10.1全等三角形(3)
鲁教版数学七年级下册 10.1 全等三角形 同步习题及答案
鲁教版数学七年级下册 10.1 全等三角形同步习题及答案一、选择题：1.利用尺规作图不能作出唯一三角形的是( )A.已知三边B.已知两边及夹角C.已知两角及夹边D.已知两边及其中一边的对角2.如图所示,已知AB∥CD,A,E,F,D在一条直线上,AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有( )A.1对B.2对C.3对D.0对3.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上(如图所示),可以说明ΔEDC≌ΔABC,得ED=AB,因此测出ED的长就是AB的长,判定ΔEDC≌ΔABC最恰当的理由是( )A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角4.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,∠ABC,∠ACB的平分线BD,CE相交于O点,且BD交AC于点D,CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论:①ΔBCD≌ΔCBE;②ΔBAD≌ΔBCD;③ΔBDA≌ΔCEA;④ΔBOE≌ΔCOD;⑤ΔACE≌ΔBCE.上述结论一定正确的是(提示:等腰三角形的两底角相等;在三角形中,两个相等的角所对的边相等) ( )A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④5.如图所示,在ΔABC和ΔADE中:①AB=AD;②AC=AE;③BC=DE;④∠C=∠E;⑤∠B=∠ADE.下列四个选项分别以其中三个为条件，剩下两个为结论，则其中错误的是（）A．若①②③成立，则④⑤成立B．若①②④成立，则③⑤成立C．若①③⑤成立，则②④成立D．若②④⑤成立，则①③成立6.如图，点P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（）A. 1B. 2C. √3D. 47.下列四个命题中,真命题是( )A.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等B.如果两个角的和是180°,那么这两个角是邻补角C.在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线互相平行D.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相垂直8.如图所示,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ΔABC≌ΔADC,这样就有∠QAE=∠PAE,则说明这两个三角形全等的依据是( )A.SASB.ASAC.AASD.SSS二、填空题：1.如图所示,在正方形ABCD中,如果AF=BE,那么∠AOD的度数是.2.如图所示,下列六个条件:①∠1=∠E;②∠2=∠F;③∠A+∠1=180°;④∠B+∠2=180°;⑤∠DCE+∠E=180°;⑥∠CDF+∠F=180°.从中选取两个作为条件,使得命题“如果, ,那么AB∥EF”是一个真命题,并证明你的结论.(填序号)3.根据下列解题过程填空.(1)如图1所示,已知直线EF与AB,CD都相交,且AB∥CD,试说明∠1=∠2的理由.解:∵AB∥CD(已知),∴∠2=∠3( ),∵∠1=∠3( ),∴∠1=∠2( ).(2)如图2所示,已知ΔAOC≌ΔBOD,试说明AC∥BD成立的理由.解:∵ΔAOC≌ΔBOD,∴∠A= ( ),∴AC∥BD( ).4.如图所示,PA=PB,PC是ΔPAB的中线,∠A=55°,求∠B的度数.解:∵PC是AB边上的中线,∴AC= (中线的定义),在中,∴≌( )∴∠A=∠B( ).∵∠A=55°(已知),∴∠B=55°( ).5.如图所示,如果AB=AC, ,根据“SAS”,即可判定ΔABD≌ΔACE.6.如图所示,已知∠CAE=∠DAB,AC=AD.给出下列条件:①AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E.其中能判定ΔABC≌ΔAED的条件为.(注:把你认为正确的答案序号都填上)7.如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是________．8.如图所示,已知线段a,c(a<c),求作:直角三角形ABC,使∠C=90°,AC=c,BC=a,作法:(1)作∠MCN=90°;(2)以C为圆心, 为半径画弧,交射线CM于点B;(3)以C为圆心, 为半径画弧,交射线CN于点A;(4)连接,ΔABC就是所求.三、解答题：1.