圆锥曲线中点弦的一条性质
中点弦问题点差法
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结①中点弦问题；②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题：④圆锥曲线的相关最值(范围)问 题;⑤求曲线的方程问题：⑥存在两点关于直线对称问题；⑦两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题 ——点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
解题策具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 A(x i ，yj 、B(X 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论) 个参数。
(3)y 2=2px( p>0)与直线 I 相交于 A 、B 设弦 AB 中点为 M(x o ,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p.经典例题讲解一、求以定点为中点的弦所在直线的方程2 2例1、过椭圆x 匚 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线164的方程。
解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)M (2,1)为 AB 的中点x 1 x 2 4 y 1 y 2 22 2 2 2又A 、B 两点在椭圆上，则 x 14y 1 16， x 2 4y 2 16，消去四如: 2(1)笃a2y b 2 1(ax o2阶 o 。
ab22(2)笃y2 1(aa bX oyo, o2ab 2kb 0)与直线相交于 A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o ),则有0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o )则有两式相减得 2 2 2(人 X 2 ) 4(% y 22) 0于是(X 1X 2)(X 1 X 2) 4( y 1 y 2)(y 1 y 2)0y 1 y 2 X 1 X 2 4 1 X-I x 24( y 1 y 2)4 221 1即k AB㊁，故所求直线的方程为y 1 -(x 2)，即x 2y 4 0。
中点弦在圆锥曲线规律
中点弦在圆锥曲线规律
中点弦定理是圆锥曲线中的一个基本定理，它描述了圆锥曲线上一点到两个焦点的距离之差等于它到一个定点（中点弦所在直线与圆锥曲线的交点）的距离的两倍。
具体来说，对于椭圆、双曲线和抛物线，中点弦定理可以分别表示为：
椭圆：设M为椭圆上一点，F1和F2为椭圆的两个焦点，N为MF1的中点，则MF2=2FN。
双曲线：设M为双曲线上一点，F1和F2为双曲线的两个焦点，N为MF1的中点，则MF2=-2FN。
抛物线：设M为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，T 为MF的中点，则MT=PF，其中P为抛物线的顶点。
中点弦定理在圆锥曲线的研究中有着广泛的应用。
例如，在椭圆的应用中，中点弦定理可以用于计算椭圆上一点的速度和加速度等物理量；在双曲线的应用中，中点弦定理可以用于计算双曲线上一点的切线和法线等几何量；在抛物线的应用中，中点弦定理可以用于计算抛物线上一点的切线和法线等几何量。
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
圆锥曲线中点弦典型例题及解析
01
总结词
这类问题主要考察了圆锥曲线与切线相关的性质和定理，需要利用切线
性质和圆锥曲线的定义来解决。
02
详细描述
在解决与切线相关的问题时，我们需要利用圆锥曲线的切线性质和定义，
结合题目给出的条件，推导出与中点弦相关的方程或不等式，进而求解。
03
示例
已知抛物线C的方程为y^2 = 2px (p > 0)，过其焦点F作直线与C交于A、
数形结合
将代数问题与几何图形相结合 ，利用几何意义求解。
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特殊情况
当点$P$为圆锥曲线的焦点时， 中点弦称为焦点弦。
中点弦的性质
垂直性质
角度性质
中点弦所在的直线与过点$P$的切线 垂直。
中点弦与切线之间的夹角等于该弦所 对的圆周角。
长度性质
中点弦的长度与过点$P$的切线长度 成反比。
中点弦的几何意义
中点弦是连接圆锥曲 线上的两个对称点的 线段。
中点弦的长度等于圆 锥曲线上的两个对称 点到点$P$的距离之 和的一半。
