2011届高考数学二轮专题复习 第16课时 三角形中的三角函数
2011届高考数学基础知识总结复习4(三角函数)
高中数学第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α•cos α=1”．§04. 三角函数 知识要点1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Zk k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在xy-=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α⑩角α与角2.（rad ）34原点的）一点rx =αcos ；5正弦、余割6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：16. 几个重要结论:xx x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(=+=+-=+πππ xx x x x x c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (-=--=-=-πππ xx x x x x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (-=--=--=-πππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+αααc o s s i n 22s i n =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2t a n 1t a n 22t a n -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2c o s 12s i n αα-±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+2c o s 12c o sαα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=⎭⎝2)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨x y sin=不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）xy cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（π=T 212cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：x f y ==)(⑩a y=cos 11１）２）、. ３）函数y ϕ（即当x ＝0由y ＝0＜|A|＜1（用y/A 替换y ）由y ＝ω|＞1）到原来的1|ω的图象，叫做周期变换或叫做沿用ωx 替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。
2011届高考数学热点：三角函数
2011届高考数学热点：三角函数D2.攻略之二---熟练掌握三角函数的基本变换方法例3（2009北京文）（本小题共12分）已知函数()2sin()cos f x x xπ=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解:（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==，∴函数()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）由2623x x ππππ-≤≤⇒-≤≤，∴3sin 212x -≤≤，∴()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为32-. 【点评】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．例4(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cossin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值.(1) 求ϕ的值；(2) 在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C.解: （1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=⋅+- sin sin cos cos sin sin x x x xϕϕ=++- sin cos cos sin x x ϕϕ=+ sin()x ϕ=+因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1πϕ+=-,由诱导公式知sin 1ϕ=,因为0ϕπ<<,所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=（2）因为23)(=A f ,所以3cos A =,因为角A 为∆ABC 的内角,所以6A π=.又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得sin sin a bA B=,也就是sin 12sin 222b A B a ===,因为b a >,所以4π=B 或43π=B . 当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412C ππππ=--=. 【点评】本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.3.攻略之三---注重培养三角函数的应用意识例5（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
2011高考数学真题考点分类新编：考点16正弦定理和余弦定理(新课标地区)
考点16正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决.【精讲精析】选D.由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B =所以222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=．二、填空题2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________【思路点拨】设三角形一边的长x ，可以用x 表示其它两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ∆的面积. 【精讲精析】设三角形长为x ，则另两边的长为x-4,x+4,那么所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 61021=⨯⨯⨯=∆ ABC S 【答案】.3153.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC= D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______.【思路点拨】结合图形，∆∠∠ABC 先在中，由余弦定理解出C 与B ，ABD∆然后在中，由正弦定理解得AD.在ABC∆中，由余弦定理易得222cos22AC BC ABCAC BC+-===⋅⋅30,30.C B ABD∴∠=︒∴∠=︒∆在中，,1sin sin2AD AB ADADB ADB=∴=∴=∠由正弦定理得：4.（2011·福建卷文科·Ｔ14）若△ABC的面积为3，BC=2，C=︒60，则边AB 的长度等于_____________.【思路点拨】AC，然后再用余弦定理求得AB.【精讲精析】2. 在ABC∆中，由面积公式得11sin2sin6022S BC CA C AC=⋅⋅=⨯⋅⋅︒2,AC AC=再由余弦定理，得：222221+2cos2222242AB BC AC AC BC C-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=＝，2AB∴=.5.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16）在ABCV中，60,B AC==则2A B B C+的最大值为 .【思路点拨】利用三角函数知识，化简2AB BC+，统一角变量，然后求最大值.【精讲精析】令AB c=，BC a=，则由正弦定理得2,sin sin sina c ACA C B====2sin,2sin,c C a A∴==且120A C+=︒，222sin4sinAB BC c a C A∴+=+=+2sin4sin(120)C C=+︒-＝2sin C+1sin)4sin2C C C C+=++)Cϕ=(其中tanϕ=∴当90Cϕ+=︒时，2AB BC+取最大值为6.（2011·新课标全国文科·Ｔ15）△ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为_________【思路点拨】用余弦定理求得边BC 的值，由1sin 2ABC S AB BC B ∆⨯⨯＝求得三角形的面积【精讲精析】4设,,AB c BC a AC b ===，由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-，得21492525()2a a =+-⨯⨯-，解得3a =，11sin 35sin12022ABC S ac B ∆∴==⨯⨯⨯︒4=7.（2011·北京高考理科·T9）在ABC ∆中，若5,,tan 24b B A π=∠==，则s i n A = ；a = .