广东省揭阳市2016届高三数学第二次模拟试题文(含解析)

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2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)

2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：（每小题分，共分）．．复数（）（其中为虚数单位）的虚部为（）．．﹣ ．．﹣．已知集合，则满足的集合可以是（）．，． ﹣ ≤ ≤ ．＜＜．＞．各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（）．．．．．已知平面向量，，，则的值为（）．．﹣ ．．．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆（ ﹣）（＞）内，则的最小值是（）．．．．．如图所示为函数（）（）（＞，≤ ≤ ）的部分图象，其中，两点之间的距离为，那么．．﹣ ．﹣ ．．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）．．．．．在棱长为的正方体 ﹣ 中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥 ﹣ 的体积为（）．．．．与点的位置有关．已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，且在第一象限， ⊥ ，垂足为，，则直线的倾斜角为（）．．．．．已知点、分别是双曲线：﹣ （＞，＞）的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若：：：：，则双曲线的离心率为（）．．．．．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）．．．．．设函数（）对任意的 ∈ 满足（）（﹣ ），当 ∈（﹣，时，有（） ﹣ ﹣ ．若函数（）在区间（，）（ ∈ ）上有零点，则的值为（）．﹣ 或．﹣ 或．﹣ 或．﹣ 或二、填空题（每小题分，共分）．已知数列满足，﹣﹣（ ≥ ），则数列的通项公式．．若直线 ﹣ （＞，＞）经过曲线（＜＜）的对称中心，则的最小值为．．已知△ 所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，∠ ，则多面体 ﹣ 的外接球的表面积为．．已知函数（），（） ﹣ （＞）若存在， ∈ ，，使得（）（）成立，则实数的取值范围是．三、解答题：本大题共小题，满分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过小时收费元，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过小时．（）若甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，求甲停车付费恰为元的概率；（）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．．在△ 中，角，，所对的边分别为，，，已知（）求角的大小，（）若，求使△ 面积最大时，的值．．如图，三棱柱 ﹣ 中， ⊥平面，、分别为、的中点，点在棱上，且．（）求证： ∥平面；（）在棱上是否存在一个点，使得平面将三棱柱分割成的两部分体积之比为：，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，）．（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于、两点，以线段、为邻边作平行四边形，其中点在椭圆上，为坐标原点，求点到直线的距离的最小值．．已知函数（） ﹣ ﹣ ﹣ ．（）当时，求（）的单调区间；（）若 ≥ 时，（）≥ 恒成立，求的取值范围．选修：几何证明选讲．如图，是圆的直径，是弦，∠ 的平分线交圆于点， ⊥ ，交的延长线于点，交于点．（）求证：是圆的切线；（）若，求的值．选修：坐标系与参数方程．已知直线的参数方程为（为参数， ∈ ），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为， ∈ ，）．（）求直线与曲线的直角坐标方程；（）在曲线上求一点，使它到直线的距离最短．选修：不等式选讲．已知函数（） ﹣ ．（）若不等式（）﹣ （）≥ ﹣ 有解，求实数的取值范围；（）若＜，＜，且 ≠ ，证明：＞（）．年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（月份）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题分，共分）．．复数（）（其中为虚数单位）的虚部为（）．．﹣ ．．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（），则答案可求．【解答】解：复数（） ﹣ ，则复数（）的虚部为：．故选：．．已知集合，则满足的集合可以是（）．，． ﹣ ≤ ≤ ．＜＜．＞【考点】交集及其运算．【分析】求出中的范围确定出，根据，找出满足题意的集合即可．【解答】解：∵ ≥ ，∴ ＜（） ≤（）， ∴ ＜ ≤ ．则满足的集合可以＜＜．故选：．．各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（）．．．．【考点】等比数列的性质．【分析】利用（），各项为正，可得，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．【解答】解：∵各项为正的等比数列中，与的等比中项为，∴ （），∵ （），∴ ，∴ （），故答案为：．．已知平面向量，，，则的值为（）．．﹣ ．．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，代入模长公式列出方程解出．【解答】解：（， ﹣ ），∵ ，∴ （ ﹣ ），解得．故选：．．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆（ ﹣）（＞）内，则的最小值是（）．．．．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断点与圆的位置关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆（ ﹣）（＞）对应的圆心坐标为（，），由图象知只需要点（，）或（﹣ ，）在圆内即可，即 ≥ ，在的最小值为，故选：．．如图所示为函数（）（）（＞，≤ ≤ ）的部分图象，其中，两点之间的距离为，那么．．﹣ ．﹣ ．【考点】由（）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由图象得到振幅，由、两点的距离结合勾股定理求出和的横坐标的差，即半周期，然后求出，再由（）求的值，则解析式可求，从而求得（）．由（），得，∴ ．又≤ ≤ ，∴ ．则（）（）．∴ × ．故选：．．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）．．．．【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第次循环：，；令＜﹣ ，解得＞．∴输出的结果是．故选：．．在棱长为的正方体 ﹣ 中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥 ﹣ 的体积为（）．．．．与点的位置有关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，连接，取，可得 ∥ ，，由于 ⊥平面，可得 ⊥平面，利用三棱锥 ﹣ 的体积三棱锥 ﹣即可得出．【解答】解：如图所示，连接，取，则 ∥ ，，，∵ ⊥平面， ∴ ⊥平面，即是三棱锥 ﹣ 的高． ∴ 三棱锥 ﹣ 三棱锥 ﹣．故选：．．已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，且在第一象限， ⊥ ，垂足为，，则直线的倾斜角为（）．．．．【考点】抛物线的简单性质．【分析】可先画出图形，得出（），由抛物线的定义可以得出，从而可以得出点的横坐标，带入抛物线方程便可求出点的纵坐标，这样即可得出点的坐标，从而求出直线的斜率，根据斜率便可得出直线的倾斜角．【解答】解：如图，由抛物线方程得；；∴ 点的横坐标为；∴，在第一象限；∴ 点的纵坐标为；∴ 点的坐标为；∴ 的斜率为；∴ 的倾斜角为．故选：．．已知点、分别是双曲线：﹣ （＞，＞）的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若：：：：，则双曲线的离心率为（）．．．．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可求得，∠ ，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵ ：：：：，不妨令，，， ∵ ，∴∠ ，又由双曲线的定义得： ﹣ ， ﹣ ， ∴ ﹣ ﹣ ，∴ ． ∴ ﹣ ﹣ ，∴ ．在 △ 中，，又，∴ ， ∴，∴双曲线的离心率．故选：．．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）．．．．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为，几何体底面圆心角为，∴几何体底面弧长为．圆锥高为．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，， ⊥ ， ⊥ ，，，．∴∠ ∠ ，∠ ．∴∠ ．∴ ．故选．．设函数（）对任意的 ∈ 满足（）（﹣ ），当 ∈（﹣，时，有（） ﹣ ﹣ ．若函数（）在区间（，）（ ∈ ）上有零点，则的值为（）．﹣ 或．﹣ 或．﹣ 或．﹣ 或【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知可得函数（）的图象关于直线对称，画出函数的图象，进而可得满足条件的值．【解答】解：∵函数（）对任意的 ∈ 满足（）（﹣ ），∴函数（）的图象关于直线对称，又∵当 ∈（﹣，时，有（） ﹣ ﹣ ．故函数（）的图象如下图所示：由图可知，函数（）在区间（﹣ ，﹣ ），（，）各有一个零点，故 ﹣ 或，故选：二、填空题（每小题分，共分）．已知数列满足，﹣﹣（ ≥ ），则数列的通项公式（）．【考点】数列递推式．【分析】由已知得 ﹣﹣（ ≥ ），由此利用累加法能求出该数列的通项公式．【解答】解：∵数列满足：， ﹣ ﹣ （ ≥ ），（ ≥ ），∴ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣（），故答案为：．．若直线 ﹣ （＞，＞）经过曲线（＜＜）的对称中心，则的最小值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求出函数的对称中心坐标，推出关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：曲线（＜＜）的对称中心（，）．直线 ﹣ （＞，＞）经过曲线（＜＜）的对称中心，可得．（）（） ≥ ，当且仅当，，即，时，表达式取得最小值．故答案为：．．已知△ 所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，∠ ，则多面体 ﹣ 的外接球的表面积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】设球心到平面的距离为，利用△ 所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，∠ ，可得到平面的距离为，从而（）（﹣ ），求出，即可求出多面体 ﹣ 的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面的距离为，则∵△ 所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，∠ ，∴ 到平面的距离为，∴ （）（﹣ ），∴ ，，∴多面体 ﹣ 的外接球的表面积为．故答案为：．．已知函数（），（） ﹣ （＞）若存在， ∈ ，，使得（）（）成立，则实数的取值范围是，．【考点】分段函数的应用．【分析】由存在性，得到只需两个函数的值域相交不为空集即可，所以转换为求函数值域问题．【解答】解：∵函数（），∴ （）∈ ，；∵ （） ﹣ （＞），当 ∈ ，时，∴ ∈ ，∴ （）∈ ﹣ ， ﹣∵存在， ∈ ，，使得（）（）成立，∴ ﹣ ， ﹣ ， ≠∅，∴只需排除 ﹣ ， ﹣ ， ∅的情况，即 ﹣ ＞，或 ﹣ ＜，得＜或＞∴ 的取值范围是，．三、解答题：本大题共小题，满分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过小时收费元，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过小时．（）若甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，求甲停车付费恰为元的概率；（）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．【分析】（）根据题意，由全部基本事件的概率之和为求解即可．（）先列出甲、乙二人停车付费之和为元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．【解答】解：（）设甲临时停车付费恰为元为事件，则．所以甲临时停车付费恰为元的概率是．（）设甲停车付费元，乙停车付费元，其中，，，，．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共种情形．其中，（，），（，），（，），（，）这种情形符合题意．故甲、乙二人停车付费之和为元的概率为．．在△ 中，角，，所对的边分别为，，，已知（）求角的大小，（）若，求使△ 面积最大时，的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据不为求出的值，即可确定出的度数；（）利用余弦定理列出关系式，将与的值代入并利用基本不等式求出的最大值，进而确定出三角形面积的最大值，以及此时与的值即可．【解答】解：（）∵ ﹣ ，即（） ﹣ ，∴由正弦定理化简已知等式得：，整理得： ﹣ ，即﹣（），∵ ≠ ，∴ ﹣，∵ 为三角形内角，∴ ；（）∵ ， ﹣，∴由余弦定理得： ﹣ ，即 ≥，∴ ≤，（当且仅当时成立），∵ ≤，∴当时，△ 面积最大为，此时，则当时，△ 的面积最大为．．如图，三棱柱 ﹣ 中， ⊥平面，、分别为、的中点，点在棱上，且．（）求证： ∥平面；（）在棱上是否存在一个点，使得平面将三棱柱分割成的两部分体积之比为：，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（）取的中点，根据，得到为的中点，又为的中点，根据三角形中位线定理得 ∥ ，从而在三棱柱 ﹣ 中，为平行四边形，进一步得出 ∥ ．最后根据线面平行的判定即可证出 ∥平面．（）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱上存在一个点，使得平面将三棱柱分割成的两部分体积之比为：，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出与的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】证明：（）取的中点，∵，∴ 为的中点，又∵ 为的中点，∴ ∥在三棱柱 ﹣ 中，，分别为，的中点， ∴ ∥ ，，∴ 为平行四边形，∴ ∥ ∴ ∥ ．∵ ⊂平面， ⊄平面，∴ ∥平面．（）设上存在一点，使得平面将三棱柱分割成两部分的体积之比为：，则，∵∴，∴，∴ ．所以符合要求的点不存在．．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，）．（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于、两点，以线段、为邻边作平行四边形，其中点在椭圆上，为坐标原点，求点到直线的距离的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（）当直线的向量存在时，设直线的方程为：，与椭圆方程联立化为（） ﹣ ，由△＞，化为 ﹣ ＞，设（，），（，），（，）．可得，．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点到直线的距离即可得出．当直线无斜率时时，由对称性可知：点到直线的距离为．即可得出．【解答】解：（）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得，，∴椭圆的方程为．（）当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立，化为（） ﹣ ，△ ﹣ （）（ ﹣ ）＞，化为 ﹣ ＞，设（，），（，），（，）．∴ ，（）．∵点在椭圆上，∴，∴ ，化为，满足△＞．又点到直线的距离．当且仅当时取等号．当直线无斜率时时，由对称性可知：点一定在轴上，从而点的坐标为（± ，），直线的方程为 ± ，∴点到直线的距离为．∴点到直线的距离的最小值为．．已知函数（） ﹣ ﹣ ﹣ ．（）当时，求（）的单调区间；（）若 ≥ 时，（）≥ 恒成立，求的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（）当时，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求（）的单调区间；（）若 ≥ 时，（）≥ 恒成立，求函数导数，讨论的范围，结合函数的单调性研究最值即可求的取值范围．【解答】解：（）当时，（） ﹣ ﹣ ，（） ﹣ ，令（）＞，则 ﹣ ＞，解得：＞，令（）＜，则 ﹣ ＜，解得：＜，所以，函数（） ﹣ ﹣ 的单调增区间为（，），单调减区间为（﹣，）．．（）由函数（） ﹣ ﹣ ﹣ ，则（） ﹣ ﹣ （ ﹣ ﹣ ），令（） ﹣ ﹣ ，则（） ﹣ ．由 ≥ ，所以，当 ≤ 时，（）≥ ，（）为增函数，而（），所以（）≥ ，即（）≥ ，所以（）在，）上为增函数，而（），所以（）≥ 在，）上恒成立．当＞时，令（）＜，即 ﹣ ＜，则．即（）在上为减函数，而（），所以，（）在上小于．即（）＜，所以（）在上为减函数，而（），故此时（）＜，不合题意．综上， ≤ ．选修：几何证明选讲．如图，是圆的直径，是弦，∠ 的平分线交圆于点， ⊥ ，交的延长线于点，交于点．（）求证：是圆的切线；（）若，求的值．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（）根据，得到∠ ∠ ，结合是∠ 的平分线，得到∠ ∠ ∠ ，可得 ∥ ．再根据 ⊥ ，得到 ⊥ ，结合圆的切线的判定定理，得到是⊙ 的切线．（）连接，，设，，可证垂直平分，利用勾股定理可得到，得到，于是，然后通过 ∥ ，利用相似比即可求出的值．【解答】（）证明：连接，∵ ，∴∠ ∠∵∠ 的平分线是∴∠ ∠∴∠ ∠ ，可得 ∥又∵ ⊥ ，∴ ⊥∵ 是⊙ 的半径∴ 是⊙ 的切线；分（）解：连接，如图，∵ 为直径，∴∠ ，又 ∥ ，∴∠ ∠ ，∴ ⊥ ，∴ 为的中点，即，又∵ ，∴设，，根据中位线定理得，∴ ﹣ ，又四边形为矩形，∴ ，∴ ，而 ∥ ，∴可得分选修：坐标系与参数方程．已知直线的参数方程为（为参数， ∈ ），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为， ∈ ，）．（）求直线与曲线的直角坐标方程；（）在曲线上求一点，使它到直线的距离最短．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（）由曲线的极坐标方程为， ∈ ，），即．把，代入可得的直角坐标方程．由直线的参数方程为（为参数， ∈ ），消去得直线的普通方程．（）由曲线：（ ﹣ ）是以（，）为圆心，为半径的圆，点在曲线上，可设点（，）（ ∈ ，）），利用点到直线的距离公式即可得出点到直线的距离及其最小值．【解答】解：（）由曲线的极坐标方程为， ∈ ，），即．∴曲线的普通方程为 ﹣ ，配方为（ ﹣ ），∵直线的参数方程为（为参数， ∈ ），消去得直线的普通方程为 ﹣ ．（）∵曲线：（ ﹣ ）是以（，）为圆心，为半径的圆，∵点在曲线上，∴可设点（，）（ ∈ ，）），∴点到直线的距离为 ﹣ （），∵ ∈ ，），当时，，此时点的坐标为．选修：不等式选讲．已知函数（） ﹣ ．（）若不等式（）﹣ （）≥ ﹣ 有解，求实数的取值范围；（）若＜，＜，且 ≠ ，证明：＞（）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（）根据绝对值不等式的意义得到 ﹣ ≤ ，求出的范围即可；（）问题转化为证明（ ﹣ ）＞（ ﹣ ），通过作差证明即可．【解答】解：（）因为（）﹣ （） ﹣ ﹣ ≤ （ ﹣ ）﹣（），当且仅当 ≤﹣ 时等号成立，所以 ﹣ ≤ ，解得﹣ ≤ ≤ ；（）证明：要证，即证，只需证 ﹣ ＞ ﹣ ，即证（ ﹣ ）＞（ ﹣ ），又（ ﹣ ） ﹣（ ﹣ ） ﹣ ﹣ （ ﹣ ）（ ﹣ ），＜，＜，所以（ ﹣ ）（ ﹣ ）＞，所以（ ﹣ ）＞（ ﹣ ），故原不等式成立年月日。

