沪科版初中数学八下17.1.1 一元二次方程-概念
沪科版数学八年级下册17.1《一元二次方程》教学设计
沪科版数学八年级下册17.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是沪科版数学八年级下册第17.1节的内容，主要介绍了什么是一元二次方程，一元二次方程的解法以及一元二次方程的应用。
本节课的内容是学生学习更高阶数学的基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的加减、乘除以及方程的解法等基础知识。
但是，对于一元二次方程的概念和解法可能还存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要帮助学生建立清晰的概念，并通过大量的实例来引导学生理解和掌握解法。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。
2.能够应用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过问题引导学生思考，通过案例让学生理解和解法一元二次方程，通过小组合作学习，培养学生的合作和沟通能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学案例和习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，介绍一元二次方程的概念和解法。
让学生通过观察和思考，理解一元二次方程的特点和解法。
3.操练（10分钟）让学生通过解一些简单的一元二次方程，加深对概念和解法的理解。
4.巩固（10分钟）让学生通过解一些复杂的一元二次方程，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生通过解决一些实际问题，运用一元二次方程。
6.小结（5分钟）通过PPT课件，对本节课的内容进行小结，帮助学生梳理知识体系。
7.家庭作业（5分钟）布置一些一元二次方程的练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）在黑板上板书一元二次方程的定义和解法，方便学生复习。
以上是本节课的教学设计，希望对学生有所帮助。
八年级数学下册 第17章 一元二次方程17.1 一元二次方程教学课件 沪科版
么它的下部应该设计为多高？
A
如图，雕像的上部高度
2-x
AC与下部高度的关系是：
C
AC：BC=_B__C_:__2__，
即__B_C_2_=_2_A_C___
x
设雕像下部高为xm，则可以
B
得到方程__x_2_=_2_(_2_-_x_) ___，
整理得___x_2+_2_x_-_4_=_0____
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
问题1：在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相 等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂 直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
32
x 20
x 20
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
例 将方程3x（x-1）=2（x-2）-4化为一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解 去括号，得 3x2-3x=2x-4-4.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-5x+8=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为8.
解 设切去的正方形的边长为xcm, x 则盒底的长为（100－2x)cm, 宽为(50－2x)cm, 根据方盒的底面积为3600cm2,得
（100－2x)(50－2x)=3600,
化简，得x2-75x+350=0.
课程讲授
3 依题意列一元二次方程
问题2：要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间 都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天, 每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
八年级数学下册《17.1一元二次方程》课件3 (新版)沪科版
是关于x的一元二次方程(fāngchéng)，则2m的值
为．
3．若x=2是方程(fāngchéng)x2+ax-8=0的解2，则
a= ；
4、写出一个(yī ɡè)根为2，另一个(yī ɡè)根为5的一
元二次方程
．
第七页，共11页。
1、已知一元二次方程（x+1）（2x－1）=0的解是 （ D）
（A）-1 （B）1/2 （C）-1或-2 （D）-1或1/2
第四页，共11页。
明辨是非
判断下列方程是不是(bù shi)一元二次方程，若不是(bù shi)一元二次方程，请说明理由？
1、（x－1）2＝４ √
2、x2－2x=8
√
3、x2+ 1＝１
× 4、x2＝y+１
×
x
5、x2－2x2＝１ × 6、ax2 + bx + c＝１
×
第五页，共11页。
一元二次方程的一般(yībān) 式
（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形 式．
第二页，共11页。
一元二次方程根与系数(xìshù)的关系
设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两个(liǎnɡ ɡè)根，则有
x1+x2=
b a
，
x2=
c a．
第三页，共11页。
