最优化方法3

1.
min z 2 x1 2 x2 4 x3 2 x1 3 x2 5 x3 2 3 x1 x2 7 x3 3 x1 4 x2 6 x3 5 x1 , x2 , x3 0
答案： max w 2 y1 3 y2 5 y3 2 y1 3 y2 y3 2 3 y y 4 y 2 1 2 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y1 0, y2 , y3 0
对偶的定义
min W= -Yb s.t. -YA≥-C Y ≥0
定理2：弱对偶定理 若X(0)是原问题（LP）的可行解，Y (0)是对偶问题 （DP）的可行解，那么 CX(0)≥ Y(0) b .
目标函数变量系数 约束条件右端项
max z 5 x1 4 x2 6 x3 min W=2y1 +3y 2 -5y3 +y 4 例2 写出 2 x1 2 x2 下列线性 y1 + y 2 -3y3 +y 4 5 x x3 3 规划的对 (LP) 1 +2y3 -y 4 4 ( DP) 2y1 -3 x1 2 x2 x3 -5 偶问题 y 2 +y3 +y 4 6 x1 - x2 x3 1 y1 0, y 2 0, y3 0, y 4无约束 x1 0, x2 0, x3无约束
min z CX max W Yb AX b YA C 考虑如下具有“≥”不等式约束的线性规划问题： s.t . Y 0 X 0
min z CX 0 X S 加入剩余变量XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m)T以后可得标准型： AX I X S b X 0, X S 0
Y*ຫໍສະໝຸດ 矩阵形式： 36 min W ( y1 , y2 , y3 ) 40 76
7 19 min W 282 2 ( , 0, ) 3 6 6
3 4 ( y1 , y2 , y3 ) 5 4 (32, 30) 9 8 (y , y , y ) 0 1 2 3
解： ①原问题目标最大，对偶问题目标最小。 ②设对于原问题4个约束条件的对偶变量分别为 y1 y2 y3 y4 ; ③由4个约束条件的类型，可知4个对偶变量分别为≤0，≥0，≥0和无约束； ④原问题有3个决策变量x1 x2 x3 ，因此对偶规划有3个约束条件，由3个决 策变量的符号，可知对偶规划3个约束条件的类型分别为≥，≤，=。
答案： min w 3 y1 2 y2 3 y3 4 y4 y1 2 y2 3 y3 4 y4 3 y2 3 y3 4 y4 5 2 y1 3 y2 7 y3 4 y4 2 y1 0, y2 0, y3 , y4无约束
若B是系数矩阵（A, -I）中的一个可行基， min z C B X B C N X N 并假设（A , -I）可表示为（B, N）， BX B NX N b 则线性规划问题可改写为 ： X B 0, X N 0 可得基本可行解 X B = B -1b,目标函数值 Z C B -1b ， B
b max W (Y1 , Y2 ) (Y1 Y2 )b 若令Y Y1 - Y2 线性规划标准型 b 的对偶规划为： max W Yb A YA C (Y1 , Y2 ) (Y1 Y2 ) A C A Y 0, Y 0 Y 无约束 1 2
3 y1 5 y2 9 y3 32 4 y1 4 y2 8 y3 30 y 0, y 0, y 0 2 3 1
目标函数：所获租金总额最小．
为什么要最小化？
minW 36 y1 40 y2 76 y3
由此可得两个对称的线性规划：
max Z 32 x1 30 x2 3 x1 4 x2 5 x1 4 x2 9 x1 8 x2 x1 0, x2 36 40 76 0
3
例1' 现在从另一个角度来考虑该工厂的生产问题:
假设该厂的决策者打算不再自己生产甲,乙产品，而是
把各种设备的有限台时数租让给其他工厂使用，这时工厂 的决策者应该如何确定各种设备的租价。 设 y1 y2 y3 分别为设备A，B，C每台时的租价， 约束条件：把设备租出去所获得的租金不应低于利用这些
设备自行生产所获得的利润
第三讲 对偶规划与灵敏度分析
对偶线性规划的概念 对偶问题的基本性质 对偶最优解的经济解释—影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
