C05 弯曲切应力

1 d 2 2d d 3 S z* 2 4 3 12
Iz
d4
64
,
bd
5.4.1 梁横截面上的切应力
对于等直粱, 其最大切应力tmax发生在最大剪力FS max 所在的横截面上, 而且一般地说是位于该截面的中性 轴上。由以上各种形状的横截面上的最大切应力计算 公式可知，全梁各横截面中最大切应力 tmax可统一表 示为 *
5.4.1 梁横截面上的切应力 二、工字形截面梁横截面腹板上的切应力
假设求应力的点到中性轴的距离为y
FS S * z t Izd
d — 腹板的厚度 Sz*— 距中性轴为y的横线 以外部分的横截面面积 对中性轴的静矩。
b 2 d h0 2 2 2 * y ) S z (h h0 ) ( 8 2 4
dF'S除以AB1面的面积得纵截 面上的切应力;
t'
F *N1
t
y A m
B
n
由此得到横截面上距中性轴 为任意y的点上的切应力。
(2) 公式推导 1 求 F *N1和F *N2 假设m-m, n-n上的弯矩为M 和M+dM。两截面上距中性 轴y1处的正应力为1和2 。
z z
m'
n'
m h y1 y
tmax
tmax
O
t min
FS b 2 (h h0 2 ) Izd 8
y
tmin
5.4.1 梁横截面上的切应力
因为腹板的宽度d远小于翼缘的宽度b, tmax与tmin实际上 相差不大, 所以, 可以认为在腹板上切应力大致是均匀分布 的。横截面上的剪力FS的绝大部分为腹板所负担。既然腹 板几乎负担了截面上的全部剪力, 而且腹板上的切应力又接 近于均匀分布, 这样, 就可用腹板的截面面积除剪力FS, 近似 地得出腹板内的切应力。 在翼缘上, 也应有平行于FS的切应力分量, 分布情况比 较复杂, 但数量很小, 并无实际意义, 所以通常并不进行计算。 此外, 翼缘上还有平行于翼缘宽度b的切应力分量。它与腹 板内的切应力比较, 一般说也是次要的。 工字梁翼缘的全部面积都在离中性轴最远处, 每一点的 正应力都比较大, 所以翼缘负担了截面上的大部分弯矩。
n
o o
x B1 A1 B1
x
A1
m' F *N1
t'
m'
dF'S F*
N2
1dA
y
t
y m A
A
m
B
B n
b
n dx
用A*记作mA1的面积
* FN1 * 1dA A
m'
n'
My1 M * dA A I Iz z M * Sz Iz
Sz
z

A
*
y1dA
h y1 y
m
n
o
A1 B1
* N2
2 由静力平衡方程求dF'S
* * FN2 FN1 dFS 0
o
A1 B1 dF'S F *N2 B1
x
dFS F F
* N2
* N1
A1 m' F *N1
m'

