抽象函数
抽象函数的定义域
将导致函数无意义的点排除在定义域之外，例如分母为零的点。
解不等式或不等式组
根据函数解析式的性质，解不等式或不等式组，得到定义域的范 围。
图像法求定义域
观察图像
通过观察函数的图像，确定函数在哪些区间内连 续且单调，从而确定定义域的范围。
确定临界点
找出图像中临界点对应的x值，这些点通常是定义 域的边界。
判断单调性
通过判断函数在各个区间上的单调性，进一步细 化定义域的范围。
实际应用法求定义域
分析实际背景
根据函数在实际问题中的应用背景，分析函数在哪些 情况下有意义。
确定实际限制条件
根据实际问题的限制条件，确定函数的定义域范围。
考虑实际意义
确保函数在实际应用中具有实际意义，排除无意义的 定义域范围。
04
特殊类型的抽象函数的定义域
分段函数定义域的求法
分段函数定义域的求法
分段函数由多个分段定义，每个分段定义域可能不同，因此求分段函数的定义域需要分别考虑每个分段，取所 有分段的定义域的交集。
举例
函数$f(x) = begin{cases} x^2 - 1, & x geq 0 x + 3, & x < 0 end{cases}$的定义域为$[-3, +infty)$，因为当$x geq 0$时，$x^2 - 1$的定义域为$[0, +infty)$，当$x < 0$时，$x + 3$的定义域为$(-infty, 0)$，取交集得$[-3, +infty)$。
对数函数定义域的求法
对数函数定义域的求法
对数函数$log_a(x)$的定义域为$x > 0$，因为对数函数的自变量必须大于 0。
抽象函数的周期性和对称性
抽象函数是一种数学概念，它是一种无限维的函数，用于描述某种连续变化的关系。
抽象函数可以具有周期性和对称性。
周期性是指函数在一段时间内重复出现的性质。
抽象函数可以具有周期性，这意味着在一个固定的时间段内，函数的值会重复出现。
对称性是指函数的形状是对称的。
抽象函数可以具有对称性，这意味着函数的形状具有对称性，即函数的左半部分与右半部分形状相似。
抽象函数的周期性和对称性可以帮助我们了解函数的性质，并为我们的数学建模和解决问题提供帮助。
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型及解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题,2009年四川卷12题等。
学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数()12-x f 的定义域是［0，1］，求()x f 的定义域。
解：()12-x f 的定义域是［0，1］，是指10≤≤x ，所以()12-x f 中的12-x 满足1121≤-≤-x 从而函数()x f 的定义域是：[]11,-.评析：一般地，已知函数()()x g f 的定义域是A ，求()x f 的定义域问题，相当于已知()()x g f 中x 的取值范围为A ，据此求()x g 的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是[]11,-，求函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x log f 321的定义域。
解：)(x f 的定义域是[]11,-，意思是凡被f 作用的对象都在[]11,-中，由此可得()251213211311121≤≤⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒≤-≤--x x x log 所以函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x log f 321的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡251,. 评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(x f 的定义域是A ，求函数()()x g f 的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知()x g 的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3. 已知函数()x f 对于任意x,y 都有()()()y f x f xy f +=成立。
抽象函数模型化总结大全(珍藏版)
∴ 函数 f(x) 在 (0, + ∞) 上单调递减，
又因为 f(x) 是奇函数，
∴ f(x) 在 ( -∞, + ∞) 上单调递减．
不等式
1 2
< f(x) < 2 可转化为，f( -
3 2
) < f(x) <
f( -6)，
由上可知函数 f(x) 在 (0, + ∞) 上单调递减，
∴-6
<
x
<-
3 2
[m，n] 上有
()
·1·
A. 最小值 f(m) B. 最大值 f(n)
C. 最小值 f(n)
D.
