2014高中数学抽象函数专题
2014高三数学专题
抽象函数 特殊模型和抽象函数
特殊模型
抽象函数
正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)
幂函数 f(x)=x n
f(xy)=f(x)f(y) [或)
y (f )x (f )y
x (f =]
指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1)
f(x+y)=f(x)f(y) [)
y (f )x (f )y x (f =-或
对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1)
f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y
x (f -=或
正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx
f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)
y (f )x (f )y x (f -+=
+ 余切函数 f(x)=cotx
)
y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=
+
一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。
解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。
练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()?
??
? ?
?-x f 3log 2
1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。
[]11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。
练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。(]8,3,34,0??
???
?
二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：
,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12
)=f(0)+2f[(1)]2
, 令x=y=0,得：
f(0)=0,∴f(1)=2
1
,.2
2001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==
+故即 ② R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .
解析：由于求的是f(2009)，可由y=f -1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.
例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1
解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1，即g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.
练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则(2)f = （1
2
）2.的值是则
且如果)
2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。2000
2(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)
(3)(5)(7)
f f f f f f f f f +++++= .( ()2n f n =,原式=16)
3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f C A.-1 B.1 C. 19 D. 43
4、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ ）（B ）
7
1)71(7)1(,,3)73
(,2)72()72(21)2720()71(,)71()2(2
1)],1([)1()24341()21()1()43
(,)41()21()1(522=
=∴===∴=+
===-++-=+
=+-==∴=b f b
f b f b f f f f b f a a a a a a a f f a
a a f a f a f 同理则设可解得又、 A . 2005 B. 2 C.1 D.0 5、定义在R 上的函数Y=f(x)有反函数Y=f -1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f -1(2x)，则Y=f -1(16)为（ ）（A ） A ）1
8
B ）
1
16
C ）8
D ）16 的值
求的值求均有对所有上的函数，满足，是定义在为实数，且、已知)7
1
()2()1()
()()1()2
(,,1)1(,0)0(]10[)(,106f a y af x f a y
x f y x f f x f a a +-=+≤==<<
三、值域问题
例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。
解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有
f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0
)2()(2
≥?
?
? ?
?
=x f x f ,
又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)
解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)
例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=??
?
??-+11 ,求f(x)的解析式。
解:(1)1),x 0(x x 1)x
1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ----
,1
2)11()1(:x 1-x x
x x f x x f x -=-+-得代换用
（2）
:)1(x -11 得中的代换再以x
.12)()x -11f(x x x f --=+---（3）1)x 0(x x
2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2
-4x,求f(x).
解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.
例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:
①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.
解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*)
小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.
例9、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2
1()23
(+=-x f x f 恒成立，当[]3,2∈x 时，
x x f =)(，则)0,2(-∈x 时，函数)(x f 的解析式为（ D ） A ．2-x
B ．4+x
C ．12++x
D ． 13+-x
解：易知T=2，当)1,2(--∈x 时,()3,24∈+x ,∴)(4)4(x f x x f =+=+;当)0,1(-∈x 时
()3,22∈-x ,∴)()(2)2(x f x f x x f =-=-=-.故选D 。
练习：1、.23
2
|)x (f :|,x )x
1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设
解:0
2)x (x f 3 x
,x
1)x (f 2)x
1(f ,x x
12
=++=-与已知得得代换用，.
23
2|)x (f |,024)x (9f
02
≥
∴≥?-≥?得由
2.（重庆）已知定义域为R 的函数f(x)满足f (f (x )-x 2+x )=f (x )-x 2+x.
（Ⅰ）若f (2)=3，求f (1)；又若f (0)=a ，求f (a )；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)=x 0，求函数f (x )的解析表达式。
22222222(),(()-)() ((2)-22)(2)22
(2)3,(3-22322,(1)1
(0),(00)00,()I x R f f x x x f x x x f f f f f f f a f a a f a a
∈+=-++=-+=+=-+==-+=-+=解：因为对任意有所以又由得）即若则即2200020
2
00000
2000000220(II)(())().
