(完整版)初高数学衔接第一讲数与式的运算
初高中数学衔接知识总汇
第一章数与式的运算1、1 绝对值知识清单1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零，即(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。
3.两个数的差的绝对值的几何意义：ba-表示在数轴上，数a和数b之间的距离。
4.两个重要绝对值不等式：axaxaaxax＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜-⇔-⇔0axaa；问题导入：问题1：化简：（1）：12-x（2) : 31-+-xx问题2：解含有绝对值的方程（1）642=-x; （2）: 5223=--x、问题3：至少用两种方法解不等式 41＞-x知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：（1）！（2）x y =; （2）32+-=x y .例2：解不等式：431＞-+-x x{巩固拓展：1.（1）若等式a a -= , 则成立的条件是----------（2）数轴上表示实数 x 1,x 2 的两点A,B 之间的距离为--------2.已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么1+a表示（ ）A 、 A,B 两点间的距离 B 、 A,C 两点间的距离C 、 A,B 两点到原点的距离之和D 、 A,C 两点到原点的距离之和 3.<4.如果有理数x ，y 满足()01212=+-+-y x x ，则=+22y x ______5.化简：（1）3223+=-x x ; （2）31--x6.已知 x= -2是方程612-=--m x 的解，求m 的值。
;6.已知a ，b ，c 均为整数，且 1=-+-a c b a ,求: c b b a a c -+-+-的值)方法指导学习本节知识，要充分领会绝对值的代数意义，从数和形两方面去研究，体会分类讨论与数形结合的两种数学思想方法。
1、2 二次根式与分式知识清单1.二次根式（1）二次根式的定义：形如a (a ≥0）的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义。
高中数学初高衔接教材精编版 第一讲 数与式的运算(选上)
高中数学初高衔接教材精编版第一讲数与式的运算（选上）第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca 证明：?(a?b?c)2?[(a?b)?c]2?(a?b)2?2(a?b)c?c2?a2?2ab?b2?2ac?2bc?c2a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca?等式成立212x?)23122解：原式=[x?(?2x)?]3【例1】计算：(x?111?(x2)2?(?2x)2?()2?2x2(?2)x?2x2??2??(?2x)3338221?x4?22x3?x2?x?339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方和公式)证明: (a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：(a?b)(a?ab?b)2222322223332233 1解：原式=[a?(?b)][a2?a(?b)?(?b)2]?a3?(?b)3?a3?b3 我们得到：【公式3】(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：（1）(4?m)(16?4m?m2)（2）(m?151111n)(m2?mn?n2) 225104（3）(a?2)(a?2)(a4?4a2?16) （4）(x2?2xy?y2)(x2?xy?y2)2 解：（1）原式=4?m?64?m（2）原式=(m)?(n)?3331531231313m?n 1258（3）原式=(a2?4)(a4?4a2?42)?(a2)3?43?a6?64 （4）原式=(x?y)2(x2?xy?y2)2?[(x?y)(x2?xy?y2)]2?(x3?y3)2?x6?2x3y3?y6说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．1的值． x312解：?x?3x?1?0 ?x?0 ?x??3x1211122原式=(x?)(x?1?2)?(x?)[(x?)?3]?3(3?3)?18xxxx2【例4】已知x?3x?1?0，求x?3 说明：本题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知a?b?c?0，求111111a(?)?b(?)?c(?)的值． bccaab解：?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b?原式=a?b?ca?ca?b?b??c? bcacaba(?a)b(?b)c(?c)a2?b2?c2????? ①bcacababc 2?a3?b3?(a?b)[(a?b)2?3ab]??c(c2?3ab)??c3?3abc?a3?b3?c3?3abc ②，把②代入①得原式=?3abc??3 abc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)二、根式式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下： (1) (a)2?a(a?0) (3)(2)a2?|a|bb?(a?0,b?0) aaab?a?b(a?0,b?0) (4)【例6】化简下列各式： (1)(3?2)2?(3?1)2 (2)(1?x)2?(2?x)2 (x?1)解：(1) 原式=|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1?(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)(2) 原式=|x?1|?|x?2|??(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2) ?说明：请注意性质a2?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)32?3 (2)11? ab(3) 2x?x3?8x 2解：(1) 原式=3(2?3)(2?3)(2?3)?3(2?3)22?3?6?33a?ba2b?ab2?(2) 原式= abab(3) 原式=22x?x?x2?2?22x?2x?xx?22x?32x?xx 2?2说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数3或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如32?3)或被开方数有分母(如axxx)．这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，22b2要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如32?3化为3(2?3)(2?3)(2?，其中2?3与2?3叫做互为有理化因式)．3)【例8】计算：(1) (a?b?1)(1?a?b)?(a?b)2(2)aa?ab?aa?ab解：(1) 原式=(1?b)2?(a)2?(a?2ab?b)??2a?2ab?2b?1(2) 原式=aa(a?b)?aa(a?b)??1a?b?1a?b?(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)2a a?b说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x?2?32?3?,y?2?32?3，求x3?y3的值．解：x?2?32?3(2?3)222?3?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1原式=(x?y)(x2?xy?y2)?(x?y)[(x?y)2?3xy]?14(142?3)?2702说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式AA的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两BBx 1?xx?1x?x种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例10】化简4感谢您的阅读，祝您生活愉快。