【思路点拨】先利用切化弦与平方关系联立解出sinA ，再由正弦定理求出a..22sin sin tan 2,cos ,sin ()1,22A A A A A =∴=∴+=(0,),sin 5A A π∈∴=又.=a =8.（2011·北京高考文科·T9）在ABC ∆中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = .【思路点拨】利用正弦定理求出a .【精讲精析】3.由正弦定理得，13a =，所以3a =.三、解答题9.（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【思路点拨】化简12c o s ()0B C ++=，求出sinA,cosA,再由正弦定理算出sinB,cosB,从而得到sinC,则h=bsinC.【精讲精析】由12cos()0B C ++=，和B+C=π-A,得,23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A再由正弦定理得，.22sin sin ==a Ab B 由b<a ，知B<A,所以B 不是最大角，2π<B ，从而22sin 1cos 2=-=B B . 由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h,则有.213sin +==C b h 10.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，a A b B A a 2cos sin sin 2=+．（I ）求ba；（II ）若c 2=b 2a 2，求B ．【思路点拨】（I ）依据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得；（II ）先结合余弦定理和已知条件求出B cos 的表达式，再利用第（I ）题的结论进行化简即得．【精讲精析】（I ）由正弦定理得，A A B B A sin 2cos sin sin sin 22=+，即 A A A B sin 2)cos (sin sin 22=+．故A B sin 2sin =，所以2=ab ……6分 （II ）由余弦定理和2223a bc +=，得caB 2)31(cos +=． 由（I ）知222a b =，故22)32(a c +=． 可得=B 2cos 21，又0cos >B ，故=B cos 22，所以045=B ． ……12分 11.（2011·山东高考理科·Ｔ17）（本小题满分12分） 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.【思路点拨】（1）本题可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知sin sin CA=2. （2）应用余弦定理及第一问结论易知a 和c 的值，然后利用面积公式求解. 【精讲精析】 （Ⅰ）在ABC ∆中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=及正弦定理可得 cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=， 即cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos -=-A B C B C B A B 则cos sin sin cos 2sin cos 2cos sin +=+A B A B C B C Bsin()2sin()A B C B +=+，而A B C π++=，则sin 2sin C A =，即sin 2sin CA=. 另解1：在ABC ∆中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-由余弦定理可得22222222222222b c a a b c a c b a c b c a a c+-+-+-+--=-， 整理可得2c a =，由正弦定理可得sin 2sin C cA a==. 另解2：利用教材习题结论解题，在ABC ∆中有结论cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b c A a C c a B b A =+=+=+.由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=- 即cos cos 2cos 2cos b A a B c B b C +=+，则2c a =，由正弦定理可得sin 2sin C cA a==. （Ⅱ）由2c a =及1cos ,24B b ==可得22222242cos 44,c a ac B a a a a =+-=+-=则1a =，2c =，S 11sin 12224ac B ==⨯⨯=，即S =12.（2011·山东高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cos B =14，5b ABC 的周长为，求的长.【思路点拨】（I ）本题可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知sin sin CA=2. （II ）由周长得出，a 和b 之间的关系b=5-3a ，再将b=5-3a 代入余弦定理求得a 和b.【精讲精析】(I)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C = 所以cos A-2cosC 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -, 即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A BC C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (II)由(I)知sin sin CA=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a, 由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，a=5(舍去) 所以b=2.13.（2011·湖南高考理科·T17）（12分）在中，ABC ∆角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC. （1）求角C 的大小；（2）求)4cos(sin 3π+-B A 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小.【思路点拨】本题主要考查利用正弦定理消边，再考查三角恒等变形.突出考查边角的转化思想的应用.边角共存的关系中常考虑消去边或消去角，如果考虑消边，如果是边的一次常用正弦定理，如果是边的二次常考查余弦定理，在考查余弦定理时兼顾考查凑配.如果考虑消角，那么是余弦就用余弦定理，而如果是正弦定理必须等次才能使用.【精讲精析】（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（II ）由（I ）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==14.（2011·陕西高考理科·T18）（本小题满分12分） 叙述并证明余弦定理．【思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固． 【精讲精析】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。
2011年高考真题二：三角函数、解三角形、平面向量
专题二 三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．(2011年高考湖北卷)已知函数f ()x ＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f ()x ≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 2．(2011年高考重庆卷)已知向量a ＝()1，k ，b ＝()2，2，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．(2011年高考四川卷)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝()a ，b .从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则mn＝( )A.215B.15C.415D.134．(2011年高考山东卷)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32 C ．2 D ．35．(2011年高考浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．16．(2011年高考辽宁卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．127．(2011年高考陕西卷)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x i ＜1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1]8．(2011年高考大纲全国卷)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.79．(2011年高考大纲全国卷)设函数f ()x ＝cos ωx ()ω>0，将y ＝f ()x 的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 10．