() ,() () ()0()0()x R f f x x x f x x x x f x x x R f x x x x x x f x x x x f x x x x x x x f x x x f x x x
∈-+=-+=∈-+==-+==-=-+==-因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有再代，得，故=0或=1
若=0，则，即202202 0
()1,() 1. () 1 ()
x x x x x f x x x f x x x f x x x x R -=≠-+==-+=-+∈但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故若=1，则有即易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为
3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值；
（2）对任意的11
(0,)2
x ∈，21(0,)2
x ∈，都有f (x 1)+2 ∴(0)2f =-． （2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由（1）知(0)2f =-， ∴2()2f x x x +=+．∵11(0, ) 2 x ∈，∴2 2111111()2()24 f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增， ∴13()2(0,)4f x +∈．要使任意11(0,)2x ∈，21 (0,)2 x ∈都有12()2log a f x x +<成立，必有 23log 4 a x ≤都成立.当1a >时，21l o g l o g 2a a x <,显然不成立．当01a <<时， 213 (log )log 24 a a x >≥，解得 3414a ≤<∴a 的取值范围是3 4[,1)4． 五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决） 例10.设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值. 解析:由单调性的定义步骤设x 1 所以f(x)是R 上的减函数, 故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3), 令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6. 练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R 上为增函数。 证明：设R 上x 1 f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1),(注意此处不能直接得大于f(x 1)，因为f(x 1)的正负还没确定) 。 取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f （0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由 0) (1 )(1)()()0(>-= =-=x f x f x f x f f 得，故f(x)>0，从而f(x 2)>f(x 1).即f(x)在R 上是 增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性） 例11、已知偶函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1,x 2都有1212()()()f x x f x f x ?=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=， （1）f (x )在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式2(21)2f x -< 解： （1）设2 10x x >>，则221111()()()()x f x f x f x f x x -=?-2211 11 ()()()()x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴ 2 1 1x x >，∴21()x f x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,) +∞上是增函数 （2）(2)1f =，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式 2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<，又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴0≠2|21|4x -<，解 得：10 102{|}222 x x x - <<≠±且 练习：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－ 2 1 )=0,当x >－2 1时，f (x )>0.求证：f (x )是单调递增函数； 证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－2 1>－2 1,由题意f (x 2－x 1－2 1)>0,∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－ x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－2 1)－1=f ［(x 2－ x 1)－2 1］>0,∴f (x )是单调递增函数. 例12、定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1。(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围. 解:(1)令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则f(xy)=f(2m+n )=(m+n)f(2)=m+n ，又f(x)+f(y)=f(2m )+f(2n )=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y) , 2x ,2x n m ,x x 0:)2(n 2m 121==<<<且使可令设证明0n m )2(f )n m ()2(f )x x ( f )x (f )x (f )1(n m 2 1 21<-=-===--得由，故 f(x 1) )293()3--+?x x x f 2 23)3..(;.........2)(1)2()2);.......(1()1() 2(2)()()0(),()()()),0(,(),0()(1+ <<<=+==<<=++∞∈+∞b x f f f b a f b f a f b a b a mn f n f m f n m n m x f 求证：，解不等式若求满足、且满足、任意的上的单调增函数，对于是定义在已知：练习 练习2 定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）. （1）求证：f （0）=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0；（3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围. 解：（1）证明：令a =b =0，则f （0）=f 2（0）.又f （0）≠0，∴f （0）=1.