河南理工大学计算机图形学7章-3 曲面资料
计算机图形学第七章自由曲线与曲面PPT
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t) azt3 bzt2 czt dz
矢量表示：
p(t)a3tb2tc td
t∈〔0,1〕；
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
t∈〔0,d1〕；
7.1.3 拟合和逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点） 来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定 的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如 图7-2所示。
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线 曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点， 称为曲线曲面的逼近，如图所示。
图7-2 拟合曲线
图7-3逼近曲线
7.1.4连续性条件
通常单一的曲线段或曲面片难以表达 复杂的形状，必须将一些曲线段连接成 组合曲线，或将一些曲面片连接成组合 曲面，才能描述复杂的形状。为了保证 在连接点处平滑过渡，需要满足连续性 条件。连续性条件有两种：参数连续性 和几何连续性。
7.1.2 曲线曲面的表示形式
曲线曲面的可以采用显式方程、隐 函数方程和参数方程表示：
首先看一下直线的表示形式：已知 直线的起点坐标P1（x1，y1）和终 点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方 程表示为：
yy1yx22 xy11(xx1)
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
7.1.1 样条曲线曲面
在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制 曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条） 通过各型值点，其它地方自然过渡，然后沿样 条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)。 在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲 线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特 定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交 样条曲线来描述。
大学生精品课件：第7讲 曲线曲面造型基础-3
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非均匀B样条曲面性质
由此可知，均匀双三次B样条曲面及Bezier曲面都是非均匀B样条曲面的特例。 因此，与双三次均匀B样条曲面及Bezier曲面一样，B样条曲面的几何特性如下：
几何不变性 函数连续性 对称性 凸包性 局部性 可分割性 升降阶特性
正是B样条表达方法这些优越的几何特性，因此B样条在当前CAD系统中得 到广泛应用。
最后所求即为双三次B样条插值曲面的控制顶点。
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7.3.4 非均匀B样条曲面定义
类似于Bezier曲面的定义方法，将B样条曲线的定义推广到B样条曲面。
给定（m＋1）×（n＋1）个控制点P i , j（ i=0, 1, … , m ； j = 0, 1, …, n ）构 成特征多边形控制网格顶点，并给定参数u和v的次数 k 和 l 以及对应的节点向 量U＝[u0,u1, …, um+k+1]与V＝[v0,v1, …, vn+l+1]，则可定义一张k×l 次B样条曲 面p(u,v)，其表达为：
7.4．NURBS曲面 7.5．其它曲面表达方法
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本章目的
1．熟练掌握Bezier曲面表示方法 2．熟练掌握B样条曲面表示方法 3．了解其它曲面表达方法
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7.1、 曲面概述
解析曲面（代数面在造型系统中常见，但远远不 能满足复杂曲面造型的要求
o
x
y
P(0.7,0.6)
思考问题： 参数空间为一圆，在三维空间映射为什么曲线 ? ?
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均匀三次B样条曲面的计算与绘制 根据前述定义，任意给定（u，v）值，即可按下式进行计算：
计算机图形学第8.3讲 曲面zds
第7讲 曲线曲面
主讲教师：张东水
湖南科技大学 地球空间信息研究中心
参数曲面的概念 P(u,w)=[x(u,w),y(u,w),z(u,w)] 0<=u,w<=1