2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝2i（1﹣i）（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．4i B．﹣4i C．4D．﹣42．（5分）已知集合A＝，B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（2，+∞）B．[1，2）C．（0，2）D．[1，2]3．（5分）已知向量，，，若（）与互相垂直，则k的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．（5分）已知命题p：∃x∈R，cos x＞sin x，命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或2D．46．（5分）已知函数f（x）＝，则f（log29）的值为（）A．9B．C．D．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．9．（5分）若直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则实数m的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．310．（5分）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm11．（5分）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A．B．8（π+1）C．4（2π+1）D．12．（5分）已知P是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，P A、PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，切点分别为A、B，若四边形P ACB的最小面积为2，则k的值为（）A．3B．2C．1D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为．14．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．15．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，记数列的前n项和为S n，则S2016的值为．16．（5分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰AB上的动点，则|+|的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且＝﹣．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若AB＝5，求AD的长．18．（12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg．已知当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg．（Ⅰ）求图中a、b的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC ＝2，P A＝PB＝．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到平面APC的距离．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2＝y+1有公共弦AB（A 在B左边），AB＝2，C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k（k≠0）的直线l 与C1、C2分别交于点M、N（均异于点A、B）．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x＞2）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在实数a，使得f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，求a的取值范围．四.请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（Ⅰ）若BC＝2，BD＝4，求AB的长；（Ⅱ）若AC＝3，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知椭圆C的普通方程为：．（Ⅰ）设y＝2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（Ⅱ）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣a|（a∈R，a＞0），（Ⅰ）若f（x）的最小值是﹣3，求a的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|f（x）|≤2的解集．2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝2i（1﹣i）（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．4i B．﹣4i C．4D．﹣4【解答】解：复数z＝2i（1﹣i）＝2i+2，∴z的共轭复数为＝2﹣2i，则＝2+2i+（2﹣2i）＝4．故选：C．2．（5分）已知集合A＝，B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（2，+∞）B．[1，2）C．（0，2）D．[1，2]【解答】解：集合A＝＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}＝[1，+∞），B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}＝{x|2x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜2}＝（0，2），∴A∩B＝[1，2）．故选：B．3．（5分）已知向量，，，若（）与互相垂直，则k的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：＝，∵（）与互相垂直，∴（）•＝k+3＝0，解得k＝﹣3．故选：A．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，cos x＞sin x，命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【解答】解：命题p：∃x＝0∈R，cos x＞sin x，因此是真命题．命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，是假命题，取x＝时，+＝2，此时不成立，因此是假命题．则下列判断正确的是：命题p∧（￢q）是真命题．故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或2D．4【解答】解：双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，渐近线斜率是±，而夹角是60°，因为两直线关于x轴对称，所以和x轴夹角是30°或60°，即＝tan30°＝或tan60°＝，若＝，即a2＝b2，c2＝a2+b2＝a2，e2＝＝，e＝（负的舍去）；若＝，b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，e2＝4，即e＝2．所以e＝，或e＝2．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（log29）的值为（）A．9B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（log29）＝f（log29﹣3）＝÷23＝．故选：D．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，∴＝，由，得公差d＝1，∴a n＝n．∴．故选：C．8．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选：C．9．（5分）若直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则实数m的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．3【解答】解：如图，在坐标平面内画出二元一次不等式x+y﹣3≤0，x﹣2y﹣3≥0所表示的平面区域，求出直线y＝2x与直线x﹣2y﹣3＝0的交点A（﹣1，﹣2），由图可知，要使直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则m≤﹣1．即实数m的最大值为﹣1．故选：B．10．（5分）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水＝V柱可得3×πr3+πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3．故选：C．11．（5分）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A．B．8（π+1）C．4（2π+1）D．【解答】解：三视图对应的几何体是组合体，该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：＝．故选：A．12．（5分）已知P是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，P A、PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，切点分别为A、B，若四边形P ACB的最小面积为2，则k的值为（）A．3B．2C．1D．【解答】解：S四边形P ACB＝P A•AC＝P A＝∴当|CP|最小时，即CP⊥l时，四边形P ACB的面积最小，由四边形P ACB的最小面积，得，由点到直线的距离公式得：，∵k＞0，∴解得k＝2．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为60．【解答】解：∵样本容量为160，学生人数所占的比例为＝，∴应抽取学生人数为（3200﹣1000﹣1000）×＝60，故答案为6014．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1015．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，记数列的前n项和为S n，则S2016的值为．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣ax的导数为f′（x）＝2x﹣a，可得函数f（x）图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k＝f′（1）＝2﹣a，由切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，可得2﹣a＝3，解得a＝﹣1，即有f（x）＝x2+x＝x（x+1），故，则＝．故答案为：．16．（5分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰AB上的动点，则|+|的最小值为3．【解答】解：如图，以PC、PD为邻边作平行四边形PCQD，则＝，要使取最小值，只需取最小值，∵E为CD的中点，故当PE⊥AB时，取最小值，这时PE为梯形的中位线，即，故．故答案为：3．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且＝﹣．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若AB＝5，求AD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即AB•AC＝15，∴；（Ⅱ）解法1：由AB＝5，得AC＝3，延长AD到E，使AD＝DE，连结BE，∵BD＝DC，∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°，且BE＝AC＝3，设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：（2x）2＝AB2+BE2﹣2AB•BE cos∠ABE＝25+9﹣15＝19，解得，即AD的长为；解法2：由AB＝5，得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos∠BAC＝25+9+15＝49，得BC＝7，由正弦定理得：，得，∵0°＜∠ACD＜90°，∴，在△ADC中，，解得；解法3：由AB＝5，得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos∠BAC＝25+9+15＝49，得BC＝7，在△ABC中，，在△ADC中，由，解得．18．（12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg．已知当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg．（Ⅰ）求图中a、b的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得到：100（a+0.0015+b+0.004）＝1，得100（a+b）＝0.45，（2分）由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15＝455，得300a+500b＝2.05，（4分）解得a＝0.0010，b＝0.0035．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）结合频率分布直方图知，当年产量为300kg时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg时，其年销售额为6000元，（8分）因为年产量为400kg的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，（9分）而年产量为500kg的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，（10分）故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4＝0.75，（12分）19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC ＝2，P A＝PB＝．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到平面APC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取AB得中点O，连接PO、CO，由P A＝PB＝，AB＝2知△P AB为等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO＝1，又AB＝BC＝2，∠ABC＝60°知△ABC为等边三角形，∴．又由PC＝2得PO2+CO2＝PC2，∴PO⊥CO，∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：设点D到平面APC的距离为h，由（Ⅰ）知△ADC是边长为2的等边三角形，△P AC为等腰三角形，由V D﹣P AC＝V P﹣ADC得，∵，，∴＝，即点D到平面APC的距离为．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2＝y+1有公共弦AB（A 在B左边），AB＝2，C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k（k≠0）的直线l 与C1、C2分别交于点M、N（均异于点A、B）．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣1的顶点为（0，﹣1），即椭圆的下焦点为（0，﹣1），∴c＝1，由AB＝2，知x B＝1，代入抛物线得B（1，0），得b＝1，∴a2＝b2+c2＝2，∴C1的方程为．（Ⅱ）依题意知直线l的方程为y＝k（x﹣1），与联立消去y得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣2＝0，则，得，，由，得x2﹣kx+k﹣1＝0，由△＝k2﹣4（k﹣1）＝（k﹣2）2＞0，得k≠2，则x N•x B＝k﹣1，得x N＝k﹣1，y N＝k（k﹣2），∵点A在以MN为直径的圆外，即，∴，又A（﹣1，0），∴＝＝，解得k＜4，综上知k∈（﹣∞，0）∪（0，2）∪（2，4）．21．（12分）已知函数f（x）＝（x＞2）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在实数a，使得f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解法1：＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）记g（x）＝（x﹣2）﹣（x﹣1）ln（x﹣1）（x＞2），g'（x）＝﹣ln（x﹣1）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）即g（x）在（2，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（2）＝0从而f'（x）＜0，∴函数f（x）在（2，+∞）上的单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解法2：依题意得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）记（x≥2）则＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵x＞2∴g'（x）＜0，即函数g（x）在（2，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（2）＝0，从而得f'（x）＜0，∴函数f（x）在（2，+∞）上的单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）解法1：f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，等价于ln（x﹣1）＜a（x﹣2）对∀x∈（2，+∞）均成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由y＝ln（x﹣1）得，由此可得函数y＝ln（x﹣1）的图象在点（2，0）处的切线为y＝x﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（1）当a＜1时，在（2，+∞）上，直线y＝a（x﹣2）与函数y＝ln（x﹣1）的图象相交，不合题意；﹣﹣﹣（9分）（2）当a≥1时，在（2，+∞）上，直线y＝a（x﹣2）在函数y＝ln（x﹣1）的图象的上方，符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上得：要使f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解法2：f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，等价于ln（x﹣1）＜a（x﹣2）对∀x∈（2，+∞）均成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）记h（x）＝ln（x﹣1）﹣a（x﹣2），则＝＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）h（2）＝0，令h'（x）＝0得，，（1）当a≤0时，对∀x∈（2，+∞），h'（x）＞0，即函数h（x）在（2，+∞）单调递增，故h（x）＞h（2）＝0，即ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＞0，不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（2）当0＜a＜1时，对，h'（x）＞0，此时函数h（x）在上为增函数，即ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＞0，不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）当a≥1时，对∀x∈（2，+∞），有h'（x）＜0，函数h（x）在（2，+∞）单调递减，因此ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＜h（2）＝0，符合题意；综上得：要使f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）四.请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（Ⅰ）若BC＝2，BD＝4，求AB的长；（Ⅱ）若AC＝3，求AE的长．【解答】解：（Ⅰ）由弦切角定理得∠BAC＝∠BDA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∠BAD＝∠BCA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以△BAC∽△BDA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以AB2＝BC•BD＝8，所以；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）连接EC，∵∠AEC＝∠AEB+∠BEC，∠ACE＝∠ABE＝∠BAD+∠ADB，∵∠AEB＝∠BAD，∠BAC＝∠BDA＝∠BEC，∴∠AEC＝∠ACE，∴AE＝AC＝3（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知椭圆C的普通方程为：．（Ⅰ）设y＝2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（Ⅱ）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）【解答】解：（Ⅰ）将y＝2t代入椭圆的普通方程得，于是得，∴椭圆C的参数方程为（t为参数）和（t为参数）．（Ⅱ）依题意知点A（3，0），B（0，2），设点P的坐标为（3cosθ，2sinθ），，则S四边形AOBP＝S△BPO+S△OP A＝＝，，当，即时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣a|（a∈R，a＞0），（Ⅰ）若f（x）的最小值是﹣3，求a的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|f（x）|≤2的解集．【解答】解：（Ⅰ）解法1：∵a＞0，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当﹣2≤x＜a时，﹣2﹣a≤f（x）＜a+2，∴当x∈R时，﹣2﹣a≤f（x）≤a+2﹣﹣﹣（4分）∴f（x）min＝﹣（a+2）＝﹣3，∴a＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解法2：∵||x+2|﹣|x﹣a||≤|（x+2）﹣（x﹣a）|＝a+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|f（x）|≤a+2，f（x）min＝﹣（a+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又已知f（x）min＝﹣3，∴a＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）】（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（a＞0）当x＜﹣2时，f（x）＝﹣（a+2）＜﹣2，|f（x）|＞2，不等式|f（x）|≤2解集为空集﹣﹣﹣（6分）当x≥a时，f（x）＝a+2＞2，不等式|f（x）|≤2解集也为空集；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当﹣2≤x＜a时，|f（x）|≤2，即﹣2≤2x+2﹣a≤2⇒∵，，∴当﹣2≤x＜a时，|f（x）|≤2的解为﹣﹣﹣﹣﹣（9分）综上得所求不等式的解集为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。