构造(gòuzào)一个一元二次方程，要 求： （1）常数项为零（2）有一根为2．
（80+2x．）（50+2x）=5400
x
80cm
x
50cm
x x
第九页，共11页。
2、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主
沪科版八年级数学下册：17.1 一元二次方程 教案
17.1一元二次方程教学目标：1.认识一元二次方程方程。
2.掌握一元二次方程的一般形式。
3.把一元二次方程化为一般形式，并确定各项的系数；检验一个数是不是一元二次方程的解。
重难点：1.一元二次方程的一般形式。
2.把一元二次方程方程化为一般形式，并确定各项的系数知识点一：一元二次方程的概念（理解）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
知识拓展：由一元二次方程的概念可知，一元二次方程满足三个条件：（1）是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.只有同时满足以上三个条件的方程，才是一元二次方程。
一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”，判断方程是不是一元二次方程首先要合并整理，再根据概念判断。
例1.已知方程（m-2）x m2-2-2x+10=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）例2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A.ax2+bx+c=0B.2(x+1)2+3=2x2B.知识点二：一元二次方程的一般形式（重点；掌握）任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式（又叫做标准形式）。
其中ax2叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
a,b,c是任意实数，且a≠0。
知识拓展：一元二次方程的一般形式有以下特点：（1）等式左边是二次三项式，右边是0；（2）二次项系数a≠0。
在理解一元二次方程的一般形式时，要注意以下几点：①二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的；②不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异，因而准确地找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数、一次项系数和常数项，就可以找出它们的差异。
任何一个一元二次方程，经过整理后都可以化为一般形式，在求一元二次方程的各项系数时，首先必须把一元二次方程化为一般形式，如果一般形式中的二次项系数时负数，那么在方程两边同时乘-1，使二次项系数变为正数，这样就可以减少符号和计算方面的错误。
沪教版(上海)八年级第一学期《17.1 一元二次方程的概念》(共20张PPT)
一元方程
二元增方程 加
三元元方程
其它
一元一次方程
增 加 次
？
集思广益
方程 x22x40属于什么方程？ 其他实际问题中是否也能列出这一类方程呢？ 你能再举出一个例子吗？
集思广益
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，
宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形， 然后将四周突出的部分折起，就能制作一个 无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积 是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
2 x2 2x 1 x2 2x 1 1
2x2 4x 2 x2 2x 2 x2 6x 0
化为一般形 式才能识别相应 的项，准确化简 要注意什么呢？
例 3 关于 x 的方程 2ax2 2bx a 4x2 2x ，在 什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件 下此方程为一元一次方程？
务 对 象 家 中 ，调查 了解情 况，解 决
要设计一座 2m高的人体雕像， 使雕像的上部（腰 以上）与下部（腰 以下）的比，等于 下部与全身的高度 比，雕像的下部应 设计为多高？
尝试挑战
设雕像的下部高x米，则
上部高（2-x）米．
AB BC BC AC
这个方程
2x x x2
属于我们过去 学过的某一种 方程吗？
多 内 容 请 关 注XX。 为 了 适 应 新 形势发 展和新 工作、 新业务 的需要 ，始终 坚持学 习不放 松，正 确处理 好 工作与 学习的 矛盾， 坚持集 中学习 与自学 相结合 ，除了 认真参 加各种 会议学 习、 全 体党员 集体学 习和法 制培训 班外， 还挤出 一定时 间自学 ，并注 意做好 学习笔 记， 联 系 实 际 撰 写学习 体会和 理论文 章。先 后学习 了XX理 论和XX重 要思 想、党 的XX 大 精 神 。 学 习了各 项业务 知识和 法律法 规，同 时抄写 学习笔 记2万余字，撰写学习
17.1一元二次方程课件沪科版八年级数学下册
解：一般形式：5x2 －6x＋8=0； 解：一般形式：2x2
-
1
0
2
(5) x(x－1)=0；
(6) (x－ 2 )(x＋ 3 )=0.
解：一般形式：x2 －x=0； 解：一般形式：x2 （ 3 2）x - 6 0 .
新知讲解
ax2＋bx＋c = 0
其中 ax2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项，b 是一次项系数； c是常数项.
B. m＜－1 C.m≠1
D. m≠－1
巩固新知
3.将方程 x(x＋2)=5(x－2) 化成ax2＋bx＋c = 0 ， 得 x2－3x＋10 = 0. 其中a= 1 ，b= －3 ， c= 10 .