详细描述
在解决椭圆的中点弦问题时，需要注意中点 弦的特殊性质。例如，当直线过椭圆中心时， 中点弦即为椭圆本身；当直线的斜率为0或 无穷大时，中点弦的长度为椭圆的长轴或短 轴的长度。这些特殊性质可以帮助我们快速 判断中点弦的性质和范围。
双曲线的中点弦问题
总结词
双曲线的性质和方程
详细描述
双曲线的中点弦问题主要考察了双曲线的性质和方程。解决这类问题需要利用双曲线的 性质，如对称性、开口方向等，以及双曲线的方程，如标准方程、参数方程等。通过联 立直线和双曲线的方程，消元化简，可以得到关于中点弦的方程，进一步求解得到中点
8.圆锥曲线中的弦
弦：一条直线与圆锥曲线相交, 得到两个交点, 弦：一条直线与圆锥曲线相交, 得到两个交点, 两个交点 间的线段叫做弦。 1.弦长问题 1.弦长问题: 弦长问题: 弦长公式:设弦的两个端点分别为 弦长公式 设弦的两个端点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2), 设弦的两个端点分别为 和 斜率为k 斜率为 , 则 |AB|= 1+ k2 | x1 − x2 | = 1+ 若斜率k不存在， 若斜率 不存在，则 | AB|=| y1 − y2 | 不存在
1.弦长问题 1.弦长问题: |AB|= 1+ k2 | x − x | 弦长问题: 1 2
x2 已知斜率为1 【例1】已知斜率为1的直线 过椭圆 + y2 =1的右焦点交 y 椭圆于A 求弦AB的长 的长。 椭圆于A、B两 点，求弦AB的长。 4
l
由条件知AB的方程为 解: 由条件知 的方程为 y = x − 3
A
y
O B M P
x
则2x12-y12=2, 2x22-y22=2, 且x1+x2=2x, y1+y2=2y 两式相减得: 2(x 两式相减得: 2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0 y1 − y2 2(x1 + x2 ) 2x ∴k = = = x1 − x2 y1 + y2 y y −1 ∴ y −1 = 2x 2 2 k= ∴2x − y − 4x + y = 0 又∵ x −2 y x −2 ∴点M 的轨迹方程为 2x2 − y2 − 4x + y = 0
1 | y1 − y2 | 2 k
y1 − y2 分析: 分析 | AB |= (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) 且 k = x1 − x2
高中数学圆锥曲线中，如何解决中点弦的问题？
高中数学圆锥曲线中，如何解决中点弦的问题？
答：
一·中点弦问题
1.中点弦问题是圆锥曲线中一类典型的问题，是高考命题的热点。
2.中点弦问题即可以考查小题，也可以作为大题出现，常常涉及求直线方程、求直线斜率、求曲线方程、求曲线离心率等知识点。
3.下面以椭圆为例，处理中点弦问题常常有以下三种方法：韦达定理、点差法和椭圆的垂径定理。
二·典例剖析
三·失误提醒
1.值得说明的是，以上各种方法皆体现了“设而不求”的数学思想。
另外，法3其实是法2的结论的变形。
2.在选择、填空题中，三种方法皆可，不过采用椭圆的垂径定理更为快捷。
但是在解答题中，最好使用韦达定理或者点差法，避免因过程不严密而失分。
以上。
圆锥曲线中点弦公式
圆锥曲线中点弦公式中点弦抛物线中点弦公式抛物线C：x^2（这里x^2表示x的平方，下同）=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。
中点弦存在的条件：2pβ>α^2（点P在抛物线开口内）。
中点弦椭圆中点弦公式椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。
中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。
中点弦双曲线中点弦公式双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。
中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。
