立体几何培优补差
培优补差之立体几何初步
1．(2011·陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3解析 由三视图可知该几何体是一个棱长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－13×π×2＝8－2π3，故选A.2．(2011·浙江)下列命题中错误的是A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析 两个平面α，β垂直时，设交线为l ，则在平面α内与l 平行的线都平行于平面β，故A 正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B 正确；两个平面都与三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C 正确；两个面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D 错误．3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 A.32π B.52π C.72π D.92π解析 依题意可知，△ABC 绕直线BC 旋转一周，可得如图所示的一个几何体，该几何体是由底面半径为2sin 60°＝3，高为1.5＋2×cos 60°＝2.5的圆锥，挖去一个底面半径为3，高为1的圆锥所形成的几何体，则该几何体的体积V＝13π×(3)2×(2.5－1)＝32π，故应选A.4．(2011·福建)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析 由于在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝12AC＝ 2.5．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是A．16π B．20πC．24π D．32π解析设正四棱锥的底面边长为a，则6＝13×3×a2，得a＝6，∴HC＝3，设球心为O，半径为R，则R2＝(3－R)2＋3或R2＝(R－3)2＋3，解得R＝2，∴S＝16π.答案 A6．)四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA＝OB＝2，OC＝3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；③存在点D，使CD与AB垂直并且相等；④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球球面上．其中真命题的序号是A．①②B．②③C．③D．③④解析依题意得，AB＝22，AC＝BC＝13.对于①，取点D，使得DA＝3，DB＝17，DC＝2(注：这样的点D是分别以点A，B，C为球心、3，17，2为半径的球面的公共点，显然这三个球面有公共点，即满足这样的条件的点D存在)，此时有DA2＋AB2＝17＝DB2，DC2＋CB2＝17＝DB2，DA2＋DC2＝13＝AC2，即有DA⊥AB，DC⊥CB，DA⊥DC，即四面体ABCD有三个面是直角三角形，因此①不正确；对于②，取点D，使得DA＝DB＝22，DC＝13(注：这样的点D的产生过程类似于①中的点D)，此时△DAB是等边三角形，三条侧棱相等，四面体ABCD，即C－ABD是正三棱锥，因此②不正确；对于③，将该四面体补成一个正四棱柱，易知取上底面的与点C相对的顶点作为点D，此时CD与AB垂直并且相等，因此③正确；对于④，将该四面体补成一个正四棱柱，作出该正四棱柱的外接球，在这个球面上任取一点(异于点A，B，C，O)作为点D都能满足点O在四面体ABCD的外接球球面上，因此④正确．综上所述，其中真命题的序号是③④，选D.7．(2011·福建)三棱锥P－ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．解析∵P A⊥底面ABC，∴P A为三棱锥P－ABC的高，且P A＝3.∵底面ABC 为正三角形且边长为2，∴底面面积为12×22×sin 60°＝3，∴V P －ABC ＝13×3×3＝ 3.答案 38．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．解析 设底面边长为x ，则V ＝34x 2·x ＝23，∴x ＝2.由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2，宽为3的矩形，其面积为2 3.答案 2 39．如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．解析 解法一 圆柱的轴截面如图所示，设球的半径与圆柱的高所成的角为α，则圆柱底面半径为4sin α，高为8cos α，∴S 圆柱侧＝2π·4sin α·8cos α＝32πsin 2α.∴当sin 2α＝1时，S 圆柱侧最大为32π.此时S 球表－S 圆柱侧＝4π·42－32π＝32π.解法二 设圆柱底面半径为r ，则其高为2R 2－r 2，∴S 圆柱侧＝2πr ·2R 2－r 2＝4πr 2(R 2－r 2)≤4πr 2＋(R 2－r 2)2＝2πR 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当r 2＝R 2－r 2，即r ＝22R 时取“＝”. 又R ＝4，∴S 圆柱侧最大为32π.此时S 球表－S 圆柱侧＝4π·42－32π＝32π.答案 32π10．给出下列四个命题：①对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行； ②一条直线与两个相交平面平行，则它必与这两个平面的交线平行；③过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；④对两条异面直线，存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等．其中正确命题的序号为________．解析 ①显然错误，若点在其中一条异面直线上明显不可能作出，既使点在两条异面直线外，也不一定能作出；②正确；③错误，θ＝90°时，即过平面外一点作与该平面垂直的直线有且只有一条；④正确．答案 ②④11．