初高中数学衔接第一讲： 数与式
• 2．常见运算及法则
1
－5
2020年7月13日星期一
• 3.有理数混合运算的顺序 • (1)先乘方，再乘除，最后加减． • (2)同级运算，从左到右进行． • (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括 号、中括号、大括号依次进行．
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► 知识点五 平方根、算术平方根与立方根
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知识点一 实数及其分类
• 1．正数和负数 • (1)正数和负数：大于0的数叫做正数，在 正数前面加“－”的数叫做负数．
• (2)正负数的意义：用来表示具有相反意义 的量，如“比0高的得分与比0低的得分”， “零上温度与零下温度”，“盈利额与亏损 额”，“收入与支出”都是具有相反意义的 量．如向东走10米记作＋10米，则向西走5米 记作__－_5__米．
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• (2)减法：减去一个数等于加上这个数的相 反数． • (3)乘法：两数相乘，同号得正，异号得负， 再将两数的绝对值相乘．任何数同0相乘，仍 得0.如(－2)×3＝－(2×3)＝___－_6____. • (4)除法：除以一个不为0的数，等于乘以 这个数的倒数．
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分数
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无理数
•正整数 •0
•负整数 •正分数 •负分数
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► 知识点二 实数的相关概念
• 1．数轴 • (1)规定了_原_点______、__正_方__向___和 ___单__位_长__度__的一条直线叫做数轴． • (2)实数和数轴上的点是____一_一___对应的． • 2．倒数 • (1)若a、b两个实数互为倒数，则ab＝ ____1____. • (2)除______零__没有倒数外，其他任何有理 数都有倒数，1的倒数是___1_____.倒数等于它 本身的数是___±_1____.
初高衔接第一课时数与式的运算
Hale Waihona Puke 典例题例4.1 简化：1 4 24 − 6 54 + 3 96 − 2 150;
2
30 ×
3
2
2
3
2 ÷ −2 2
1
2
.
解：
1 4 24 − 6 54 + 3 96 − 2 150 = 8 6 − 18 6 + 12 6 − 10 6 = −8 6.
2
30 ×
8
3
3
2
2
5
2
2
3
÷ −2
30 × × = −
所以 −
+
2 2 − 2.
=
+ − 2
+ − 2 −2+ −2
+ −
= 2 + 1.
= 2 − 2 + −2 = 2 + 1 − 2 + 2 − 1 =
初高衔接
行，运算中要运用公式 = ≥ 0, ≥ 0 .而对于二次根式的除法，
通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法
与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。
2 二次根式 2 的意义:
, ≥ 0
2
= =
−, < 0
初高衔接
2 完全平方 ± 2 = 2 ± 2 + 2 .
通过证明得到的乘法公式：
1 立方和公式 + 2 − + 2 = 3 + 3 ;
2 立方差公式 − 2 + + 2 = 3 − 3 ;
3 三数和平方公式 + + 2 = 2 + 2 + ��2 + 2 + + ;
初升高衔接第一讲 数与式的运算
第一讲 数与式的运算知识链接 1、平方差公式 ：22()()a b a b a b +-=-；2、完全平方公式 ：222()2a b a ab b ±=±+．3a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩0)a ≥ 4、分式的性质：A A MB B M ⨯=⨯ A A M B B M÷=÷知识延伸 1、三项平方公式：2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++2、立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+3、立方差公式：2233()()a b a ab b a b -++=-4、和立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++5、差立方公式：33223()33a b a a b ab b -=-+- 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．例3 将下列式子化为最简二次根式：（1 （2）0)a ≥； （30)x <．例4若54(2)2x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值．例5（1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯ ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+ ．例6 化简：（1 （21)x <<例7已知x y ==22353x xy y -+的值 ．．例8 试比较下列各组数的大小：（1 （2和.例9 c e a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．例10 化简：20042005⋅．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．（4）对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；（5＝__ ___；（6(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（7）=__ ___；（8）若x =+=______ __． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数（3）若223x y x y -=+，则x y ＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）65（4=成了的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．计算（1）正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值． （2）1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．（3）若b =，求a b +的值．（4）比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．。
。初高衔接专题1数与式的运算
专题一： 数与式的运算
制卷：王小凤
学生姓名
一．绝对值
【知识归纳】
绝对值的代数意义： 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝 对值仍是零．即
a, a 0, | a | 0, a 0,
a, a 0. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距离．
b3 ．
b c ；) a c
【练习提高 1】
1．填空：
（ 1） 1 a2 1 b2 (1 b 1 a) （
94
23
（ 2） (4m
)2 16m2 4m (
）； )；
(3 ) (a 2b c)2 a2 4b2 c2 (
)．
2．选择题：
（1）若 x2 1 mx k 是一个完全平方式，则 k 等于 (
)
2
cd
2m
np
例 1 若 5x 4 A B ，求常数 A, B 的值． x( x 2) x x 2
解： ∵ A B A( x 2) Bx ( A B) x 2 A 5x 4 ，
