是排列问题．（4）两车站间来回的票价一样，故与顺序无关，不是排列问题．2．判断下列问题是否为排列问题．（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）;（2)选2个小组分别去植树和种菜;(3）选2个小组去种菜；(4）选10人组成一个学习小组;（5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解:(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的,不存在顺序问题，所以不是排列问题．（2）植树和种菜是不同的,存在顺序问题，属于排列问题．（3)、（4）不存在顺序问题，不属于排列问题．（5）中每个人的职务不同,例如，甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题,属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2）、（5）、（6）属于排列问题。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.3.3 最大值与最小值》6

导函数零点问题的探讨教学设计无锡市玉祁高级中学高宏教学背景分析〔一〕教学内容的功能和地位函数导数的应用是高考命题的热点之一，在高考中占有重要的位置。

函数中求导找零点是解决函数问题的一个根本环节，通过导数零点的研究可以求出函数的单调性，获得函数的根本图象，能把抽象的思维落实到具体的图象上，为进一步解决函数的极值点，值域、恒成立等问题提供了有力的帮助。

求导函数零点会遇到各种不同的情况，这就需要在复习中帮助学生自主建构解决问题的知识框架，构架思维导图，实现导数零点问题的整体把握，多样解读零点问题的目标。

〔二〕学情分析在以往的考试分析和学生的访谈中，导函数零点问题是学生认为较容易上手的题型，但是能彻底解决问题的成功率并不高。

此题型属于入口宽，出口窄，导函数零点问题是函数问题中的一个瓶颈。

学生主要是觉得导函数零点问题方法技巧多，观察分析变形难等。

本讲面对的是进入二轮复习的高三学生，对导函数零点问题有初步的掌握，学生具备一定的探究问题、分析问题和解决问题的能力，但缺乏对导函数零点问题的全面认识，学生往往就题论题，只是一味地考虑解题情况，没有一个解决问题的根本框架。

〔三〕设计思想导函数零点问题题型复杂多变，理清问题的类型是突破难点的前提，发挥学生的主观能动性是落实教学效果的重要保障。

本节课我的设计理念是：以问题为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放、民主、和谐的学习气氛，充分调动学生的兴趣与积极性。

让学生在经历“自主、探究、合作〞的过程中，体验从比拟中发现问题，并通过观察、分析、比照、归纳、猜测、证明、展示、交流等一系列思维活动，在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程。

同时注重渗透“分类讨论〞、“转化与化归〞“数形结合〞等数学思想及“整理和归纳〞的学习方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，将数学学科核心素养有效落地。