（2011陕西）如图，在△ABC 中，∠ABC=60 ，∠BAC 90= ，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC 90= ．（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；（2）设E 为BC 的中点，求AE 与DB 夹角的余弦值．【解】（1）∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD折起后， AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB DC D = ，∴AD ⊥平面BDC ，∵AD Ü平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）由∠BDC 90= 及（1）知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB|=1，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DA 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：12,32,0)，所以13(,,22AE = ，(1,0,0)DB =，∴1cos ,22AE DB AE DB AE DB <>===⋅ 所以AE 与DB． 课后练习1．下图是某几何体的直观图，其三视图正确的是解析 由三视图的知识可知A 正确．答案 A2．设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中正确的是A ．若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥βB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α解析 对于A ，m 也可能在面α内或面β内，故A 错；对于B ，若m 与n 平行，则α与β可能相交，故B 错，对于C ，m 与β可能平行，故C 错．所以选D.答案 D3．（安徽理6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）48（B ）（C ）（D ）80【答案】C4．已知l ，m 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是 A ．l ∥α，l ∥βB ．α⊥γ，β⊥γC ．m ⊂α，l ⊂α，m ∥β，l ∥βD ．l ⊥α，m ⊥β，l ∥m 解析 选项A 得不到α∥β；选项B 中的平面α，β可能平行也可能相交；选项C 中的直线m ，l 可能平行，则α与β可能相交；选项D 中，由l ∥m ，m ⊥β，可得l ⊥β，再由l ⊥α可得α∥β.故选D.答案D。
2024年初三数学培优补差计划范本(二篇)
2024年初三数学培优补差计划范本一、工作目标1、加强对培优补差工作的常规管理和检查。
2、通过培优补差,使学生能充分认识到学习的重要性。
3、认真挑选好培优补差的对象。
4、认真做好学生的辅导工作,每周至少____次的辅导,辅导要有针对性和可行性。
二、具体内容1、培优内容：思维能力方面的训练。
2、补差内容：义务教育课程标准试验教科书二年级上册。
三、培优补差对象和形式对象：本班优等生和后进生形式：1、利用课堂时间相机辅导2、利用学校午休时间3、老师、家长相配合四、具体措施1、利用课堂时间相机辅导在课堂上多提问他们，对优等生，多提问一些有针对性、启发性的问题;对后进生多提问一些基础知识，促使他们不断进步。
当后进生作业出现较多错误时，教师要当面批改，指出错误，耐心指导。
当少数后进生因基础差而难以跟班听课时，我们应采取系统辅导的方法，以新带旧，以旧促新，帮助后进生弥补知识上的缺陷，发展他们的智力，增强他们学好语文的信心。
另外，在课堂上对后进生多提问，发现他们的优点和成绩就及时表扬，以此来提高他们的学习成绩。
2、课余时间个别辅导在限定的课堂教学时间内，是很难满足和适应不同学生的需要的。
因此，课外辅导，作为课堂教学的补充是很有必要的。
对于优等生，我打算制定课外资料让他们阅读，布置要求较高的作业让他们独立思考，指定他们对其他学生进行辅导，使他们的知识扩大到更大的领域，技能、技巧达到更高的水平，使他们永远好学上进，聪明才智得到更好地发挥。
同时，在每周的星期二、四午休活动定期对后进生进行辅导，对当天所学的基础知识进行巩固，对掌握特别差的学生，进行个别辅导。
平时，在后进生之间让他们开展一些比赛，比如：看谁进步快、看谁作业得满分多、看谁成绩好等。
3、家长和老师相配合我打算布置适当、适量的学习内容，让家长在家里对后进生进行协助辅导，老师定期到优等生和后进生家里进行家访，摸清他们在家的学习情况和作业情况。
定期让优等生介绍他们的学习经验，让后进生总结自己的进步。
数学培优扶差：助力学生打好数学基础
数学培优扶差：助力学生打好数学基础数学一直是学生们心中的难题，无论是小学还是初高中阶段，大多数孩子都会遇到数学困难，尤其是在中考和高考紧张的时期。
由于各种因素的影响，学生之间在数学方面的差距变得越来越大。
因此，在教师的关注下，以及家长和学校的共同推动下，建立数学培优扶差框架，帮助学生打下坚实的数学基础，具有重要的意义。
一、建立数学培优扶差框架的背景和意义随着各种科技手段的发展，信息时代的到来使得数学这门学科的地位越来越重要。
在社会生活和经济发展中，数学相关的知识和技能也越来越受到重视。
因此，对于当前学生而言，掌握好数学知识，掌握好数学思维方式，对于他们未来的发展非常关键。
然而，我国学生在数学学科中的平均成绩与发达国家相比还有很大的差距，据统计，目前我国有大约30%的学生数学成绩在全国排名后50%以外。
其中，有一部分学生因为自身条件和特点，容易感受数学的困难和挫折，导致在学习数学时的积极性降低和注意力不集中。
另一方面，也有一些学生因为自身天赋、学习方法和练习习惯的形成在学习数学上能力较强，并且表现出一定的优势。
如果将学生进行统一的教育和培养，就会出现一批学生被浪费，而另一批学生得不到合理的关注和培养的情况。
因此，建立数学培优扶差框架，对于学生的个人发展和整体素质的提高具有十分重要的意义。
一方面，将有针对性的帮助弱势小组，提高他们的数学素养，增强自信心、提高学习积极性，创造良好的学习氛围。
另一方面，还可以深化优秀小组的学习，提供更多有益的学习机会，促进他们的全面发展，打造更多优秀的数学人才。