如图所示,有一座小山,现要在小山A,B的两端开一条隧道,施工队要知道A,B两端的距离,但A,B间的距离不能直接测量,请你用已学过的知识按以下要求设计测量方案:(1)画出测量图;(2)写出测量方案;(3)写出推理过程.2.如图所示,广场上有两根旗杆AC,DF都垂直于地面放置.已知太阳光线AB与DE是平行的,经过测量这两根旗杆在太阳光下的影子BC与EF一样长,那么这两根旗杆的高度相等吗?说说你的理由.3.已知:∠α,∠β,线段a,求作:ΔABC,使∠B=∠α,∠C=∠β,BC=a(不写作法,保留作图痕迹).4.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE .5.已知：四边形ABCD．求作：点P，使∠PCB=∠B，且点P到边AD和CD的距离相等．6．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．7．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．8.如图所示,已知四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,连接AE,CG.请猜想AE与CG有什么数量关系,并证明你的猜想.9.如图所示,在ΔABC和ΔDAE中,∠BAC=∠DAE,AB=AE,AC=AD,连接BD,CE,求证ΔABD≌ΔAEC.10.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.求证∠B=∠D.参考答案一、选择题：1-5 DCBDB 6-8 BCD二、填空题：1.90°2.解:(本题答案不唯一)可选①④.如果∠1=∠E,∠B+∠2=180°,那么CD∥EF,AB∥CD,∴AB ∥EF.3.(1)两直线平行,同位角相等对顶角相等等量代换(2)∠B 全等三角形的对应角相等内错角相等,两直线平行4.BC ΔACP和ΔBCP ΔACP ΔBCP SSS 全等三角形的对应角相等等量代换.5.AD=AE6.①③④.7. 48. a c AB(解析:作∠MCN=90°,在射线CM上截取BC=a,以C为圆心,c的长为半径画弧,交射线CN于点A,连接AB,ΔABC就是所求.)三、解答题：1.解:(1)如图所示.(2)①找个能同时看见A点和B点的C点,然后连接AC并延长到D,使AC=DC;②连接BC并延长到E,使BC=EC,测量DE的长度,即为A,B间的距离.(3)在ΔACB和ΔDCE中,∴ΔACB≌ΔDCE(SAS),∴AB=DE.2.解:两根旗杆的高度相等.理由如下:∵太阳光线AB与DE是平行的,∴∠B=∠E,∵两根旗杆都垂直于地面放置,∴∠C=∠F=90°,∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长,∴BC=EF,在ΔABC和ΔDEF中,∴ΔABC≌ΔDEF(ASA),∴AC=DF,即两根旗杆的高度相等.3.解:如图所示,ΔABC即为所求.4.证明：∵ BE =CF ，∴ BE +EF =CF +EF ，即 BF =CE ，在 ΔABF 和 ΔDCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE BF C B DCAB∴ ΔABF ≌ ΔDCE (SAS) ∴ AF =DE 5. 解： 作法：①作∠ADC 的平分线DE ，②过C 作CP ∥AB ，交DE 于点P ， 则点P 就是所求作的点；6.证明：（1）∵DE 、DF 是△ABC 的中位线， ∴DF=CE ，DF ∥CE ，DB=DC ． ∵DF ∥CE ， ∴∠C=∠BDF ． 在△CDE 和△DBF 中，∴△CDE ≌△DBF （SAS ）；（2）∵DE 、DF 是△ABC 的中位线， ∴DF=AE ，DF ∥AE ，∴四边形DEAF 是平行四边形， ∵EF 与AD 交于O 点， ∴AO=OD7.证明：∵AM=2MB ，AN=2NC ，AB=AC ， ∴AM=AN ，∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ， ∴∠MAD=∠NAD ， 在△AMD 与△AND 中，，∴△AMD ≌△AND （SAS ）， ∴DM=DN ．8.解:猜想:AE=CG,证明如下:∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形,∴CD=AD,∠ADC=∠GDE=90°,GD=ED,∴∠CDG=∠ADE,在ΔCDG 与ΔADE 中, ∴ΔCDG ≌ΔADE(SAS),∴AE=CG. 9.证明:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, 即∠BAD=∠CAE, 在ΔABD 和ΔAEC 中, ∴ΔABD ≌ΔAEC(SAS).10证明:连接AC,在ΔABC 和ΔADC 中,∵⎪⎩⎪⎨⎧===DC BC AC AC ADAB )(公共边 ∴ΔABC ≌ΔADC ∴∠B=∠D.。