对偶理论是线性规划的重要内容之一。随着线性规划问题 研究的深入，人们发现对应于每个线性规划问题都伴生一个相 应的线性规划问题。 前者是由矩阵Ａ，右端向量ｂ和价值向量Ｃ 定义的，称之 为原问题； 后者也是由相同的数据集合Ａ，ｂ和Ｃ构成的，称之为原 问题的对偶问题。 一对原问题和对偶问题是紧密关联的，它们不但有相同的 数据集合，相同的最优目标函数值，而且在求得一个线性规划
2. max z 3 x1 5 x2 2 x3 2 x3 3 x1 2 x1 x2 3 x3 2 3 x1 3 x2 7 x3 3 4x 4x 4x 4 1 2 3 x1 0, x2 0, x3无约束
min z CX (LP) AX b X 0
对偶的定义的图解
原始问题 min z=CX s.t. AX≥b X ≥0 min m C A ≥ b n AT 对偶问题 max W=Yb s.t. YA≤C Y ≥0 max bT
≤ CT
n
m
3. 线性规划问题标准型的对偶问题
考虑一个标准形式的线性规划问题
min z CX AX b X 0
由于任何一个等式约束都可以用两 个不等式约束等价地表示，所以标 准形线性规划问题可等价表示为： 它的对偶规划为：
min z CX A b X - A -b X 0
min W 36 y1 40 y2 76 y3 3 y1 5 y2 9 y3 32 4 y1 4 y2 8 y3 30 y 0, y 0, y 0 2 3 1
X
*
4 2 T ( , 8) max Z 282 3 3
x1 max Z (32, 30) x2 3 4 36 x1 5 4 x 40 9 8 2 76 x 1 0 x2
4. 对偶线性规划的求法
从任何一个线性规划出发，都可以求出相应的对偶规划，在实际 求解过程中，通常不通过求标准型，而是利用如下原始─对偶表：
原问题（或对偶问题） 目标函数 max z 约束条件个数：m 个
第i个约束条件 ( i 1, 2, m )
对偶问题（或原问题） 目标函数 min W 对偶变量个数：m 个
设备 A B C 利润（元/吨） 每吨产品的加工台时 可供台时数 36 40 76
甲
3 5 9 32
乙
4 4 8 30
设备
A B C 利润（元/吨）
每吨产品的加工台时
甲 3 5 9 32 乙 4 4 8 30
可供台时数
36 40 76
假设计划期内甲乙两种产品各生产x1 x2 吨， 用图解法或单纯形法可求得最优解
所以当 X B B -1b 为最优解，记Ｙ= C B B-1 ， ① ② ③
YA C Y 0
Yb C B B-1b CX
且由 AX b,Y 0 YAX Yb ，所以Yb 只存在最大值。 所以，可以得到原线性规划LP的对偶线性规划DP问题。
max W Yb (DP) YA C s.t . Y 0
-1 -1 若非基变量检验数 N C N - C B B N 0 ，则 X B B b为最优解。
2.对偶线性规划一定存在的分析
因为基变量检验数 C B - C B B -1 B 0 ,
-1 0 最优解判别准则又可表述为 (C B , C N ) - C B B ( B, N ) 。 -1 分别考虑原始变量 上述表达式又可写成 (C , 0) - C B B ( A, - I ) 0 及剩余变量 -1 -1 -1 即 C B B A C , C B B 0 ，其中 C B B 称为单纯形乘子。
max Z 32 x1 30 x2 3 x1 4 x2 5 x1 4 x2 9 x1 8 x2 x1 0, x2 36 40 76 0
X
*
4 ( , 8) 3
2 max Z 282 3
即在计划期内甲产品生产4/3 吨，乙产品生产8吨，可以使总利润 达到最大，为 282 2 元。
0 第i个对偶变量yi 0 （i 1， m 2， ） 无约束
决策变量个数：n个
0 第j个对偶变量x j 0 （j 1， n 2， ） 无约束
约束条件个数：n个
第j个约束条件 （j 1， n 2， ）
约束条件右端项 目标函数变量系数
由此可得上述问题的对偶规划DP.
练习：写出对偶规划。
1. min z 2 x1 2 x2 4 x3 2 x1 3 x2 5 x3 2 3 x1 x2 7 x3 3 x1 4 x2 6 x3 5 x1 , x2 , x3 0
3.2 对偶问题的基本性质
本节讨论几条重要的对偶定理，这些定理揭示了原始问题的解和