二、数学培优扶差框架的构建建立数学培优扶差框架需要教师、学校、家庭多方面的参与，作为学生的主要引导者和支持者，教师在框架的建设中发挥着重要的作用。
1. 教师职责作为数学课程的重要组成部分，教师可以根据自己的经验和教育理念，制定符合班级和学生实际的培优扶差计划，实现二者的统一。
具体而言，教师可以根据学生的优势和不足，制定教学计划，采用多种多样的教育方法和措施，帮助学生提高成绩。
2024年九年级数学培优补差教学总结(2篇)
2024年九年级数学培优补差教学总结一、引言数学是一门既重要又难学的学科，对于学生的综合素质和思维能力的培养具有重要作用。
为了提高九年级学生的数学学习能力，我学校在____年进行了数学培优补差教学。
本文将对这次教学的总结进行详细的分析和总结。
二、教学目标1. 提高学生的数学基础知识，夯实学科基础。
2. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3. 提高学生的学习兴趣和动机，激发学生的自主学习能力。
三、教学内容1. 数学基础知识的教学：主要包括整数、分数、小数、代数、几何等方面的知识。
通过讲解、练习、巩固和拓展的方式，帮助学生掌握这些基础知识。
2. 数学思维能力的培养：通过启发性问题、探究性学习等教学方法，培养学生的逻辑思维能力、创新思维能力和解决问题的能力。
3. 案例分析和综合运用：通过解决实际问题和数学题目，培养学生的综合运用能力和解决问题的能力。
四、教学方法1. 合作学习：通过小组合作学习，让学生互相合作、交流和分享，培养学生的合作精神和团队意识。
2. 情景教学：通过情境设计和情景模拟，让学生将数学知识运用到实际情境中，增加学习的趣味性和真实性。
3. 多元化的教学手段：包括课堂讲解、练习、讨论、实验、探究等多种教学手段，使学生能够全方位、多角度地理解和掌握数学知识。
五、教学评价1. 多层次的评价：包括日常学习表现、作业完成情况、课堂参与度、考试成绩等多个方面的综合评价，全面了解学生的学习状况和进步情况。
2. 及时的反馈：在教学过程中，及时给予学生反馈和建议，鼓励他们继续努力和进步。
3. 激励性评价：在评价中注重激励学生的积极性和主动性，鼓励他们勇于尝试和不断进取。
六、教学反思1. 教学资源的利用不充分：在教学过程中，我应该更加充分地利用学校和外部的教学资源，丰富教学内容和方法，提高教学效果。
2. 个性化教育的需要：在教学中，我应该更加重视学生的个性化需求，制定不同学生的差异化教学方案，帮助他们更好地学习和提高。
新高考数学重难点培优专题讲义——立体几何小题专练(含详细答案解析)
立体几何小题培优讲义高考规律立体几何是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对该部分的考查，小题主要体现在三个方面：一是有关空间线面位置关系的判断；二是空间几何体的体积和表面积的计算，难度较易；三是常见的一些经典常考压轴小题，涉及到空间角、空间距离与轨迹问题等，难度中等或偏上．知识梳理【知识点1 空间几何体表面积与体积的常见求法】1.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求组合体的表面积与体积的一般方法求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.【知识点2 几何体与球的切、接问题的解题策略】1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：2.空间几何体外接球问题的求解方法：空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段P A,PB,PC两两垂直，且P A=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.【知识点3 几何法与向量法求空间角】1.几何法求异面直线所成的角(1)求异面直线所成角一般步骤：①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.3.几何法求线面角(1)垂线法求线面角(也称直接法)；(2)公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.4.向量法求直线与平面所成角的主要方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.5.几何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.6.向量法求二面角的解题思路:用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.【知识点4 立体几何中的最值问题及其解题策略】1.立体几何中的几类最值问题立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．2.立体几何中的最值问题的求解方法解决立体几何中的最值问题主要有两种解题方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题．【知识点5 立体几何中的轨迹问题及其解题策略】1.立体几何中的轨迹问题立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．2.立体几何中的轨迹问题的求解方法解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法：对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法：在图形中，建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．【知识点6 以立体几何为载体的情境题的求解策略】1.以立体几何为载体的几类情境题以立体几何为载体的情境题大致有三类：(1)以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；(2)以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；(3)以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．2.以立体几何为载体的情境题的求解思路以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题.