福建省莆田八中2011-2012学年高一数学 1.1.1任意角课件
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高中数学1.1.1任意角 (1)优秀课件
角的概念推广的必要性:
0º到360º范围内的角在生 产、生活和科学实验的实践 中已不适用。
如体操、把戏滑冰、跳台跳 水中“转体三周半〞,
又如车轮、钟表、罗盘的 运动规律的研究等.
1、角的概念
任意角的概念: 平面内一条射线OA绕着端点O(顶点)从一个位置
OA(始边)旋转到另一个位置OB(终边)所成的图形∠AOB.
其中正确命题有〔 A〕 个个个个
3、终边相同的角之间的关系
请在坐标系中画出30º,390º,-330º,并找出它们的共同点?
y
390º 0
-330º
A
30º=0×360º+30º
30 º
x
390º=1×360º+30º -330º=-1×360º+30º
与30º终边相同的角的一般形式为: 30º＋k·360º，k∈Z.
又 k 180 k 180 45 ，k Z .
2
180°
当 k 2n(n Z ) 时 ，
y
90°
0°
O
360° x
n 360 n 360 45 ，n Z
故
2
是第一象限的角 .
270°
2
当 k 2n 1(n Z ) 时 ，
n 360 180 n 360 225 ，n Z
综上3 可知： 是第一或第二或第三象限的角 .
3
如图
几何法
如图
B
2、角的分类
(1)按角的旋转方向分：
α O
A
任 ①正角：按逆时针方向旋转所形成的角； 意 ②负角：按顺时针方向旋转所形成的角； 角
③零角：未作任何旋转的角．
2、角的分类
(2)按角的终边位置分： 角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合.
高中数学(福建)人教A版必修4课件：1.1.1 任意角
D典例透析
IANLI TOUXI
集合表示 {α|α=k· 360° ,k∈ Z} {α|α=k· 360° + 180° ,k∈ Z} {α|α=k· 360° + 90° ,k∈ Z} {α|α=k· 360° + 270° ,k∈ Z} {α|α=k· 180° + 90° ,k∈ Z} {α|α=k· 180° ,k∈ Z} {α|α=k· 90° ,k∈ Z}
3������上的角的集合为____.
3������可以看作是x 轴绕原点按逆时针方向旋转 60°
得到,所以终边在直线 y= 3������上的角的集合为{α|α=k· 180° +60° ,k∈ Z}. 答案:{α|α=k· 180° +60° ,k∈Z}
明目标、知重点
M 目标导航
题型一 题型二 题型三 题型四
明目标、知重点
M 目标导航
(2)终边在坐标轴上的角:
角的终边的位置 终边落在 x 轴的非负半轴上 终边落在 x 轴的非正半轴上 终边落在 y 轴的非负半轴上 终边落在 y 轴的非正半轴上 终边落在 y 轴上 终边落在 x 轴上 终边落在坐标轴上
UBIAODAOHANG
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
M 目标导航
题型一 题型二 题型三 题型四
UBIAODAOHANG
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
( )
IANLI TOUXI
【变式训练 2】 下列各角中,与-40° 角终边相同的角是 A.220° B.-400° C.300° D.40° 答案:B 【变式训练 3】 终边在直线 y= 解析:直线 y=
高一数学必修4课件 1.1.1 任意角
一、基础知识讲解 思考：终边相同的角有何关系？ 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构 成一个集合为： S＝{β|β=α＋k· 360°，k∈Z } 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和
三、例题分析
例1、写出与－950012′角终边相同的角的集合，并判 定它是第几象限角.