4.已知关于x的方程(m2－1)x2＋( m－1)x＋3=0 当m =-1 时，是一元一次方程， 当m ≠±1 时，是一元二次方程.
合并同类项，得 3x2 －5x＋8=0.
课堂练习
练习2. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式
（1）3x2 + 1 = 6x；
（2）4x2 = 81 – 5x；
解：一般形式：3x2 – 6x + 1 = 0 解：一般形式：4x2 + 5x – 81 = 0
(3) 5x2=6x－8；
（4）1 - 2x2 0 2
求m的值 4.若x=2是关于x的一元二次方程x2－a2－2=0的一个根，
则a2－1的值为
课堂练习
1. 关于x的一元二次方程 (a－1)x2＋x＋a2－1=0 的一个根为0，则求a的值.
解：把x=0代入原方程，得
a2－1=0 ∴a2=1， ∴a=±1，
∵a－1≠0， ∴a≠1， ∴a=－1.
课堂练习 2. 已知关于x的方程 x2－(2m＋1)x－(2m－1)=0 的一个根为1，求m的值.
一元二次方程概念与直接开平方法解方程(解析版)(沪教版
一元二次方程概念与直接开平方法解方程【知识梳理】一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.二、直接开平方法形如x 2＝p 或（nx +m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x 2＝p 的形式，那么可得x ＝±；如果方程能化成（nx +m ）2＝p （p ≥0）的形式，那么nx +m ＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．【考点剖析】题型一：一元二次方程的概念A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义进行解答．【详解】解：①210x +=，符合一元二次方程的定义；②20ax bx c ++=，当0a =时，20ax bx c ++=不是一元二次方程；③213x x +=是分式方程，不是一元二次方程；④2314y y +=，符合一元二次方程的定义；⑤()()()()112225x x x x x −+=+−+−，方程整理可得280x −=，是一元一次方程．综上所述，有2个符合题意．故选∶ B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【变式1】判断下列各式哪些是一元二次方程．①；②；③ ；④； 21x x ++2960x x −=2102y =215402x x −+=⑤ ；⑥ ；⑦ ．【答案】②③⑥.【解析】①不是方程；④ 不是整式方程；⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．【变式2】判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1）22ax x b c −++=（,,a b c 为有理数）； （2） ()2123513m m m x x ++−+=．【答案】（1）a ≠a =时，不是一元二次方程；（2）不是一元二次方程．【解析】（1）首先将方程整理成一般形式，即为：((210a x x b c −++−=，根据二次项系数是否为0进行分类讨论，可知：0a +≠，即a ≠时，是一元二 次方程；0a +=，即a =12m +≠时，显然不是一元二次方程；12m +=，即1m =时，此时二次项系数2230m m +−=，也不为一元二次方程；可知方程（2）不是一元二次方程．【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．【变式3】m 为何值时，关于x的方程2((3)4m m x m x m −+=是一元二次方程．【答案】m =【解析】方程为一元二次方程，则有22m =，同时0m −≠，可得m = 【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为 0，注意相关隐含条件．【变式4】关于x 的方程()2212(1)220k x k x k −+−++=．（1）当k 取何值时，方程为一元二次方程？ （2） 当k 取何值时，方程为一元一次方程？2230x xy y +−=232y =2(1)(1)x x x +−=21x x ++215402x x −+=2230x xy y +−=2(1)(1)x x x +−=【答案】（1）1k ≠±时，原方程是一元二次方程；（2）1k =−时，原方程是一元一次方程．【解析】（1）210k −≠，即1k ≠±时，原方程是一元二次方程；（2）210k −=，即1k =±时，方程最高次数是1，方程要为一元一次方程，则必有()210k −≠，可知1k ≠，则1k =−，即1k =−时，原方程是一元一次方程．【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．【变式5】已知关于x 的方程22(2)1a x ax x −−=−是一元二次方程，求a 的取值范围．【答案】3a ≠．【解析】对方程进行整理，即为：()2310a x ax −−+=，方程为一元二次方程，则有30a −≠， 即3a ≠，由此确定a 的取值范围为3a ≠．【总结】方程为一元二次方程，整理成一般形式，首先题目中未知数最高次数要为2，同时 二次项系数不能为0，注意相关隐含条件．题型二：一元二次方程一般式A ．1，4，5B ．0，4−，5−C ．1，4−，5D ．1，4−，5−【答案】D【分析】一元二次方程的一般形式为：20(0)ax bx c a ++=≠，其中2ax 称为二次项，a 为二次项系数，bx 称为一次项，b 为一次项系数，c 为常数项，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可．【详解】解：一元二次方程2450x x −−=的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，4−，5−，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次函数的一般形式，想要求出二次项系数、一次项系数和常数项就需要把函数转变为一般式：20(0)ax bx c a ++=≠，其中2ax 称为二次项，a 为二次项系数，bx 称为一次项，b 为一次项系数，c 为常数项．