此类问题的求解过程主要分四步：一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【题型1 求几何体的体积与表面积】【例1】（2023·江苏徐州·沛县湖西中学模拟预测）在三棱锥P−ABC中，三条侧棱P A，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，若三棱锥P−ABC的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（）A．4√3πB．4√2πC．6πD．12π【变式1-1】（2023·陕西铜川·统考一模）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③V台=13(S上+S下+√S上⋅S下)ℎ）A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的高为2,AB=2A1B1,P,Q分别为B1C1,C1D1的中点，若四边形PQDB的面积为152，则该四棱台的体积为（）A．563B．56C．283D．28【变式1-3】（2023·山东·统考一模）陀螺起源于我国，在山西夏县新石器时代的遗址中，就出土了目前发现的最早的石制陀螺因此，陀螺的历史至少也有四千年，如图所示为一个陀螺的立体结构图，若该陀螺底面圆的直径AB=12cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=4cm，则这个陀螺的表面积是（）A．(144+12√13)πcm2B．(144+24√13)πcm2C．(108+12√13)πcm2D．(108+24√13)πcm2【题型2 与球有关的截面问题】【例2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知球O的一个截面的面积为2π，球心O到该截面的距离比球的半径小1，则球O的表面积为（）A．8πB．9πC．12πD．16π【变式2-1】（2023·全国·校联考模拟预测）上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为3，上、下底面边长分别为√15，2√6，则该球的表面积为（）A．32πB．36πC．40πD．42π【变式2-2】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在三棱锥A−BCD中，AB,AC,AD两两垂直，且AB=AC=AD=3，以A为球心，√6为半径作球，则球面与底面BCD的交线长度的和为（）A．2√3πB．√3πC．√3π2D．√3π4【变式2-3】（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1上的一点，且满足平面BDE⊥平面A1BD，则平面A1BD截四面体ABCE的外接球所得截面的面积为（）A．136πB．2512πC．83πD．23π【题型3 体积、面积、周长、距离的最值与范围问题】【例3】（2023·福建莆田·莆田一中校考一模）如图，在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（）A．a327B．a336C．a354D．a372【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=60°，侧面BCC1B1的面积为2√3，则直三棱柱ABC−A1B1C1外接球的表面积的最小值为（）A．4πB．8πC．4√3πD．8√3π【变式3-2】（2023·山东·山东省实验中学校考二模）正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，P为底面A1B1C1D1的中心，M是棱AB的中点，正四棱柱的高ℎ∈[√2,2√2]，点M到平面PCD的距离的最大值为（）A．2√63B．83C．4√23D．329【变式3-3】（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知A，B，C，D是体积为20√53π的球体表面上四点，若AB=4，AC=2，BC=2√3，且三棱锥A－BCD的体积为2√3，则线段CD长度的最大值为（）A．2√3B．3√2C．√13D．2√5【题型4 几何体与球的切、接问题】【例4】（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=BC．过点A分别作AE⊥SB，AF⊥SC交SB、SC于点E、F，记三棱锥S−FAE的外接球表面积为S1，三棱锥S−ABC的外接球表面积为S2，则S1S2=（）A．√33B．13C．√22D．12【变式4-1】（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（）A．π6B．πC．4π3D．4π【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）为了便于制作工艺品，某工厂将一根底面半径为6cm，高为4cm的圆柱形木料裁截成一个正四棱台木料，已知该正四棱台上底面的边长不大于4√2cm，则当该正四棱台的体积最大时，该正四棱台外接球的表面积为（）A．128πcm2B．145πcm2C．153πcm2D．160πcm2【变式4-3】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为2√6，则模型中九个球的表面积和为（）A．6πB．9πC．31π4D．21π【题型5 空间线段以及线段之和最值问题】【例5】（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知底面边长为a的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1内接于半径为√3的球内，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，G，H分别为线段AC1，EF上的动点，M为线段AB1的中点，当正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积最大时，|GH|+|GM|的最小值为（）A．√2B．3√22C．2D．