广东省揭阳市高三数学第二次模拟试题文(含解析)新人教A版

2013年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•揭阳二模）函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0] C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式可得1﹣2x≥0，解得x≤0，由此可得函数的定义域．解答：解：由于函数，故有 1﹣2x≥0，解得x≤0，故函数的定义域为（﹣∞，0]，故选B．点评：本题主要考查根据函数的解析式求函数的定义域，属于基础题．2．（5分）（2013•揭阳二模）若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．B．C．D．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先进行复数的乘法运算，根据复数相等的充要条件，得到复数的实部和虚部分别相等，得到a，b 的值，求出复数的模长．解答：解：∵（1+2ai）i=1﹣bi，∴i﹣2a=1﹣bi∴﹣2a=1，b=﹣1∴a=﹣，b=﹣1∴|a+bi|=故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数的求模，本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题．3．（5分）（2013•揭阳二模）已知点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若，则点B的坐标为（）A．（7，4）B．（7，14）C．（5，4）D．（5，14）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），求得x、y的值，即可求得点B的坐标．解答：解：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），故有，解得，故选 D．点评：本题主要考查两个向量的坐标形式的运算，属于基础题．4．（5分）（2013•揭阳二模）设函数f（x）=，则函数的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法；诱导公式的作用．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用诱导公式进行化简，再利用两角和的正弦公式即可把asinx+bcosx化为的形式，利用T=即可得到正周期．解答：解：函数f（x）=cosx+sinx==，故其最小正周期为=2π，故选C．点评：熟练掌握利用两角和的正弦公式即可把asinx+bcosx化为的形式、诱导公式、周期公式是解题的关键．5．（5分）（2013•揭阳二模）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．解答：解：设要求的双曲线为，由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a=1，c=2，∴b2=c2﹣a2=3．∴双曲线为．故选B．点评：熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．6．（5分）（2013•揭阳二模）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a m=a1+a2+…+a9，则m的值为（）A．37 B．36 C．20 D．19考点：数列的求和；等差数列．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式可得a m=0+（m﹣1）d，利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d，二式相等即可求得m的值．解答：解：∵{a n}为等差数列，首项a1=0，a m=a1+a2+…+a9，∴0+（m﹣1）d=9a5=36d，又公差d≠0，∴m=37，故选A．点评：本题考查等差数列的通项公式与求和，考查等差数列性质的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．7．（5分）（2013•揭阳二模）设定义在[﹣1，7]上的函数y=f（x）的图象如图示，则关于函数的单调区间表述正确的是（）A．在[﹣1，1]上单调递减B．在（0，1]上单调递减，在[1，3）上单调递增C．在[5，7]上单调递减D．在[3，5]上单调递增考点：函数单调性的判断与证明．分析：当x=0，x=3，x=6时，函数无意义，故排除A、C、D，进而可得答案．解答：解：由图象可知当x=0，x=3，x=6时，f（x）=0，此时函数无意义，而选项A、C、D均违背定义域，故排除A、C、D，故选B．点评：本题考查函数单调性的判断，涉及函数的定义的应用，属基础题．8．（5分）（2013•揭阳二模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A．7B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图复原的几何体，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，故选D．点评：本题考查几何体与三视图的关系，考查空间想象能力与计算能力．9．（5分）（2013•揭阳二模）若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有 a+2b=1，再利用基本不等式求得ab的取值范围．解答：解：依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有 a+2b=1，由，故选B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．10．（5分）（2013•揭阳二模）已知点P（x，y）满足，则点Q（x+y，y）构成的图形的面积为（）A．1B．2C．3D．4考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：先令x+y=u，y=v，则点Q（u，v）满足，点Q的可行域为平行四边形及其内部区域，数形结合求得点Q（u，v）构成的区域的面积．解答：解：设点Q（u，v），则x+y=u，y=v，则点Q（u，v）满足，在uov平面内画出点Q（u，v）所构成的平面区域如图，它是一个平行四边形，一边长为1，高为2，故其面积为2×1=2．故选B．点评：本题考查求二元一次不等式组表示的区域面积，判断不等式组表示的区域构成的图形，是解题的关键．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（9-13题）11．（5分）（2013•揭阳二模）若点（a，﹣1）在函数的图象上，则的值为．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：将x=a，y=﹣1代入函数解析式中求出a的值，将a的值代入所求式子中计算即可求出值．解答：解：将x=a，y=﹣1代入函数解析式得：﹣1=，解得：a=3，则tan=tan=tan（π+）=tan=．故答案为：点评：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：对数的运算性质，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•揭阳二模）已知函数f（x）=4|a|x﹣2a+1．若命题：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，则实数a的取值范围为．考点：特称命题；命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是单调函数，在（0，1）上存在零点，应有f（0）f（1）＜0，解不等式求出数a的取值范围．解答：解：由：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，得：f（0）•f（1）＜0⇒（1﹣2a）（4|a|﹣2a+1）＜0或⇒．故答案为：点评：本题考查函数的单调性、单调区间，及函数存在零点的条件．13．（5分）（2013•揭阳二模）对于集合M，定义函数对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|f A（x）•f B（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为{1，6，10，12} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：新定义．分析：在理解题意的基础上，得到满足f A（x）•f B（x）=﹣1的x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}，分别求出两个集合后取并集．解答：解：要使f A（x）•f B（x）=﹣1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．点评：本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•揭阳二模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线l过圆C：的圆心C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先求已知圆的圆心的极坐标，再根据直线l过圆C：的圆心C且与直线OC垂直，即可求得直线l的极坐标方程．解答：解：把化为直角坐标系的方程为x2+y2=2x+2y，圆心C的坐标为（1，1），与直线OC垂直的直线方程为x+y﹣2=0，化为极坐标系的方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．点评：本题重点考查曲线的极坐标方程，考查极坐标与直角坐标之间的互化，属于基础题．15．（2013•揭阳二模）如图所示，C，D是半圆周上的两个三等分点，直径AB=4，CE⊥AB，垂足为E，BD 与CE相交于点F，则BF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的性质、含30°角的直角三角形的性质即可得出．解答：解：∵C，D是半圆周上的两个三等分点，∴∠DBA=30°，连接AD，则∠ADB=90°，∴AD=2，过点D作DG⊥AB于G，在Rt△ADG中，∠ADG=30°，∴AG==1．则AG=BE=1，∴=．故答案为．点评：熟练掌握圆的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2006•北京）已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且，求f（α）的值．考点：三角函数的定义域；弦切互化．分析：（1）由cosx≠0得出x取值范围得出答案．（2）通过tanα=﹣，求出sina=﹣，cosa=，代入函数式．解答：（1）解：∵依题意，有cosx≠0∴解得x≠kp+，∴f（x ）的定义域为{x|x ∈R ，且x≠kp+，k ∈Z}（2）解：∵=﹣2sinx+2cosx∴f（α）=﹣2sina+2cosa ∵α是第四象限的角，且∴sina=﹣，cosa= ∴f（α）=﹣2sina+2cosa=点评：本题主要考查三角函数的定义域的问题．属基础题． 17．（12分）（2013•揭阳二模）某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试，规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．现有100人参加测试，测试成绩的频率分布直方图如图．（1）求获得参赛资格的人数；（2）根据频率分布直方图，估算这100名学生测试的平均成绩；（3）现在成绩[110，130）、[130，150]（单位：分）的同学中采用分层抽样机抽取5人，按成绩从低到高编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，从这5人中任选2人，求至少有1人的成绩在[130，150]的概率．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出满足参赛资格的区域包含的长方形的纵坐标的和乘以组距得到分布在该区域的频率，再乘以样本容量求出获得参赛资格的人数．（2）由频率分布直方图求数据的平均数，是各个矩形宽的中点横坐标乘以各个矩形的纵坐标的和，在乘以组距即可．（3）本题是一个等可能事件的概率，最后两组共有15名学生，用分层抽样在15名学生中抽5名学生，最后两组分别抽取2人，3人，列举出事件发生所包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到结果．解解：（1）由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为：答：100×（0.0050+0.0045+0.0030）×20=25人．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）设100名学生的平均成绩为，则 =[×0.0065+×0.0140+×0.0170+×0.0050+×0.0045+×0.0030]×20=78．（4分）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（3）成绩在[110，130）的人数为100×0.0045×20=9人，成绩在[130，150）的人数为100×0.0030×20=6人，所以应从成绩在[130，150）中抽取×5=2人，从成绩在[110，130）中抽取×5=3人，故A 4，A 5∈[130，150），﹣﹣﹣﹣（8分）从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5中任取两人，共有（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 1，A 5），（A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 2，A 5），（A 3，A 4），（A 3，A 5），（A 4，A 5）十种不同的情况，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）其中含有A 4，A 5的共有7种，所以至少有1人的成绩在[130，150）的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查频率分布表，考查等可能事件的概率，是一个概率与统计的综合题目，题目虽然比较麻烦，但是一个能够得分的题目． 18．（14分）（2013•揭阳二模）数列{a n }中，a 1=3，a n+1=a n +cn （c 是常数，n=1，2，3，…），且a 1，a 2，a 3成公比不为1的等比数列．（1）求c 的值；（2）求{a n }的通项公式．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由递推式表示出a 2，a 3，由a 1，a 2，a 3成等比数列可得关于c 的方程，解出即得c 值，注意检验；（2）利用累加法可求得a n ，注意检验n=1时是否满足a n ；解答：解：（1）a 1=3，a 2=3+c ，a 3=3+3c ，∵a 1，a 2，a 3成等比数列，∴（3+c ）2=3（3+3c ），解得c=0或c=3．当c=0时，a 1=a 2=a 3，不符合题意舍去，故c=3．（ 2）当n≥2时，由a 2﹣a 1=c ，a 3﹣a 2=2c ，…，a n ﹣a n ﹣1=（n ﹣1）c ，．又a 1=3，c=3，∴．当n=1时，上式也成立， ∴．点评：本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题．19．（14分）（2013•揭阳二模）如图，已知三棱柱BCF﹣ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形，M、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（2）求证：MN∥平面BCF；（3）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）四边形CFED与ABFE都是正方形，利用线面垂直可得EF⊥平面ADE，再根据EF∥AB，得出AB⊥平面ADE，最后利用面面垂直的判定得出结论；（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连结M1N1，先证得四边形MNN1M1为平行四边形，得MN∥N1M1，再根据线面平行的判定得到MN∥面BCF．法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，得出平面MNG∥平面BCF，最后利用面面平行的性质得出MN∥面BCF；（3）将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小．通过解△AEN，利用余弦定理求出AN即可．解答：解：（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连结M1N1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1又∵，∴MM1=NN1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴四边形MNN1M1为平行四边形，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．﹣（10分）[法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，则，∴NG∥CF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）]（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）在△AEN中，∵由余弦定理得AN2=AE2+EN2﹣2AE•ENcos135°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本小题考查空间中的线面关系及面面关系，点、线、面间的距离计算、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．20．（14分）（2013•揭阳二模）如图已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．（1）求圆M和抛物线C的方程；（2）试探究抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x﹣1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用抛物线的定义可知：|OD|=；直角三角形的边角关系可得，由垂径定理可得|OE|=，可得圆心与半径，根据圆的标准方程即可得出；（2）利用“点差法”及由PQ⊥m⇔k PQ•k=﹣1，可得PQ中点D（x0，y0）的纵坐标y0=﹣2k，又D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上，可得x0=﹣1＜0，点D（x0，y0）在抛物线外．即可判断出．解答：解：（1）如图所示，设准线l与x轴相较于点D，则|OD|=．在Rt△OAD中，，即p=2，∴所求抛物线的方程为y2=4x．∴设圆的半径为r，作ME⊥t，垂足为E，由垂径定理可得|OE|=，在Rt△OME中，，∴圆的方程为（x﹣2）2+y2=4．（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0）．∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，∴两式相减得：（y3﹣y4）（y3+y4）=4（x3﹣x4）．好∵PQ⊥m，∴k PQ•k=﹣1，好∴，∴y0=﹣2k．∵D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上∴x0=﹣1＜0，点D（x0，y0）在抛物线外．∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称．点评：熟练掌握直角三角形的边角关系、垂径定理、抛物线的定义、圆的标准方程、轴对称的性质和相互垂直的直线的斜率之间的关系设解题的关键．21．（14分）（2013•揭阳二模）已知a＞0，函数f（x）=ax2﹣lnx．（1）求f（x）的单调区间；（2）当时，证明：方程在区间（2，+∞）上有唯一解；（3）若存在均属于区间[1，3]的α，β且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明：．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出f′（x），利用导数与函数单调性的关系即可得出；（2）利用（1）的结论可知：f（x）﹣在区间（2，+∞）上单调递增，再验证函数零点存在定理的条件即可证明；（3）由f（α）=f（β）及（1）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最大值为f（α）（或f（β）），又由β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．利用其单调性解出即可．解答：解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），．∵a＞0，令f'（x）＞0得：，令f'（x）＜0得：．∴函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：当时，，由（1）知f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞），令，则g（x）在区间（2，+∞）单调递增且g（2）=f（2）﹣==＜0，＞0．∴方程在区间（2，+∞）上有唯一解．（3）证明：由f（α）=f（β）及（1）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最大值为f（α）（或f（β）），又由β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．故，即从而．点评：本题考查了利用导数研究函数单调性、极值、最值得方法，函数零点判定定理等基础知识与基本技能，灵活构造函数和善于利用已经证明的结论是解题的关键．。

