2018届高中数学北师大版 直线,平面平行的判定与性质(理科) 单元测试 Word版 含答案
直线、平面垂直的判定与性质-高考理科数学试题
（三十七）直线、平面垂直的判定与性质小题常考题点——准解快解] [小题常考题点——准解快解] 1．(2018·广东广州模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n解析：选B若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误．故选B.2．(2018·湖南一中月考)下列说法错误的是()A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行解析：选D如果两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线可以平行、相交、异面．B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则3.如图，在斜三棱柱ABC-AC1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．4．(2018·河北唐山模拟)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G 是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A ．AG ⊥平面EFHB ．AH ⊥平面EFHC ．HF ⊥平面AEFD ．HG ⊥平面AEF解析：选B 根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，∴AH ⊥平面EFH ，B 正确；∵过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，∴A 不正确；∵AG ⊥EF ，EF ⊥GH ，AG ∩GH ＝G ，∴EF ⊥平面HAG ，又EF ⊂平面AEF ，∴平面HAG ⊥AEF ，过点H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内，∴C 不正确；由条件证不出HG ⊥平面AEF ，∴D 不正确．故选B.5.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝ ⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66.由面积相等得66× x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝22x ，得x ＝12. 6.如图，已知∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ，△PAC的边所在的直线中，与PC 垂直的直线是____________；与AP 垂直的直线是________．解析：∵PC ⊥平面ABC ， ∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ， ∴AB ⊥平面PAC ，又∵AP⊂平面PAC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，AC AB7.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：如图，连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8.(2018·福建泉州模拟)如图，一张A4纸的长、宽分别为22a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa2.解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD，又∵AP⊂平面ABD，∴平面BAD⊥平面BCD，故②正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故③正确；该多面体的外接球半径R＝52a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故④正确．综上，正确命题的序号为①②③④.答案：①②③④[大题常考题点——稳解全解]1.如图，四棱锥P -ABCD 中， AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．求证：(1)AP ∥平面BEF ； (2)BE ⊥平面PAC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC ，如图所示． 由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点，因此在△PAC 中，可得AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF .所以AP ∥平面BEF . (2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC .所以四边形BCDE 为平行四边形，因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，因此AP ⊥BE .因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC . 又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面PAC ， 所以BE ⊥平面PAC .2.(2018·广州模拟)在三棱锥P -ABC 中，△PAB 是等边三角形，∠APC ＝∠BPC ＝60°.(1)求证：AB ⊥PC ；(2)若PB ＝4，BE ⊥PC ，求三棱锥B -PAE 的体积．解：(1)证明：因为△PAB 是等边三角形，∠APC ＝∠BPC ＝60°，所以△PBC ≌△PAC ，所以AC ＝BC .如图，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，则PD ⊥AB ，CD ⊥AB ，因为PD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥平面PDC ， 因为PC ⊂平面PDC ， 所以AB ⊥PC .(2)由(1)知，AB ⊥PC ，又BE ⊥PC ，AB ∩BE ＝B ，所以PC ⊥平面ABE ，所以PC ⊥AE . 因为PB ＝4，所以在Rt △PEB 中，BE ＝4sin 60°＝23，PE ＝4cos 60°＝2，在Rt △PEA 中，AE ＝PE tan 60°＝23，所以AE ＝BE ＝23，所以S △ABE ＝12·AB ·BE 2－⎝⎛⎭⎫12AB 2＝4 2. 所以三棱锥B -PAE 的体积V B -PAE ＝V P -ABE ＝13S △AEB ·PE ＝13×42×2＝823. 3．(2018·合肥质检)如图，平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到四棱锥P -ABCE .(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面PAB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l .证明：(1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57，由余弦定理得CE ＝2.连接AC (图略)，∵AE ＝2，∠AEC ＝60°，∴AC ＝2.又AP ＝3，∴在△PAE 中，PA 2＋AE 2＝PE 2，即AP ⊥AE .同理，AP ⊥AC .而AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ，AC ∩AE ＝A ，故AP ⊥平面ABCE .