1+√2【变式5-1】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC= 1，AA1=√3，在线段A1D上取点M，在CD1上取点N，使得直线MN//平面ACC1A1，则线段MN长度的最小值为（）A．√33B．√213C．√37D．√217【变式5-2】（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，以下四个命题：；④|C1P|+①三棱锥D−BPC1的体积为定值；②C1P⊥CB1；③直线DC1与平面ABC1D1所成角的正弦值为12|DP|的最小值为√10．其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-3】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线，则下列说法正确的是（）段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为163A．EF=2B．EF=4C．EG+FG的最小值为3√2D．EG+FG的最小值为2√6【题型6 空间角问题】【例6】（2023·全国·模拟预测）已知正三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积是底面积的6√3倍，点E为四边形ABB1A1的中心，点F为棱CC1的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（）A．2√3913B．√3913C．√3926D．3√3926【变式6-1】（2023·河北保定·统考二模）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．则A1E与面AA1D1D所成角的余弦值为（）A．13B．√33C．23D．√53【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若点N是棱BB1上的动点，点M是线段A1C1（不含线段的端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A．存在直线MN，使MN//B1C B．异面直线CM与AB所成的角可能为π3C．直线CM与平面BND所成的角为π3D．平面BMC//平面C1NA【变式6-3】（2023·四川遂宁·统考三模）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E,F（E在F的左边），且EF=√2．下列说法不正确的是（）A．当E运动时，二面角E−AB−C的最小值为45∘B．当E,F运动时，三棱锥体积B−AEF不变C．当E,F运动时，存在点E,F使得AE//BFD．当E,F运动时，二面角C−EF−B为定值【题型7 翻折问题】【例7】（2023·四川泸州·统考一模）已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD翻折，使点C到点P处，且二面角A−BD−P为120°，则此时三棱锥P−ABD的外接球的表面积为（）A．21πB．28√21πC．52πD．84π【变式7-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，将△ABD 沿对角线BD翻折至△A′BD的位置，使得平面A′BD⊥平面BCD，则在三棱锥A′−BCD的外接球中，以A′C为直径的截面到球心的距离为（）A．√43510B．6√25C．√23910D．√11310【变式7-2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且BC=2AB=2，现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）A．存在点P，使得PE∥CFB．存在点P，使得PE⊥EDC．三棱锥P−AED的体积最大值为√26D．当三棱锥P−AED的体积达到最大值时，三棱锥P−AED外接球表面积为4π【变式7-3】（2023·四川·校联考模拟预测）如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D,E分别是AB,AC 的中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P−BCED，则下列命题错误的是（）A．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3B．存在某个点P位置，满足平面PDE⊥平面PBCC．当PB⊥PC时，直线PB与平面BCED所成角的正弦值为√33πD．当PB=√10时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为523【题型8 立体几何中的轨迹问题】【例8】（2023·全国·模拟预测）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点P是平面ACB1内的动点，M，N分别为C1D1，B1C的中点，若直线BP与MN所成的角为θ，且sinθ=√55，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（）A．3π4B．π2C．π3D．π4【变式8-1】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1上的点，且DP=2PD1,AA1=3,AB=1.若点Q在侧面BCC1B1（包括其边界）上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹长度为（）A．√3B．√2C．2√33D．√52【变式8-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为π3，动点Q在正方形ABCD 内运动，且满足OQ=OP，则动点Q形成轨迹的周长为（）A．2π11B．3π11C．4π11D．5π11【变式8-3】（2023·全国·校联考模拟预测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P为空间中一点且满足∠APB1=∠ADB1，则以下说法正确的有（）A．若P在面AB1C1D上，则其轨迹周长为8√6π9B．若A1P⊥AB1，则D1P的最小值为√3+1−√6C．P的轨迹围成的封闭曲面体积为32√6π227+4√3πD．