【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）； （2）．【答案】（1），二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2. （2）化为二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2. 【变式2】已知关于y 的一元二次方程m 2(y 2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m2-8≠0，即 m ≠±． 可知它的各项系数分别是a=m2-8(m ≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．参数m 的取值范围是不等于±的一切实数． 【总结升华】在含参数的方程中，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．【变式3】若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m −+++−=的常数项为零，则m 的值为_________．【答案】2−．【解析】常数项为0 ，即240m −=，可得2m =±，同时方程为一元二次方程，可知20m −≠， 由此得2m =−．【总结】考查一元二次方程常数项的相关概念，要注意题目的隐含条件．【变式4】已知关于x 方程235x mx m x −+−=的各项系数与常数项之和为2，求m 的值．【答案】2m =−．【解析】整理方程得()2530x m x m −+−−=，化为一般形式即为()2530x m x m +−+=，方 程的各项分别为2x ，()5m x −，3m ，其中未知项系数分别为1，()5m −，依题意即有()1532m m +−+=，解得：2m =−． 2352x x =−(1)(1)2a x x x +−=−235+2=0x x −(1)(1)2a x x x +−=−220,ax x a +−−=【总结】考查一元二次方程的一般形式中相关项的概念，注意先将方程整理成一般形式，使二次项系数为正数，然后进行相关说明和计算．题型三：一元二次方程的解例3.判断2、5、-4是不是一元二次方程28x x x +=−的根．【答案】2、4−是原方程的根，5不是．【解析】（1）将2x =代入原方程，左边2226=+=，右边826=−=，左边=右边，所以2是原方程的根；（2）将5x =代入原方程，左边25530=+=，右边853=−=，左边≠右边，所以5是原方 程的根；（3）将4x =−代入原方程，左边()()24412=−+−=，右边()8412=−−=，左边=右边，所 以4−是原方程的根．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，检验过程注意相关格式规范．【答案】(1)2−，2是原方程的根【详解】（1）解：将12x =−代入原方程， 左边2132222⎛⎫=⨯−−=− ⎪⎝⎭，右边13322⎛⎫=⨯−=− ⎪⎝⎭， 左边=右边，∴12−是原方程的根； 将2x =代入原方程，左边22226=⨯−=，右边326=⨯=，左边=右边，∴2是原方程的根；∴12−，2是原方程的根（2）解：将x =左边(23==，右边3=，左边=右边，将x =左边(227=−=，右边3=，左边≠右边，∴【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，理解一元二次方程的根即为使等式成立的未知数的值是解题关键．【变式2】已知关于x 的一元二次方程()2110a x x a −++−=有一个根为0，求a 的值．【答案】1a =−．【解析】将0x =代入原方程，即得10a −=，解得1a =±，同时方程为一元二次方程，故 10a −≠，由此可得：1a =−．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立，过程中注意隐含条件二次项系数不能为0．【变式3】已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有一个根为1，有一个根为1−，求a c +的值．【答案】0． 【解析】由题意代入可得：00a b c a b c ++=⎧⎨−+=⎩，由此0a c +=．【总结】考查方程的根的应用，注意整体思想的把握．【变式4】已知关于x 的一元二次方程()22222340m x m x m +++−=有一个根为0，求22413m m −+的值．【答案】13．【解析】将0x =代入原方程，即得240m −=，解得2m =±，同时方程为一元二次方程，故()220m +≠，由此可得：2m =，原式=222421313⨯−⨯+=．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立，过程中注意隐含条件二次项系数不能为0．【变式5】若在一元二次方程20ax bx c ++=中，二次项系数、一次项系数、常数项和为0，则方程必有一个根是 ．【答案】1．【解析】依题意即有0a b c ++=，可知方程必有一根为1．【总结】考查方程的根的应用，注意观察方程的相同之处和相关有特征的方程．【变式6】已知方程2310ax bx −−=和2250ax bx +−=有共同的解1−，求a 与b 的值．【答案】1a =，2b =−．【解析】方程有共同的解1−，依题意有310250a b a b +−=⎧⎨−−=⎩，解得：12a b =⎧⎨=−⎩．【总结】考查方程的根的应用，可转化为相关未知数的值的求解．题型四：直接开平方法例4．（2022春·上海·七年级期中）解方程：2(2)9x −=．【答案】15=x ，21x =−【详解】解：（1）∵()229x −=， ∴23x −=±，解得15=x ，21x =−．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．【变式1】解关于x 的方程：290x −=．【答案】13x =，23x =−．【解析】整理方程，即得29x =，直接开平方法解方程，得：x =，即方程两根为13x =，23x =−．