全等三角形(知识点讲解)
全等三角形(知识点讲解)全等三角形(知识点讲解)全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的核心内容之一。
在这篇文章中，我们将从定义、判定全等三角形的条件以及全等三角形的性质等方面进行讲解。
一、全等三角形的定义全等三角形指的是具有完全相同的三边和三角的三角形。
简而言之，在几何学中，当两个三角形的对应边长相等、对应角度相等时，我们称这两个三角形是全等的。
二、全等三角形的判定条件为了判断两个三角形是否全等，我们有以下几个常用的判定条件：1. SSS判定法：即边-边-边判定法。
当两个三角形的三条边分别相等时，它们就是全等的。
2. SAS判定法：即边-角-边判定法。
当两个三角形的一对夹角和夹角两边分别相等时，它们就是全等的。
3. ASA判定法：即角-边-角判定法。
当两个三角形的一对夹角和夹角对边分别相等时，它们就是全等的。
4. AAS判定法：即角-角-边判定法。
当两个三角形的两对夹角和一个非夹角边分别相等时，它们就是全等的。
需要注意的是，这些判定条件是相互独立的，即只要满足其中一种条件，就可以判定两个三角形是全等的。
三、全等三角形的性质全等三角形具有以下重要性质：1. 对应边对应角相等性质：全等三角形的对应边对应角相等。
即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF，并且∠A = ∠D,∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
2. 全等三角形的任意一角都与对应角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
3. 全等三角形的任意一边都与对应边相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF。
4. 全等三角形的外角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠BAC =∠EDF, ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE。
通过以上性质，我们可以进行全等三角形的各种推理和计算。
四、全等三角形的应用全等三角形在几何学的应用非常广泛。
鲁教版(五四制)数学七年级下册 10.1 全等三角形 同步习题和答案
鲁教版数学七年级下册10.1 全等三角形同步习题及答案一、选择题：1.如图所示,已知EC=BF,∠A=∠D,现有下列6个条件:①AC=DF;②∠B=∠E;③∠ACB=∠DFE;④AB∥ED;⑤AB=ED;⑥DF∥AC.从中选取一个条件,以保证ΔABC≌ΔDEF,则可选择的是( )A.②③④⑥B.③④⑤⑥C.①③④⑥D.①②③④2．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（）A. PC=PDB. ∠CPD=∠DOPC. ∠CPO=∠DPOD. OC=OD4. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.已知ΔABC≌ΔA1B1C1,且ΔABC的周长是20,AB=8,BC=5,那么A1B1等于( )A.5B.6C.7D.86.如图所示,一定全等的两个三角形是( )A.①②B.①③C.②③D.以上都不对7.如图所示,要测量湖两岸相对两点A,B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,这时可得ΔABC≌ΔEDC,用于判定全等的是( )A.SSSB.SASC.ASAD.AAS8.下列说法中:①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等,那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等;②如果两个三角形都和第三个三角形不全等,那么这两个三角形一定不全等;③要判断两个三角形全等,给出的条件中至少要有一对边对应相等.正确的是( )A.①和②B.②和③C.①和③D.①②③9.方格纸中每个小方格的顶点叫做格点,顶点在格点上的三角形叫格点三角形.如图所示,在4×4的方格纸中有两个格点三角形ΔABC和ΔDEF.下列说法成立的是( )A.∠BCA=∠EDFB.∠BCA=∠EFDC.∠BAC=∠EFDD.这两个三角形中没有相等的角10.如图所示,ΔABC是等腰直角三角形,DE过直角顶点A,∠D=∠E=90°,则下列结论正确的个数有( )①CD=AE;②∠1=∠2;③∠3=∠4;④AD=BE.A.1个B.2个C.3个D.4个11.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A. 13B. 12C. 23D. 