广东省揭阳市高三数学第二次模拟考试试题文新人教A版

揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh=．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C.231k A -∈ D.34A -∉ 2．已知复数1z i =+，则2(1)z z -=A. 2B. －2C. 22i -D. 22i --3．命题P ：“对2,12x R x x ∀∈+≥”的否定P ⌝为 A. 2,12x R x x ∃∈+> B.2,12x R x x ∃∈+≥ C. 2,12x R x x ∀∈+< D.2,12x R x x ∃∈+< 4．已知1sin()3πα+=，则cos 2α=A. 79B.89C. 79-D.95. 若01x y <<<，则下列不等式正确的是A ．44y x <B ．33>x y C ．44log log x y < D ．11()()44x y <侧视图6．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为 A ．43 B ．413 C ．49-D ．47．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 的几何体的三视图，则侧视图中的h 为A. 5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm ⎪⎨⎧≤+-≤-+01205y x y x yA.8B.7C.6D.510．已知{1,2,3,4},{1,2,3}a b ∈∈，则关于x 的不等式222(1)0x a x b --+≥的解集为R 的概率为A.14B.12C. 23D. 34二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则2log (2)f 的值为． 12．以点(2,1)-为圆心且与直线3470x y +-=相切的圆的标准方程是．13．在△ABC 中，已知角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2(cos cos )c a B b A b -=，则sin sin AB = ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线(2c o s s i n )ρθθ-=与(cos 2sin )1ρθθ+=-的交点的极坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P 在圆O 的直径AB 的延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD 的长为．图3三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知函数()sin()6f x A x πω=+(00)A ω>>，的部分图象如图4示，其中M 1(,0)6-为图象与x 轴的交点，1(,2)3P 为图象的最高点．(1)求A 、ω的值；(2)若2()3f απ=，(,0)3πα∈-，求cos()3πα+的值．图4 17．(本小题满分12分)某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129；乙：133，107，120，113，121，116，126，109，129，127.（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出以上抽取的甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，求出这20个数据的众数，并判断哪个班的平均水平较高；（2）将这20名同学的成绩按下表分组，现从第一、二、三组中，采用分层抽样的方法抽取6名同学成绩作进一步的分析，求应从这三组中各抽取的人数．18．(本小题满分14分) 已知等比数列{}n a 满足：0n a >，15a =，n S 为其前n 项和，且13220S S S，，7成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设51525log log log n n b a a a =+++，求数列{1n b }的前n 项和n T ．19．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，2AB =，90BAC ∠=°．（1）证明：SA BC ⊥；（2）求三棱锥S ABC -的体积．图620．(本小题满分14分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1(F、2F ，P 为椭圆C 上任一点，12PF PF ⋅uuu r uuu r的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数()321(21)3(2)13f x x k x k k x =-++++，其中k 为实数.（1）当1k =-时，求函数()f x 在[0,6]上的最大值和最小值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 的导函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，求k 的取值范围.揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：CADAC ABCBD二、填空题：11. 1-；12.22(2)(1)1x y-++=；14.7)4π；15..三、解答题：16．解：（1）由1(,2)3P为图象的最高点知2A=，---------------------1分又点M1(,0)6-知函数()f x的最小正周期114()236T=+=，-----------------------3分∵2Tπω=∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6 f x xππ=+由2()3fαπ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分∵(,0)3πα∈- ∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴cos()63πα+===-------------------------9分 ∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分 ∴cos()3πα+11332=-⨯=------------------------------------------------12分 17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：----4分这20个数据的众数为121，----------------------------------5分乙班的平均水平较高；----------------------------------------7分（2）由上数据知，这20人中分值落在第一组的有3人，落在第二组的有6人，落在第三组的有9人，-------------9分故应从第一组中抽取的人数为：631369⨯=++，-------10分应从第二组中抽取的人数为：662369⨯=++，--------------------------------11分应从第三组中抽取的人数为：693369⨯=++.-----------------------------------12分18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∵13220,,7S S S 成等差数列，3122207.S S S ∴=+-----------------------------------2分即21111112()207()a a q a q a a a q ++=++，化简得225250q q --=，------4分解得：5q =或52q =-------------------------------------------------------------------6分∵0n a >，∴52q =-不合舍去，∴111555n n nn a a q --==⨯=.-----------------------------------------7分(2)∵51525log log log n n b a a a =+++=1235125log ()log 5123nn a a a n ++++==++++---------------------9分(1)2n n +=，----------------------------------------------------------------------------10分∴1n b =211=2()(+11n n n n -+）----------------------------------------------------------------12分 ∴12111n n T b b b =+++111112[(1)()()]2231n n =-+-++-+122(1)11n n n =-=++.------------------------------------------14分19．解：（1）证明：取BC 中点D ，连结SD 、AD ，-----2分 ∵△SAB 与△SAC 均为等边三角形∴SB=SC=AB=AC=SA=2，∴SD BC ⊥,AD BC ⊥-----4分又SDAD D =∴BC ⊥平面SAD ----------------------5分 ∵SA ⊂平面SAD∴SABC ⊥-------------------------------------------------7分（2）∵90BAC ∠=°，AB=AC ， ∴BC ==------------------------------------8分∵SB=AB ，SC=AC ，BC=BC，∴△SBC ≌△ABC ，∴90BSC ∠=，-------------------------9分∴12SD AD BC ===∵2224SD AD SA +== ∴SD AD ⊥---------------------11分又SD BC ⊥,BC AD D =∴SD ⊥平面ABC,------------------------------------------12分∴13P ABC ABC V S SD -∆=112232=⨯⨯⨯=分其它解法请参照给分.20.解：(1)设(,)P x y ,由1(F、2F 得1(,)PF x y =-u u u r, 2,)PF x y =-u u u r .∴212)PF PF x x y ⋅=-+u u u r u u u r 223x y =+-，---------------------2分由22221x y a b +=得2222(1)x y b a =- ∴222122(1)3x PF PF x b a ⋅=+--uuu r uuu r 22233x b a =+-，------------------------4分∵220x a ≤≤，∴当22x a =，即x a =±时，12PF PF ⋅uuu r uuu r有最大值，即212max ()331PF PF b ⋅=+-=u u u r u u u r ，---------------------------------------6分 ∴21b =，2224a c b =+=，∴所求双曲线C 的方程为2214x y +=.------------------------------------7分其它解法请参照给分.（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=，------------------------------------------------------------8分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------① 又122814kmx x k +=-+--------------------10分由||||AD AE =可得2222112212121212(1)(1)()(2)()()0x y x y x x x x y y y y -+=-+⇒-+-+-+=121212122()0y y x x y y x x -⇒+-++=-212(1)()220k x x km ⇒+++-= 228(1)22014kmk km k ⇒-++-=+化简得2143k m k +=-------------②------------------------------------------12分将②代入①得2221441()3k k k ++>化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得5k >或5k <-所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k的取值范围为(,)-∞⋃+∞．-------14分21.解：（1）当1k =-时，321()313f x x x x =+-+，---------------------------1分则2'()23f x x x =+-(1)(3)x x =-+，令'()0f x =，∵[0,6]x ∈ 得1,x =----------------------------------2分且()f x 在[0,1]上单调递减，在[1,6]上单调递增，∵2(0)1,(1),(6)973f f f ==-=，∴()f x 在[0,6]上的最大值为97，最小值为23-.------------------------4分（2） ∵()2'2(21)3(2)f x x k x k k =-+++=(3)[(2)]x k x k --+，----------------5分当1k =时，2'()(3)0f x x =-≥，∴函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；---6分当1k >时，32k k >+，由'()0f x >解得3x k >或2x k <+，由'()0f x <得23k x k +<<，∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+，递减区间为(2,3)k k +；----7分当1k <时，32k k <+，由'()0f x >解得2x k >+或3x k <，由'()0f x <得32k x k <<+，∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+；递减区间为(3,2)k k +.-----9分（3）由()'(3)[(2)]0f x x k x k =--+=得122,3x k x k =+=，--------------------------------------------------10分 ①当12x x =时，有231k k k +=⇒=，此时123(0,6)x x ==∈，函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，∴1k =为所求；----------------------11分 ②当12x x >时，有231k k k +>⇒<，此时213x x <<，∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，得2103x x ≤<<，即3023k k ≤<+<，解得20k -<≤，-----------------12分 ③当12x x <时，有231k k k +<⇒>，此时213x x >>，∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，得1236x x <<≤，即3263k k <+<≤，解得24k ≤<，------------------13分综上得实数k 的取值范围为是：20k -<≤或1k =或24k ≤<.----------------14分。