(2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ，∴AB ∥平面PCE .又平面PAB ∩平面PCE ＝l ，∴AB ∥l .4.(2018·山西省重点中学联考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AB ＝2BC ，E ，F 分别在线段AB ，CD 上，G ，H 在线段PC 上，EF ⊥PA ，且BE BA ＝DF DC ＝PG PC ＝CH CP ＝14.求证： (1)EH ∥平面PAD ； (2)平面EFG ⊥平面PAC .证明：(1)如图，在PD 上取点M ，使得DM DP ＝14，连接AM ，MH ，则DM DP ＝CH CP ＝14，所以MH ＝34DC ，MH ∥CD ，又AE ＝34AB ，四边形ABCD 是矩形，所以MH ＝AE ，MH ∥AE ，所以四边形AEHM 为平行四边形，所以EH ∥AM ， 又AM ⊂平面PAD ，EH ⊄平面PAD ，所以EH ∥平面PAD . (2)取AB 的中点N ，连接DN ，则NE ＝DF ，NE ∥DF ， 则四边形NEFD 为平行四边形，则DN ∥EF ，在△DAN 和△CDA 中，∠DAN ＝∠CDA ，AN DA ＝12＝DACD ，则△DAN ∽△CDA ，则∠ADN ＝∠DCA ，则DN ⊥AC ，则EF ⊥AC ， 又EF ⊥PA ，AC ∩PA ＝A ，所以EF ⊥平面PAC ， 又EF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PAC .5.(2018·福州五校联考)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是矩形，∠BAC ＝90°，AA 1⊥BC ，AA 1＝AC ＝2AB ＝4，且BC 1⊥A 1C .(1)求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)设D 是A 1C 1的中点，判断并证明在线段BB 1上是否存在点E ，使得DE ∥平面ABC 1.若存在，求三棱锥E -ABC 1的体积．解：(1)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是矩形，∴AA 1⊥AB ，又AA 1⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ＝AC ，∴A 1C ⊥AC 1.又BC 1⊥A 1C ，BC 1∩AC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面ABC 1， 又A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1.(2)当E 为B 1B 的中点时，连接AE ，EC 1，DE ，如图，取A 1A 的中点F ，连接EF ，FD ，∵EF ∥AB ，DF ∥AC 1，又EF ∩DF ＝F ，AB ∩AC 1＝A ，∴平面EFD ∥平面ABC 1， 又DE ⊂平面EFD ，∴DE ∥平面ABC 1.此时VE -ABC 1＝VC 1 -ABE ＝13×12×2×2×4＝83. 6．如图，在四棱锥S -ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD .四边形ABCD 为正方形，且点P 为AD 的中点，点Q 为SB 的中点．(1)求证：CD ⊥平面SAD . (2)求证：PQ ∥平面SCD .(3)若SA ＝SD ，点M 为BC 的中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD .又因为平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面SAD . (2)证明：如图，取SC 的中点R ，连接QR ，DR .由题意知：PD ∥BC 且PD ＝12BC .在△SBC 中，点Q 为SB 的中点，点R 为SC 的中点， 所以QR ∥ BC 且QR ＝12BC ，所以PD ∥QR ，且PD ＝QR ，所以四边形PDRQ 为平行四边形，所以PQ ∥DR . 又因为PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ， 所以PQ ∥平面SCD .(3)存在点N 为SC 的中点，使得平面DMN ⊥平面ABCD . 证明如下：如图，连接PC，DM交于点O，连接DN，PM，SP，NM，ND，NO，因为PD∥CM，且PD＝CM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO.又因为点N为SC的中点，所以NO∥SP.易知SP⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD.又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD.1．(2018·河北保定模拟)有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A命题①l可以在平面α内，是假命题；命题②直线a与平面α可以是相交关系，是假命题；命题③a可以在平面α内，是假命题；命题④是真命题．2．(2018·湖南湘中名校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊂β，则α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：选D A中，两直线可能平行，相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D.3．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．B1C1D1中，M，N分别4．(2018·襄阳模拟)如图，在正方体ABCD-A是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行解析：选D如图所示，连接AC，C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN，故A、C正确，D错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，B正确．5.(2018·湖南长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选B在三棱柱ABC -A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.解析：连接AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D1，BD，因为AB綊C1D1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确．答案：①②④7.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN 平行的是________________．解析：连接AM 并延长，交CD 于点E ，连接BN ，并延长交CD 于点F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .答案：平面ABC 、平面ABD8.如图所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1的值为________．解析：设BC 1∩B 1C ＝O ，连接OD .∵A 1B ∥平面B 1CD 且平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝OD ，∴A 1B ∥OD ，∵四边形BCC 1B 1是菱形， ∴O 为BC 1的中点，∴D 为A 1C 1的中点，则A 1D ∶DC 1＝1. 答案：1[大题常考题点——稳解全解]1.