中点弦二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式．引理：设两条不同的二次曲线S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：(证明略)定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合．证设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为：L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点．注两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O．故本定理包括了蝴蝶定理众多情形．定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线．若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等．证设AB、CD的中点分别为M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证．注由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等．[1]它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭．如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如．定理1还可推广得到更一般的结论．定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数．证不妨取坐标系使确定方向为x轴．于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)：L：a11x+a12y+a13=0L1：b11x+b12y+b13=0L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知：a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0(a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0故a11(x2－x0)=λb11(x2－x1) (4)即OO2/O2O1=α (a11≠0时) (5)其中α=－λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定．当a11=0时，L ∥L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列)．(5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化．推论在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧．当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合．“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质。
圆锥曲线中点弦定理
圆锥曲线中点弦定理
圆锥曲线中的点弦定理是指在圆锥曲线上取两点A和B，过
点A和B分别作直线与曲线相交于C点和D点，那么AC和BD的中点M也在曲线上。
具体来说，假设圆锥曲线的方程为F(x,y)=0，点A的坐标为
(x₁,y₁)，点B的坐标为(x₂,y₂)，曲线上的点M的坐标为
(x₃,y₃)。
根据直线的斜率公式，直线AC和BD的斜率分别为：
k₁ = (y₃ - y₁) / (x₃ - x₁)
k₂ = (y₃ - y₂) / (x₃ - x₂)
根据圆锥曲线的方程F(x,y)=0，将点M的坐标(x₃,y₃)代入得：F(x₃, y₃) = 0
结合以上两个条件，可以得到一个方程：
F(x₃, y₃) - k₁ * (x₃ - x₁) = 0
解这个方程，如果有解(x₃, y₃)，则点M在曲线上；如果无解，则点M不在曲线上。
这就是圆锥曲线中点弦定理的内容。
它意味着在圆锥曲线上选择两个点，并通过它们作直线，这条直线的中点一定也在圆锥曲线上。
这个定理在解决一些几何问题或曲线的性质研究中有一定的应用。
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中学 数学 月 刊
・ ９・ ２
圆锥 曲线 中点 弦的 一条 性 质
汪 正 良 （ 东省深圳 市红 岭 中学 ５ ８ ４ ） 广 １ ０ ９
文［ ］研究 了 ２ ０ １ Ｏ ８年 全 国高 考 安 徽 卷 理 科 第２ ２题第 （ Ⅱ）问 ， 得到 了结 论 的 一般 形 式 ， 揭 并 示 其背景 ， 进而 得 到 圆锥 曲线 切 点 弦 的一 个 统 一
性 质 １ 对 于 椭 圆 ｃ： ＋ 一 ｌ 口 ｂ ０ （＞ ＞ ）
ＱＮ ’
证 明 （ ） Ａ（ １Ｙ ）Ｂ（ ２ Ｙ ） 则 ２ ｏ １设 ｘ ， １ ， ｘ ，２ ， ｘ ＝
Ｘ ＋ ２ ２ ｏ— Ｙ 十 Ｙ ． １ ，ｙ ｌ ２