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =【变式2】解关于x 的方程：251250x −=．【答案】15x =，25x =−．【解析】整理方程，即得225x =，直接开平方法解方程，得：x = 即方程两根为15x =，25x =−．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =【变式3】解关于x 的方程：290x =． 【答案】153x =，253x =−．【解析】整理方程，即得22599x ==，直接开平方法解方程，得：x =， 即方程两根为153x =，253x =−．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =【变式4】解关于x )225x −=．【难度】★★【答案】14x =，21x =．【解析】整理方程，即得()2259x −==，直接开平方法解方程，得：253x −=±， 得253x −=或253x −=−，即方程两根为14x =，21x =．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b +=或ax b += 【变式5】解关于x 的方程：()21342x +=．【答案】13x =−+23x =−−【解析】整理方程，即得()238x +=，直接开平方法解方程，得3x +=±，得 3x +=或3x +=−13x =−+23x =−−．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b +=或ax b +=【变式6】解关于x 的方程：)242360−−=．【答案】12x =，22x =．【解析】整理方程，即得)236294−==23−=±，23−=23−=−，即方程两根为1x ==，2x ==．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b +=或ax b += 【变式7】解关于x 的方程：22(31)85x +=．【答案】1x =，2x =．【解析】整理方程，即得()25831202x ⨯+==，直接开平方法，得31x +==±则31x +=31x +=−113x =，213x −=．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b +=或ax b += 【变式8】解关于x 的方程：()223x a −=．【答案】13x a =+，23x a =−．【解析】直接开平方法解方程，即得3x a −==±，则3x a −=或3x a −=−，即方程两根为13x a =+，23x a =−．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b +=或ax b +=【变式9】（2023·上海·八年级假期作业）解方程：22(23)(32)x x +=+【答案】11x =−，21x =【分析】直接开方可得2332x x +=−−或2332x x +=+，然后计算求解即可．【详解】解：∵22(23)(32)x x +=+∴2332x x +=−−或2332x x +=+解得11x =−，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．【过关检测】一、单选题【答案】C 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】解：A ．101x x −=−是分式方程，故本选项不符合题意；B ．221710x x +−=是分式方程，故本选项不符合题意；C ．20x =是一元二次方程，故本选项符合题意；D ．(1)(2)(1)x x x x +−=+化简得：22x =−，是一元一次方程，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．2．方程()2411x −=的根为（ ） A ．1214x x ==B ．1212x x ==C ．10x =，212x =D ．112x =−，20x = 【答案】C【分析】两边直接开平方法求解可得．【详解】∵（4x-1）2=1，∴4x-1=1或4x-1=-1，解得：10x =，212x =,故选：C ．【点睛】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3.关于x 的方程22()20m m x mx −++=是一元二次方程的条件是（ ）A. 0m ≠B. 1m ≠C. 01m m ≠≠或D. 01m m ≠≠且【答案】D.【解析】由二次项系数不为零得：20,(1)0,01m m m m m m −≠∴−≠∴≠≠且，故选答案D. 4．（2023·上海·八年级假期作业）关于的一元二次方程22(1)10x a x a +−+−=的一个根是0，则a 的值是（ ）【答案】A【分析】将0x =代入方程可得210a −=，求出a 的值即可． 【详解】解：把0x =代入方程22(1)10x a x a +−+−=， 得：210a −=，解得：1a =±，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 5．（2021秋·上海·八年级期中）关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a −++−=的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．1或1−C ．1−D ．0.5【答案】C【分析】根据方程是一元二次方程，可得10a −≠，将0x =代入方程，求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22110a x x a −++−=的一个根是0，∴10a −≠，210a −=，∴1a =−；故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键． 6．（2023·上海·八年级假期作业）关于x 的一元二次方程22180x x a ++−=的一个根是1，则a 的值是（ ）【答案】C【分析】将方程的根代入求解即可得到答案；【详解】解：∵22180x x a ++−=的一个根是1， ∴2211180a ++−=，解得：4a =±，故选C ．