5机械振动

r A
ω
ω
r A
ω
5 π ϕ= 4 X
（3） ）
r A
o
ϕ=
1 A 2
π
3
（4） − ）
2 A 2
X
ω
r A
2. 解析法 由 x=Acos(ω t+ϕ ) 已知表达式 ⇒ A、T、ϕ 、 、 已知A、 、 已知 、T、ϕ ⇒ 表达式 3. 曲线法
x
ϕ = π /2
T t
m o x0 = 0 x
A o -A
x1=A1cos(ω t+ϕ 1) x2=A2cos(ω t+ϕ 2) 2.合振动 : x = x1+ x2 合振动
x = A cos(ωt +ϕ1 ) + A cos(ωt +ϕ2 ) 1 2
解得：
x = A + A + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1 ) cos(ω t + ϕ ) 1
2 1 2 2
说明：相位是确定物体振动状态的物理量， 说明：相位是确定物体振动状态的物理量，不同的相 反映不同的状态。 反映不同的状态。
x = Acos(ωt + ϕ ) = AcosΦ V = − AsinΦ ω 1 Φ = 0, x = A,V = 0
2 Φ=
0
A
π
2
, x = 0,V = − A ω
V 0 0
自然长度
b mg
自然长度
b
0
平衡位置
x
自然 长度
F
平衡 位置
b x
0
任意位置时小球所受到的合外力为： 任意位置时小球所受到的合外力为：
F = mg - k ( b + x ) = - kx 可见小球作谐振动。 可见小球作谐振动。由 mg - kb = 0 得：
ω=
当
X
t = 0 ； 0 = b, v 0 = 0 x
x A2 0
A1
x1
反相
T
A1
A2 o - A2 -A1
x2
t
的速度、 五.简谐振动的速度、加速度 1.速度
dx = −ωAsin(ωt + ϕ ) υ= dt π = ωAcos(ω t + ϕ + ) 2
2. 加速度
d x 2 a= = ω Acos(ω t + ϕ + π ) 2 dt
ω 2A ωA
x = 2Acos(
ω2 −ω1
2
) t ⋅ cos(
ω2 +ω1
2
)t
合振动不是简谐振动 当ω 2∼ω 1时 ω 2-ω 1<<ω 2+ω 1 其中
A(t ) = 2Acos(
x = A(t )cosω t ω2 −ω1
2 ω2 +ω1
2
)t
随ｔ缓变 随ｔ快变
cosωt = cos(
)t
合振动可看作振幅缓慢变化的简谐振动
(2) t = 0
l T = 2π = 2.0s g
θ0 = θmax cosϕ
Ω0 = −ωθmax sinϕ
θmax = 0.088rad
ϕ = −2.23rad
(3) θ = 0.088cos(3.13t − 2.32)
同方向的简谐振动的合成
一. 两个同方向同频率的简谐振动的合成 1.分振动 : 分振动
d x +ω 2 x = 0 d t2 x(t)=Acos(ω t+ϕ) ϕ
弹簧振子: 弹簧振子
F 0
k m
m a x
3. 圆频率
x
ω=
描述简谐振动 简谐振动的 二. 描述简谐振动的特征量 1. 振幅 A－物体离开平衡位置的最大距离 － 2. 周期 和圆频率ω 周期T 和圆频率ω T ＝2π／ω，ν = 1/T (Hz) ω= 2π ν π π 3. 相位 (1) (ω t +ϕ )是 t 时刻的相位 是 (2) ϕ 是t =0时刻的相位 — 初相 时刻的相位
1 2 1 2 2 2 势能 Ep = kx = kA cos (ω t +ϕ) 2 2
1 2 3 机械能 E = Ek + Ep = kA 2
简谐振动系统机械能守恒
简谐振动实例
垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球 例1：垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 的小球，弹 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 的小球， 簧伸长量为b。 簧伸长量为 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。 手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
已知曲线 ⇒ A、T、ϕ 、 、 已知 A、T、ϕ ⇒ 曲线 、 、
一简谐振动的振动曲线如图所示。 例题：一简谐振动的振动曲线如图所示。 一简谐振动的振动曲线如图所示 ω 以及振动方程。 求： ϕ0 以及振动方程。
x
A 2
A
1.0
r A
π − 3 r A
x
0 解：
t
π
2 x