〔四〕教学准备试卷分析、学生访谈、要求学生完成课前小练。

教学目标1、知识与技能：通过导函数零点问题复习，理清导函数零点问题的各种类型，归纳整理相应的解题方法。

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第二课时排列的应用[对应学生用书P10][例1](1)有个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？[思路点拨](1)选出3个课题进行排列；(2)每个学习小组都选一个课题．[精解详析](1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法有A35＝5×4×3＝60种．(2)由题意知，3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事．由分步计数原理得，共有5×5×5＝125种报名方法.[一点通]没有限制条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类题相对简单，分清元素和位置即可．1．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目最多1项，则该外商不同的投资方案有________种．解析：不同的投资方案有A34＝4×3×2＝24种．答案：242．有5名男生和2名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：由题意知，从7人中选出5人担任5个学科课代表，共有A57＝2 520种不同的选法．答案：2 5203．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？解：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类计数原理，可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．[例2]7(1)其中甲站在最左端的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(3)其中甲不能站在排头、乙不能站在排尾的排法共有多少种？[思路点拨]这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则．[精解详析](1)先考虑甲站在最左端有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共A66种排法．(2)法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A25种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，共有A25·A55种排法．法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有A25种，中间5个位置有A55种，共有A25·A55种排法．(3)法一：分两类：乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有A66种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有5种，中间5个位置选1个安排乙的方法有5种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，故共有A66＋5×5A55种排法．法二：考虑间接法，总排法为A77，不符合条件的甲在排头或乙站排尾的排法均为A66种，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有A77－2A66＋A55种排法．[一点通]解决这种有限制条件的排队问题，关键是搞清元素是什么，位置是什么，根据给出的限制条件，按特殊元素(位置)恰当合理地分类或分步来解决．4．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．(用数字作答)解析：第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A33种排法；第三步：将两个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A33＝24(种)．答案：245．6个人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．解：(1)第一步，先从甲以外的5个人中任选两人站在左、右两端，有A25种不同的站法；第二步，再让剩下的4个人站在中间的4个位置，有A44种不同的站法，由分步计数原理有A25·A44＝480种不同的站法．(2)让甲、乙先站两端，有A22种站法，再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有A44种不同的站法，由分步计数原理有A22·A44＝48种不同的站法．(3)以元素甲的位置进行考虑，可分两类：甲站右端有A55种不同的站法；甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有4×4×A44种不同的站法，故共有A55＋4×4×A44＝504种不同的站法．[例3]用0,1,2,3,4(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？[思路点拨]该题目中的特殊元素为0，它不能放在首位．(1)数字可以重复；(2)只需限制首位(即万位)不为0；(3)限制末位是奇数，首位不是0.[精解详析](1)各个数位上的数字允许重复，由分步计数原理得，共可组成五位数4×5×5×5×5＝2 500个．(2)法一：(优先考虑特殊位置)先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A14种方法，其余四个位置排四个数字共有A44种方法，所以组成的无重复数字的五位数共有A14A44＝96个．法二：(优先考虑特殊元素)先排0，除首位之外的其他四个数位均可，有A14种方法，其余四个数字全排，有A44种方法．故组成的无重复数字的五位数共有A14A44＝96个．(3)(优先考虑特殊位置)先排个位，1和3均可，有A12种方法．然后从剩下的3个非0数中选一个排在万位，有A13种方法，最后将剩下的3个数排在其他三个数位上，有A33种方法．故组成的无重复数字的五位奇数共有A12A13A33＝36个．[一点通]组数问题中常用的知识：(1)能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数．(2)能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数．(3)能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数．(4)能被5整除的数的特征：末位数是0或5；能被25整除的数的特征：末两位数是25的正整数倍．(5)能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数．6．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个四位偶数？解：(1)先排首位，有A15种排法，再排个位、十位和百位，有A35种排法，故共有A15A35＝300个不同的四位数．(2)当个位数字是0时，有A35种；当个位数字不是0时，有A12A24A14种．所以，共有A35＋A12A24A14＝156个，即可组成156个偶数．7．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有多少个？解：依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是奇数，从1,3,5三个数中选三个数排列，有A33种方法；(2)3个数字中有一个是奇数，分两步进行，选一个奇数，有3种选法，这个奇数与两个偶数全排列，故有3A33种方法．由分类计数原理，共有A33＋3A33＝24个满足条件的三位数．1．解决排列问题时通常从以下三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，如组数问题中的首位，如果所给数字中有0，应先考虑首位不为0；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数，然后去掉不符合要求的排列．2．解决组数问题应注意的几点(1)首位数字不为0；(2)若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”；(3)若排列的数是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”；(4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素，特殊位置分类．[对应课时跟踪训练(四)]一、填空题1．由1,2,3,4,5,6,7,8八个数字，组成无重复数字的两位数的个数为________．(用数字作答)解析：A28＝8×7＝56个．答案：562．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．(用数字作答)解析：先排甲、乙之外的3人，有A33种排法，然后将甲、乙两人插入形成的4个空中，有A24种排法，故共有A33·A24＝72(种)排法．答案：723．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有________种．解析：根据题目的条件可知，A，B必须相邻且B在A的右边，所以先将A，B两人捆起来看成一个人参加排列，即是4个人在4个位置上作排列，故不同的排法有A44＝4×3×2×1＝24(种)．答案：244．由数字1,2,3与符号“＋”和“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是________．解析：符号“＋”和“－”只能在两个数之间，这是间隔排列，排法共有A33A22＝12种．答案：125．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设N i(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是________．(用数字作答)解析：由题意知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A13A25＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为A12A12＝4，由分步计数原理知满足条件的排列个数是240.答案：240二、解答题6．7名同学排队照相，(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？解：(1)分两步，先排前排，有A37种排法，再排后排，有A44种排法，符合要求的排法共有A37·A44＝5 040种；(2)第一步安排甲，有A13种排法；第二步安排乙，有A14种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A55种排法．由分步计数原理得，符合要求的排法共有A13·A14·A55＝1 440种．7．从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，问：(1)共能组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数中，图像关于y轴对称的有多少个？解：(1)法一：(直接法——优先考虑特殊位置)∵a≠0，∴确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A27种，∴共有7A27＝294个不同的二次函数．法二：(直接法——优先考虑特殊元素)a，b，c中不含0时，有A37个，a，b，c中含有0时，有2A27个，故共有A37＋2A27＝294个不同的二次函数．法三：(间接法)共可构成A38个函数，其中a＝0时有A27个均不符合要求，从而共有A38－A27＝294个不同的二次函数．(2)(直接法)依题意b＝0，所以共有A27＝42个符合条件的二次函数．8．用0,1,2,3,4,5这六个数字，(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个比1 325大的四位数？解：(1)五位数中为5的倍数的数可分两类：第1类：个位上是0的五位数有A45个；第2类：个位上是5的五位数有A14A34个．所以满足条件的五位数有A45＋A14A34＝216(个)．(2)比1 325大的四位数可分三类：第1类：千位上是2,3,4,5时，共有A14A35个；第2类：千位上是1，百位上是4,5时，共有A12A24个；第3类：千位上是1，百位上是3，十位上是4,5时，共有A12A13个．由分类计数原理得，比1 325大的四位数共有A14A35＋A12A24＋A12A13＝270(个)．。