如图，ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ，又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ，又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ，所以BD ∥平面MNG ，又DE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，所以平面BDE ∥平面MNG .2.(2018·长春质检)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点D 1为棱PD 的中点，过D 1作与平面ABCD平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于点A 1，B 1，C 1，∠BAD ＝60°.(1)求证：B 1为PB 的中点；(2)已知棱锥的高为3，且AB ＝2，AC ，BD 的交点为O ，连接B 1O .求三棱锥B 1-ABO 外接球的体积．解：(1)证明：连接B 1D 1.由题意知，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，平面PBD ∩平面A 1B 1D 1＝B 1D 1，则BD ∥B 1D 1，即B 1D 1为△PBD 的中位线，即B 1为PB 的中点．(2)由(1)可得，OB 1＝32，AO ＝3，BO ＝1，且OA ⊥OB ，OA ⊥OB 1，OB ⊥OB 1， 即三棱锥B 1 -ABO 的外接球为以OA ，OB ，OB 1为长，宽，高的长方体的外接球，则该长方体的体对角线长d ＝12＋(3)2＋⎝⎛⎭⎫322＝52，即外接球半径R ＝54. 则三棱锥B 1 -ABO 外接球的体积V ＝43πR 3＝43×π×⎝⎛⎭⎫543＝125π48. 3.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1；(2)EG ∥平面BB 1D 1D ；(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图所示，取BB 1的中点M ，连接MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1.又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE 綊12DC ， 又D 1G 綊12DC ，∴OE 綊D 1G ， ∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O .又GE ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .4.如图，四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD .(2)在线段AB 上是否存在一点F ，使得平面PAD ∥平面CEF ？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：取PA 的中点H ，连接EH ，DH ，因为E 为PB 的中点，所以EH∥AB，EH＝12AB，又AB∥CD，CD＝12AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH，又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，因此CE∥平面PAD.(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，证明如下：取AB的中点F，连接CF，EF，所以AF＝12AB，又CD＝12AB，所以AF＝CD，又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD，由(1)可知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，故存在AB的中点F满足要求．。
考点29 直线、平面平行与垂直的判定与性质-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)
A. 直线 m, n 都平行于平面 ，则 m / /n B. 设 − l − 是直二面角，若直线 m ⊥ ，则 m / / C. 若直线 m, n 在平面 内的射影依次是一个点和一条直线，（且 m ⊥ n ），则 n 在 内或 n 与 平行 D. 设 m, n 是异面直线，若 m 与平面 平行，则 n 与 相交
CP / /PD DE / /BC
} CN / / NE
NP 平面ABC
NP / / 平面 ABC
所以，平面 MNP / / 平面 ABC MN / / 平面 ABC
【变式 2】【改编例题的问法，证明线线平行】【2017 届湖北省六校联合体高三 4 月联考】在四棱锥 P − ABCD
中，底面是边长为 2 的菱形， BAD = 600 ， PB = PD = 3， PA = 11， AC BD = O .
考点 29：直线、平面平行与垂直的判定与性质
【考纲要求】 1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 4．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 5．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题． 6．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理． 7．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题． 【命题规律】 直线与平面平行的判定以及平面与平面平行的判定是高考热点.预测 2018 年的高考以棱柱、棱锥为载体考查 空间中的平行关系. 线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质是高考热点，备考时应掌握线面、面面垂直的判定与性质定理， 了解线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化思想，逐步学会综合运用数学知识分析解决问题的能力． 【典型高考试题变式】 （一）空间点、直线、平面之间的位置关系 例 1.【2016 全国 2 卷（理）】α,β 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么 α⊥β． ②如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n． ③如果 α∥β,m⊂α,那么 m∥β． ④如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等． 其中正确的命题有 ．（填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④
同步届高三数学一轮复习课时作业（39）直线、平面平行的判定与性质 理 北师大版