【点睛】本题考查根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是将根代入列式求解．二、填空题 7．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）关于x 的方程22(4)60x m x m −++−=有一个根为零，那么m =____________．【答案】6【分析】将=0x 代入原方程，得到新的方程，求解即可得到m 的值．【详解】解：关于x 的方程22(4)60x m x m −++−=有一个根为0，即=0x ， ∴60m −=，解得：6m =，故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解是能使方程两边左右相等的未知数的值．8．（2023·上海·八年级假期作业）关于x 方程()2110m x x −−−=是一元二次方程，则m ______．【答案】1m ≠【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即可求解．【详解】解：∵关于x 方程()2110m x x −−−=是一元二次方程，∴10m −≠，解得：1m ≠，故答案为：1m ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解二次项系数不为零是解题关键． 9．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）已知一元二次方程2340x mx +−=的一个根是2−，则m 的值是______．【答案】4【分析】根据一元二次方程的解的定义把2x =−代入方程得到关于m 的方程，然后解此一次方程即可．【详解】解：∵一元二次方程2340x mx +−=的一个根是2−，∴把2x =−代入方程得12240m −−=，解得4m =，故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义，关键是把2x =−代入方程构建含参数的方程求解即可．【答案】6【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【详解】解：∵4(2)710a a x x −−+−=是一元二次方程，42,20a a −=−≠，解得6a =，故答案为：6．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．【答案】12x x ==【分析】由题意易得10+=，然后问题可求解．【详解】解：210x ⎫+=⎪⎪⎝⎭ ∴10+=，∴12x x ==；故答案为12x x ==． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【分析】通过直接开平方求得2x-1=±5，然后通过移项、合并同类项，化未知数系数为1解方程．【详解】解：由原方程开平方，得2x-1=±5，则x=152±，解得，x1=3，x2=-2．故答案是：x1=3，x2=-2．【点睛】本题考查了解一元二次方程--直接开平方法．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a （a≥0）；ax2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．13．（2020秋·上海·八年级上海市第二初级中学校考期中）方程432430x −=的解是______．【答案】3±【分析】移项，开平方可得结果．【详解】解：432430x −=，43243x ∴=，481x ∴=3x ∴=±；∴方程432430x −=的根为3±．故答案为：3±．【点睛】本题考查了高次方程，解题的关键是掌握平方根的求法．14．（2020秋·上海·八年级上海市第二初级中学校考期中）方程()2230ax a −=>的解是______．【答案】1x =，2x a = 【分析】移项，系数化为1，再开平方即可求解．【详解】解：223ax −=，∴25ax =， ∴25x a =，解得：1x =2x =故答案为：1x =，2x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法．15．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）若代数式()221x +的值为9，则x 的值为______．【答案】2−或1/1或2−【分析】根据题意列出方程，再利用直接开平方法解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：()2219x +=，∴213x +=±，解得：121,2x x ==−．故答案为：2−或1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．（2021春·上海杨浦·八年级校考期中）已知0a >，0b >，则关于x 的方程24bx a =的解为______．【答案】1x =，2x =【分析】利用直接开平方法解此方程即可求解．【详解】解：∵24bx a =， ∴24ax b =，又∵0a >，0b >， ∴24>0a x b =，∴x ==，∴1x =，2x =．【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，注意要对字母的取值进行讨论．17．（2021春·上海嘉定·八年级校考期中）方程42180x −=的实数根是______．【答案】【分析】根据幂的乘方运算的逆运算、平方的非负性及开方运算求解高次方程即可得到结论【详解】解：∵42180x −=，∴4218x =，∴49x =，∴()229x =，∵20x ≥，∴23x =，∴x =∴方程42180x −=的解是故答案为：【点睛】本题考查解高次方程，涉及到方程的解法步骤的理解、幂的乘方运算的逆运算、平方的非负性及开方运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 18．（2021秋·上海·八年级期中）已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a −−+−=有一个根为0x =，则=a ______．【答案】1−【分析】将0x =代入方程，结合10a −≠，进行求解即可．