P(0, w)
P(0,1)
P(u, 1)
P(0, 0)
P(u, w) P(u, 0)
P(1,1) P(1, w)
P(1, 0)
22
p(u,v)
Pi, j Bi,2 (u)B j,2 (v)
i0 j0
(u, v) [0,1] [0,1]
3）．双三次Bezier曲面(m=n=3)
33
p(u,v)
Pi, j Bi,3 (u)B j,3 (v)
i0 j0
(u, v) [0,1] [0,1]
P2,3
P2,3
P1ห้องสมุดไป่ตู้3
P2,2
w
1 (u,w)
0
1
u
Bezier曲面
• 1．定义
设Pij(i=1…n;j=1…m)为(n+1)*(m+1)个
空间点列，则m*n次Bezier曲面定义为：
nm
P(u, v)
Pij Bi,n (u)B j,m (v), 0 u, v 1
i0 j0
一般称Pij为Bezier曲面P(u,v)的控制顶点；把由
图 Bezier 曲面
1）．双线性Bezier曲面(m=n=1)
11
p(u,v)
Pi, j Bi,1(u)B j,1(v)
i0 j0
(u, v) [0,1] [0,1]
p(u, v) (1 u)(1 v)P0,0 (1 u)vP0,1 u(1 v)P1,0 uvP1,1
河南理工大学20102011学年图形学考试题资料
一、 名词解释（每题2分，共10分） 1 计算机图形学答：计算机图形学是一门旨在研究用计算机来生成、显示和处理图形信息的学科。
2 屏幕分辨率答：屏幕上显示的像素个数。
（屏幕单位长度上能分辨出的最大光点(像素)数） 3 窗口答：用户在用户坐标系中定义的任一区域称为窗口。
（P110） 4 外法线答：有立体内部指向外部的法线称为外法线。
5 平行投影 答：投影中心与投影平面的距离为无穷大时的投影称为平行投影。
（P103）1图形系统中输入设备常用的有键盘、_鼠标___、___光笔__、 触摸屏____等。
（P15） 2直线的属性主要包括线型、_____直线的宽度_和____直线的颜色__。
3在简单光反射模型中，反射光由____漫反射光____、___镜面反射光_______和_____环境光______三部分组成。
4直线生成的常用算法有____DDA 画线算法___、___中线画线算法_等。
（P36） 三、单项选择题（每题2分，共20分） 1．触摸屏是计算机图形系统的( A )设备。
A 输入B 输出C 输入输出D 不是输入设备 2．计算机图形显示器一般使用( A )颜色模型。
A RGBB CMYC HSVD HLS3．使用右边二维图形变换矩阵，将产生变换的结果为（ D ） A 图形放大2倍B 图形放大2倍，同时沿X 、Y 坐标轴方向各移动1个绘图单位C 沿X 坐标轴方向各移动2个绘图单位D 沿X 坐标轴方向放大2倍，同时沿X 、Y 坐标轴方向各平移1个绘图单位。
T =4．二维视象变换中，根据窗口和视区的关系，下列哪一种说法正确（）。
A窗口不变，视区变大，则图形缩小 B窗口不变，视区变大，则图形扩大C视区不变，窗口变大，则图形扩大 D 视区不变，窗口缩小，则图形缩小5．当观察光照下的光滑物体表面时，在某个方向上看到高光或强光，这个现象称为（B）。
A 漫反射B 镜面反射C 环境光D 折射6．绘制样条曲线时，如果控制点中的任一个发生了变动，只有局部曲线形状受到影响，该曲线是（D ）曲线。
计算机图形学及cad技术讲义——曲线曲面基本理论
第三讲 曲线曲面基本理论1概述(a) 飞机 (b) 船舶 (c) 汽车图 1-1 曲线曲面造型应用曲线曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design, CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机系统中如何用曲线曲面表示、设计、显示和分析物体模型。
它在航空航天、船舶、飞机、汽车等行业得到广泛应用(如图1-1所示)。
由Coons 、Bezier 等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础,经过三十多年的发展，曲线曲面造型现在已形成了以有理B 样条曲线曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲线曲面(Implicit Algebraic Surface)表示为主体的两类方法，且以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)手段为几何理论体系。
1.1曲线曲面表示曲线曲面可以用三种形式进行表示，即显式、隐式和参数表示，三种形式表示如下。
显式表示：形如),(y x f z =的表达式。
对于一个平面曲线而言，显式表达式可写为)(x f y =。
在平面曲线方程中，一个x 值与一个y 值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。
隐式表示：形如0),,(=z y x f 的表达式。
如一个平面曲线方程，隐式表达式可写为0),(=y x f 。
隐式表示的优点是易于判断函数),(y x f 是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。