由｛ ＋ 一 ’ 式 减 得 ｚ一 由』 ；＿ ；： 两 相 ， （ 一 ， 僦 １ 内 式 相 城 ’得 础
同点Ｍ ， ｌ １ 中的直线 ｆ相交 于点 Ｑ， Ｎ，－ ） Ｕ（ 则
一
１上 ．
若过 点 Ｐ作 椭 圆的两条 切线 ， 点分别 为 Ａ， 切
Ｂ则 点 Ｂ 在 线 方 是 ＋ 一 ， 切 弦Ａ 所 直 的 程 等
１ 因而得 到上述 结论 的背 景是 以下 的性质 １ ， ．
ＰＭ
—
ＰＮ
ＱＭ ＱＮ ‘
ｋ １．Ｙ２， 即ｋ 一—＇ Ｙ ≠ ， ＝ ｒｏ． 兰 ／０ ＆ ． — ｚ ｌ ｎ ｙ
对 于 双曲线 、 物 线 ， 有 类 似 的性 质 ， 抛 也 于是 得到 了圆锥 曲线 切点弦 的一 个统 一性 质． 为叙述 （ 方便 ， 称文 Ｅ －得到 的性质 为定 理 １ ｌ ］ ） 定 理 １ 对 于 圆锥 曲线 Ｃ和 曲线 Ｃ外一 定点 Ｐ， 过点 Ｐ作 曲线 ｃ的两 条切线 ， 点分别 为 Ａ， 若 切 Ｂ， 过点 Ｐ 的动 直线 ｌ 曲线 ｃ 相 交 于 两不 同点 与
（）的证 明与文 ［］的性 质 ２的证 明相 同 ， ２ １ 在
此略 去．
０ ≠ ０ ≠ Ｏ ， ， ）的 内部．
（） １ 直线 撇 。 ｚ＋ｎ 。 ｙ Ｙ一 １ 表示 什 么？ 即它如 何 得到 ？
（ ） 足 ２满
ｎ０ ｙ Ｙ一 １上 吗 ？
性 质 Ⅱ 设 Ｐ（ 。Ｙ ） 抛物 线 一 ２ ｘ（ ｘ ，。 是 ｐ 户 ＞ Ｏ 内一定 点 ， Ｐ为 中点作 弦ＡＢ， Ａ， 别 ） 以 过 Ｂ分 作 抛物 线 的切线 ， 两切线 的交点 为 Ｑ ． ｏ （ ）过 Ｑ 且与 ＡＢ 平行 的直 线 ｚ 方程 为 １ ｏ 的
性质 ． 现摘 录如 下 ：
“ 论 设 Ｐ（ 。 ｙ ）是 椭 圆 ｃ： ＋ 结 ｘ ，。 ＝
１ｎ＞ ｂ ０ 外 一定 点 ， 点 Ｐ的动直线 ￡ （ ＞ ） 过 与椭 圆 Ｃ相交 于两个 不 同点Ｍ ， 在 线段 ＭＮ 上取点 Ｑ， Ｎ，
使 足 ： ，点 总 定 线 ＋ 满 则 Ｑ 在 直 等
１上 ．
，
） 点 ０直 。 ＝ ， Ｑ 线 。＝ 且 在 ＋ ：
由于直线 眦 ｏ ｘ＋ 。 一 １ 的斜 率 为 一 ！ ， 旦
ｎ ｏ ｙ
笔 者 阅读 文 ［ ］后 颇 受启 发． 细 分 析 其 证 １ 仔
明过程 ， 发现 定理 中的条 件 “ 曲线 Ｃ外 一定 点 尸”
Ｍ ， ， Ａ 相 交 于 点 Ｑ ，Ⅱ Ｎ 与 Ｂ 贝 ： ． ＂
过 点 Ａ的切线 为 ｚ ： ｘ ｘ＋ｎ ｌ １ ０ 过 １ｒ １ ｎ ｙ 一 — ， 点 Ｂ的切线 为 ｌ ： ｘ ｘ ｎ 一 １ ０ 易求 得两 ｒ ２ ＋ ｙＹ ２ｎ ２ — ，
切线 的交点 为 ｏ Ｑ （
Ｙｏ — ｐ（ ＋ Ｘ ）； ｙ ｘ ｏ
一
的点 Ｑ还在 直线
ｚ＋
（ ）过 Ｐ作直 线 ｚ 抛 物 线 于 两 不 同 点 Ｍ ， ２ 交 Ｎ， 直线 ｚ： ｏ 户 ＋Ｘ ） 交 ￣Ｙ Ｙ＝ （ ｏ 于点 Ｑ， 有 则
Ｑ Ｍ
’
，
＝
（ ） 于抛 物线 Ｙ ３ 对 一 ２ ｘ（ ｐ ＞ ０ ， 否 有类 ）是 似 的结论 ？
一
Hale Waihona Puke 对 于 （） 文 ［］的证 明 已说 明它 是 成 立 的． ２， １ 下 面 回答 （）（ ）作为对 文 ［］的 引 申． １ 、３ ， １ 性 质 Ｉ 对 于有 心 圆锥 曲线 Ｃ： ｎ 。 懈 ＋ ｙ 一 １ ＞ ０ ｍ ≠ ）和 曲线 Ｃ内（ （ ， 含焦 点 的 区域 ） 一 定 点 Ｐ（。 。（ ｘ ， ） Ｐ不 是椭 圆 的中心 ） 以点 Ｐ为 中 ， 点 作 弦 Ａ 过点 Ａ， Ｂ， Ｂ分别 作 曲线 Ｃ的切 线 ， 如． （） 程 眦 ｏ ｎ ｏ １方 ＋ ｙ Ｙ一 １ 表示 过 ｚ， ｌｌ ２的交 点且 平行 于 Ａ 的直线 ｚ ； Ｂ （ ） 点 Ｐ 的动 直线 ｚ与 曲线 Ｃ相 交于 两不 ２过
即它 与 直 线 Ａ 平 行 ， 以 它 表 示 过 点 Ｑ Ｂ 所 ｏ且 与 ＡＢ平 行 的直线 ．
的“ 外”并没 用 到 ， 如果 点 Ｐ在 曲线 Ｃ 内部 ， 果 结 如何 ？ 于是 提 出如下 问题 ．
问 题 若 点 Ｐ在 曲 线 Ｃ： 。ｒ ｙ 撇 －ｎ 一 １ ｍ ＞ Ｊ （
Ｘ ） ｌ ２ ￣－ ｎ ｙ － ｙ ） ＋ ２ ， ２ （ ＋ｚ ）－ （ ｌ ２（ｌ ） 得
一 一
和椭 圆 Ｃ外一定 点 Ｐ， 若过 点 Ｐ作椭 圆的两 条 切
线 ， 点分别 为 Ａ， 过 点 Ｐ的动直 线 ｚ 切 Ｂ， 与椭 圆 Ｃ 相交 于两 个不 同点 Ｍ ， 与 ＡＢ 相 交 于 点 Ｑ， Ｎ， 则
・ ０・ ３
中学数 学月 刊
２０ ０ ９年第 １ 期 ２
先 求 “ 牲 ” 迹 是 禳 决 某 类 问 题 的 通 道 隐 轨
童其 林 （ 福建 省永 定县城 关 中学 ３ ４ ０ ） ６ １０