dM Iz
1dA
y b A* m
Sz
*
A
B
t
y m A
B
n dx
n
dFS
dM Iz
Sz
*
m'
n'
5.4.1 梁横截面上的切应力 三、薄壁环形截面梁
图示一段薄壁环形截面梁。环壁 厚度为 d, 环的平均半径为r0 。由 于d与r0相比很小, 故可假设： (1) 横截面上切应力的大小沿壁厚 无变化; (2) 切应力的方向与圆周相切 。 假设(1)与矩形截面的假设相似, 通 过类似的推导, 得横截面上任一点 处切应力的计算式.
t max
FS max S z max I zb
式中, FS max为全梁的最大剪力; S*z max为横截面上中性 轴一侧的面积对中性轴的静矩; b为横截面在中性轴处 的宽度; Iz是整个横截面对中性轴的惯性矩。
最大弯曲切应力
矩形截面
工字钢截面
t max
3 FS 2 A
t max
FS A
圆截面的最大切应力tmax仍在中性轴 上各点处。由于在中性轴两端处切 应力的方向均与圆周相切, 且与外力 所在平面平行, 故中性轴上各点处的 切应力方向均与外力所在平面平行, 且中性轴上各点处切应力相等。
t max
* FS S z FS d 3 /12 4 FS 4 I zb ( d / 64)d 3 A
n'
m'
A
B
y b
m
dx
n
FS h 2 t ( y ) 2I z 4
2
y
m
n
t
FS S * z bI z
b h2 2 * Sz ( y ) 2 4
FS h 2 t ( y 2) 2I z 4
切应力沿截面高度按抛物线规律变化。
当y＝±h/2时, 即在横截面上距 中性轴最远处, 切应力t＝0。
x
*是面积A*对中性轴z的静矩。
A*为距中性轴为 y的横线以外部分 的横截面面积。
A1 m' F *N1
t'
B1 dF'S F *N2
m'
1dA
y b A* m
A
B
t
y m A
B
n dx
n
M * F Sz Iz
* N1
m'
n'
同理
z m h y1 y n
M dM * F * 2 dA Sz A Iz
E A
G H
F
B
l/2
l
ql/2
FS图
ql/2 ql2/8
M图
5.4 .2 弯曲切应力强度条件
在最大弯矩截面上, 距中性轴 最远的C和D点处于单轴应力 状态。
q m m C D
E A
G H
F
B
l/2
l
ql/2
FS图
ql/2 ql2/8
M图
5.4 .2 弯曲切应力强度条件
在最大剪力截面上, 中性轴上 的E, F点处于纯剪切应力状 态。
z
m'
n'
m
n
h
y
F F
* N1
* N2
z
o o
x
B1 A1 B1
x
A1 m'
m'
F *N2 y m A
F *N1
B
n
y b m
A
B
n dx
4 在纵截面AB1 上必有沿x 方向的切向内力dF'S。
此面上也就有切应力t '
h z z
m'
n'
m
n
y
o o
x
B1 A1 B1
x
A1 m'
m'
dF'S F *N2 y m A y b m
F *N1
A
B
B
n
n dx
在AB1面上的AA1线各点处有 切应力t'。 根椐切应力互等定理, 在横 截面上横线AA1上也应有切 应力t。
z z
m'
n'
m
n
h
y
o o
x
B1 A1 B1
x
A1 m'
m'
dF'S F *N2 y m A
t' t
y b m B
F *N1
A
B
n
n dx
对于狭长矩形截面, 由于梁的侧 面上无切应力, 故横截面上侧边 各点处的切应力必与侧边平行 , 而在对称弯曲情况下, 对称轴y处 的切应力必沿y方向, 且狭长矩形 截面上切应力沿截面宽度的变化 不可能大。
5.4 梁横截面上的切应力 • 切应力强度条件
5.4.1 梁横截面上的切应力
一、矩形截面梁 图示一矩形截面梁受任意横 向荷载作用。 (1) 推导公式的思路
F1
F2
q(x)
m n
m
x
n
dx m
M
n
M+dM
1 用横截面m-m, n-n从梁中截取dx一段 。
两横截面上均有剪力和弯矩。 弯矩产生正应力, 剪力产生切应力。
m'
n'
z
m
n
h
y
假设： 横截面上距中性轴等远的 各点处切应力大小相等。 各点的切应力方向均与截 面侧边平行。
A1
o
B1
x
m'
t' t
y b m B
A
n dx
推导公式的步骤
分别求出mA1 和nB1 面上正应 力的合力F*N1和F*N2;
z
o
A1 m'
x
B1 dF'S F *N2
由静力平衡方程, 求出dF'S;
5.4 .2 弯曲切应力强度条件
讨论全梁承受均布荷载 的矩形截面简支梁C, D, E, F, G, H各点的应力状态 。 在最大弯矩截面上, 距 中性轴最远的C和D点处于单 轴应力状态；在最大剪力截 面上, 中性轴上的E, F点处于 纯剪切应力状态; 而G, H点处 于一般应力状态。
q m m C D
FS
m FS n
m M
n M+dM
m
n