参数表示：形如)(t f x =，)(t f y =，)(t f z =的表达式，其中t 为参数。
即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。
如平面曲线上任一点P 可表示为)](),([)(t y t x t P =，如图1-2(a)所示；空间曲线上任一三维点P 可表示为)](),(),([)(t z t y t x t P =，如图1-2(b)所示。
计算机图形学课件 第7章 三维变换及三维观察 电子教案[可修改版ppt]
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y X
(2)绕x轴旋转
1 0
0 0
TRX
0 0
cos sin
sin cos
0 0
z
0 0
0 1
y X
(3)绕y轴旋转
cos 0 sin 0
TR Y
0
sin
1 0
0
cos
0 0
z
0
0
0
1
y
X
4. 对称变换 (1)关于坐标平面对称 关于xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为：
1 0 0 0
TFxy
输出设备上的图形
7.2 三维几何变换
a b c p
p'x'
y'
z'
1pT3Dx
y
z
1d
h
e i
f j
q r
l m n s
7.2.1 三维基本几何变换
三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴 进行的几何变换 假 设 三 维 形 体 变 换 前 一 点 为 p(x,y,z)， 变 换 后 为 p'(x',y',z')。
1. 平移变换
1 0 0 0
Tt
0 0
1 0
0
0
1 0
Tx
Ty
Tz
1
Z (x,y,z) (x',y',z')
Y
X
图 7-5 平 移 变 换
2. 比例变换
(1)局部比例变换
a 0 0 0
Ts
0
0
e 0
0 j
0
0
0
0
0
1
例子：对如图7-6所示的长方形体进行比例变换，其中 a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各点坐标。
第七章 曲面立体的投影(10建经上课用)
H
如何在曲面内取点？
辅助线如何作？
s m
平行于底圆作一圆。
例2：ABC位于圆锥体表面，已知V面投影，求H、W面投影。
s' a' d' (e') b'(c') c e s a b d
s" (a")
分析：
d" b" ABC不通过锥 顶，故为曲线。
e"
c"
求特殊点
作中间点
判断可见性
光滑连线
特殊点： 转向轮廓线上的共有点；极限点；对称轴上的顶点。
ห้องสมุดไป่ตู้
本章到此 结束， 同学们 再见！！
素线
（二）圆柱的投影图
O V
W
O H
转向轮廓线投 影的对应关系 圆柱面投影 可见性判断
对V面的转 对W面的转 向轮廓线 向轮廓线
（三）圆柱表面上的点和线
例1: 圆柱体表面一点M ，已知m′求m ，m"。 O
m'
V
M
W
（m"）
O
H
m
利用投影 的积聚性
例2： AC位于圆柱体表面，已知a’c’，求ac、a”c”。
2' (4') 5' 6' (4") 3" (2") 1" 5" 6"
1' (3')
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅴ Ⅵ
(a) 题图
3
4 2⑹
1 5
（b）
图
圆柱体开出一方槽的投影
③判断可见性，连线、加深
1' (3')
曲面模型知识点归纳总结
曲面模型知识点归纳总结曲面模型是计算机图形学中的一个重要概念，其在计算机辅助设计、动画制作、虚拟现实等领域都有广泛的应用。
曲面模型是一种由曲面构成的三维模型，可以用来描述自然界中的曲面形状，也可以用来构建艺术、工程、医学等领域中需要的复杂的曲面模型。
学习曲面模型知识，能够帮助我们更好地理解三维模型的构建和运用，下面对曲面模型的知识点进行归纳总结。
一、曲面模型的基本概念1. 曲面模型是什么？曲面模型是由曲面定义的三维模型，通常是通过一系列曲面片或曲线来描述一个物体的形状和结构。
曲面模型可以用来描述复杂的物体，比如人体、汽车、飞机等。
2. 曲面模型的优点与多边形或其它类型的模型相比，曲面模型有许多优点。
它可以更加准确地描述复杂的曲面形状，同时对于建模的复杂度也能够有着更好的控制。
此外，曲面模型还可以更好地进行光照和纹理的处理，使得渲染效果更加真实。
3. 曲面模型的应用曲面模型广泛应用于计算机辅助设计、动画制作、虚拟现实、医学成像、工程设计等领域。
比如在游戏开发中，曲面模型可以用来制作角色、场景、道具等；在医学成像中，可以用来重建人体器官的形状；在工程设计中，可以用来进行汽车、飞机、船舶的设计。
二、曲面的表示方法1. 参数曲面参数曲面是通过参数方程来表示的曲面，通常是由两个参数u、v来描述曲面上的点。
这种表示方法可以很好地描述复杂的曲面形状，如球面、圆柱面、双曲面等。
2. B样条曲面B样条曲面是由B样条曲线推广而来的曲面表示方法，它通过一系列的控制点和权重来定义曲面的形状。
B样条曲面具有良好的局部控制性和平滑性，因此在实际应用中被广泛使用。
3. NURBS曲面NURBS曲面是一种更加通用的曲面表示方法，它是由有理B样条曲线推广而来的，可以用更少的控制点和权重来定义复杂的曲面形状。