A x0 = = Acosϕ0 2 t = 0时 v0 = −ωAsinϕ0 > 0 x1 = 0 t =1时 时 dx v1 = <0 dt π π ϕ1 = ω t1 +ϕ0 = ω ×1− = 3 2
2
A2
ϕ
ϕ2
1
A1
＞ 0
0
ϕ1
称振动 2 超前振动 1 π 2.若相位差 ∆ ϕ ＝±2kπ , ( k =0,1,2,…), 若相位差 称两振动同步
0 1 2
A1
x
x
x2
x1
同相
T
A1 A2
A2
o
- A2 -A1
t
3. 当∆ϕ = ±(2k+1)π , ( k =0,1,2,…), π
两振动步调相反 , 称反相 。
g x = bcos( t +π ) b
k = m
g b
mg
得
A =b, φ = π
单摆， 小球质量为m=10g,初始时该小球在摆 例2：有一单摆，长为 ：有一单摆 长为l=1.0m,小球质量为 小球质量为 初始时该小球在摆 ＝－0.06rad处，以角速度 w0＝0.2rad/s 向平衡位置运动。试 向平衡位置运动。 角θ0＝－ 处 ：（1）圆频率，频率，周期。 求：（ ）圆频率，频率，周期。 （2）角振幅和初相。 ）角振幅和初相。 （3）写出小球的振动方程。 ）写出小球的振动方程。 解：由转动定律： 由转动定律：
x =A cos(ω t+ϕ ) ϕ 合振动是简谐振动, 其频率仍为ω
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1 ) 1 1 A sinϕ1 + A2 sinϕ2 tgϕ = 1 A cosϕ1 + A2 cosϕ2 1 3.两种特殊情况 两种特殊情况 (1)若两分振动同相 若两分振动同相 ϕ 2−ϕ 1=±2kπ (k=0,1,2,…) ± π 则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强
A
2
x、 υ 、a υ x
a
T t
o
-A -ω A -ω 2A
υ >0 a<0 减速
<0 <0 加速
<0 >0 减速
>0 >0 加速
简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例 以水平弹簧振子为例) 六. 简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例
1 动能
1 1 2 2 2 2 Ek = mυ = mA ω sin (ω t +ϕ) 2 2 1 2 2 = kA sin (ω t + ϕ) 2
x1 t x2 t x t
3. 拍 合振动忽强忽弱的现象
A(t ) = 2Acos(
ω2 −ω1
2
)t
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 1 2π ν拍＝ ＝ 2－ 1 ν ν T拍 = T拍 ω2 −ω1
L m
M = Jα J = mL2 转 θ 动 M = −mgL sinθ ≈ −mgLθ 正 2 方向 + dθ − mgLθ = mL2 2 dt 2 d 2θ dθ g +ω 2θ = 0 + θ =0 2 dt 2 dt L g θ = θmax cos(ωt + ϕ) ω= L
mg
g (1) ω = = 3.13s−1 l
机械振动
弹 簧 振 子 的 振 动
F v
-A A x
F v
F=0 x=0
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I
简谐运动的描述
简谐振动的动力学方程(以水平弹簧振子为例 以水平弹簧振子为例) 一. 简谐振动的动力学方程 以水平弹簧振子为例 1. 受力特点: 线性恢复力 (F= -kx) 受力特点: 2. 动力学方程 d2 x 由F = ma = m 2 及 F = −kx 有 dt 2
2 + A2
+ 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1 ) 1
A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 tgϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
r A
r A2
ϕ2 ϕ
r A1
A2 sinϕ2 A1 sinϕ1
X
ϕ1
A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
二. 同方向不同频率的简谐振动的合成 x1=Acosω 1 t 1. 分振动 x2=Acosω 2t 2. 合振动 x = x1+ x2
矢量与参考方向x 矢量与参考方向 的夹角
M 点在 轴上投影 P点的运动规律： 点在x 点的运动规律 点的运动规律：
x = Acos(ωt + ϕ )