(2011年高考湖北卷)若向量a ＝()1，2，b ＝()1，－1，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π4 11．(2011年高考重庆卷)若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.111612．(2011年高考课标全国卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 二、填空题13．(2011年高考大纲全国卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝__________. 14．(2011年高考课标全国卷)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.15．(2011年高考江苏卷)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x的值为________． 16．(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．17．(2011年高考安徽卷)设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．18．(2011年高考江西卷)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.19．(2011年高考上海卷)在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.20．(2011年高考重庆卷)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝__________. 21．(2011年高考福建卷)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b 等于________． 22．(2011年高考安徽卷)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．23．(2011年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.三、解答题24．(2011年高考四川卷)已知函数f ()x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . ()1求f ()x 的最小正周期和最小值；()2已知cos ()β－α＝45，cos ()β＋α＝－45，0<a <β≤π2，求证：[]f ()β2－2＝0.25．(2011年高考山东卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos Ccos B＝2c －a b .(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．26．(2011年高考湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 ，a ，b ，c 满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．27．(2011年高考湖北卷)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b＝2，cos C ＝14.()1求△ABC 的周长； ()2求cos ()A －C 的值．28．(2011年高考重庆卷)设函数f ()x ＝sin x cos x －3cos ()π＋x cos x ()x ∈R . ()1求f ()x 的最小正周期；()2若函数y ＝f ()x 的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g ()x 的图象，求y ＝g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．29．(2011年高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值．专题二 三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．【解析】选B.∵f ()x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴f ()x ≥1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12， ∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z . 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .2．【解析】选D.a ＋b ＝()1，k ＋()2，2＝()3，k ＋2. ∵a ＋b 与a 共线，∴k ＋2－3k ＝0，解得k ＝1.∴a ·b ＝()1，1·()2，2＝4. 3．【解析】选B.向量α的坐标有()2，1，()2，3，()2，5，()4，1，()4，3，()4，5，共6种情况，以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形共有C 26＝15个． 以a ，b 为邻边所作平行四边形的面积为 S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝|a ||b |1－cos 2〈a ，b 〉＝|a ||b | 1－()a ·b 2|a |2|b |2＝|a |2|b |2－()a ·b 2. 分别以a ＝()2，1，b ＝()4，1；a ＝()2，1，b ＝()4，3；a ＝()4，5，b ＝()2，3为邻边的平行四边形面积为2，故m ＝3，所以m n ＝315＝15.4．【解析】选B.∵y ＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由y ＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 5．【解析】选D.∵a cos A ＝b sin B ， ∴sin A cos A ＝sin B sin B ， 即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1. 6．【解析】选D.由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.7．【解析】选C.M ＝{y |y ＝|cos 2x |，x ∈R }＝{y |0≤y ≤1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x i ＜1＝{x ||－x i|＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，则M ∩N ＝[0,1)．8．【解析】选B.∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，∴|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝1＋4＋4×⎝⎛⎭⎫－12＝5－2＝3. ∴|a ＋2b |＝ 3.9．【解析】选C.由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6. 10．【解析】选C.2a ＋b ＝2()1，2＋()1，－1＝()3，3， a －b ＝()1，2－()1，－1＝()0，3， ()2a ＋b ·()a －b ＝9.|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3. 设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∴α＝π4.11．【解析】选D.由6sin A ＝4sin B ＝3 sin C 得sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由正弦定理知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4， 不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ()k >0，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝()22＋42－32k 22×2k ×4k＝1116.12．【解析】选D.∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2cos 2x ， 当0<x <π2时，0<2x <π，故f (x )＝2cos 2x 在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减． 又当x ＝π2时，2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2＝－2，因此x ＝π2是y ＝f (x )的一条对称轴． 二、填空题13．【解析】∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴()2cos α2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 【答案】－5514．