（2）证明：当x ＜0时，－x ＞0，∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1.∴f （－x ）= ) (1 x f ＞0.又x ≥0时f （x ）≥1＞0，∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0。（3）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f （x 2）=f （x 2－x 1+x 1）=f （x 2－x 1）·f （x 1）.∵x 2－x 1＞0，∴f （x 2－x 1）＞1.又f （x 1）＞0，∴f （x 2－x 1）·f （x 1）＞f （x 1）.∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）是R 上的增函数。（4）解：由f （x ）·f （2x －x 2）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2）＞f （0）.又f （x ）是R 上的增函数，∴3x －x 2＞0.∴0＜x ＜3. 练习3.设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有 b a b f a f ++) ()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k ＜0对x ∈ [－1，1]恒成立，求 实数k 的取值范围。 （由 >0可得f(a)>f(b).122- f )x (f R x 2>≠≥=?=∈+故又有对，则则且设,1x x ,x x ,R x ,x 1 22121><∈+ b a b f a f --+) ()(2 231124010,24)2()2()2( 2)(12 ,)2( 2)(101,0)()()(,0)()(0)(),1(0)()1,0()0()(,0)1()3() 4,0(2)()2(0)1()1(22222+ <<∴><--<∴<<--=∴+=∴?? ? ???+=+=∴=>++=<<<∴=∴=-=∴<<=>+∞∈<∈∴∞+=<------=b b b b a b b a b a b b a f b a f b f ab b a b a f b f b a ab ab f b f a f b a b f a f x f x x f x x f f x f f 又而即且又时，，时，上单调递增，，在的解集为解： 1 )x x (f )x (f )x (f )x x (f )x (f )x x x ( f ) x (f ) x (f 1 21112111212<=?=?= ，所以f(x 1)>f(x 2),故f(x)在R +上为减函数. ) 2()0,2() 1,3()2()1,3() 2,1()1,2()(0)1()1(0)2()0,()(5∞+?---∞+?-?-->+-=-∞，、、，、、的解集为，则上单调递减，且在、奇函数练习D C B A C x f x f x f 练习6、. 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有 ()2f x ≥；(2)(1)3f =，(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值； (III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足 * 12(3),n n S a n N =--∈.求证：1231 12332 ()()()()2n n f a f a f a f a n -?++++≤+-. 解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤，由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2 f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2 x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3 f x f ∴== (III)*12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1 111133(2), 10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 1 11112113333333()()()()()23()4n n n n n n n n f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 1 111 43 333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。 2211221 14144144441 12133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++++=+ 故113()2n n f a -≤+ 1213 1 3 1()1()()()2n n f a f a f a n --∴++ + ≤+即原式成立。 六、奇偶性问题 例13. （1）已知函数f(x)(x ≠0的实数)对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。 解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系：取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。 （2）已知y=f (2x +1)是偶函数，则函数y=f (2x )的图象的对称轴是（ D ） A.x =1 B.x =2 C.x =－2 1 D.x =2 1 解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称. 注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F （x ）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。 例14：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足()) ()(1 )()()(1x f y f y f x f y x f -+=-，（2） 存在正常数a ，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。 证明：设t=x-y,则)() ()(1 )()()()(1)()()()(t f x f y f x f y f y f x f x f y f x y f t f -=-+-=-+=-=-，所以f(x)为奇函 数。 例15：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，又 )123()12(22+-<++a a f a a f 。求实数a 的取值范围。 