2016年广东省揭阳市高三理科二模数学试卷

2016年广东省揭阳市高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 函数f x=x−1ln2x−x2的定义域为 A. 2,+∞B. 1,2C. 0,2D. 1,22. 已知复数z=2i1−i（i为虚数单位），z的共轭复数为z，则z+z= A. 2iB. −2iC. −2D. 23. 已知向量a=3,1，b=0,−1，c= k,3，若a−2b与c共线，则k的值为 A. −3B. −1C. 1D. 34. 已知命题p:∃x∈R，x−1≥lg x，命题q:∀x∈0,π，sin x+1sin x>2，则下列判断正确的是 A. 命题p∨q是假命题B. 命题p∧q是真命题C. 命题p∨¬q是假命题D. 命题p∧¬q是真命题5. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为 A. 1415B. 815C. 25D. 4156. 已知函数f x=log2x,x>02−x,x≤0，则不等式f x>1的解集为 A. 2,+∞B. −∞,0C. −∞,0∪2,+∞D. 0,27. 如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 A. 4 cmB. 3 cmC. 2 cmD. 1 cm8. 已知函数f x=x2−ax的图象在点A 1,f1处的切线l与直线x+3y−1=0垂直，记数列1f n的前n项和为S n，则S2016的值为 A. 20152016B. 20162017C. 20142015D. 201720189. 函数f x=1+cos x sin x在−π,π上的图象的大致形状是 A. B.C. D.10. 实数x，y满足条件2x−y≥0,x+y−4≥0,x≤3.则y2x的取值范围为 A. 4,+∞B. 13,2 C. 0,4 D. 19,411. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 20+2πB. 20+6πC. 14+2πD. 1612. 在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e x−2交于不同的两点A，B，分别过A，B作x轴的垂线，与曲线y=ln x交于点C，D，则直线CD的斜率为 A. 3B. 2C. 1D. 12二、填空题（共4小题；共20分）13. 某水稻品种的单株稻穗颗粒数X服从正态分布N200,102，则P X>190=．（附：若Z∼Nμ,σ2，则Pμ−σ<Z<μ+σ=0.6826，Pμ−2σ<Z<μ+2σ=0.9544．）14. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>b>0的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为．15. 执行如图所示的程序框图，则输出的k值为．16. 已知等差数列a n满足，a1>0，5a8=8a13，则前n项和S n取最大值时，n的值为．三、解答题（共8小题；共104分）．17. 如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC=120∘，且AB⋅AC=−152（1）求△ABC的面积；（2）若AB=5，求AD的长．18. 某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455 kg．当年产量低于450 kg时，单位售价为12 元/kg，当年产量不低于450 kg时，单位售价为10 元/kg．（1）求图中a的值；（2）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X（单位：元）的分布列；（3）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．19. 如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60∘，AB=PC=2，PA=PB=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成最大角的正切值．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，若动点A在椭圆C上，动点B在直线y=abc =62上．（c为椭圆的半焦距）（1）求椭圆C的方程；（2）若OA⊥OB（O为坐标原点），试探究点O到直线AB的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．21. 已知a∈R，函数f x=e x+ax2，g x是f x的导函数，（1）当a>0时，求证：存在唯一的x0∈ −12a,0，使得g x0=0；（2）若存在实数a，b，使得f x≥b恒成立，求a−b的最小值．22. 如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（1）若BC=2，BD=4，求AB的长；（2）若AC=3，求AE的长．23. 已知椭圆C的普通方程为：x29+y24=1．（1）设y=2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（2）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A，B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）24. 已知f x=∣x+2∣−∣x−a∣a∈R,a>0，（1）若f x的最小值是−3，求a的值；（2）求关于x的不等式∣f x∣≤2的解集．答案第一部分 1. B【解析】要使函数有意义，则 x −1>0,2x −x 2>0,解得 1<x <2．所以函数 f x = x−1+ln 2x −x 2 的定义域为 1,2 ．2. C【解析】复数 z =2i1−i =2i 1+i1−i 1+i =i −1，z 的共轭复数为 z =−1−i ，则 z +z =−1+i −1−i =−2． 3. C【解析】向量 a = 1 ，b = 0,−1 ，c = k , 3 ，所以 a −2b = 3,1 −2 0,−1 = 3,3 ，因为 a −2b 与 c 共线，所以 3× 3=3k ，所以 k =1． 4. D【解析】命题 p ：取 x =1 时，x −1≥lg x ，成立，因此 p 是真命题．命题 q ：取 x =π2∈ 0,π ，则 sin x +1sin x =2，因此命题 q 是假命题．则下列判断正确的是：命题 p ∧ ¬q 是真命题．5. A【解析】因为某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，所以基本事件总数n =C 64=15，因为所选的 4 人中至少有 1 名女生的对立事件是所选 4 人都是男生，所以所选的 4 人中至少有 1 名女生的概率为：P =1−C 44C 64=1415．6. C【解析】当 x >0 时，f x >1，即为：log 2x >1，解得 x >2；当 x ≤0 时，f x >1，即为：2−x >1，解得 x <0，综上可得，原不等式的解集为 −∞,0 ∪ 2,+∞ ． 7. B【解析】设球的半径为 r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，所以 3×43πr 3=πr 2 6r −6 ，解得 r =3． 8. B【解析】函数 f x =x 2−ax 的导数为 fʹ x =2x −a ，可得函数 f x 的图象在点 A 1,f 1 处的切线斜率 k =fʹ 1 =2−a ，由切线 l 与直线 x +3y −1=0 垂直，可得 2−a =3，解得 a =−1，即有 f x =x 2+x =x x +1 ，故1f n=1n n +1=1n −1n +1，则 S 2016=1−12+12−13+⋯+12016−12017=1−12017=20162017． 9. A【解析】因为f−x=1+cos−x sin−x=−1+cos x sin x=−f x,且定义域−π,π关于原点对称，所以f x为奇函数，故图象关于原点对称，故排除C，当x=π2时，fπ2=1，故排除D，当x=π4时，fπ4=1+22×22=2+22>1，故排除B．10. D【解析】画出不等式表示的平面区域，如图所示，设yx =k，则k为可行域内的点与原点连线的斜率，易得13≤k≤2，故19≤k2≤4．11. A【解析】该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个14圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：4−12π×12×2+4×1+12×2π×1×3=20+2π．12. C 【解析】设直线l的方程为y=kx k>0，且A x1,y1，B x2,y2x1>0,x2>0，则C x1,ln x1，D x2,ln x2，因为A，B点在曲线y=e x−2和直线l上，所以kx1=e x1−2，两边同时取以e为底的对数得x1=2+ln kx1，同理可得x2=2+ln kx2，所以直线CD的斜率k=ln x2−ln x1x2−x1=ln x2−ln x1ln kx2−ln kx1=ln x2x1ln kx2kx1=1．第二部分13. 0.8413【解析】因为Pμ−σ<Z<μ+σ=0.6826，所以P X>190=P X>μ−σ=12⋅Pμ−σ<X<μ+σ+0.5=0.8413．14. 233【解析】因为a>b>0，所以渐近线y=bax的斜率小于1，因为两条渐近线的夹角为π3，所以，渐近线的倾斜角为π3，即ba =tanπ3=33，又因为c2=a2+b2，所以c2=a2+13a2，所以c 2a2=43，所以e=233．15. 16【解析】程序运行的过程为：S=0，k=1，不满足条件S>1022，S=21−log31，k=4；不满足条件S>1022，S=24−log34，k=7；不满足条件S>1022，S=27−log37，k=10；不满足条件S>1022，S=210−log310，k=13；不满足条件S>1022，S=213−log313，k=16；满足条件S>1022，退出循环，输出的k值为16．16. 21【解析】设数列的公差为d，由5a8=8a13，得5a1+7d=8a1+12d，解得d=−361a1，由a n=a1+n−1d=a1+n−1 −361a1≥0，可得n≤643=2113，所以数列a n前21项都是正数，以后各项都是负数，故S n取最大值时，n的值为21．第三部分17. （1）因为AB⋅AC=−152，所以AB⋅AC⋅cos∠BAC=−12AB⋅AC=−152，即AB⋅AC=15，所以S△ABC=12AB⋅AC sin∠BAC=12×15×32=1534；（2）解法1：由AB=5，得AC=3，延长AD到E，使AD=DE，连接BE，CE，因为BD=DC，所以四边形ABEC为平行四边形，所以∠ABE=60∘，且BE=AC=3，设AD=x，则AE=2x，在△ABE中，由余弦定理得：2x2=AB2+BE2−2AB⋅BE cos∠ABE=25+9−15=19，解得x=192，即AD的长为192；解法2：由AB=5，得AC=3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC cos∠BAC=25+9+15=49，得BC=7，由正弦定理得：BCsin∠BAC =ABsin∠ACD，得sin∠ACD=AB sin∠BACBC =5×327=5314，因为0∘<∠ACD<90∘，所以cos∠ACD=2∠ACD=1114，在△ADC中，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD cos∠ACD=9+494−2×3×72×1114=194，解得AD=192；解法3：由AB=5，得AC=3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC cos∠BAC=25+9+15=49，得BC=7，在△ABC中，cos∠ACB=AC 2+BC2−AB22AC⋅BC=9+49−252×3×7=1114，在△ADC中，由AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD cos∠ACD=9+494−2×3×72×1114=194，解得AD=192．18. （1）由频率分布直方图的性质得100a+0.0015+b+0.004=1，得100a+b=0.45，由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15=455，得300a+500b=2.05，解得a=0.0010．（2）依题意知X的可能取值为3600，4800，5000，6000，因为P X=3600=0.1，P X=4800=0.4，P X=5000=0.35，P X=3600=0.15，所以X的分布列为：X3600480050006000P0.10.40.350.15（3）因为一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5，5年中年销售额不低于5000元的年数ξ∼B5,12，所以5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为：Pξ≥2=1−Pξ=0−Pξ=1=1−125−C51×125=1316．19. （1）取AB中点O，连接PO，CO，因为PA=PB=，AB=2，所以△PAB为等腰直角三角形，所以PO=1，PO⊥AB，因为AB=BC=2，∠ABC=60∘，所以△ABC为等边三角形，所以CO=3，又PC=2，所以PO2+CO2=PC2，所以PO⊥CO，又AB∩CO=O，AB⊂平面ABCD，CO⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OC⊥AB，OC⊂平面ABCD，所以OC⊥平面PAB，所以∠CHO为CH与平面PAB所成的角．因为tan∠CHO=COOH，所以当OH⊥PB时，OH取得最小值，此时tan∠CHO取得最大值．当OH⊥PB时，OH=PO⋅OBPB =22．所以tan∠CHO=COOH=6．20. （1）依题意得：ca =63，abc=62，两式相乘可得：b=1，又c 2a2=a2−b2a2=23，解得a2=3，所以所求椭圆C的方程为x 23+y2=1．（2）解法一：依题意知直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为y=kx，（1）若k≠0，则直线OB的方程为y=−1kx，设A x A,y A，B x B,y B，则由y A=kx A,x A23+y A2=1⇒x A2=33k2+1，由 y B =−1k x B ,y B = 62⇒x B 2=3k 22，因为 ∣OA∣= x A 2+y A 2= 1+k 2∣x A ∣=3 k 2+1 3k 2+1，所以 ∣OB∣=x B2B2= 1+ −1k 2∣x B ∣= 3 k 2+12，设点 O 到直线 AB 的距离为 d ，则d=2S △AOB=⋅= 3 k 2+1 ⋅ 3 k 2+13k 2+1+2=3 k 2+1 3 k 2+1 =1.（2）若 k =0，则 A 点的坐标为 − 3,0 或 3,0 ，B 点的坐标为 0, 62 ，这时，d=3×62 3+4=1，综上得，点 O 到直线 AB 的距离为定值，其值为 1．解法二：设 A ，B 的坐标 A x 0,y 0 ，B t ,62，由点 A 在椭圆 C 上和 OA ⊥OB 分别可得：x 023+y 02=1 和 tx 0+62y 0=0，设点 O 到直线 AB 的距离为 d ，则有 ∣OA∣⋅∣OB∣=∣AB∣⋅d ，所以 ∣OA∣2⋅∣OB∣2=∣AB∣2⋅d 2⇒1d =∣AB∣2∣OA∣⋅∣OB∣=∣OA∣2+∣OB∣2∣OA∣⋅∣OB∣，所以1d 2=1∣OA∣2+1∣OB∣2=10202+1t 2+ 622=1x 02+y 02+1622y 02x 02+ 62 2=10202+2⋅x 020202=3+2x 023 x 02+y 02 =3+2x 023 x 02+1−x 023=1,所以点O到直线AB的距离为定值，其值为1．21. （1）因为g x=fʹx=e x+2ax，gʹx=e x+2a，当a>0时，gʹx>0，所以函数g x在−∞,+∞上单调递增，又g −12a=e−1−1<0，g0=1>0，所以存在唯一的x0∈ −12a,0，使得g x0=0．（2）（1）若a<0，则当x<0时，g x>0，即函数f x在−∞,0上单调递增，且当x→−∞时，f x→−∞，这与f x≥b矛盾；（2）若a=0，由e x≥b，得b≤0，所以a−b≥0；（3）若a>0，由（Ⅰ）知当x∈−∞,x0时，g x<0；当x∈x0,+∞时，g x>0；即f x在−∞,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，所以f x的最小值为f x0，其中x0满足e x0+2ax0=0，故a=−e x02x0且x0<0，因为f x≥b恒成立，所以b≤f x0，即−b≥−e x0−ax02，于是a−b≥a−e x0−ax02=−e x01+12x0−x02，记 x=−e x1+12x −x2，x<0，则 ʹx=12xe x x−12x+1，由 ʹx<0得x<−1，即函数 x在−∞,−1上单调递减，由 ʹx>0得−1<x<0，即函数 x在−1,0上单调递增，所以 x min= −1=−1e，综上得a−b的最小值为−1e，此时x0=−1．22. （1）由弦切角定理得∠BAC=∠BDA，∠BAD=∠BCA，所以△BAC∼△BDA，得ABBD =BCAB，所以AB2=BC⋅BD=8，所以AB=22．（2）连接EC，因为∠AEC=∠AEB+∠BEC，∠ACE=∠ABE=∠BAD+∠ADB，∠AEB=∠BAD，∠BAC=∠BDA=∠BEC，所以∠AEC=∠ACE，AE=AC=3．23. （1）将 y =2t 代入椭圆的普通方程得 x 2=9 1−4t 24 =9 1−t 2 ，于是得 x =±3 1−t 2，所以椭圆 C 的参数方程为 x =3 1−t 2,y =2t （t 为参数）和 x =−3 1−t 2,y =2t（t 为参数）．（2）依题意知点 A 3,0 ，B 0,2 ，设点 P 的坐标为 3cos θ,2sin θ 0<θ<π2，则S 四边形AOBP =S △BPO +S △OPA=12×2×3cos θ+12×3×2sin θ=3sin θ+3cos θ=3 2sin θ+π4 0<θ<π2 . 当 sin θ+π4 =1，即 θ=π4 时，四边形 AOBP 面积取得最大值，其值为 3 2．24. （1）解法 1：因为 a >0，所以 f x = − a +2 ,x <−22x +2−a ,−2≤x <a a +2,x ≥a．当 −2≤x <a 时，−2−a ≤f x <a +2，所以当 x ∈R 时，−2−a ≤f x ≤a +2．所以 f x min =− a +2 =−3，所以 a =1．解法 2：因为 ∣∣x +2∣−∣x −a ∣∣≤∣ x +2 − x −a ∣=a +2，所以 ∣f x ∣≤a +2，f x min =− a +2 ，又因为 f x min =−3，所以 a =1．（2）由（Ⅰ）知 f x = − a +2 ,x <−22x +2−a ,−2≤x <a ,a >0a +2,x ≥a．当 x <−2 时，f x =− a +2 <−2，∣f x ∣>2，不等式 ∣f x ∣≤2 解集为 ∅；当 x ≥a 时，f x =a +2>2，不等式 ∣f x ∣≤2 解集也为 ∅；当 −2≤x <a 时，∣f x ∣≤2，即 −2≤2x +2−a ≤2⇒a 2−2<x <a 2．因为 a 2−2>−2，a 2<a ，所以当 −2≤x <a 时，∣f x ∣≤2 的解为 a 2−2<x <a 2．综上得所求不等式的解集为 x∣∣a2−2<x<a2．。