课时作业三十九[第39讲直线、平面平行的判定与性质][时间：45分钟分值：100分]错误!1．直线a∥平面α，则a平行于平面α内的A．一条确定的直线 B．任意一条直线C．所有的直线 D．无穷多条平行直线2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是A．一定平行 B．不平行C．平行或相交 D．平行或在平面内3．下列说法正确的是A．若直线平行于平面α内的无数条直线，则∥αB．若直线在平面α外，则∥αC．若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂平面α，那么a平行于平面α内的无数条直线4．[2022·临沂模拟] 考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题其中、m为直线，α、β为平面，则此条件为________．①错误!⇒∥α；②错误!⇒∥α；③错误!⇒∥α错误!5．如果三个平面将空间分成6个互不重叠的部分，则这三个平面的位置关系是A．两两相交于三条交线B．两个平面互相平行，另一平面与它们相交C．两两相交于同一条直线D．B中情况或C中情况都可能发生6．[2022·威海质检] 已知直线、m，平面α，且m⊂α，则“∥m”是“∥α”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．[2022·泰安模拟] 设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β8．已知平面α∥平面β，与α、β分别交于点A、C1C1C1A，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．14．10分－3，已知可知，∥α或⊂α；∥α且m⊂α，则∥m或与m 异面，故选D7．D [解析] A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．8．B [解析] 根据题意可出现以下如图两种情况，由面面平行的性质定理，得AB∥CD，则错误!错误C1C1C1A1A1A1C1C1C1F1F1A、n也可以异面，故为假命题．14．[解答] 1证明：取为AB中点，∴AM∥CD，AM＝错误!CD，∴NH∥AM，NH＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形．∴MN∥AH，又∵MN⊄平面N∥平面，ON，则OM綊错误!BC，ON綊错误!就是异面直线N 所成的角．由MN＝BC＝4，＝2，ON＝2错误!，所以∠ONM＝30°，即异面直线N成30°的角．15．[解答] 1证明：如图，取AD FH，∵E，F，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可知：NG∥CF，MG∥EF，又MG∩NG＝G，CF∩EF＝F，∴平面MNG∥平面CDEF，∴MN∥平面CDEF2作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE－BCF为直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝错误!，∴V A－CDEF＝错误!S四边形CDEF·AH＝错误!×2×2错误!×错误!＝错误!。
高考数学北师大(理)一轮复习课件：8.4 直线、平面平行的判定与性质
条直线,那么这两个平面平行.
知识梳理
考点自诊
随堂巩固
-5-
1 .判断下列结论是否正确,正确的画“√”错, 误的画“× ”.
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行
于这个平面.×( )
(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内
的任一条直线.× ( ) (3)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α. ( × )
(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个
平面平行.× ( )
(5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平
行或异面.√( )
知识梳理
考点自诊
随堂巩固
-6-
2 .已知α,β,γ是三个不重合的平面,a,b 是两条不重合的直线,有 下列三个条件:①a∥γ,b β;②a∥γ,b ∥β;③b ∥β,a γ.如果命题 “α∩β=a , b γ,且 ,则a∥b ”为真命题,则可以在横线处 填入的C 条件是( )
知识梳理
考点自诊
随堂巩固
-9-
-10 -
考点1
考点2
考点3
考点4
线面平行的证明
例1 (2018 广东宝安、潮阳等七校联考,19)在四棱锥P-ABCD
中,四边形ABCD 是矩形,平面PAB ⊥平面ABCD ,点E,F分别为BC 、
AP 中点.
(1)求证:EF∥平面PCD ;
(2)若AD=AP=PB=
(1)利用线面平行的性质定理,即a∥α,a β,α∩β=b a∥b. (2)利用平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行. (3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行.
2018高考数学真题 理科 8.4考点1 线、面平行的判定与性质
第八章 立体几何第四节 直线、平面平行的判定与性质考点1 线、面平行的判定与性质（2018·天津卷（理））如图，AD ∥BC 且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，EG ∥AD 且EG ＝AD ，CD ∥FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；（2）求二面角E －BC －F 的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长．【解析】（1）证明 依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，DG ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0,0,0），A （2,0,0），B （1,2,0），C （0,2,0），E （2,0,2），F （0,1,2），G （0,0,2），M (0,32,1)，N （1，0,2）．依题意得DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（0,2,0），DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（2,0,2）．设n 0＝（x 0，y 0，z 0）为平面CDE 的法向量，则{n 0·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 0·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 0=0,2x 0+2z 0=0.不妨令z 0＝－1， 可得n 0＝（1,0，－1）．又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,−32,1)，可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 0＝0. 又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE .（2）依题意，可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－1,0,0），BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1，－2,2），CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（0，－1,2）．设n ＝（x ，y ，z ）为平面BCE 的法向量，则{n ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{－x ＝0,x －2y ＋2z ＝0.不妨令z ＝1，可得n ＝（0,1,1）． 设m ＝（x ，y ，z ）为平面BCF 的法向量，则{m ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CF⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{－x ＝0,－y ＋2z ＝0.不妨令z ＝1，可得m ＝（0,2,1）． 因此有cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝3√1010， 于是sin 〈m ，n 〉＝√1010. 