不能确定12.尺规作图的画图工具是 ( )A.刻度尺、量角器B.三角板、量角器C.直尺、量角器D.没有刻度的直尺和圆规二、填空题：1.如图所示,点A,B,D在同一直线上,ΔABC和ΔBDE都是等边三角形,连接AE,CD相交于点P,则∠CPE的度数为度.(提示:等边三角形的三个内角均为60°)2．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．3．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．4.如图所示,ΔABC≌ΔADE,∠B=85°,∠C=∠DAC=35°,则∠EAC= 度.5.如图所示,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D.AD=5 cm,DE=3 cm,BE的长度是.6.如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为_______．7. 如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是________．8.已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个命题:①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.其中真命题的是.(填写所有真命题的序号)三、解答题：1.如图所示,D,E分别是等边三角形ABC的边BC,CA延长线上的点,且CD=AE,连接AD,BE,求证AD=BE.(提示:等边三角形的三个内角均为60°)2.如图所示,已知线段a,b和∠α,用尺规作一个三角形,使其两边分别等于a,b,这两边的夹角等于2∠α.(要求:不写已知、求作、作法,只画图,保留作图痕迹)3.如图所示,已知ΔABC.(1)请用直尺和圆规作一个三角形,使所作三角形与ΔABC全等;(2)请简要说明你所作的三角形与ΔABC全等的依据.4.如图，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF=DE，求证：AB∥CD．5. 如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE=AB．（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．6. 如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．7.如图所示,在ΔABC,ΔADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E在同一直线上,连接BD.(1)求证ΔBAD≌ΔCAE;(2)试猜想BD,CE有何特殊的位置关系,并证明.8. 如图所示,点E,C,D,A在同一条直线上,AB∥DF,ED=AB,∠E=∠CPD.求证ΔABC≌ΔDEF.9. 如图所示,已知AB=DC,AC=BD.求证∠ABO=∠DCO.10.如图所示,ΔABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证ΔABD≌ΔACD.11.如图所示,若ΔOAD≌ΔOBC,且∠O=65°,∠BEA=135°,求∠C的度数.(提示:四边形的内角和为360°)12. 如图所示,在图(1)中,点A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,且AB∥CD.(1)求证BD平分EF;(2)若将图(1)变成图(2)时,其余条件不变,上述结论是否成立?为什么?参考答案一、选择题：1-5 ABBCD 6-10 BCCBB 11-12 BD二、填空题：1. 1202.4．3. 3．4.255.2 cm6. 130°7. ∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD8. ①②④.三、解答题：1.证明:∵ΔABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,AC=AB,∴∠EAB=∠ACD=120°,∵在ΔABE和ΔCAD中,∴ΔABE≌ΔCAD(SAS),∴AD=BE.2.解:如图所示,ΔABC即为所求.3.解:(1)如图所示,ΔEDF即为所求.(作法不唯一)(2)在ΔEDF和ΔABC中,∴ΔEDF≌ΔABC(SSS).4.证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵BF=DE，∴BF+EF=DE+EF，∴BE=DF．在Rt△AEB和Rt△CFD中，{AB=CDBE=DF，∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），∴∠B=∠D，∴AB∥CD．5. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，∴∠EAD=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，在△ADE和△FAB中，，∴△ADE≌△FAB（AAS），∴DE=AB；（2）解：连接DF，如图所示：在△DCF和△ABF中，，∴△DCF≌△ABF（SAS），∴DF=AF，∵AF=AD，∴DF=AF=AD，∴△ADF是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1，∴DE=AE=，∴的长==．6. 解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．7. (1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD,即∠BAD=∠CAE,又∵AB=AC,AD=AE,∴ΔBAD≌ΔCAE(SAS).(2)解:BD⊥CE.证明如下:由(1)知ΔBAD≌ΔCAE,∴∠ADB=∠E.∵∠DAE=90°,∴∠E+∠ADE=90°.∴∠ADB+∠ADE=90°,即∠BDE=90°,∴BD⊥CE.8. 证明:∵AB∥DF,∴∠B=∠CPD,∠A=∠FDE,∵∠E=∠CPD,∴∠E=∠B,在ΔABC和ΔDEF中,∴ΔABC≌ΔDEF(ASA).9. 证明:在ΔABC与ΔDCB中,∴ΔABC≌ΔDCB(SSS).∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC.∴∠ABO=∠DCO.10. 证明:∵D是BC的中点,∴BD=CD.在ΔABD和ΔACD中,∴ΔABD≌ΔACD(SSS).11. 解:∵ΔOAD≌ΔOBC,∴∠C=∠D,∠OBC=∠OAD,∵∠O=65°,∴∠OBC=180°-65°-∠C=115°-∠C,在四边形AOBE中,∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360°,∴65°+115°-∠C+135°+115°-∠C=360°,∴∠C=35°.12. (1)证明:∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE,∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°,又∵AB∥CD,∴∠A=∠DCE,在ΔAFB和ΔCED中, ∴ΔAFB≌ΔCED,∴BF=DE,在ΔBGF和ΔDGE 中,∴ΔBFG≌ΔDEG,∴FG=EG,即BD平分EF. (2)解:成立.理由如下:∵AE=CF,∴AE-EF=CF-EF,即AF=CE.同(1)可证∠AFB=∠CED=90°,∠A=∠C,在ΔAFB和ΔCED中,∴ΔAFB ≌ΔCED,∴BF=DE,同(1)可证ΔBGF≌ΔDGE,∴EG=FG,即BD平分EF.。
全等三角形全等三角形ppt
实际应用案例展示
总结词
全等三角形在实际生活中有着广泛的应用，实际应用案例展示可以让我们更好地了解全等三角形的实 际应用价值。
详细描述
全等三角形实际应用案例展示包括全等三角形在几何、物理学、工程学等领域的应用实例，例如利用 全等三角形测量距离、利用全等三角形设计建筑结构等。通过实际应用案例展示，我们可以更好地理 解全等三角形的实际应用价值，感受数学与生活的紧密联系。
学生在解决全等三角形相关问题时，常常会因为一些 易错点而失分。
详细描述
全等三角形学生易错题型分析包括对学生在解决全等 三角形相关问题时常见的错误和易错点的详细讲解， 例如对全等三角形判定方法的使用不当、对全等三角 形性质的理解不准确等。通过对学生易错题型进行分 析，可以帮助学生在学习中更好地掌握全等三角形的 相关知识，避免常见错误，提高解题的准确性和效率 。
05
全等三角形的拓展知识
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形
两边相等的三角形，其中相等的两边称为腰，另一边称为底。
等边三角形
三边都相等的三角形，也称为正三角形。
直角三角形与等腰直角三角形
直角三角形
有一个角为90度的三角形。
等腰直角三角形
腰与底边垂直的等腰三角形，也称为等腰直角三角形。
相似三角形与位似三角形
定义反证法为假设两个三角形不全等，通过推理得出矛盾，从而证明两个三角形 全等的方法。
反证法的特点是可以在一些情况下避免直接证明两个三角形全等，而是通过反证 的方式得出矛盾，从而间接证明两个三角形全等。
04
全等三角形的应用举例
在几何作图中的应用
1 2
证明全等
全等三角形是几何证明中的重要工具，可以用 于证明线段、角、四边形等几何元素之间的相 等关系。
全等三角形知识点归纳
全等三角形知识点归纳全等三角形是初中数学中的重要内容，它对于解决几何问题有着关键作用。