【解析】∵a 与b 是不共线的单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又k a －b 与a ＋b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0. ∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0.(θ为a 与b 的夹角) ∴(k －1)(1＋cos θ)＝0.又a 与b 不共线， ∴cos θ≠－1，∴k ＝1. 【答案】115．【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2得tan x ＝13，tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝12(1－tan 2x )＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132＝49. 【答案】4916．【解】法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.法二：设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 【答案】517．【解析】由f (x )≤⎪⎪⎪⎪f (π6)对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴． 又f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 的周期为π， ∴f ⎝⎛⎭⎫11π12＝f ⎝⎛⎭⎫π6＋3π4可看作x ＝π6的值加了34个周期， ∴f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0.故①正确． ∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30， ∴7π10和π5与对称轴的距离相等． ∴⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②不正确． ∵x ＝π6是对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2kx ，k ∈Z . ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，tan φ＝b a ＝13，∴a ＝3b .∴f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6或f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z . 由于f (x )的解析式不确定，∴单调递增区间不确定，故④不正确． ∵f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a ，∴－a 2＋b 2≤f (x )≤a 2＋b 2.又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0. ∴－a 2＋b 2<b <a 2＋b 2，∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图象相交．故⑤不正确． 【答案】①③ 18．【解析】b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.又因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.【答案】－6 19．【解析】法一：如图，在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD ＝7，cos ∠BAD ＝32＋(7)2－122×3×7＝5714，∴AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos ∠BAD ＝3×7×5714＝152.法二：∵AD →＝AB →＋BD →，∴AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝|AB →|2＋|AB →||BD →|·cos 120°＝9＋3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝152. 【答案】15220．【解析】∵cos α＝－35且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＝－45，∴tan α＝43.【答案】4321．【解析】a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1. 【答案】1 22．【解析】由(a ＋2b )·(a －b )＝－6得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴12－2×22＋1×2×cos 〈a ，b 〉＝－6，∴cos 〈a ，b 〉＝12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.【答案】π323．【解析】根据正弦定理应有a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.【答案】523三、解答题24．【解】(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.()2证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[]f ()β2－2＝4sin 2π4－2＝0.25．【解】(1)由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin A sin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ．因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2. 26．【解】(1)由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0.从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，故C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12，所以当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2.综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 27．【解】()1∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.()2∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝ 1－⎝⎛⎭⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A＝ 1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴cos ()A －C ＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.28．【解】()1f ()x ＝12sin 2x ＋3cos 2x＝12sin 2x ＋32()1＋cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 故f ()x 的最小正周期为T ＝2π2＝π.()2依题意g ()x ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g ()x 为增函数， 所以g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.29．【解】(1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos ⎝⎛⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218.。
2011年高考数学试题分类考点16 正弦定理和余弦定理
SABC
1 2
10 6 sin120或
15
3.
【答案】15 3
3.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC= 2 3 ，点 D 在 BC 边上，∠ADC=45°，则
AD 的长度等于______. 【思路点拨】结合图形，
先 在 A B C中 ， 由 余 弦 定 理 解 出 C与 B，
5
，所以 a 5
2
.
12
3
32
52
【答案】
3
三、解答题
9.（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长，a= 3 ，
b= 2 ，1 2 cos(B C) 0 ，求边 BC 上的高.
【思路点拨】化简1 2 cos(B C) 0 ，求出 sinA,cosA,再由正弦定理算出 sinB,cosC,从而得到 sinC,
2
2
11.（2011·山东高考理科·Ｔ17）
在 VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 cos A-2 cos C = 2c-a .
cos B
b
sin C
（Ⅰ）求
的值；
sin A
1
（Ⅱ）若 cosB=
4
，b=2,
求△ABC 的面积 S.
sin C
【思路点拨】（Ⅰ）本题可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知
则 h=bsinC.