【详解】解：将0x =代入方程，得：210a −=，解得：1a =±，又∵22(1)210a x x a −−+−=是一元二次方程，∴10a −≠，1a ≠，∴1a =−；故答案为：1−．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0．三、解答题【答案】11x =+21x =−【分析】首先将方程整理为()22248x −=，然后直接开方求解即可．【详解】解：()21221603x −−=()2122163x −=()22248x −=∴22x −=±∴11x =+21x =−【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20．（2023春·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）解方程：()22271bx x b −=−≠−．【答案】1211x x b b ==−++【分析】先把方程整理成()219b x +=，根据1b ≠−得到10b +≠，则291x b =+，利用开平方即可得到方程的解． 【详解】解：2227bx x −=−移项得，2272bx x +=+，合并同类项得，()219b x +=，∵1b ≠−，∴10b +≠， ∴291x b =+，∴12x x =．【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握开平方法解一元二次方程是解题的关键．【答案】(1)13x =−，23x =−(2)14x =−，20x =【分析】（1）先方程两边同时乘以3，变形为2(3)18x +=，再开平方得3x +=±可求解．（2）先把方程变形为[]222(1)(2)x x +=−，再开平方得()()212x x +=±−，再解一元一次方程即可求解．【详解】（1）解：21(3)63x +=2(3)18x +=3x +=±3+=x 3+=−x13x =，23x =−；（2）解：224(1)(2)x x +=−[]222(1)(2)x x +=−()()212x x +=±− ()212x x +=−或()()212x x +=−−14x =−，20x =． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法是解题的关键．【答案】5【分析】将2x =代入方程()()()()11222ax x x x bx x ++++++=，化简得345a b +=−，从而即可求解．【详解】解：将2x =代入方程()()()()11222ax x x x bx x ++++++=得，()()()()22121222222a b +++⨯+++=，整理即得：6810a b +=−，∴345a b +=−，∴345a b +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 23．（2023·上海·八年级假期作业）已知关于x 的方程()()212130m x m x m −+−+−=有实数根，求实数m 的值．【答案】1112m ≥【分析】根据()1m −分类讨论即可求出答案．【详解】解：由题意可知：当10m −=时，此时原方程为：20x −=，符合题意．当10m −≠，此时∆2(21)4(1)(3)0m m m =−−−−…， 1112m ∴…且1m ≠，综上所述，1112m …． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．【答案】3m >−时，此方程无解；3m <−时，=x 【分析】由于3m ≠−，故可将原方程先整理成213=−+x m ，再分3m >−与3m <−，分别根据非负数的性质和直接开平方法解答即可． 【详解】解：原方程可整理为：()231+=−m x ，∵3m ≠−，∴213=−+x m ， ∴当30m +>即3m >−时，此方程无解；当30m +<即3m <−时，=x【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于常考题型，正确分类、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．25．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）解方程：23(1)116x −+=【答案】11x =21x =【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：23(1)116x −+=，移项得23(1)15x −=，系数化为1得2(1)5x −=，直接开平方得1x −=1x ∴=1x =，∴原方程解为11x =21x =【点睛】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程特征，选择恰当方法求解是解决问题的关键．【答案】当2a ≤时，无解；当2a >时，1x =，2x =【分析】原方程可整理为2(2)4a x −=，即可分类讨论：①当2a ≤时，原方程不成立，即此时无解；②当2a >时，利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：2224ax x =+，2(2)4a x −=．分类讨论：①当2a ≤时，则20a −≤，∵20x ≥，∴2(2)0a x −≤，则2(2)4a x −=不成立，即此时无解； ②当2a >时，则242x a =−，∴1x =，2x =．综上可知：当2a ≤时，无解；当2a >时，1x =，2x =．【点睛】本题主要考查平方的非负性，解一元二次方程，分母有理化．利用分类讨论的思想是解题关键．27．（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程：()2222x a a ab b −=++．【答案】12x a b =+，2x b =−．【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．【详解】解：()()22x a a b −=+，∴()x a a b −=±+，∴x a a b −=+或()x a a b −=−+，解得：12x a b =+，2x b =−．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用直接开平方法解一元二次方程． 28．（2023·上海·八年级假期作业）已知关于x 的一元二次方程()22222340m x m x m +++−=有一个根为0，求22413m m −+的值．【答案】13【分析】将0x =代入方程得到关于m 的方程，求出方程的解并结合一元二次方程的定义得到m 的值，最后代入所求式子中计算即可解答．【详解】解：将0x =代入()22222340m x m x m +++−=可得得240m −=，解得2m =±； ∵一元二次方程()22222340m x m x m +++−=， ∴()220m +≠，即2m =，∴22413m m −+=222421313⨯−⨯+=．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义等知识点，根据一元二次方程的定义得到()220m+≠是解答本题的关键．。