广东省揭阳市高三第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

绝密★启用前揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合}1,0,1{-=A ，}032|{2<--=x x x B ，则=B A（A ）}1,0,1{- （B ）}0{（C ）)1,1(-（D ）)3,1(-（2）已知复数2a iz i+=(其中i 为虚数单位)的虚部与实部相等，则实数a 的值为（A ）1 （B ）12 （C ）1- （D ）12- （3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为12，甲赢棋的概率为13，则甲输棋的概率为（A ）56 （B ）23 （C ）16 （D ）12（5）图1是一个算法流程图，则输出的x 值为侧视图图2图3图4（A ）95 （B ）47 （C ）23 （D ）11 （6）某棱柱的三视图如图2示，则该棱柱的体积为（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）12 （7）已知等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=，则5a =（A ）1 （B ）12 （C ）14（D ）4（8）已知01a b c <<<<，则（A ）b a a a > （B ）a b c c > （C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（9）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，点A 、F 分别为其右顶点和右焦点12(0,),(0,)B b B b -，若12B F B A ⊥，则该双曲线的离心率为（A）1 （B（C（D1 （10）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若 2z x y =-+的最大值为3，则a 的值为（A ）1 （B ）23（C ）2 （D ）37 （11）中国古代数学家赵爽设计的弦图（图3）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图4所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图4中菱形的一个锐角的正弦值为（A ）2425（B ）35（C ）45（D ）725（12）已知函数21352,(1)4()1log .(1)4x x x f x x x ⎧-+-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩()|2|sin g x A x =-⋅()x R ∈，若对任意的1x 、2x R ∈，都有12()()f x g x ≤，则实数A 的取值范围为（A ）9(,]4-∞ （B ）7[,)4+∞ （C ）79[,]44 （D ）7(,]4-∞9[,)4+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-满足||||a b a b ⋅=-⋅，则x = .（14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且35a =，642S =，则9S = . （15）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 . （16）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC ∆的面积为B ac cos ，BC的中点为D ．(Ⅰ) 求B cos 的值；(Ⅱ) 若2=c ，C c A a sin 5sin =，求AD 的长． (18)（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．(Ⅰ)求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值；(Ⅱ)规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率；(Ⅲ)已知小明在某四次游戏中所过关数为{2,2,3,4}，小聪在某四次游戏中所过关数为{3,3,4,5}，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．（19）（本小题满分12）已知图6中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //， CD EF //，AB DM ⊥于M 、交EF 于点N，DN =MN =现将梯形ABCD 沿EF 折起，记折起后C 、D 为'C 、'D 且使62'=M D ，如图7示．(Ⅰ)证明：M D '⊥平面ABFE ；,(Ⅱ)若图6中，60A ∠= ，求点M 到平面'AED 的距离．（20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于1||2-MF ，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ．（I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围．(21)（本小题满分12分）已知0<a ，曲线c bx ax x f ++=22)(与曲线x a x x g ln )(2+=在公共点))1(,1(f 处的切线相同．(Ⅰ)试求a c -的值；(Ⅱ)若1)()(++≤a x g x f 恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==t y t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． ABDCFE ABC ´D ´EF MMN图6图7（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-．（Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：(10) 如右图，当直线y x z 2+-=即221zx y +=过点(2,)A a a -时，截距2z最大，z 取得最大值3，即a a 223++-=，得1=a ．（11）设围成弦图的直角三角形的三边长分别为,,a b c ，c a b >>，依题意10c =，22100a b +=，2()4a b -=，解得8,6a b ==，设小边b 所对的角为θ，则63sin 105θ==，4cos 5θ=，24sin 22sin cos 25θθθ==. （12）对任意的1x 、2x R ∈，都有12()()f x g x ≤max min ()()f x g x ⇔≤，注意到max1()(1)4f x f ==-，又()|2|sin |2|g x A x A =-≥--，故1179|2||2|4444A A A --≥-⇒-≤⇒≤≤ 二、填空题：（166=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=.三、解答题：（17）解：(Ⅰ) 由B ac B ac S ABC cos sin 21==∆，------------------------1分得B B cos 2sin =，----------------------------------①------------2分 ∵0B π<< ∴sin 0B > 故0cos >B ，--------------------3分又1cos sin 22=+B B ，----------------------------②①代入②得51cos 2=B ，∴51cos =B=5；-----------------5分 (Ⅱ)由C c A a sin 5sin =及正弦定理得225c a =，---------------------7分∵2=c ，∴52=a ，521==a BD ，------------------------9分在△ABD 中，由余弦定理得：55125254cos 2222=⨯⨯-+=⋅⋅-+=B c BD BD c AD ，------11分∴5=AD ．----------------------------------------------12分（18）解：(Ⅰ)小明的过关数与奖品数如下表：------------2分小明在这十次游戏中所得奖品数的均值为4)11618243221(101=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯；------------------------------------4分 (Ⅱ)小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率约为4.010112=++；---------------6分 (Ⅲ)小明在四次游戏中所得奖品数为{2,2,4,8}，--------------------------------------7分小聪在四次游戏中所得奖品数为{4,4,8,16}，-------------------------------------8分现从中各选一次游戏，奖品总数如下表： ---------10分共16个基本事件，总数超过10的有8个基本事件，故所求的概率为21168=．----12分（19）解：(Ⅰ) 可知AB EF //，∴N D '⊥EF 、MN ⊥EF ，-------------------1分ABDCFE ABC ´D ´EF MMNN又N MN N D = '，得EF ⊥平面'MND ，--------------------3分得M D EF '⊥，--------------------4分∵222'27'D M MN D N +== ∴MN M D ⊥'，--------------------------5分又MNEF N =，∴M D '⊥平面ABFE ．--------------------------------------6分(Ⅱ) 设点M 到平面'AED 的距离为h ，由AEM D AED M V V --=''，得M D S h S AEM AED '3131'⋅=⋅∆∆，① ∵2sin 60MN AE ==，6sin 60DNDE ==，------------------------7分∴8AD =,4AM =,-------------------------------------------8分在MA D Rt '∆中，40''222=+=AM M D A D ，又6'=E D ，2=AE ，得222''AE E D A D +=，∴AE E D ⊥'，-----------------------------------------------10分'1'62AED S AE D E ∆=⋅=，又3221=⋅=∆MN AM S AEM ，代入①式，得123h =⨯h =∴点M 到平面'AED 的距离为---------------------------------12分 (20)解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，---------------1分得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p，解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ，由抛物线的定义及25||2=QF ，得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-----------------------------------4分由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-------------------------------------------------6分（II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ，由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ，其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分切线在x 轴上的截距为k m x -=，又92->-=-m km， ∴切线在x 轴上的截距的取值范围是)0,9(-．----------------------------------12分（21）解：(Ⅰ) b ax x f +=4)('，xax x g +=2)('，--------------------------1分由已知得)1()1(g f =，且)1(')1('g f =，即12=++c b a ，且a b a +=+24，所以23=+b a ，1-=-a c ；-------------------------------------------------4分 (Ⅱ)设1)()()(---=a x g x f x h ，则0>∀x ，0)(≤x h 恒成立，∵2ln )32()12()(2---+-=x a x a x a x h ，------------------------------5分 ∴xaa x a x h --+-=32)12(2)('，-------------------------------------------6分法一：由0<a ，知x a y )12(2-=和xa-在),0(∞+上单调递减，得xaa x a x h --+-=32)12(2)('在),0(∞+上单调递减，----------------7分又032)12(2)1('=--+-=a a a h ，得当)1,0(∈x 时，0)('>x h ，当),1(∞+∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 在)1,0(上单调递增，在),1(∞+上单调递减，----------------------9分得a h x h --==1)1()(max ，由题意知0)(max ≤x h ，得1-≥a ，----------11分所以)0,1[-∈a ．---------------------------------------------------------------------------12分【法二：xa x a x a x h --+-=)32()24()('2[(42)](1)a x a x x -+-=，-------8分由0<a ，0>x ，知(42)0a x a -+<，得当)1,0(∈x 时，0)('>x h ，当),1(∞+∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 在)1,0(上单调递增，在),1(∞+上单调递减，-----------------------10分得a h x h --==1)1()(max ，由题意知0)(max ≤x h ，得1-≥a ，所以)0,1[-∈a ．----------------------------------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈-----------------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分（Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分 ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α，∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】（23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分（Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+ 又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．------------------------------------------------------------------10分】。