NURBS曲面是目前最为常用的曲面表示方法之一。
4. 曲面的渲染曲面的渲染是指将曲面模型转化为图像的过程，通常包括光照、纹理、阴影等处理。
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2018/10/24
计算机图形学
第4章 实体与曲线曲面
(3)端点的切平面
由计算易知三角形P00P10P01，P0nP1nPmn，PmnPm-1,nPm,n-1， Pm0Pm-1,0Pm1 所 在 的 平 面 分 别 在 点 P00,P0n,Pmn,Pm0 与 曲 面 P(u,v)相切。
3 Bezier曲面的拼接
已知两张双三次Bezier曲面片： P： PP 1,2,3) i , j (i, j 0, Q： Q Qi , j (i, j 0,1,2,3)
实现G1连续性的条件为：
在边界上有公共切平面
(1) 共界： P1(1,v)=Q2(0,v)，
即有P3,i=Q0,i，i=0,1,2,3
1. 孔斯曲面片的边界条件 Hermite曲线：Q(t)=TMhGh=Fh(t)Gh w=0 0≤u≤1 w=1 0≤u≤1 u=0 0≤w≤1 u=1 0≤w≤1 2. 孔斯曲面片的数学形式 1）对位置矢量： u=0 w=0 P00=a00 u=1 w=0 P10=a30+ a20+ a10+ a00 u=0 w=1 P01=a03+ a02+ a01+ a00 u=1 w=1 P11= a33+ a32+ ….. + a01 + a00
(4)端点的法向 由端点的切平面知是P(u,v)在点P00的法向，其余各端 点的法向的情况也类似。 (5)几何不变性 由于曲面Q(u,v)的形状仅与各个控制点的位置有关，与 坐标系的选择无关。
计算机科学与技术学院 第5章―27/30
2018/10/24
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第4章 实体与曲线曲面
曲面片2 曲面片1
计算机科学与技术学院 第5章―14/30
.(9) .(10) ..(11) ..(12)
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第4章 实体与曲线曲面
4). 对扭曲矢量
=9a33u2w2+6a32u2+3a31u2+6a23uw2+4a22uw+2a21u
+3a13w2+2a12w+a11 u=0 w=0 Puw00=a11
u=i时，位置矢量：
Pi0=Fh1(ui)P00+Fh2(ui)P10+Fh3(ui)Pu00+Fh4(ui)Pu10 u u Pi1=Fh1(ui)P01+Fh2(ui)P11+Fh3(ui)P 01+Fh4(ui)P 11 u=i时，切向矢量：
w w uw uw P i0=Fh1(ui)P 00+Fh2(ui)P 10+Fh3(ui)P 00+Fh4(ui)P 10 w w w uw uw P i1=Fh1(ui)P 01+Fh2(ui)P 11+Fh3(ui)P 01+Fh4(ui)P 11
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第5章―21/30
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第4章 实体与曲线曲面
1．连续曲面的几何特性： 1）在连接方向上，边界的两端点重合（共点）； 2）两曲面片具有公共边界（共界）； 3）边界上任何一点，在跨越边界的方向上切线的方向 相同（共向）； 4）边界上任何一点，在跨越边界的方向上切线相同 或长度之比为常数（共线） 2．孔斯曲面拼接条件：
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P0,0 P 1, 0 G P2,0 p3,0
第5章―24/30
P0,1 P0, 2 P0,3 P1,1 P1, 2 P1,3 P2,1 P2, 2 P2,3 P3,1 P3, 2 P3,3
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第4章 实体与曲线曲面
计算机科学与技术学院 第5章―23/30
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第4章 实体与曲线曲面
双三次Bezier曲面矩阵形式(m=n=3)
Q(u, v) UMbGM V
T b
T
式中：
U [u
3
u
2
u 1]
1 0 0 0
V [v v v 1]
3 2
1 3 3 3 6 3 Mb 3 3 0 0 0 1
1）P10≡Q00 P11≡Q01 2）Pw10≡Qw00 Pw11≡Qw01 u u 3）P 1j≡Q 0j 4）Pu1j≡aQu0j
计算机科学与技术学院 第5章―22/30
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第4章 实体与曲线曲面
7.5.2 Bezier曲面
1 Bezier曲面的定义
在空间给定 (m+1)×(n+1) 个点 Pi,j (i=0,1,2,…,m; j=0,1,2,…,n) 后，所有的控制点构成的空间的一张网 格称为控制网格。则Bezier曲面的定义如下：