四棱锥P-ABCD体积最大值为4(2√6+√2+3)9【题型9 以立体几何为载体的情境题】【例9】（2023·云南大理·统考一模）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则该天池盆中水的体积为（）A．1404π立方寸B．1080π立方寸C．756π立方寸D．702π立方寸【变式9-1】（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示的阿基米德多面体有四个全等的正三角形面和四个全等的正六边形面，该多面体是由过正四面体各棱的三等分点的平面截去四个小正四面体得到．若该多面体的所有顶点都在球O的表面上，且点O到正六边形面的距离为√62，则球O的体积为（）A．7√1424πB．7√143πC．11√2224πD．11√223π【变式9-2】（2023·河南·校联考模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为4dm和2dm，正六棱台与正六棱柱的高分别为1dm 和6dm，则该花灯的表面积为（）A．(108+30√3)dm2B．(72+30√3)dm2C．(64+24√3)dm2D．(48+24√3)dm2【变式9-3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列等式错误的是（）A．V1+V2+V3=V B．V1=2V2C．V2=2V3D．V2−V3=V61．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平，则该五面体的所有棱长之和为（）面与平面ABCD的夹角的正切值均为√145A．102m B．112mC．117m D．125m2．（2023·全国·统考高考真题）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C−AB−D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A．15B．√25C．√35D．253．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为√3，O为底面圆心，P A，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于9√34，则该圆锥的体积为（）A．πB．√6πC．3πD．3√6π4．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥P−ABC中，点M,N分别在棱PC,PB上，且PM=13PC，PN=23PB，则三棱锥P−AMN和三棱锥P−ABC的体积之比为（）A．19B．29C．13D．495．（2021·浙江·统考高考真题）如图已知正方体ABCD−A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B16．（2023·全国·统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体7．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45°，则（）．A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4√3πC．AC=2√2D．△PAC的面积为√38．（2023·全国·统考高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA=．9．（2023·全国·统考高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是．10．（2023·全国·统考高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．11．（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1=√2，则该棱台的体积为．12．（2023·全国·统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．立体几何小题【题型1 求几何体的体积与表面积】 (4)【题型2 与球有关的截面问题】 (7)【题型3 体积、面积、周长、距离的最值与范围问题】 (10)【题型4 几何体与球的切、接问题】 (13)【题型5 空间线段以及线段之和最值问题】 (18)【题型6 空间角问题】 (23)【题型7 翻折问题】 (30)【题型8 立体几何中的轨迹问题】 (35)【题型9 以立体几何为载体的情境题】 (40)立体几何是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对该部分的考查，小题主要体现在三个方面：一是有关空间线面位置关系的判断；二是空间几何体的体积和表面积的计算，难度较易；三是常见的一些经典常考压轴小题，涉及到空间角、空间距离与轨迹问题等，难度中等或偏上．【知识点1 空间几何体表面积与体积的常见求法】1.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求组合体的表面积与体积的一般方法求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.【知识点2 几何体与球的切、接问题的解题策略】1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：2.空间几何体外接球问题的求解方法：空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段P A,PB,PC两两垂直，且P A=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.【知识点3 几何法与向量法求空间角】1.几何法求异面直线所成的角(1)求异面直线所成角一般步骤：①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.3.几何法求线面角(1)垂线法求线面角(也称直接法)；(2)公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.4.