下面就来对全等三角形的相关知识点进行一个全面的归纳。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。
也就是说，如果两个三角形全等，那么它们相对应的边的长度是一样的。
2、全等三角形的对应角相等。
对应角的度数完全相同。
3、全等三角形的周长相等。
因为对应边相等，所以三条边相加的总和也相等。
4、全等三角形的面积相等。
由于形状和大小完全相同，所占的空间大小也就一样。
三、全等三角形的判定方法1、“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
比如有三角形 ABC 和三角形 DEF，如果 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。
2、“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
例如在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么这两个三角形全等。
3、“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
假设三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。
4、“角角边”（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
比如三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，这两个三角形就是全等的。
5、“斜边、直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，如果斜边 AC ＝斜边DF，直角边 BC ＝直角边 EF，那么这两个直角三角形全等。
四、寻找全等三角形的对应边和对应角的方法1、有公共边的，公共边是对应边。
例如三角形 ABC 和三角形 ABD，AB 就是两个三角形的公共边，是对应边。
全等三角形课件ppt
与三角函数的关系
三角函数是研究三角形边和角之间关系的数学工具。在全等 三角形中，可以利用三角函数来证明两个三角形全等。例如 ，在直角三角形中，可以利用勾股定理和三角函数来证明两 个直角三角形全等。
三角函数还可以用于计算三角形的角度、边长等几何量，这 些计算在证明两个三角形全等时也是非常有用的。
与四边形的联系
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等。
全等三角形的周长、面积和角度和相 等。
全等三角形的分类
根据全等三角形的边长关系，可以分为SSS（三边全等）、SAS（两边和夹角全 等）、ASA（两角和夹边全等）和AAS（两角和非夹边全等）四种类型。
根据全等三角形的形状，可以分为直角三角形、等腰三角形、等边三角形等类型 。
详细描述
利用全等三角形的性质证明线段相等或 角相等。
综合练习题
详细描述
总结词：结合其他数学知识 ，考察学生综合运用全等三
角形的能力
01
02
03
将全等三角形与其他几何知 识结合，如平行线、角平分
线等。
在实际问题中应用全等三角 形的知识，如测量、构造等
。
04
05
结合其他数学知识，解决涉 及全等三角形的综合问题。
04
CHAPTER
练习题与解析
基础练习题
总结词：考察全等三角形 的基本性质和判定方法
详细描述
给出两个三角形，判断它 们是否全等。
根据给定的条件，判断能 否证明两个三角形全等。
进阶练习题
总结词：深化全等三角形的性质和判定 方法的应用
在复杂的图形中识别和构造全等三角形 。
利用全等三角形的判定方法证明两个三 角形全等。
10.1鲁教版三角形的有关证明(全等三角形)
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件（完 整的边角）要先证好； ②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论(注明判定方法)
课堂练习
1. 完成下面证明过程. 已知：如图，AB与CD相交于 点O, △AOC ≌ △DOB 求证：△ABD≌ △DCA
B
ห้องสมุดไป่ตู้
C
E
F
B
拓展加深
• 已知: 如图, 四边形ABCD中， AD=CB,AB=CD • 求证： ∠A＝ ∠C。
D
4 2
C
A
1 3
B
分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段 所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。
构造公共边是常添的辅助线
学以致用 小颖作业本上画的三角形被墨迹污染,她想 画出一个与原来完全一样的三角形,她该怎 么办呢?