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第4章 实体与曲线曲面
3. 中间曲线的定义
令w=j，u=i ，求中间两条曲线。 当w=j时，Q(i，j)的端点：P0j、P1j ， 两端点切矢：Pu0j、Pu1j 。 对u=0或u=1边界上点u向切矢： Pu0j、Pu1j是随着w的变化而变化的，其变化率
计算机科学与技术学院 第5章―16/30
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第4章 实体与曲线曲面
在四个顶点处：
中间点的各切向矢量用两端点处的切矢和扭矢来确定
计算机科学与技术学院 第5章―17/30
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第4章 实体与曲线曲面
对曲面上点 Q(i ， j) ，是 u=i 和 w=j 两条曲线的交点， 根据Hermite曲线：
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w
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第4章 实体与曲线曲面
孔斯曲面的矢量形式：
孔斯曲面的矩阵形式：
u调和函数
矢 量 矩 阵
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w调和函数
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第4章 实体与曲线曲面
位置矢量
扭曲矢量 在实际中取为0
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第4章 实体与曲线曲面
4．曲线上任意点确定
当取0≤j≤1和0≤i≤1时， 令u=i、 w=j，两条曲线的交点：Q(i，j)。
uw
Pij
W=j
P01
Pij
Pij
u
w
u=i
P11 P00
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P10
第5章―11/30
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第4章 实体与曲线曲面
曲面的表示
曲面：由边界条件 构造曲面片 曲面片拼接曲面 曲面片：是构造曲面的基本单元， 是以曲线为边界的点的集合。 工程常用的双三次参数方程表示曲面片：
u∈[0,1]，w∈[0,1]
u,w为参数，aij为系数向量，其中i=0,1,2,3，j=0,1,2,3， 共16个矢量
2018/10/24
计算机图形学
第4章 实体与曲线曲面
2 Bezier曲面的性质
(1)端点位置 控制网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点。
Q(0,0) P0,0 ; Q(0,1) P0,n ;
Q(1,0) Pm,0 ; Q(1,1) Pm,n
(2)边界线的位置 控制网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界， P(0,v),P(u,0),P(1,v),P(u,1) 分别是以P00P01P02…P0n,P00P10P20…Pm0, Pm0Pm1Pm2P…Pmn, P0nP1nP2n…Pmn 为控制多边形的Bezier曲线。
计算机科学与技术学院 第5章―9/30
2018/10/24
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第4章 实体与曲线曲面
一、曲面片的边界条件
1．四个角点 ① u=0 w=0 曲面过Q(0,0)点，用P00表示 ② u=0 w=1 曲面过Q(0,1)点，用P01表示 ③ u=1 w=0 曲面过Q(1,0)点，用P10表示 ④ u=1 w=1 曲面过Q(1,1)点，用P11表示 2．四条边界 ① u=0 0≤w≤1 ② u=1 0≤w≤1 ③ w=0 0≤u≤1 ④ w=1 0≤u≤1 3．八个切线矢量 构造u=0、u=1、w=0、w=1边界需要八个切线矢量：
计算机图形学
第4章 实体与曲线曲面
5．任意点处的矢量 ① 在Q(i，j)处存在u方向切矢：
② 在Q(i，j)处存在u方向切矢：
③ 在Q(i，j)处存在混合导数（扭曲矢量）：
6．构造曲面片的边界条件
计算机科学与技术学院
第5章―12/30
2018/10/24
计算机图形学
第4章 实体与曲线曲面
7.5.1 孔斯曲面
下图是双三次Bezier曲面及其控制网格
P 2,3 P 1,3 P 1,2 P 0,2 P 0,3 P 0,1 P 1,1 P 1,0 P 3,0 P 2,2 P 2,1 P 2,3 P 3,3 P 2,0 P 3,1
P 0,0
双三次Bezier曲面及其控制网格
计算机科学与技术学院 第5章―25/30
计算机图形学
第4章 实体与曲线曲面
二次曲面（圆锥曲面）
直纹曲面
回转面
构造曲面
计算机科学与技术学院
第5章―3/30
2018/10/24
计算机图形学
第4章 实体与曲线曲面
摩托车油箱曲面模型线框图