2019年5月2日广东省揭阳市高2019届高2016级高三理科数学试题揭阳市二模及参考答案

5千元至1万元的项目投资（占33%）1万元以上的项目投资5千元以下的项目投资（占46%）绝密★启用前揭阳市2019年高考二模数学(理科)本试卷共23题,共150分,共4页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|11M x x =-<<,{}|21N x y x ==-,则M N =IA.1|12N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭B.1|12N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭C.{}|01N x x =≤<D.1|12N x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭2.复数1122ii ++的共轭复数的虚部为A.110B.110- C.310D.310-3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中,首项13a =,前三项和为21,则345a a a ++=A.33B.72C.84D.1894. 已知向量(1,),(3,2)a m b ==-r r ,且()a b b ⊥r r r+,则m =A.－8B.－6C. 6D. 8 5.已知双曲线221mx y +=的虚轴长是2,则实数m 的值为 A.4- B.2- C.1- D.41-6.某公司2018年在各个项目中总投资500万元,右图是几类项目的投资占比情况,已知在1万元以上的项目投资中,少于3万元的项目投资占821,那么不少于3万元的项目投资共有A.56万元B.65万元C.91万元D.147万元俯视图侧视图主视图3247.如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的多面体的三视图,尺寸如图所示,则这个多面体的体积为 A.12 B.16 C.18 D.208. 我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”,其内容为： “今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍, 执行该程序框图,若输入20x =,则输出的结果为 A.3 B.4 C.5 D.6 9.设函数()cos 2sin(2)2f x x x π=++,则下列结论错误．．的是： A.−2π为f (x )的一个周期 B.y =f (x )的图像关于直线x =2π对称 C.f (x )的一个零点为x =4πD.()f x 的最大值为210.以下四个数中,最大的是A.B.1e C.ln ππ11.设1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,P 为直线2x a =上一点,∆21F PF 是底边为1PF 的等腰三角形,且直线1PF 的斜率为13,则椭圆E 的离心率为：A.1013B.58C.35D.2312.已知函数21()2(2)2f x x x x 1=+≤≤的图象上存在点P ,函数()3g x ax =-的图象上存在点Q ,且P ,Q 关于原点对称,则实数a 的取值范围是：A.[4,0]-B.5[0,]8C.[0,4]D.5[,4]8二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若x ,y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则32z x y =-的最小值为 .14.421(1)(1)x x-+展开式中2x 的系数为 . 15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4810,36S S ==,当n N *∈时,3nn a S +的最大值为 .质量指标值0.0120.0180.0020.016EFCBD AP16.已知底面为矩形的四棱锥S ABCD -的各个顶点都在半径为2的球面上,且3,AB BC ==则四棱锥S ABCD -体积的最大值为 .三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题:第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题:第23题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题：共60分17.(12分)已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,ABC ∆的面积为S,且2a =. (1)若060C =且1b =,求a 边的值；(2)当2cb=时,求A ∠的大小.18.(12分)已知如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD , E 、F 分别为PC 的三等分点. (1)证明：//AF 平面EBD ；(2)已知1AP AD ==,2AB =,求二面角E BD A --的余弦值.19.(12分)已知抛物线2:4C x y =的焦点为F,过点(2,2)P -的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点. (1) 当点P 为A 、B 的中点时,求直线AB 的方程； (2)求AF BF ⋅的最小值.20.(12分)某企业从生产的这种产品中抽取100件产品作为样本,检测其质量指标值,得到右图的频率分布直方图.(同一组数据用该区间的中点值作代表)：(1)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品82%”的规定？ (2)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值X 近似满足2(31,12)X N :, 则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升或降低多少？(3)若企业每件一等品售价180元,每件二等品售价150元,每件三等品售价120元,以样本中的频率代替相应概率,现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为X (单位：元),求X 的分布列及数学期望.21.(12分)已知函数()(1)1()xf x e m x m R =-++∈. (1)若函数()f x 的极小值为1,求实数m 的值；(2)当0x ≥时,不等式()ln(1)02mf x x ++≥恒成立,求实数m 的取值范围. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)在直角坐标系xOy 中,直线1:C y ,圆()()222:125C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求12,C C 的极坐标方程; (2)若直线3C 的极坐标方程为()R 6=∈πθρ,设1C 与2C 的交点为,,O A 圆2C 与3C 的交点为,O B ,求OAB ∆的面积.23. [选修4-5：不等式选讲] (10分)已知正实数x , y 满足1x y +=. (1)解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； (2)证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.揭阳市2019高考二模数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.一、选择题解析：10.构造函数ln()xf xx=,则(3)f=,1()f ee=,ln(f fπππ==,由21ln'()xf xx-=知函数()f x在(0,)e上单调递增,在(,)e+∞上单调递减,所以当x e=时, ()f x有最大值,故选B11.由题意可知212212121424tan,cos cos(2)2cos1,,3525a cPF F PF x PF F PF Fc-∠=∴∠=∠=∠-=∴=解得1013cea==,选A.12.设(,),P m n1[,2]2m∈,则(,),Q m n--由223m nmam n1⎧+=⎪⎨⎪--=-⎩得233230,2m am am m m11+--=∴-=-令1tm=,则323a t t-=-,321[,2],()3,()332t p t t t p t t'∈=-=-,()p t∴在1[,1]2单调递减,在[1,2]单调递增,且111(),(1)2,(2)2,222,28p p p a=-=-=∴-≤-≤解得04a≤≤.15.由11461082836a da d+=⎧⎨+=⎩解得11,1a d==,1(1)1na n n∴=+-⋅=,(1)2nn nS+=23222,12(3)(4)7127nna n nS n n n n nn+===++++++由函数12()f x xx=+的单调性可知当3n=或4时,3nnaS+取得最大值17. 16.解析：显然球心O 在平面ABCD 的射影为AC 的中点M,则1,AC OM ==所以四棱锥S ABCD -的高的最大值为3,此时四棱锥S ABCD -体积的为1333⨯⨯=17解：(1)解法1：由1sin 2S ab C =和2a =得sin a C =,----------------2分又060C =且1b =, 3a ∴=；-------------------------------------------------------5分【解法2：由正弦定理sin sin a c A C =和1sin 2S bc A =得-------------------------------------2分由22sin sin sin a a A a A C A =⇒=⇒=-------------------------4分又060,C =且sin 0A ≠,3,a ∴=----------------------------------------------------------5分】 (2)解法1：由2222cos a b c bc A =+-和2sin a A =得-----------------------------7分22cos 2(sin cos cos sin )2sin()2666b c A A A A A bc +=+=+=+πππ----------------------9分22224c b c b bc +==Q --------------------------------------------------11分 2sin()2,6A ∴+=π又0,A <<π所以A 的值为3π.--------------------------------------12分【解法2：由1sin 2S bc A =和2a =得2sin a A =,又2222cos a b c bc A =+-,所以22sin 2cos A b c bc A =+-,---------7分两边除以2b得2sin 1()2cos c c A A b b =+-⋅,-----------------------8分又2cb=得82(2A A =++,2cos A A =-,即2cos 2sin()6A A A π+=+,-------------10分得sin()16A π+=,又7666A πππ<+<,所以62A ππ+=,得 3A π=.------------12分】18.解：(1)证明：连接AC 交于BD 点O ,连接EO .因为ABCD 为矩形,所以O 为AC 的中点.又E 、F 分别为PC 的三等分点, E 为CF 的中点,所以AF ∥EO . -------------------------2分因为EO ⊂平面BDE ,AF ⊄平面BDE ,所以//AF 平面EBD .--------------------------------------4分(2)以A 为原点,AD 、AB 、AP 的分别为,,x y z 轴方向建立空间直角坐标系,如图所示由条件可得()()()()1,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,1D B C P ,-------------------------------------------------5分2242241,,,,,3333333PE PC E ⎛⎫⎛⎫==-∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u ru u u rQ ,----------------------------------------------------6分 CBADPE F O()1411,2,0,,,333DB DE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,()10,0,1n =ur 为平面ABD 的一个法向量,-----8分设面BDE 的一个法向量为()2,,n x y z =u u r,则2200n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ,即201410333x y x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩,取1y =,则2,2x z ==-, 所以()22,1,2n =-u u r,-----------------------------------------10分1212122cos ,3||||n n n n n n ⋅-<>==⋅u r u u ru r u u r ur u u r ,所以二面角D AE C --的余弦值为23-.---------------------------------------------------------12分 19解(1)解法1：设()11,A x y ,()22,B x y ,2211224,4x y x y ==,------------------------------------1分显然12x x ≠,两式相减得1212124,1y y x x k x x -⋅=+∴=----------------------------------------------4分所以直线AB 的方程为2(2)y x -=-+.即0x y +=.------------------------------------------------5分【解法2：设()11,Ax y ,()22,B x y ,显然直线l 有斜率,设l 的方程为(2)2y k x =++------------------------------------------------------------------------------1分联立方程2(2)24y k x x y=++⎧⎨=⎩,消去x 整理得()222414(1)0y k k y k -++++=由()212414y y k k +=++=解得1k =-(0k =明显不成立)--------------------------------------4分所以直线AB 的方程为2(2)y x -=-+.即0x y +=.----------------------------------------------------5分】【解法3：设()11,A x y ,()22,B x y ,显然直线l 有斜率,设l 的方程为(2)2y k x =++--------------1分联立方程2(2)24y k x x y=++⎧⎨=⎩,得248(1)0x kx k --+=,所以124x x k +=,又1222x x +=-,解得1k =-,--------------------------------------4分所以直线AB 的方程为2(2)y x -=-+,即0x y +=.----------------------------------------------------5分】 (2)解法1：显然直线l 有斜率,设l 的方程为(2)2y k x =++----------------------------------------------5分设()11,A x y ,()22,B x y ,由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,------------------------------6分所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++------------------------------------------------7分联立方程2(2)24y k x x y=++⎧⎨=⎩,消去x 整理得()222414(1)0y k k y k -++++=()21241y y k k ∴+=++,2124(1)y y k =+----------------------------------------------------------9分所以()2212123918129842AF BF y y y y k k k ⎛⎫⋅=+++=++=++ ⎪⎝⎭所以当34k=-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.-----------------------------------------12分【解法2：由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,------------------------------6分所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++,-----------------------------------------------7分22121244x x y y =⋅,由(1)知128(1)x x k =-+,得2124(1)y y k =+, ()121244y y k x x +=+++()414k k =++,---------------------------------------------------------------9分所以22398129842AF BF k k k ⎛⎫⋅=++=++⎪⎝⎭所以当34k =-时,AF BF ⋅取得最小值,为92.------------------------------------------------12分】20解：(1)根据抽样调查数据知,样本中一等品和二等品共有：0.5+0.18+0.1210080⨯=（）(件)在样本中所占比例为80%,因此不能认为这种产品符合规定-------------------------------2分 (2)由频率分布直方图知,活动前样本的均值为0.02100.18200.50300.12400.16500.026032.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,活动后的均值为31,所以均值降低了1.8；-------------------------------------------------------4分 (3)由样品估计总体知,该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为1,2二等品的概率为310, 三等品的概率为1,5--------------------------------------------------------------------------5分随机变量X 的所有可能取值为240,270,300,330,360. -------------------------6分12111313(240),(270),552510525P X P X C ==⨯===⨯⨯=12113329(300),251010100P X C ==⨯⨯+⨯=12133111(330),(360).21010224P X C P X ==⨯⨯===⨯=--------------------------------------------------10分X 的数学期望132931240270300330360318.2525100104EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=---12分 21. 解：(1)()xf x e m '=-,若0m ≤,则()0f x '>,()f x 在(,)-∞+∞单调递增,所以()f x 无极值-----------------------------------------------2分若0m >,当ln x m >时,()0f x '>,当ln x m <时,()0f x '<,()f x 在(,ln )m -∞单调递减,在(ln ,)m +∞单调递增,所以()f x 的极小值为(ln ),f m 由(ln 1)11m m m -++=,解得1m = ------------------5分(2)方法1：令()(1)1ln(1)2xmg x e m x x =-++++(0x ≥)-------------------------------------6分 ()2(1)x m g x e m x '=-++,令()2(1)xm h x e m x =-++,222(1)()2(1)x x e m h x x +-'=+,令2()2(1)xp x x e m =+-, 显然()p x 在[0,)+∞单调递增,()(0)2p x p m ∴≥=-.---------------------------------------------8分当2m ≤时,()0,p x ≥∴'()0h x ≥,∴()h x 在[0,)+∞单调递增,()(0)102mh x h ∴≥=-≥,即'()0g x ≥,∴()g x 在[0,)+∞单调递增, 所以()(0)20g x g m ≥=-≥,此时符合题意；-------------------------------------------------------10分当2m >时,(0)0,p <∴0(0,),x ∃∈+∞使0()0p x =,故()p x 在0(0,)x 恒为负值,()h x 在0(0,)x 单调递减,此时()(0)102mh x h <=-<, 所以()g x 在0(0,)x 单调递减,所以()(0)20g x g m <=-<,此时不符合题意, 故所求m 的取值范围为(,2]-∞.--------------------------------------------12分【方法2：把0x =代入不等式()ln(1)02mf x x ++≥得2m ≤,下面验证当2m ≤时, 不等式(1)1ln(1)02xme m x x -++++≥对0x ≥恒成立,--------------------------------------7分令()(1)1ln(1)2xm g x e m x x =-++++---------------------------------------------------------------8分()2(1)x m g x e m x '=-++,令()2(1)xm h x e m x =-++,2()2(1)x m h x e x '=-+,当0x ≥时,22(1)1x +≥,又2m ≤, 212(1)mx ∴≤+,又1x e ≥,()0h x '∴≥,()h x 在(0,)+∞单调递增,--------------11分 ()(0)102mh x h ≥=-≥,所以()g x 在(0,)+∞单调递增, ()(0)20g x g m ∴≥=-≥,故所求m 的取值范围为(,2]-∞------------------------------12分】22.解：(1)因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,-------------------------------------------------------1分所以1C的极坐标方程为sin 0-=θθ,即3=πθ()R ρ∈,----------------------------3分2C 的极坐标方程为22cos 4sin 0--=ρρθρθ. ----------------------------------------------------4分即2cos 4sin 0--=ρθθ----------------------------------------------------------------------------------5分 (2)3=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得11=+ρ分6=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得22=ρ分故OAB ∆的面积为((12sin 2126⨯+⨯+⨯=+π.----------------------------------10分 23.(1)解：1,0,0x y x y +=>>Q 且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩--------------------------------------------------------2分010111121()21222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩ 解得116x ≤<,所以不等式的解集为1[,1)6-------------------------------------------------5分 (2)解法1： 1,x y +=Q 且0,0x y >>,2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x yy x=++59≥=. ------9分当且仅当12x y ==时,取“=”. ------------------------------------------------------------------10分【解法2： 1,x y +=Q 且0,0x y >>,2222221111(1)(1)x y x y x y--∴--=⋅------------------------------------------------------------------6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xyxy +++=---------------------------8分 21xy =+2219()2x y ≥+=+ 当且仅当12x y ==时,取“=”. ----------------------------------10分】。

广东省揭阳市高三第二次模拟数学(文)试题(扫描版,有答案).pdf

揭阳市201年高中毕业班高考第次模拟考数学得,选C ， 3．设，由得，所以选D 4．函数，故其最小正周期为，故选C. 6．由得，选A． 7. 函数当x=0，x=3，x=6时无定义，故排除A、C、D，选B. 8．依题意可知该几何体的直观图如右上图示，其体积为.，故选D. 9．依题意知直线过圆C的圆心（-1,2），即，由，故选B. 10．令，则点满足，在平面内画出点所构成的平面区域如图，易得其面积为2.故选B. 二．填空题：11. ;12. (或)；13. {1，6，10，12}； 14. （或）；15. 解析：11．依题意得，则=。