x x2
x(x 2)
x( x 2)
x( x 2)
A B 5, ∴
2 A 4,
解得 A 2, B 3．
例 2 （ 1）试证： 1
___；
（3） 4 24 6 54 3 96 2 150 __
___；
（4）若 x
5 ，则 x 1
x1
x1
x1 ______
2
x1 x1 x1 x1
__．
2．等式 x
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。
③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。
【初高中衔接】第一讲 数与式
►知识点十 分式的运算
1．加减法：ac±bc＝_a_±c__b____，ab±dc＝__a_db_±d_b_c__. 2．乘除法：ab·dc＝___ba_dc____，ab÷dc＝ab·dc＝___ab_dc____. 3．乘方：(ab)n＝___ab_nn ____.(n为整数) 4．混合运算：先算乘方与开方，再算乘除，进行约分 化简后，最后进行加减运算，如有括号，先算括号里的，运 算的结果必须是__最__简____分式或整式．
2020年7月15日星期三
一、乘法公式 【公式5】立方和公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 请同学们证明 【公式6】立方差公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
【例2】计算：
(1) (4 m)(16 4m m2 )
解 : 原式 43 m3 64 m3 .
(－2)2＝4， (－3)3＝－27.
2020年7月15日星期三
• 3.有理数混合运算的顺序 • (1)先乘方，再乘除，最后加减． • (2)同级运算，从左到右进行． • (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括 号、中括号、大括号依次进行．
2020年7月15日星期三
►知识点五 平方根、算术平方根与立方根
2020年7月15日星期三
• 3．相反数 • (1)只有_符__号_____不同的两个数互为相反 数． • (2)实数a的相反数是___－_a____；相反数是 它本身的数是___0_____. • (3)若a、b互为相反数，则a＋b＝___0_____， 且|a|＝|b|. • (4)数轴上表示相反数的两个点在原点两边， 且到原点的距离相等，这两个点关于原点 ___对__称___．
2020年7月15日星期三
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第一讲 数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++Θca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x 解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((22b ab a b a ++-解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到：【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知0132==-x x ，求331x x +的值． 解：0132==-x x Θ 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程0132==-x x 中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0Θ∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅abcc b a ab c c ac b b bc a a 222)()()(++-=-+-+-= ①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+Θabc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简下列各式：(1)+ (2)1)x ≥解：(1) 原式=2||1|211+-=-+-=(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)(2)(3)解：(1) 原式623==--(2) 原式(3) 原式=-==- 说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式()或被开方数有分母(如() ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为，其中2+2-)．【例8】计算：(1) 21)(1++-+-(2)+解：(1) 原式=22(1()21a b a +--+=--+(2) 原式+=+==说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x y ==33x y +的值．解：77 14,1x y x y xy ===+=-⇒+==原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例10】化简11xx x x x-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+ 解法一：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简222396162279x x x xx x x x++-+-+--解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3) (3)(39)(9)x x x x xx x x x xx x x x x++--+-=--+-+---++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x xx x x x x+-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．A 组1a=-成立的条件是( )A．0a>B．0a<C．0a≤D．a是任意实数2．若3x<|6|x-的值是( )A．－３B．３C．－９D．９3．计算：(1) 2(34)x y z--(2) 2(21)()(2)a b a b a b+---+(3) 222()()()a b a ab b a b+-+-+(4) 221(4)(4)4a b a b ab-++4．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：(1) (2) a(3) (4) +-5．化简：(1) 102m+(2) 0)x y>>B 组1．若112x y-=，则33x xy yx xy y+---的值为( )：A ．35B ．35-C ．53-D ．532．计算：(1) --(2) 1÷3．设x y ==22x xy y x y +++的值．4．当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．5．设x 、y 为实数，且3xy =，求+ 6．已知11120,19,21202020a x b x c x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．7．设x =4221x x x ++-的值． 8．展开4(2)x -9．计算(1)(2)(3)(4)x x x x ----10．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++- 11．化简或计算：(1)3+÷(2)+(3)-(4)÷+-第一讲 习题答案 A 组1． C 2． A3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+ (2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4)331164a b -4．21---5． B 组1． D 2．a c b +-- 3．4．3,2-5．±6． 37．3-8．4328243216x x x x -+-+ 9．43210355024x x x x -+-+10．444222222222x y z x y x z y z ---+++11．3,3--。