【精讲精析】由1 2 cos(B C) 0 和 B+C=π-A,得
1 2 cos A 0, cos A 1 ,sin A 3 ,
2
2
再由正弦定理得， sin B b sin A 2 . a2
2011年高考数学二轮考点专题突破 三角函数求值与解三角形
第二讲 三角函数求值与解三角形一、选择题1．(2009·某某卷)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43B.54C ．－34 D.45解析：原式＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45，故选D. 答案：D2．若cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝－45，又β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos β2的值为( ) A ．1010B ．31010C ．－1010D ．－31010 解析：cos[(α－β)－α]＝cos(－β)＝－45. ∵π<β<3π2，∴π2<β2<3π4. cos β＝2cos 2β2－1＝－45，∴cos 2β2＝110. ∴cos β2＝－1010. 答案：C3．(2010·某某，3)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A.63B.223C ．－63D ．－223解析：由正弦定理得，sin B ＝10×sin 60°15＝33. ∵a >b ，∴B <60°，∴cos B ＝1－⎝⎛⎭⎫332)＝63，故选A. 答案：A4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac ，则 角B 的值为( ) A.π6B.π3C.π6或5π6 D.π3或2π3解析：∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32. ∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3. 答案：D5．(2010·课标全国)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2＝() A ．－12B.12C ．2D ．－2 解析：∵cos α＝－45且α是第三象限的角，∴sin α＝－35， 1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2 ＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝25－45＝－12.故选A. 答案：A二、填空题6．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.解析：由cos(α＋β)＝sin(α－β)，即cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，整理得cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．又β为锐角，则cos α＝sin α，即tan α＝1.答案：17．在△ABC 中，若sin A ＝35，cos B ＝513，则sin C ＝________.解析：由已知B 为锐角，sin B ＝1213. 又sin B >sin A ，则A 为锐角，∴cos A ＝45. 因此sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝6365. 答案：63658．满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________．解析：设BC ＝a ，则AC ＝2a ，由AB ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ (2＋1)a >2，(2－1)a <2，解之得22－2<a <22＋2，又cos C ＝a 2＋2a 2－422a 2＝3a 2－422a 2， 得sin C ＝8a 4－(3a 2－4)222a 2， ∴S △ABC ＝12a ×2a sin C ＝148a 4－(3a 2－4)2 ＝14128－(a 2－12)2，∵a 2∈(12－82，12＋82)，∴当a 2＝12，即a ＝23时，△ABC 的面积最大，即S △ABC 最大值＝14128＝2 2. 答案：2 29．(2009 ·某某)在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cos A的值等于________，AC 的取 值X 围为________解析：由正弦定理BC sin A ＝AC sin B， 则AC cos A ＝BC sin B sin A cos A ＝2BC sin B sin 2A ＝2. 由A ＋B ＋C ＝π得3A ＋C ＝π，即C ＝π－3A .由已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π20<2A <π20<π－3A <π2，解得π6<A <π4. 由AC ＝2cos A 知2<AC < 3.答案：2(2，3)三、解答题10．已知：cos α－sin α＝325， (1)求μ＝15sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)若函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，且f (－1)＝320，求f (μ)的值．解：(1)由cos α－sin α＝325，得 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35. 又因为sin 2α＝＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝725， 所以μ＝15sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝7 (2)由题意函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称．所以f (3＋x )＝f (3－x )，所以f (μ)＝f (7)＝f (3＋4)＝f (3－4)＝f (－1)＝320.11．(2010·某某)设△ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且sin 2A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＋sin 2B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b <c )．解：(1)因为sin 2A＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B ⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34， 所以sin A ＝±32.又A 为锐角，所以A ＝π3. (2)由AB →·AC →＝12可得cb cos A ＝12.①由(1)知A ＝π3，所以cb ＝24.② 由余弦定理知a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，将a ＝27及①代入，得c 2＋b 2＝52，③③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，所以，c ＋b ＝10，因此c ，b 是一元二次方程t 2－10t ＋24＝0的两个根．解此方程并由c >b 知c ＝6，b ＝4.12．(2010·某某)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点 南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？解：由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， ∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5(3＋3)·sin 45°sin 105° ＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60° ＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)，又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)． 答：救援船到达D 点需要1小时。