所以二面角E －BC －F 的正弦值为√1010. （3）设线段DP 的长为h （h ∈[0,2]），则点P 的坐标为（0,0，h ），可得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－1，－2，h ）．DC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（0,2,0）为平面ADGE 的一个法向量， 故|cos 〈BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|＝|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BP⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√ℎ2+5， 由题意，可得√ℎ2+5＝sin 60°＝√32，解得h ＝√33（负值舍去）．所以线段DP 的长为√33.【答案】见解析（2018·江苏卷）如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．【解析】证明 （1）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1. 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．【答案】见解析。
第03讲 直线、平面平行的判定与性质(八大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
求证：1 //平面1 ；
【解析】连接、1 1 ，由, 分别为, 的中点，则//，
又 ⊄平面1 1 ， ⊂平面1 1 ，故//平面1 1 ，
1
正四棱台 − 1 1 1 1 中，1 1 //且1 1 = 2 = ，
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
题型突破·考法探究
题型一：平行的判定
【典例1-1】（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条
不同的直线．若⋂ = , ⋂ = , ⋂ = , //,则下列说法正确的是（
中点，是棱PA上一点，且 = 3．
求证：//平面MCD；
【解析】取PA的中点S，连接SM，SD，SC，
因为为PB的中点，
所以//，又//，
所以//，故S，M，C，D四点共面，
由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故//，
又 ⊂平面, ⊂平面MCD，因此��//平面MCD；
若点为的中点，证明：//平面；
【解析】连接PC，交DE于，连接MN
∵ 为矩形
∴ 为的中点
在△ 中，M，N分别为PA，PC的中点
∴ //，
因为 ⊂平面, ⊂平面，
所以//平面．
题型突破·考法探究
题型三：线面平行构造之平行四边形法
∵ 为△ 1 1 中位线，//1 ，
又1 ⊂平面1 ， ⊄平面1 ，
∴ //平面1 ，
∵ 为梯形1 1 中位线，//1 ，
又1 ⊂平面1 ， ⊄平面1 ，
∴ //平面1 ，
高考理科数学(北师大版)一轮复习课件第八章第3讲直线平面平行的判定与性质
面面平行的判定与性质(典例迁移)
如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
【证明】 (1)因为 G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， 所以 GH∥B1C1，又 B1C1∥BC， 所以 GH∥BC，所以 B，C，H，G 四点共面． (2)在△ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点， 所以 EF∥BC， 因为 EF⊆/ 平面 BCHG，BC 平面 BCHG，
所以 BD1∥平面 ACE. 答案：平行
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面． ( × )
(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线． ( × )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高． 由 AB＝8，EB＝2 得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 从而 KB＝14DB＝12OB，即 K 为 OB 的中点． 再由 PO∥GK 得 GK＝12PO，且 G 是 PB 的中点，所以 GH＝12BC＝4. 由已知可得 OB＝4 2，PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6， 所以 GK＝3. 易得 EF＝BC＝8，故四边形 GEFH 的面积 S＝GH＋2 EF·GK＝4＋2 8×3＝18.
【迁移探究 1】 (变条件)在本例条件下，若 D 为 BC1 的中点，求证：HD∥平面 A1B1BA. 证明：如图所示，连接 HD，A1B， 因为 D 为 BC1 的中点， H 为 A1C1 的中点， 所以 HD∥A1B， 又 HD⊆/ 平面 A1B1BA， A1B 平面 A1B1BA，
【高三数学试题精选】2018高考数学一轮复习平面解析几何训练(北师大含答案)
2018高考数学一轮复习平面解析几何训练(北师大含答案)
c 第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线3x－＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )
A．30° B．60°
c．150° D．120°
解析选B直线的斜率为＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°
2．(2018 河北省衡水中学一模)已知直线l的斜率为3，在轴上的截距为另一条直线x－2－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．＝3x＋2 B．＝3x－2
c．＝3x＋12 D．＝－3x＋2
解析选A因为直线x－2－4＝0的斜率为12，所以直线l在轴上的截距为2，所以直线l的方程为＝3x＋2，故选A
3．(2018 太原质检)若直线l与直线＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( ) A13 B．－13
c．－32 D23
解析选B依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2，b＋1＝－2，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－13
4．直线l经过A(2，1)，B(1，2)(∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0≤α＜π B．0≤α≤π4或π2＜α＜π
c．0≤α≤π4 Dπ4≤α＜π2或π2＜α＜π
解析选B直线l的斜率为＝2－11－2＝1－2≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以π2＜α＜π或0≤α≤π4故选B
5．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，。
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1
C
A
第4节 直线、平面平行的判定与性质
题型93 证明空间中直线、平面的平行关系
1．（2013江西理8）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α
上，且AB ∥CD ，
正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么
m n +=（ ）.