最大值
f
(பைடு நூலகம்
m
+ 2
n
)
【分析】利用赋值法证明 f(x) 的单调性，即可判断函数 f(x) 在 [m，n] 的最值情况．
【解答】函数 f(x) 满足 f(x + y) = f(x) + f(y)，定义为 R．
得：f(x) = f(x - y + y) = f(x - y) + f(y)
即 f(x) - f(y) > 0．
∴ f(x) 是 R 上的减函数．
则函数 f(x) 在 [m，n] 上有最大值为 f(m)，最小值为 f(n)．
故选 ：C ．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性求最值的方法
2. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足：①对于任意的 x，y ∈ R 都有 f (x) + f (y) = f (x + y) 成
f
(xy)
=
f
(x)
+
大学抽象函数教案设计
一、教学目标1. 理解抽象函数的概念及其性质。
2. 掌握抽象函数的运算规律，包括极限、连续性、可导性等。
3. 能够运用抽象函数解决实际问题。
二、教学重点1. 抽象函数的概念及性质。
2. 抽象函数的运算规律。
三、教学难点1. 抽象函数的连续性、可导性的判断。
2. 抽象函数在实际问题中的应用。
四、教学过程（一）导入1. 回顾初等函数的概念及性质。
2. 引入抽象函数的概念，提出本节课的学习目标。
（二）新课讲授1. 抽象函数的定义：形如f(x) = y的函数，其中x、y是实数，y是x的函数，且y的解析式不含有具体的函数符号（如sin、cos等）。
2. 抽象函数的性质：a. 奇偶性：若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。
b. 单调性：若对于任意x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则称f(x)在区间[a, b]上单调递增；若对于任意x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则称f(x)在区间[a, b]上单调递减。
c. 有界性：若存在实数M，使得对于任意x，有|f(x)| ≤ M，则称f(x)在区间[a, b]上有界。
3. 抽象函数的运算规律：a. 极限：若lim(x→x0)f(x) = A，则称f(x)在x=x0处极限存在，记作lim(x→x0)f(x) = A。
b. 连续性：若对于任意ε > 0，存在δ > 0，使得对于任意x，当|x-x0| < δ时，有|f(x) - f(x0)| < ε，则称f(x)在x=x0处连续。
c. 可导性：若f(x)在x=x0处的导数存在，则称f(x)在x=x0处可导。
（三）课堂练习1. 判断以下函数的奇偶性、单调性和有界性：a. f(x) = x^2b. f(x) = |x|c. f(x) = e^x2. 求以下函数的极限：a. lim(x→0) x^2b. lim(x→1) (1/x - 1)c. lim(x→∞) (1/x^2)（四）案例分析1. 举例说明抽象函数在实际问题中的应用。
四大抽象函数
一、正比例函数类：二、对数函数类：
设定义在R上的函数 对任意的 都满足：
“和的函数”等于“各个函数的和”
设定义在R上的函数 对任意的 都满足：
“积的函数”等于“各个函数的和”
结论一、
“差的函数”等于“各个函数的差”
结论一、
“商的函数”等于“各个函数的差”
结论二、
图像过点
结论二、
图像过点
结论三、
当 时，
同法可证，
所以，
三、幂函数类：
设定义在R上的函数 对任意的 都满足：
①
“积的函数”等于“各个函数的积”
结论一、
②
“商的函数”等于“各个函数的商”
证明：令 ，则
所以有
即
用 代换上式中的 得
结论二、
图像可能过点
证明：在①式中，令 得
所以有
∴
或
证明：在①式中，令 得
所以有
∴
或
结论三、
不能确定奇偶性
结论三、
偶函数
证明：根据①式有，
所以，……
推广一、
证明：根据①式有，
推广二、
证明：
……
∴
∴
同理
……
∴
故当 时，有
③
又因为 所以③式在 时也成立
终上所述，③式对一切 都成立。
总结：
或
证明：当 时，
∴
令
由 的任意性知， 为定义域上的任意值
考察函数 ，则有
由 的任意性知， 为一常函数，即
令为
所以，
设 ，则
①
“和的函数”等于“各个函数的积”
结论一、
②
“差的函数”等于“各个函数的商”
抽象函数的对称性 ——点,直线,周期
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数
第一讲 抽象函数抽象函数：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。
1、求表达式1）.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出)(x f ，这也是某些公式或等式常用的方法，这方法培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知12)1(+=+x x x f ，求)(x f 。
2）.凑合法（配方法）：在已知)())((x h x g f =的条件下，把)(x h 并凑成以)(u g 表示的代数式，再利用代换即可求)(x f 。
这方法简洁，还能进一步复习换元法。
例2：已知331)1(xx x x f +=+，求)(x f3）.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知数。
例3：已知)(x f 为二次函数，且42)1()1(2++=-++x x x f x f ，求)(x f4）.利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式。
例4：已知)(x f y =为奇函数，当0>x 时，)1lg()(+=x x f ，求)(x f例5：已知)(x f 为偶函数)(x g 为奇函数，且有11)()(-=+x x g x f ，求)(x f ，)(x g5）.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出)(x f 的表达式例6：设)(x f 的定义域为自然数，且满足条件xy x f x f +=+)()1(，及1)1(=f ，求)(x f参考答案x x x f uu u u u f uu x u x x --=∴--=+-=∴-==+12)(12112)(1,11则设：解：例， 例2：解：]3)1)[(1()11)(1()1(222-++=+-+=+x x x x x x x x x x f 又111≥+=+xx x x )1(,3)3()(32≥-=-=∴x x x x x x f 例3：解：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，则c x b x a c x b x a x f x f +-+-+++++=-++)1()1()1()1()1()1(22 =)(2222c a bx ax +++=422++x x 比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧+==+22124)(2b a c a ⇒23,1,21===c b a 2321)(2++=∴x x x f 例4：解：因为)(x f 为奇函数，所以)(x f 的定义域关于原点对称，故先求0<x 时的表达式。