12．由“，使得”是真命题，得或. 13．要使，必有且且={1，6，10，12，16} ，所以={1，6，10，12} 14．把化为直角坐标系的方程为，圆心C的坐标为（1，1），与直线OC垂直化为极坐标系的方程为或. 15.依题意知,则AD=2，过点D作DG于G，则AG=BE=1，所以. 三．解答题： 16．要有意义，需满足：，解得，------2分即的定义域为-------------------------------------4分（2）∵ --------6分 ----------------------8分由，得, 又 ∴，∵是第四象限的角∴，------------------------10分 ∴．解 (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为00×(0.0050＋0.004＋0.003)×20＝25人． (2)设00名学生的平均成绩为，则＝×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.004＋×0.003×20＝78.4分． (3) 成绩在的人数为100×0.0045×20=9人，成绩在的人数为100×0.0030×20=6人，所以应从成绩在中抽取×5=2人，从成绩在中抽取×5=3人，故，----------------------------------8分从中任取两人，共有十种不同的情况，-----------10分其中含有的共有7种，所以至少有1人的成绩在的概率为．．，，， --------------------------------1分 ∵，，成等比数列，∴， --------------------------------3分解得或． --------------------------------4分当时，，不符合题意舍去，故．-------------------------------6分（2）当时，由，，……，-------------8分得． -------------------------------10分又，，∴．------------------12分当时，上式也成立，∴．-----------------------------------14分 19．解：（1）又, ∴平面，---------------2分又∵，∴平面 ∵平面ABCD，∴平面ABCD平面ADE-------------------------4分（2）证法一：过点M作交BF于，点N作交BF于，连结分∴ 又∵ ∴--------------------------------7分四边形为平行四边形，分--------------------10分法二：过点M作交EF于G，连结NG，则--------------------------------------------------------------6分，分同理可证得，, ∴平面MNG//平面BCF-------------9分 MN平面MNG．分（3）A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，------------------------------------11分由余弦定理得，------13分,即．分，即， ∴所求抛物线的方程为 --------------------------------3分 ∴设圆的半径为r，则，∴圆的方程为.--------------6分 (2) 设关于直线对称，且中点----------------------7分 ∵ 在抛物线上，∴-----------------------8分两式相减得：--------------------------------9分 ∴，∴--------------------------------11分 ∵在上 ∴，点在抛物线外--------------------------------13分 ∴在抛物线上不存在两点关于直线对称. --------------------------14分 21．解：（1）函数的定义域，分令得：，令得：分的单调递减区间为单调递增区间为分时，，由（1）知的单调递减区间为单调递增区间为，分，则在区间单调递增，-----------------8分在区间（2，）上有唯一解．----------------------9分的函数值异号的点选取并不唯一）（）及（1）的结论知，-------------10分在上的最大值为（或），---------------------11分知--------------------------12分，即-----------------------13分．--------------------------------------------14分。

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揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知复数2(1)z i i =-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）4i （B ）4i - （C ）4（D ）4-答案：C解析：复数2(1)z i i =-＝2＋2i ，22z i =-，所以，z z +=4。

（2）已知集合2{|{|ln(2)}A x y B x y x x ====-，则A B =（A ）(2,)+∞ （B ）[1,2) （C ）(0,2) （D ）[1,2]答案：B解析：集合A ＝{}|1x x ≥，B ＝{}|02x x <<，故A B = [1,2)（3）已知向量(0,1),(a b c k ==-=，若（2a b - ）与c 互相垂直，则k 的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 答案：A解析：2a b - ＝，因为2a b - 与c＋0，所以，k ＝－3（4）已知命题:,cos sin p x R x x ∃∈>，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题（B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题（D ）命题()p q ∧⌝是真命题答案：D解析：当x ＝6π时，cos sin x x >成立，所以，命题p 是真命题；当2x π=时，1sin 2sin x x +=，故q 是假命题，从而有()p q ∧⌝是真命题。

（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60，则该双曲线的离心率为（A （B ）43 （C 2 （D ）4答案：C解析：（1）双曲线两条渐近线在y 轴两旁的夹角为60°时，由双曲线的对称线知，两条渐近线的倾斜角分别为60°、120°，所以，tan 60ba=︒=，又22222)c a b a =+=+，解得离心率2ce a==。

（2）双曲线两条渐近线在x 轴两旁的夹角为60°时，其中一条渐近线的倾斜角为30°，所以，tan 303b a =︒=，又22222)c a b a =+=+，解得离心率c e a ==3（6）已知函数2,(1)()(1),(1)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则2(log 9)f 的值为（A ）9 （B ）92 （C ）94 （D ）98答案：D解析：22log 9log 83>=，所以，2(l o g 9)f ＝2(log 91)f -＝2(log 92)f -＝2(log 93)f -＝22log 9(log 93)3222-=＝98。

（7）已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且124111,,a a a 成等比数列，设{}na 的前n项和为n S ，则n S =（A ）2(1)4n + （B ）(3)4n n +（C ）(1)2n n + （D ）212n +答案：C解析：依题意，得：2142a a a =，所以，21(13)(1)d d ⨯+=+，得公差d =1，n a n =；故选C.（8）函数log ||()||a x x f x x =（01a <<）图象的大致形状是答案：C解析：特殊值法。

取12a =，当x ＝2时，f （2）＝－1＜0，排除A ，B ；当x ＝－2时，f （－2）＝1＞0，排除D ，所以，选C 。

（9）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足条件30,230,.x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（A ）2- （B ）1- （C ）1（D ）3答案：B解析：不等式表示的平面区域如图所示，解2302x y y x --=⎧⎨=⎩得：12x y =-⎧⎨=-⎩，所以，当m ＞－1时，由图可知，直线2y x =与图没有交点，故m 的最大值为－1。

（10）圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为（A ）1 cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm答案：C解析：设球的半径为r ，则由3V 球+V 水=V 柱，得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒= （11）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为(A)(612π++ (B) 8(1)π+ (C)4(21)π+(D)(12π+答案：A解析：该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：211112222242422222πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯2484(612πππ=++++=++.（12）已知P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12答案：B解析：PACB S PA AC PA =⋅=四边形=可知当||CP 最小时，即CP l ⊥ 2=得min ||CP ，由点到直线的距离公式得：min ||CP ==0k >，所以2k =.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为 ___________．答案：60解析：高一学生有3200－1000－1000＝1200人，共抽取高一学生人数：16012003200⨯＝60 (14)执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 .答案：6解析：第1步：s ＝1，k ＝2；第2步：s ＝2，k ＝3；第3步：s ＝6，k ＝4；第4步：s ＝15，k ＝5；第5步：s ＝31，k ＝6；第6步：s ＝56，退出循环，此时k=6(15)已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 .答案：20162017解析：依题意知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++， 201611111122320162017S =-+-++- 12016120172017=-=．ABCDABCDE (16) 已知梯形ABCD 中，AD//BC ，90ABC ∠=,AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则||PC PD +的最小值为 .答案：3解析：如图以PC 、PD 为邻边作平行四边形PCQD ，则P C P D P Q += 2PE = ，要||PQ取最小值，只需||PE取最小值，因E 为CD 的中点，故当PE AB ⊥时，||PE取最小值，这时PE 为梯形的中位线，即min 13||(||||)22PE BC AD =+= ,故min ||3PQ =.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=，且152AB AC ⋅=-.(Ⅰ)求△ABC 的面积； (Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4解析：解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=- ，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,----2分即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴11sin 1522ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯=.-------5分(Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得x =，即AD分【解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分bkg0.0.由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得5sin 2sin 7AB BACACD BC∠∠===，----------------------------------------9分∵090ACD <∠<∴11cos 14ACD ∠==，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =分】【解法3：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =分】（18）（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图5示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量图5年产量低于450 kg 时，单位售价为12元/ kg ，当年产量不低于 450 kg 时，单位售价为10元/ kg . （Ⅰ）求图中a 、b 的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率. 解析：解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，-------------------------------------------------2分由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------4分解得0.0010a =，0.0035b =；----------------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）结合直方图知，当年产量为300kg 时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg 时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg 时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg 时，其年销售额为6000元，-------------------------8分因为年产量为400kg 的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，-----------9分而年产量为500kg 的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，-----------10分故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75, -----------12分（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=，AB=PC=2，（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求点D 到平面APC 的距离.图6解析：解：(Ⅰ)取AB 得中点O ，连结PO 、CO ，----1分由AB=2知△PAB 为等腰直角三角形， ∴PO⊥AB，PO=1，------------------------------------------------------------------2分又AB=BC=2，60ABC ∠=知△ABC 为等边三角形，∴3CO =分又由2PC =得222PO CO PC +=, ∴PO⊥CO，-----------4分∴PO⊥平面ABC ，-------------------------------------------5分又∵PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD -----------------------6分（Ⅱ）设点D 到平面APC 的距离为h ，由(Ⅰ)知△ADC 是边长为2的等边三角形，△PAC 为等腰三角形，由D PAC P ADCV V --=得1133PAC ADC S h S PO ∆∆⋅=⋅---------------------------------------------8分∵224ADC S ∆==，12PAC S PA ∆==分∴ADC PAC S PO h S ∆∆⋅=7==，即点D 到平面APC的距离为7.-------12分（20）（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:1C x y =+有公共弦AB （A 在B 左边），AB =2，2C 的顶点是1C 的一个焦点，过点B 且斜率为k (0)k ≠的直线l 与1C 、2C 分别交于点M 、N （均异于点A 、B ）．（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．解析：解：（Ⅰ）∵抛物线21y x =-的顶点为(0,1)-，即椭圆的下焦点为(0,1)-，∴1c =，----------------------------------------------------------------------------------------1分由AB =2知1B x =，代入抛物线得(1,0)B ，得1b =，----------------------2分∴222a b c =+=2，1C 的方程为2212y x +=；---------------------------4分（Ⅱ）依题意知直线l 的方程为(1)y k x =-，-------------------------------5分联立2212y x +=消去y 得：2222(2)220k x k x k +-+-=，则2222M B k x x k -⋅=+，得2222M k x k -=+，242Mk y k -=+，-------------------------7分由{2(1)1y k x x y =-=+，得210x kx k -+-=，由224(1)(2)0k k k ∆=--=->，得2k ≠，则1N B x x k ⋅=-，得1N x k =-，(2)N y k k =-，----------------------------9分∵点A 在以MN 为直径的圆外，即,AM AN <>[0,)2π∈，----------------------10分∴0AM AN ⋅>，又(1,0)A -， ∴(1,)(1,)M M N N AM AN x y x y ⋅=+⋅+ 22224(2)222k k k k k k --=⋅+++222(4)02k k k -=>+，解得4k <，综上知(,0)(0,2)(2,4)k ∈-∞ .-----------------------------12分（21）（本小题满分12分）已知函数ln(1)()2x f x x -=-（2x >）．(Ⅰ) 判断函数()f x 的单调性；(Ⅱ)若存在实数a ，使得()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，求a 的取值范围．解析：解：(Ⅰ) 解法1：22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-2(2)(1)ln(1)(1)(2)x x x x x ----=--， -----------2分记()(2)(1)ln(1)g x x x x =----（2x >），'()l n (1)0g xx =--<，----------3分即()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <= 从而'()f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.----------------------------5分【解法2：依题意得22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-，--------------------------------------------2分记2()ln(1)1x g x x x -=---（2x ≥）则211'()(1)1g x x x =---22(1)x x -=-，---------------------------------------------------------3分∵2x > ∴'()0g x <，即函数()g x 在(2,)+∞上单调递减， ∴()(2)0g x g <=，从而得'()0f x <， ∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.--------------------------------------------------5分】 (Ⅱ) 解法1：()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立，-------------------------------------6分由ln(1)y x =-得1'1y x =-，由此可得函数ln(1)y x =-的图象在点（2,0）处的切线为y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------7分（1）当1a <时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-与函数ln(1)y x =-的图象相交，不合题意；---9分（2）当1a ≥时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-在函数ln(1)y x =-的图象的上方，符合题意---------------11分综上得：要使()f x a<对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,a ∈+∞.------------------------------12分【解法2： ()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立---------------------------------------5分记()ln(1)(2)h x x a x =---，则1'()1h xa x =--11a a xx +-=-1()1a a x x a -+=---------6分 (2)0h =，令'()0h x =得1ax a+=， 1201a a a +>⇔<<，（1）当0a ≤时，对(2,)x ∀∈+∞，'()0h x >，即函数()h x 在(2,)+∞单调递增，故()(2)0h x h >=，即l n (1)(x a x --->，不符合题意；---------------------------8分（2）当01a <<时，对1(2,)ax a+∀∈，'()0h x >，此时函数()h x 在1(2,)aa+上为增函数，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；-----10分（3）当1a ≥时，对(2,)x ∀∈+∞，有'()0h x <，函数()h x 在(2,)+∞单调递减，因此ln(1)(2)(2)0x a x h ---<=，符合题意；综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞．------------------------12分】请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC =2，BD =4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC =3，求AE 的长．解析：解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分得AB BC BD AB=，----------------------------------------------------------------------------4分28AB BC BD =⋅=，AB =---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵A E C A ∠=∠+∠，图7-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）解析：解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分于是得x =±，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C的参数方程为2.x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩（t为参数）和2.x y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分3sin 3cos )4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<----------------9分当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为分(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>，(Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值；(Ⅱ)求|()|2f x ≤的解集．解析：解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+，---4分∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a =1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-，∴a =1；----------------------------------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集----6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒2a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。