O
x
在同一“参照系”下， 可以使角的讨论得到简化， 由此还能有效地表现出角 的终边位置“周而复始” 的现象。
1、角的顶点与原点重合 2、角的始边与x轴的非负半轴重合 那么，角的终边（除端点外）在第几象限， 我们就说这个角是第几象限角。 3、终边在坐标轴上的角不属于任何象 限，叫做轴线角。
一、基础知识讲解 思考1、锐角是第几象限角？ 第一象限角一定是锐角吗？ 锐角是第一象限角 第一象限角不一定是锐角
解：与－950012′终边相同的角的集合为
{ | 950 12 k 360 , k Z } 当k=3。
例2、写出终边在y轴正半轴上的角的集合
解：终边落在 y 轴正半轴上的角的集合为 S1={β| β=900+k∙3600，k∈Z} 终边落在 y 轴负半轴上的角的集合为 y S2={β| β=2700+k∙3600，k∈Z} 90° ＋k×360°
例3、写出终边在直线 y＝x上的角的集合S，并把S中 适合不等式－360°<β<720°的元素β写出来. y
225° O
45°
x
例3、写出终边在直线 y＝x上的角的集合S，并把S中 适合不等式－360°<β<720°的元素β写出来. 解：在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有 两个：45°，225° ∴ 终边在直线 y=x 上的角的集合 S={β| β=450+k∙3600 , k∈Z} ∪{β| β=2250+k∙3600 , k∈Z} ={β| β＝450+n∙1800 , n∈Z} S中适合－3600≤ β<7200 的元素是 45°-2×180°= -315° 45°-1×180°= -135° 45°-0×180°=45° 45°+1×180°=225° 450+2×180°=405° 45°+3×180°=585°
高中数学：1.1.1《任意角》课件(苏教版必修四)(共14张PPT)
解析：-950°12’=129°48’-3×360° 所以，在0°~360°范围内与-950°12’终边相同的角是
129°48’ ， 故它是第二象限的角.
点评: (1) 在坐标系中，由于0°角与360°角终边重合.为了避免终 边的重复，书中特别规定：0°~36不管它有多大，要判断其终边所在
❖这样我们把角的概念推广到了任意 角包括正角，零角，负角.
第4页，共14页。
思考： （1）你的手表慢了5分钟，你
是怎样将它校准的？（2）假如你的手表
快了小时，你应当怎样将它校准？
当你时间校准时，分针分别旋转了多少
度？ 所有与90°终边相同的角构成的集合为：
(1)手表慢5分钟，分针应顺时针旋转
分析：先确定分针在一分钟内旋转的角度 快了小时，你应当怎样将它校准？
1.1.1 任意角
1.角的概念推广
2.象限角 3.终边相同的角
第1页，共14页。
1 观察:日常生活中经常见到0°到360°范围以
外的其他角
如：体操中“转体2周”即转体720°
“转体3周”即转体1080°
并且转体的方向也有顺时针与逆时针的不同.
再如：图中是两个齿轮的示意图
被动轮随着主动轮的旋转而旋转.
第11页，共14页。
例2 写出终边在y轴上的角的集合.
❖ 解析：在0°~360°范围内，终边在y轴上的 角有两个，即90°，270°.所有与90°终边 相同的角构成的集合为： S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z} 所有与270°终边相同的角构成的集合为：
s2={β|β=270°+k·360°， k∈Z}
于是，终边在y轴上的角的集合为s=s1∪s2
S={β|β=90°+n·180°， n∈Z}
129°48’ ， 故它是第二象限的角.
点评: (1) 在坐标系中，由于0°角与360°角终边重合.为了避免终 边的重复，书中特别规定：0°~36不管它有多大，要判断其终边所在
❖这样我们把角的概念推广到了任意 角包括正角，零角，负角.
第4页，共14页。
思考： （1）你的手表慢了5分钟，你
是怎样将它校准的？（2）假如你的手表
快了小时，你应当怎样将它校准？
当你时间校准时，分针分别旋转了多少
度？ 所有与90°终边相同的角构成的集合为：
(1)手表慢5分钟，分针应顺时针旋转
分析：先确定分针在一分钟内旋转的角度 快了小时，你应当怎样将它校准？
1.1.1 任意角
1.角的概念推广
2.象限角 3.终边相同的角
第1页，共14页。
1 观察:日常生活中经常见到0°到360°范围以
外的其他角
如：体操中“转体2周”即转体720°
“转体3周”即转体1080°
并且转体的方向也有顺时针与逆时针的不同.