C O A
D
B
D 4. 已知：如图，在四边形 ABCD中，AC平分 ∠BAD,AB=AD. 求证：AC平分∠BCD B
A
C
5. (1)已知：如图 AB=DE,AC=DF.要证明△ABC ≌ △DEF,只需再增添一个条件： = 或 = （2）如图，AE和CD相交于点O， ∠ADO= ∠CEO=90°.要证明△AOD ≌ △COE,只需再 添一个条件： = ，或 = 或 = . A A D D O C
A
解：∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∠A'+∠B'+∠C'=180° （三角形的内角和等于180°） ∴ ∠A=180°-∠B-∠C C ∠A'=180°-∠B'-∠C' ∵ ∠B=∠B' ，∠C=∠C' ∴ ∠A= ∠A' 在ΔABC和Δ DEF中 ∠A= ∠A' AB=A'B'(已知) C’ ∠B=∠B' (已知) ∴ΔABC≌ΔDEF （ASA）
全等三角形知识点
全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。
本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。
关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。
在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。
2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。
- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。
- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。
- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。
- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。
3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。
- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。
通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。
5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【学习目标】
1.熟练地掌握证明的基本步骤和书写格式； 2.灵活运用判定三角形全等的方法证明线段 或角相等。
【复习回顾】
1.判定三角形全等的方法有哪些？
2.证明全等时，常见的隐含条件有哪些？
3.全等三角形的性质有哪些？
【自学指导】
阅读课本P97 例4 思考以下问题： 1.证明过程中每一步的依据是什么？ 2.本题的证明思路，关键在哪里？ 时间： 3分钟
证明线段相等的方法： 证明其所在的三角形全等。 B'
D A'
D'
C'
【学习新知】
1.如果两个全等三角形（钝角三角形）对应边上的高在三角形的外部，你还能得 到上面的结论吗？试证明。（完成在你的同步学习上）
A
B C
A'
D
B'
C'D'来自分 类 讨 论2.如果两个全等三角形（直角三角形）对应边上的高是该三角形的一条边呢？
【典例讲解】
例4 已知：△ABC ≌△A'B'C'，AD、A'D'分别是 A △ABC、 △A'B'C'的高。 求证： AD=A'D' 证明：∵ △ABC≌ △A'B'C' ∴ AB= A'B' ∠B= ∠B' B C
∵ ∠ADB= ∠A'D'B'=90° ∴ △ADB ≌△A'D'B' ∴AD=A'D'
1.已知：如图，AB=CD,BE=DF, ∠B=∠D. 求证： ⑴AE=CF； ⑵AE // CF； ⑶∠AFE=∠CEF.
A
F
B
E
D C
【我的收获】
通过本节课的学习，你有哪些收获？
与同学分享.
【分层达标】
课本98页 A组：随堂练习 第2题 B组：随堂练习 第1题
【分层作业】
A组：课本99页习题10.3 第2、 3题 B组：课本99页习题10.3 第 3题
1.证明： ∵△ABC≌ △A’B’C’ ∴ AB=A’B’,∠B=∠B’, ∠BAC=∠B’A’C’ ∵AD、A’D’分别是△ABC、 △A’B’C’的角平分 线 ∴∠BAD=∠B’A’D’ ∴△ABD≌ △A’B’D’（ASA） A’ A ∴AD=A’D’
B
D
C
B’
D’
C’
2.已知：AB=AC,AD=AE 求证: (1)∠B=∠C(2) △BEF≌ △CDF (3)BF=CF
【变式训练】
已知：如图，AB=CD,BE=DF, ∠B=∠D. 求证： AE=CF A B
F
E
D
C
证明:(1)在△ABD和 △ACE中， ∵ AB=AC, ∠A=∠A, AD=AE ∴△ABD≌ △ACE（SAS） ∴∠B=∠C
A
E F
D C
B
(2)∵ AB=AC, AD=AE (3) ∵ △BEF≌ △CDF ∴AB-AE=AC-AD 即BE=CD ∴BF=CF 又∵ ∠B=∠C，∴∠BFE=∠CFD ∴△BEF≌ △CDF（AAS）
全等三角形的性质：全等三角形对应边上的高线相等。
【归纳总结】
全等三角形的性质
1.全等三角形的对应角相等、对应边相等. 2.全等三角形的对应边上的高对应相等. 3.全等三角形的对应角的角平分线相等. 4.全等三角形的对应边上的中线相等.
证明线段相等或角相等的方法： 证明其所在的三角形全等.
【应用新知】