向量法求直线与平面所成角的主要方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.5.几何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.6.向量法求二面角的解题思路:用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.【知识点4 立体几何中的最值问题及其解题策略】1.立体几何中的几类最值问题立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．2.立体几何中的最值问题的求解方法解决立体几何中的最值问题主要有两种解题方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题．【知识点5 立体几何中的轨迹问题及其解题策略】1.立体几何中的轨迹问题立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．2.立体几何中的轨迹问题的求解方法解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法：对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法：在图形中，建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．【知识点6 以立体几何为载体的情境题的求解策略】1.以立体几何为载体的几类情境题以立体几何为载体的情境题大致有三类：(1)以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；(2)以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；(3)以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．。
数学培优补差方案及措施
数学培优补差方案及措施
一、总体规划
（一）教育目标：
1.特别强调学习方法，培养学生的自主学习能力，使学生在获取知识
的同时培养良好的解题能力。
2.让学生充分发挥自身潜能，激发学习兴趣，逐步解决问题，理解力
更强，认知水平更深，建立学习自信心。
3.让学生学以致用，学会分析和总结，增强数学思维能力，构建学习
意识，提高学习效率。
（二）教学方法：
1.以学生为中心，把握学生的学习特点，充分利用课外辅导、电脑辅
助学习，灵活运用现代教学手段和多媒体教学，让学生更容易理解和学习。
2.以实践为突破口，以问题解决为主线，帮助学生把握数学规律，强
化学习概念，注重分析思考能力，提高解决问题能力。
3.灵活多样的教学方式，有趣的学习环境，激发学生兴趣，有效培养
学习习惯和良好的学习态度，提高学习效果。
二、补差措施
（一）课前准备：
1.老师应针对学生的学习情况，开展专题辅导，做好课前知识点的梳理，以增强学习的自信心和学习的内容的理解力。
2.安排学习小组，让同学之间互相支持和激励，使学生能够得到更全面的认知和学习动力的激发，彼此讨论，做好认知准备。
2024年数学培优补差计划及措施
为了提高2024年数学教学质量，特制定本培优补差计划及措施。
本计划旨在通过有针对性的教学活动，帮助学生巩固基础知识，提高数学思维能力，培养良好的学习习惯，从而在数学学习上取得进步。
一、培优补差目标1.培优目标：△使优秀学生能够进一步拓展数学视野，提高数学思维能力，为他们在数学竞赛和自主招生考试中取得好成绩奠定基础。
△通过挑战性的数学问题，激发他们的学习兴趣，培养他们的创新精神和实践能力。
2.补差目标：△帮助学习困难的学生掌握基础知识，提高解题能力，逐步缩小与其他学生的差距。
△通过个性化辅导和针对性训练，提高他们的学习自信心，培养良好的学习习惯。
二、培优补差措施1.分层教学法：根据学生的数学水平，将学生分为不同的学习小组，实施分层教学。
对于优秀学生，提供更具挑战性的学习材料和问题，鼓励他们自主学习和探究；对于学习困难的学生，则加强基础知识的讲解和练习，确保他们能够理解和掌握。
2.个性化辅导：针对学习困难学生的具体问题，提供一对一的个性化辅导。
通过分析他们的学习情况，找出薄弱环节，制定相应的学习计划和辅导方案，帮助他们克服学习上的困难。
3.多样化教学手段：采用多媒体教学、小组讨论、数学游戏等多种教学手段，提高学生的学习兴趣和参与度。
通过实际操作和动手实践，帮助学生更好地理解抽象的数学概念。
4.定期评估与反馈：定期对学生的学习情况进行评估，及时反馈给家长和教师。
根据评估结果，调整教学计划和辅导方案，确保每个学生都能得到有效的帮助和指导。
5.家校合作：加强与家长的沟通和合作，共同关注学生的学习进展。
通过家长会、家访等形式，向家长介绍学生的学习情况，并寻求家长的支持和配合，共同促进学生的进步。
6.激励机制：建立激励机制，对进步显著的学生给予奖励，激发他们的学习动力。
同时，鼓励学生之间相互帮助，形成良好的学习氛围。
三、实施步骤1.前期准备：分析学生的数学水平，制定分层教学计划和个性化辅导方案。
2.实施阶段：按照计划开展培优补差教学活动，定期评估和调整教学策略。
谈立体几何的补形法
谈立体几何的补形法
补形法是立体几何学中的重要概念，它涉及到形体中性质的变化。
一般来说，补形法可以理解为三维物体的塑造或重塑，包括位置变换、旋转、等轴变换和缩放，因而可以灵活地用于构建复杂形状和变换结构。
为了达到重塑目的，补形法首先要分析其原形体上的主要特征，并依据这些特征将原形体进行分割，找到其它形体的必要参数，并正确应用到原形体上，以得到最终想要的结果。
同时，补形法还需要预先考虑物体中每一部分形状的几何成分，比如边，面及体等。
补形法的本质是应用数学中的变换方程，将原始几何体的特征映射到新的特征空间，从而得到新几何体，这都取决于空间变换参数的精确度，其优势在于可以大大减少费时费力的传统造型工作，有效提升利用机器来制作产品的效率与质量。
另外，补形法还可以应用于多种表面和实体的仿真，它的实现原理是将一组较简单的物体转换为一个更复杂的几何体来塑造更真实的物体，当自由度越大，其建模能力就越强。
这对于复杂机械结构与工业部件有着重要的意义，有助于实现更加准确、全面的建模表述。
总之，补形法是立体几何中极其重要的概念，它可以有效提升几何物体建模与变形的效率，可实现贴近真实物品的逼真仿真，并具有重要的工业应用。