八年级数学下册 第17章 一元二次方程知识归纳沪科版
八年级数学下册第17章一元二次方程知识归纳沪科版年级：姓名：一元二次方程知识点总结一元二次方程知识点：1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.acx x ab x x )2(a 2ac 4b b x )1(212122,1=-=+-±-=，； 5. 一元二次方程的解法（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法）①2(0)x a a =≥ 解为：x =②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=（3） 配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P Px Px q x q ++=⇔+-+=示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+=②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒-⇒++= 222224()()2424b b b b aca x c x a a a a -⇒+=-⇒+=示例：22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-= （4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a-±-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
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课堂小结
一元二 次方程
概念
一般形 式
① 是整式方程； ② 含一个未知数； ③ 最高次数是2.
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件；
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
√
(x+3)(2x-4)=x2 √
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
含两个未知数
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（C ）
A.x2
1 x2
0
不是整式方程
B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
化简整理成 x2-3x+2=0
少了限制条件 a≠0
3y2=(3y+1)(y-2) ×
x2=x3+x2-1
×
3x2=5x-1
√
2.填空：
方程
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 1
3y2 1 2 3y 3y2 2 3y 1 0
3
3
-2
2 3
1
4x2 5
4x2 5 0
4
0
-5
(2 x)(3x 4) 3 3x2 2x 5 0 3
第17章
八年级数学下（HK） 教学课件
一元二次方程
17.1.1 一元二次方程的概念
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点）
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
a 称为二次项系数. b 称为一次项系数.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、 c 可以为零吗？
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整 式方程叫做一元一次方程.
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同 特点呢？ x2 2500 0 ① 25x2 50x 11 0 ② x2-36x＋35=0 ③
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
讲授新课
知识要点
一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做 一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, bx 称为一次项, c 称为常数项.
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18
一元一次方程 二元一次方程
不等式
4 29 x
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程 （组）及分式方程，其中前想两一种想方：程什是么整叫式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 一元二次方程呢？
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程.
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指 出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.