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专题六 抽象函数
知识要点求解抽象函数问题的常用方法是：
1借鉴模型函数进行类比探究。
几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；
②幂函数型：2()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()
()()
x
f x f y
f y =； ③指数函数型：()x f x a = ----------()()()f x y f x f y +=，()
()()
f x f x y f y -=；
④对数函数型：()log a f x x = ---()()()f xy f x f y =+，()()()x
f f x f y y
=-；
⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=-。
2解答题中要学会赋值法 强化训练 一：选择与填空
1. 对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ①f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)；② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)③
1212
()()
f x f x x x -->0；
21212()()
(
)22
x x f x f x f ++<.当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是 . 3．设函数)R x (
x 1x )x (f ∈+-
=,区间M ＝[a ，
b])b a (<, 集合N ＝{M x ),x (f y y ∈=}，则使M ＝N 成立的实数对 (a, b)有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数多个
4．已知函数)(x f 满足：)()()(q f p f q p f ⋅=+，3)1(=f ，则)1()2()1(2
f f f
++)
3()4()2(2f f f +=
5.已知函数y=f （x ）在R 上处处可导，f （0）=0，当x ≠0时，xf ’（x ）>0。
给出下列四个判断：
① f （–2）< f （–1）； ② y = f （x ）不可能是奇函数；
③存在区间[–a ，a ]，使得当1x 、12122()()
[,]()22
x x f x f x x a a f ++∈-≤时,成立； ④ y = x f （x ）在R 上单调递增。
判断正确的序号是____________________.（请填上所有判断正确的序号）
6若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=
()f y +，则()f x 的奇偶性是______（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()
f x 的奇偶性是______
7.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)
2f =，则(3)f -等于（ ） A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
8已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）
A.()()76f f >
B. ()()96f f >
C. ()()97f f >
D. ()()107f f >
9)已知定义域为R 的函数()x f 、g(x),且方程x=f(g(x))有实数解，则g(f(x))不可能是 （1）215x x +- （2）215x x ++ （3）215x - （4）215
x + 二：解答题
1已知x ∈R +,F(x)是R +上的减函数，且f(x)=xF(x)
⑴对任意x 1,x 2∈R +,求证：f(x 1)>x 1F(x 1+x 2), f(x 2)>x 2F(x 1+x 2),并判断f(x 1)+f(x 2)>f(x 1+x 2)是否为F(x)在正实数集上递减的必要条件；⑵将⑴中的结论推广到任意有限个，写出一个结论，不必证明
D.
2已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x - y ） =
f (x )·f (y )＋1
f (y )－f (x )
成立，且f （a ） = 1（a 为正常数），当0 < x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f
（x ）奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数；（III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．
3定义在R 上的函数()f x 满足()()()f ab af b bf a =+ （1） 求f(0)与f(1)的值
（2） 判断奇偶性
4．已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在实数0x ，使得对于任意实数12,x x ，总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立． （1）求0x 的值；
（2）若0()1f x =，且对任意正整数n ，有11
,()1()2
n n n a b f f n =
=+，
记1223112231,n n n n n n S a a a a a a T b b b b b b ++=+++=+++ ，比较4
3
n S 与n T 的大小关系，并给出证明；
5.设()f x 的定义域为R +
，对任意,x y R +∈，都有()()()x f f x f y y
=-，且1x >时，
()0f x <，又1
()12f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-.（答：
(][)0,14,5 ）
．
6.已知f(x)是定义在实数集上恒不为0的函数，对任意实数x,y ，f(x)f(y)=f(x+y),当x>0时，有0<f(x)<f(1)。
⑴求f(0)的值，并证明f(x)恒正；⑵求证f(x)在实数集上单调减；。