2011高考数学重点知识归纳+3.三角函数
五．三角函数一、终边相同的角的表示方法：凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900，k ∈Z}。
在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。
理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；⑴角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，1801π=弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈⑵弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211||22S lR R α==。
例：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：22cm ） 二、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（1）三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==ααxy =αtan （2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（4）同角三角函数的基本关系：x xx x tan cos ;1cos sin 22==+ （5）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．）: (注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)． sin(πα-)＝sin α,cos(πα-)＝－cos α,tan(πα-)＝－tan α sin(πα+)＝－sin α,cos(πα+)＝－cos α,tan(πα+)＝tan α sin(α-)＝－sin α,cos(α-)＝cos α,tan(α-)＝－tan αsin(2πα-)＝－sin α,cos(2πα-)＝cos α,tan(2πα-)＝－tan αsin(2k πα+)＝sin α,cos(2k πα+)＝cos α,tan(2k πα+)＝tan α，()k Z ∈ sin(2πα-)＝cos α,cos(2πα-)＝sin α ， sin(2πα+)＝cos α,cos(2πα+)＝-sin α例：若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 .（答： 34）例：已知11tan tan -=-αα，则ααααc os sin c os 3sin +-＝____；2cos sin sin 2++ααα＝_________（答：35-；513）；齐次分式弦化切,一般问题切化弦。
高考数学 三角函数,向量二轮复习专题 大纲人教版
2011级三角函数、向量、解斜三角形综合一、重点知识回顾1、终边相同的角的表示方法：理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；⑴角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1801π=弧度，1弧度)180(π='1857 ≈⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：RlR S 21212==θ。
2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式： （1）三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==ααx y=αtan（2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（3）特殊角的三角函数值 α6π 4π3π2ππ23π2πsin α 0 2122 2310 -1cos α 123 22210 -1 0 1tan α 0 3313不存在 0 不存在 0（3）同角三角函数的基本关系：x x xx x tan cos sin ;1cos sin 22==+（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）: 3、两角和与差的三角函数 （1）和（差）角公式 ① ② ③（2）二倍角公式 ①； ②；③（3）经常使用的公式①升（降）幂公式：21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=、1sin cos sin 22ααα=；②辅助角公式：22sin cos )a b a b αααϕ+=++（ϕ由,a b 具体的值确定）； ③正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅. 4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；⑶会从图象归纳对称轴和对称中心； （4）注意加了绝对值后的情况变化.（5）写单调区间注意0ω>.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ϕω=-.（三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下： （1）先平移后伸缩（2）先伸缩后平移5、解三角形Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理R C cB b A a 2sin sin sin ===（R 2是ABC ∆外接圆直径）注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③C B A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。
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第16课时 三角形中的三角函数
一、基础练习 1、在△ABC 中，cosB=13
5-，cosC=
5
4，则sinA=_________
2、在△ABC 中，cos(
4
π+A)=13
5，则cos2A=_________
3、△ABC 中，已知a-b=c(cosB-cosA)，则△ABC 的形状是___________
4、在△ABC 中，已知acosB-bcosA=
5
3c ，则tanAcotB=_________
5、在△ABC 中，三边a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为2
3，则b=_________
二、例题
1、已知△ABC 中，acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列。
（1）求∠B 的值；（2）求2sin 2
A+cos(A-C)的范围。
2、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若m =(cosA ，sinA)，n =(cosB ，sinB)，且m ·n =3sinB-cosC 。
（1）求角A 的大小；
（2）若a=3，当△ABC 面积最大时，求c ，b 的值。
3、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABC S AC AB ∆=⋅3
8（其S △ABC 为△
ABC 的面积）。
（1）求A C B 2cos 2
sin
2
++。
（2）若b=2，S △ABC =3，求a 的值。
三、巩固练习
1、△ABC 中，A>B 是sinA>sinB 的___________条件。
2、△ABC 中，AB=1，BC=2，则∠C 的取值范围是_____________
3、在△ABC 中，BC=6，AB+AC=10，则△ABC 的面积的最大值是_________
4、已知A 、B 、C 是△ABC 的内角，向量m =(sinB ，1-cosB)与向量n =(2，0)所成的角为3
π，
则角B=_________，sinA+sinC 的取值范围是_____________。