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11 2．（2013广东理6）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个 不同的平面下列命题中正确的是（ ）.
A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥
B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n
C ．若m n ⊥，m α
⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 3. (2013安徽理19）
如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为225. ，AB 和CD 是底面圆O 上
的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60 . （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠.
4. (2013全国新课标卷理18）
如图，直棱柱111-ABC ABC 中，D
E ，分别是1AB BB ，的中点， 12
AA AC CB AB ===
. （1）证明：1BC ∥平面11ACD ； （2）求二面角1--D AC E 的正弦值.
α
A
B C
D
E
F
B
P
Q
P
M
D
C
B
A
5.（2013山东理18）如图所示，在三棱锥P ABQ -中，PB ⊥平面ABQ ，BA BP BQ ==，
D ，C ，
E ，
F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ
交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH . （1）求证：GH AB ∥；
（2）求二面角D GH E --的余弦值. 6.（2013江苏16）
如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A
作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥.
7.（2013浙江理20）如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面B C D ，
22,2,==⊥BD AD CD BC .M
是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段
AC 上，且QC AQ 3=.
（1）证明：//PQ 平面BCD ；
（2）若二面角D BM C --的大小为60 ，求BDC ∠的大小.
8. (2015福建理7) 若,l m 是两条不同的直线，m α⊥，则“l m ⊥ ”是“//l α”的（ ）.
A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.解析 若l m ⊥，又因为m ⊥
α，则//l α或l α⊂；若//l α，又因为m ⊥α，
则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α”的必要不充分条件．故选B ．
A
B
C
S G F E
9.（2016全国甲理14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥． ③如果//a β，m α⊂，那么//m β．
④如果//m n ， //αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 以上命题正确的命题有 .
9. ②③④ 解析 将题中假设放在一个正方体模型中易知②③④正确.
10.（2016浙江理2）已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线,m n 满足,m n αβ∥⊥，则（ ）. A.
l m ∥ B.n m ∥ C.n l ⊥ D.m n ⊥
10.C 解析 对于选项A ，因为l αβ= ，所以l α⊂.又因为//m α，所以m 与l 平行或异
面.故选项A 不正确；对于选项B 和D ，因为α
β⊥，n β⊥，所以n α⊂或//n α.又因为
//m α，所以m 与n 的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B 和D 不正确；对于选项C ，因为,l αβ
= 所以,l β⊂因为,n β⊥所以n l ⊥，故选项C 正确，故选C.
11．（2016江苏卷16）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F
在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．
求证：（1）直线//DE 平面11AC F ；
11.解析 （1）因为,D E 分别为,AB BC 的中点，所以DE 为ABC △的中位线，所以//DE AC ，又因为三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，故11//AC AC ，所以11//DE AC ，又因为
11AC ⊂平面11AC F ，且11DE AC F ⊄，故//DE 平面11AC F ．
12.（2016天津理17）如图所示，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==. （1）求证：//EG 平面ADF ；
A B
C
D
E
F
A 1
B 1
C 1
O
A
B
C
D E
F
G
H
12.分析 （1）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证. 解析 解法一：（1）取AD 中点M ，连接FM ，GM ，如图所示. 由题意可得//GM BO ，且GM BO =，所以四边形EGMF 为平行四边形. 所以//EG FM ，且FM ⊂平面ADF ，所以//EG 平面ADF .
13.（2016四川理18）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，
BC AD ∥，=90ADC PAB ∠∠=
，1
2
BC CD ==
AD .E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90 . （1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；
13.解析 （1）取棱AD 的中点()M M PAD ∈平面，点M 即为所求的一个点.证明如下： 因为
AD BC ∥，12
BC AD =，所以BC AM ∥，且BC AM =.所以四边形AMCB 是平
行四边形，从而CM AB ∥.又AB ⊂平面PAB ，CM PAB ⊄平面，所以CM ∥平面PAB .
(说明：取棱
PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点).
P
A
B C
D E
M
H G F
E D
C
B A O M
D
C
B
A
P。