再如：图中是两个齿轮的示意图
被动轮随着主动轮的旋转而旋转.
第11页，共14页。
例2 写出终边在y轴上的角的集合.
❖ 解析：在0°~360°范围内，终边在y轴上的 角有两个，即90°，270°.所有与90°终边 相同的角构成的集合为： S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z} 所有与270°终边相同的角构成的集合为：
s2={β|β=270°+k·360°， k∈Z}
于是，终边在y轴上的角的集合为s=s1∪s2
S={β|β=90°+n·180°， n∈Z}
高中数学1.1.1 任意角(第1课)优秀课件
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
1.结合具体实例,认识角的推广的必要性. 2.初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角,并能熟练 写出与角终边相同的角的集合.
复习回顾
什么是角？范围是多大？ 定义1：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.
定义
边
顶
边
点
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些
位置？
y
o
xx
思考2: 如果角的终边在第几象限，我们就说这 个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上， 就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴 线角.那么以下各角：-50°，405°，210°, 200°，-450°分别是第几象限的角？
C.第三象限
D.第四象限
1. 角的定义； 2. 角的分类：正角、零角、负角； 3. 象限角； 4. 终边相同的角的表示法．
顶点
始边
A
规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 如果一条射线没有作任何旋转，那么称它形成了一个零角.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角.
画出750°、210°、－150°、－660°角
二、象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系
内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非
y
x o
-50° 第四象限角
y
x o -200° 第二象限角
y
x o
405° 第一象限角
y
y 210°
x o
第三象限角
x
o -450°
轴线角
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
1.结合具体实例,认识角的推广的必要性. 2.初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角,并能熟练 写出与角终边相同的角的集合.
复习回顾
什么是角？范围是多大？ 定义1：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.
定义
边
顶
边
点
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些
位置？
y
o
xx
思考2: 如果角的终边在第几象限，我们就说这 个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上， 就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴 线角.那么以下各角：-50°，405°，210°, 200°，-450°分别是第几象限的角？
C.第三象限
D.第四象限
1. 角的定义； 2. 角的分类：正角、零角、负角； 3. 象限角； 4. 终边相同的角的表示法．
顶点
始边
A
规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 如果一条射线没有作任何旋转，那么称它形成了一个零角.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角.
画出750°、210°、－150°、－660°角
二、象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系
内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非
y
x o
-50° 第四象限角
y
x o -200° 第二象限角
y
x o
405° 第一象限角
y
y 210°
x o
第三象限角
x
o -450°
轴线角
福建省莆田八中2011-2012学年高一数学 1.1.2弧度制课件
1 1 2 (1)l = a R （2）S = a R （3）S = lR 2 2
ex5：分别用角度制、弧度制下公式， 计算半径为1m的圆中，60°的圆心角 所对的弧长。
探究新知 角度制
孤度制 角度制与孤度制的换算 孤度制公式