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1．（江西，文7）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是：
A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；
B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；
C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；
D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．
2．（天津，文4）设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是：
C．过点P有且仅有一条直线与 都相交D．过点P有且仅有一条直线与 都异面
18已知m，n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下列命题中正确的是
A．若m//α，n//α，则m//n；B．若m⊥γ,β⊥γ,则α∥β；
C．若m//α，m∥β,则α∥β；D．若m⊥α,n⊥α,则m//n．
19（江，文9）对于两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得
A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直
16．设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）
Ａ．若 与 所成的角相等，则 Ｂ．若 ， ，则
Ｃ．若 ，则 Ｄ．若 ， ，则
17若P是两条异面直线 外的任意一点，则（）
A．过点P有且仅有一条直线与 都平行B．过点P有且仅有一条直线与 都垂直
③若 ，且 ，则 ④若 ，且 ，则
其中正确的命题是
.①③ .②④ .③④ .①答案：D
13、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为( )
A、B、C、1D、2
14(北京市朝阳区2008年高三数学一模)设 、 、 是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：
A．直线a在α内，直线b也在α内B．直线a在α内,b∥α
C．a⊥α，b⊥αD．直线a在α内,b⊥α
20已知平面α⊥平面β，α∩β＝L，点A∈α，A不有直线L上，直线AB∥L，直线AC⊥L，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是
A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β
2已知a、b为异面直线，则：①经过直线a，存在惟一平面α，使b∥α；②经过直线a，存在惟一平面α，使b⊥α；③经过直线a、b外任意一点，存在平面α，使a∥α，b∥α；上述命题中，真命题的个数为
11、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)设 是不同的直线， 、 、 是不同的平面，有以下四个命题
① ；② ；③ ；④ ；
其中正确的命题是（）
Ａ．①④；Ｂ．②③；Ｃ．①③； Ｄ．②④；
12、(江西省五校2008届高三开学联考)已知直线 、 ，平面 、 ,给出下列命题:
①若 ，且 ，则 ②若 ，且 ，则
立体几何培优补差(一)
1．平面 平面 的一个充分条件是（）
A．存在一条直线
B．存在一条直线
C．存在两条平行直线
D．存在两条异面直线
2．设 ， ， 均为直线，其中 ， 在平面 内，“ ”是 且“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
Ｃ．若 ，则 Ｄ．若 ， ，则
8．若P是两条异面直线 外的任意一点，则（）
A．过点P有且仅有一条直线与 都平行B．过点P有且仅有一条直线与 都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与 都相交D．过点P有且仅有一条直线与 都异面
9、(江苏省启东中学高三综合测试三)设b、c表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是
①若a∥ ，b∥ ，则a∥b；②若a∥ ，b∥ ，a∥b，则 ∥ ；③若a⊥ ，b⊥ ，a⊥b，则 ⊥ ；④若a、b在平面 内的射影互相垂直，则a⊥b.其中正确命题是
A.③B.④C.①③D.②④
15、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（）
A． B．
C． D．
4．平面 外有两条直线 和 ，如果 和 在平面 内的射影分别是 和 ，给出下列四个命题：
① ⊥ ⊥ ；② ⊥ ⊥ ；
③ 与 相交 与 相交或重合；④ 与 平行 与 平行或重合；
其中不正确的命题个数是（）
A.1B.2C.3D.4
5．已知两条直线 ，两个平面 ，给出下面四个命题：
① ②
A．若b ,c∥，则b∥cB．若b ,b∥c，则c∥
C．若c∥，c⊥，则⊥D．若c∥，⊥，则c⊥
10、(江苏省启东中学高三综合测试四)设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是( )
A．α⊥β，α∩β=l，m⊥lB．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α
③ ④
其中正确命题的序号是（）
A．①③B．②④C．①④D．②③
6．若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，则
7．设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）
Ａ．若 与 所成的角相等，则 Ｂ．若 ， ，则
A．a⊥α，b∥β,a⊥β；B．a⊥α，b⊥β,a∥β；
C．a在α内，b⊥β,a∥β；D．a在α内，b∥β,a⊥β．
3．（安徽，理4）已知m，n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下列命题中正确的是
A．若m//α，n//α，则m//n；B．若m⊥γ,β⊥γ,则α∥β；
C．若m//α，m∥β,则α∥β；D．若m⊥α,n⊥α,则m//n．