ห้องสมุดไป่ตู้
1.1.2
弧度制
引入新课 我们知道试题长度可以用米、英 尺、码等单位制，度量重量可以用千 克、磅等单位制，那么角用什么度量 呢？
探究新知 角度制
孤度制
探究：半径为r的圆的圆心与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于 点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的 弧度数分别是多少？
弧AB的长
思考：根据度与弧度的换算关系，下表 中各特殊角对应的弧度数分别是多少？
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
p 6
p 4
p 3
p 2
2p 3
3p 4
5p 6
p
3p 2
2p
巩固提高 例3：利用弧度制证明下列关于扇形 的面积公式：
pr
OB旋转的方向 逆时 针 ∠AOB的弧度 数 ∠AOB的度数
2p r 逆时 针
r
2r
0
-1
-2
0
探究新知 角度制
孤度制
角度制与孤度制的换算 孤度制公式
巩固提高
例1：按照下列要求，把67°30′化 成弧度： （1）精确值； （2）精确到0.001的近似值. ex1：把下列角度化成弧度： （1）22°30′（2）-210°（3）1200°
ex5：分别用角度制、弧度制下公式， 计算半径为1m的圆中，60°的圆心角 所对的弧长。
探究新知 角度制
孤度制 角度制与孤度制的换算 孤度制公式
ห้องสมุดไป่ตู้
1.1.2
弧度制
引入新课 我们知道试题长度可以用米、英 尺、码等单位制，度量重量可以用千 克、磅等单位制，那么角用什么度量 呢？
探究新知 角度制
孤度制
探究：半径为r的圆的圆心与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于 点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的 弧度数分别是多少？
弧AB的长
思考：根据度与弧度的换算关系，下表 中各特殊角对应的弧度数分别是多少？
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
p 6
p 4
p 3
p 2
2p 3
3p 4
5p 6
p
3p 2
2p
巩固提高 例3：利用弧度制证明下列关于扇形 的面积公式：
pr
OB旋转的方向 逆时 针 ∠AOB的弧度 数 ∠AOB的度数
2p r 逆时 针
r
2r
0
-1
-2
0
探究新知 角度制
孤度制
角度制与孤度制的换算 孤度制公式
巩固提高
例1：按照下列要求，把67°30′化 成弧度： （1）精确值； （2）精确到0.001的近似值. ex1：把下列角度化成弧度： （1）22°30′（2）-210°（3）1200°
人教版高中数学1-1-1《任意角》教学课件
3
情景导入
阅读课本168-170页，思考并完成以下问题 1．角的概念推广后，分类的标准是什么？ 2．如何判断角所在的象限？ 3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？
4
任意角
概念:角可以看成
B
平面内一条射线 终边
旋转
绕着端点从一个
位置旋转到另一
个位置所成的图 形.
O 顶点
始边
A
记法：记作角α或 ∠α，可简记为α
第三象限
O 270°
0°< α < 90° 始边
0°或360° X
270°< α < 360° 第四象限
话剧小现场：
Y
我是谁？
O
X
B
属于角328°，-392°，-32°？
思：
-32° =-32° -392°=-32°-1×360° 328°=-32°+1×360°
相差整数个周角
议
1、与-32°终边相同的角如何表示？ 2、已知角α和角β终边相同，怎么用α表 示β？
展
与-32°角终边相同的角好集合 S=｛β|β=-32°+K·360°，K∈Z｝
• 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构 成一个集合 • S=｛β|β=α+K·360°，K∈Z｝ • 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和
例1 在0°~360°范围内，找出与395°8’的角终边相同 的角，并判定它是第几象限角。
评
•对于终边落在某一条射线、直线或者几条 直线的角的集合，步骤是： •首先确定 •其次考虑旋转周期 •最后确定区域，关键是确定边界
检 写出终边在直线y=x上角的集合
解：在0°~360°范围内，终边在y=x上的 角有两个，即45°，225°角。 因此，终边在y=x上的角构成的集合 S1={β|β=45°+K·360°，K∈Z}∪ S2={β|β=270°+K·360°，K∈Z} ={β|β=45°+K·180°，K∈Z}
情景导入
阅读课本168-170页，思考并完成以下问题 1．角的概念推广后，分类的标准是什么？ 2．如何判断角所在的象限？ 3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？
4
任意角
概念:角可以看成
B
平面内一条射线 终边
旋转
绕着端点从一个
位置旋转到另一
个位置所成的图 形.
O 顶点
始边
A
记法：记作角α或 ∠α，可简记为α
第三象限
O 270°
0°< α < 90° 始边
0°或360° X
270°< α < 360° 第四象限
话剧小现场：
Y
我是谁？
O
X
B
属于角328°，-392°，-32°？
思：
-32° =-32° -392°=-32°-1×360° 328°=-32°+1×360°
相差整数个周角
议
1、与-32°终边相同的角如何表示？ 2、已知角α和角β终边相同，怎么用α表 示β？
展
与-32°角终边相同的角好集合 S=｛β|β=-32°+K·360°，K∈Z｝
• 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构 成一个集合 • S=｛β|β=α+K·360°，K∈Z｝ • 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和
例1 在0°~360°范围内，找出与395°8’的角终边相同 的角，并判定它是第几象限角。
评
•对于终边落在某一条射线、直线或者几条 直线的角的集合，步骤是： •首先确定 •其次考虑旋转周期 •最后确定区域，关键是确定边界
检 写出终边在直线y=x上角的集合
解：在0°~360°范围内，终边在y=x上的 角有两个，即45°，225°角。 因此，终边在y=x上的角构成的集合 S1={β|β=45°+K·360°，K∈Z}∪ S2={β|β=270°+K·360°，K∈Z} ={β|β=45°+K·180°，K∈Z}
高中数学1.1.1任意角优秀课件
200°,－450°分别是第几象限的角？
2、以下命题正确的选项是
〔C
〕
A、终边相同的角一定相等
B、第一象限角都是锐角
C、锐角都是第一象限角
D、小于90°的角都是锐角
E、第一象限角一定小于90度
课堂练习
练习3：〔快速作答〕
〔1〕锐角是第几象限的角？ 〔2〕第一象限的角是否都是锐角？举例说明
〔3〕第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
1.我们是如何定义角这个平面图形的？
具有公共端点的两条射线所组成的图形----角的静态定义
2.学习过哪些不同范围的角？
锐角
直角
钝角
平角
周角
3.学习的角的范围？
0º<α≤360º 生活中很多实例会不在该范围。
看一看
观察一组图片 1.钟表的指针旋转
2.自行车的车轮周而复始地 转动 一根辐条
3.在跳水运动中，
注意：
〔1〕K ∈ Z； 〔2〕α是一个具体的角； 〔3〕终边相同的角不一定相等，但相等的 角终边一定相同.终边相同的角有无数多个， 它们相差360º的整数倍.
四.典型例题
例1：在00~3600范围内，找出与角-950012’终边相 同的角，并判定它是第几象限角。
-950012’+3600 +3600 +3600 -590012’ -230012’ 129048’
而角的终边是一条射线，故应分别求出终边在一、三象限的角，再
求其并集.
【解析】在0°到360°的范围内， 终边在函数y=x的图象上的角有 两个，即45°和225°.
因此，所有与45°角终边相 同的角构成集合:
y y=x
0x
S1={β|β=45°+k·360°,k∈Z} ={β|β=45°+2k·180°,k∈Z},
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探究新知
角的概念的推广
思考：如果你的手表慢了5分钟， 或快了1.25小时，你应该将分钟 分别旋转多ห้องสมุดไป่ตู้度才能将时间校准？
探究新知
角的概念的推广 象限角
巩固提高 ex1：锐角是第几象限的角？第一象 限的角一定是锐角吗？再分别就直角 与钝角来回答这个问题。 ex3：已知角的顶点与原点重合，角的 始边与x轴非负半轴重合，指出下列角 是第几象限角：
巩固提高 例2：写出终边在y轴上的角的集合.
变式：写出终边在x轴、坐标轴、直线 y=x上的角的集合.
（1）420º （2）-75º
（3）855º （4）-510º
探究：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y －392° 328° x o －32°
探究新知
角的概念的推广
象限角
终边相同的角
巩固提高 例1：在0°～360°范围内，找出与 －950°12′角终边相同的角，并判定 它是第几象限角. ex4：在0°～360°范围内，找出下 列各角终边相同的角，并指出它们是 第几象限角: （1）-54º18′ （2）395º8′
1.1.1 任意角
复习回顾
角是平面几何中的一个基本图形， 在平面几何中，角的概念是什么？它 的取值范围如何？
引入新课
在体操、花样滑冰、跳台跳水等 比赛中，常常听到“转体720º ”、 “转体1080º”这样的解说．
再如钟表的指针、拧动螺丝的扳 手、机器上的齿轮等，它们按照不同 方向旋转所成的角。
（3）-1190º30′
巩固提高 ex4：在0°～360°范围内，找出下 列各角终边相同的角，并指出它们是 第几象限角:（1）-54º18′
（2）395º8′ （3）-1190º30′
ex5：写出与下列各角终边相同的角的 集合，并把集合中-720°～360°的元 素β 写出来： （1）1303º18′ （2）-225º