解析：又偶函数的性质知道：)(x f 在),0(+∞上减，而0122>++a a ，01232>+-a a ，所以由)123()12(22+-<++a a f a a f 得1231222+->++a a a a ，解得30< （设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：)21()1()1()1(a f a f f a f -<+<+或等；也可将定义域作一些调整） 例16：定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解答：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)---- ①令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，∴f(x)是奇函数． (2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k ·3x )＜-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2)， k ·3x ＜-3x +9x +2，32x -(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立．令t=3x ＞0，即t 2-(1+k)t+2＞0对任意t ＞0恒成立． 221()(1)2,2 101(0)20,20, 100,()02 (1)80 122 令其对称轴当 即时，符合题意；1+k 当时2 对任意恒成立解得-1k f t t k t x k k f k t f t k k +=-++=+<<-=>≥+?≥? >>????=+- 2(3)(392)0时，x x k f k f <-+?+--<对任意x ∈R 恒成 立。 说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：分离系数由k ·3x ＜-3x +9x +2得 ,12213 23,1323-≥-+=-+ x x x u k 而要使对x R ∈不等式23 1.3x x k <+-恒成立，只需k<122- 练习：1、已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若f(2)=2,u n =f(2n ) (n ∈N*),求证:u n+1>u n (n ∈N*). 解:(1)、令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0。(2)、令a=b=-1,得f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故f(-x)=f[(-1)(x)]= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故f(x)为奇函数. (3)先用数学归纳法证明:u n =f(2n )>0 (n ∈N*)(略) 2. 定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时f(x)＜0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在[-3，3）上总有f(x)≤6成立，试确定f(1)应满足的条件； ) 0a ,n (),a (f )x a (f n 1 )x (f )ax (f n 1x )3(22<->-是一个给定的自然数的不等式解关于 解:（2）设任意x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，则x 2-x 1＞0，∴f （x 2-x 1）＜0,而f （x 2-x 1）= f （x 2）+ f （-x 1）= f （x 2）-f （x 1）<0；∴f (x 1)＞f (x 2),即f (x )在(-∞，+∞)上 是减函数.∴f (x )在[-3，3]上的最大值为f (-3).要使f (x )≤6恒成立，当且仅当 f (-3)≤6，又∵f （-3）= - f （3）= - f （2+1）=-[ f （2）+ f （1）]= -[ f （1）+ f （1）+ f （1）]= -3 f （1），∴f （1）≥-2.（3）n 1 f （ax 2）- f （x ）＞n 1 f （a 2x ）- f （a ） ? f （ax 2）- f （a 2x ）＞n[f （x ）- f （a ）]? f （ax 2-a 2x ）＞nf （x-a ），由已知得： f[n （x-a ）]=nf （x-a ）∴f （ax 2-a 2x ）＞f[n （x-a ）]∵f （x ）在（-∞，+∞）上是减函数∴ax 2-a 2x ＜n （x-a ）.即（x-a ）（ax-n ）＜0，∵a ＜0，∴（x-a ）（x-a n ）＞0， 讨论：（1）当a ＜a n ＜0，即a ＜-n 时，原不等式解集为{x | x ＞a n 或x ＜a }；（2）当 a=a n ＜0即a=-n 时，原不等式的解集为φ；（3）当a n ＜a ＜0时，即- n ＜a ＜0时， 原不等式的解集为{x | x ＞a 或x ＜}a n 3、已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1,若a ,b ∈［－1,1］,a +b ≠0时，有 b a b f a f ++) ()(＞0. (1)判断函数f (x )在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式：f (x +2 1)＜f ( 1 1-x ); (3)若f (x )≤m 2－2pm +1对所有x ∈［－1,1］,p ∈［－1,1］(p 是常数）恒成立，求实数m 的取值范围. .解：（1）设任意x 1,x 2∈［－1,1］,且x 1 ) ()()(1212x x x f x f -+-+＞0，∵x 2+(－x 1)=x 2－x 1>0，∴f (x 2)+f (－x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),所以函数f (x )在［－1，1］上是增函数。（2）由不等式f (x +2 1)＜f ( 11 -x )得?? ? ? ? ????->+≤-≤ -≤+ ≤ -1121111 112 1 1x x x x ,解得－1 即为所求. （3）由以上知f (x )最大值为f (1)=1,所以要f (x )≤m 2－2pm +1对所有x ∈［－1,1］,p ∈［－1,1］(p 是常数)恒成立，只需1≤m 2－2pm +1恒成立，得实数m 的取值范围为m ≤0或m ≥2p . 七、周期性与对称性问题（由恒等式．．．简单判断：同号看周期，异号看对称） 编号 周 期 性 对 称 性 1 ()()a x f a x f -=+→ T=2a ()()a x f a x f +-=+→对称轴a x =?()y f x a =+是 偶函数； ()()a x f a x f +--=+→对称中心（a,0） ?()y f x a =+是奇函数 2 ()()x b f x a f +=+→T=a b - ()()x b f x a f +=-→对称轴2 b a x += ； ()()x b f x a f +-=-→对称中心)0,2 ( b a +； 3 f(x)= -f(x+a)→T=2a f(x)= -f(-x+a)→对称中心??? ??0,2 a 4 ()()x b f x a f +-=+→ T=2a b - ()()x b f x a f --=+→对称中心?? ? ??+0,2b a 5 f(x)=±()x f 1 →T=2a f(x)= b-f(-x+a)→对称中心?? ? ??2,2b a 6 f(x)=1-() ()0)(1 ≠+x f a x f →T=3a 结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a ，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数， 且T=2|a-b| (2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a ，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2a b x -= 对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2 (a b -对称 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x 为对称轴） 例17：①已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2) = – f (x )，则f (6)的值为（ B ） A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 解： 因为f (x)是定义在R 上的奇函数，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = – f (0) = 0。 ②函数f(x)对于任意的实数x 都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。（x=1/2） （重庆）已知函数()f x 满足：()1 14 f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则 ()2010f =_____________. 解析：取x=1 y=0得2 1)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)，联立得f(n+2)= — f(n-1) 所以T=6 故()2010f =f(0)= 2 1 例18. 已知函数y=f(x)满足2002)()(=-+x f x f ，求()()x f x f -+--200211的值。 解：由已知式知函数的图象关于点（0，1001）对称。据原函数与其反函数的关系，知函数y=f -1(x) 的图象关于点（1001，0）对称,所以 ()()010********=-++--x f x f ,即()()x f x f -+--200211=0 例19. 奇函数f (x )定义在R 上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x )，则在区间［0，2T ］上，方程f (x ) = 0根的个数最小值为（ ） A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个 解：∵f (0) = 0→x 1= 0， 又f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0→ x 2 = T ，x 3 = 2T . 又因为??? ? ? += ?? ? ? ?-22T x f T x f 令 x = 0得?? ? ??-=?? ? ??=?? ? ??-222T f T f T f ,∴ ?? ? ??=??? ??232T f T f =0.(本题C 易错选为A) 例20．① f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。求a 的值。 解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称 又∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称 ∴T=8 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6 ②设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x [2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a 为常数且a R) （1）求f(x); （2）是否存在a [2,6]或a (6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解：（1）设点M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M 关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x)). ∵y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称. ∴点N(2-x,f(x))在y=g(x)图象上. 由此得f(x)=g(2-x)（利用结论4的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称） 设x [-1,0]，则2-x [2,3].此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x 3 又f(x)为偶函数?f(-x)=f(x),x ∈ [-1,1]. ∴当x ∈ [0,1]时，f(x)=2ax-4 x 3 （2）注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在[0,1]上的最大值. (ⅰ)当a (2,6]时，由0 x 1得a-2x 2＞0， f(x)=2x(a-2 x 2)= ≤ =（当且仅当4 =a －2 , 即x= [0,1]时等号成立）. 由题意知,f(x)的最大值为12,令 =12得 =486> ,∴a>6,这与a (2,6]矛盾,故此时满足条件的a 不存在. (ⅱ)当a=2 且0≤x≤1时,f(x)=4x(1－ ) 同理可证 f(x)= (当且仅 当2 =1- ,即x= 时等号成立),也与已知矛盾.(ⅲ)当a>6时,设 0 ,则f( )-f( )=2a(- )-4( - )=2( - )[a-2( + + )]，由题设0< + + <3,a>6，∴a-2( + + )>0，又 - <0∴f( )-f( )<0即f( ) 时 =f(1)=2a-4。令2a-4=12,解得a=8 (6,+∞),适合题意. 因此,综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)知,存在a=8 (6,+∞),使得函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上. 练习1、函数)1(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于 x=1 对称。 2、函数)(x f y =满足) (1 )3(x f x f - =+，且1)3(=f ，则=)2010(f -1 。 3、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且11 ()()22 f x f x +=-,则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= 解析：法一：因f(x)为奇函数且关于1 2 x =对称，T=2,可借助图象解答，得结果为 0. 小结：此方法为数形结合法 法二：因f(x)为奇函数且关于12 x =对称，类比()sin f x x =联想函数()sin f x x π= ∴(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=0, 小结：此方法为抽象函数具体化法 4、已知函数(21)y f x =-是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =是()y f x =的反函数，若120x x +=则12()()g x g x +=( ) A ）2 B ）0 C ）1 D ）-2 解析：法一：(函数具体化)设()1f x x =+符合题意，则()1g x x =-则 121212()()(1)(1)()22g x g x x x x x +=-+-=+-=-， 法二：y=f(2x-1)是R 上的奇函数→f(-2x-1)=-f(2x-1)，即f(-2x-1)+f(2x-1)=0，由反函数的关系就可以取 x 1= f(-2x-1),x 2= f(2x-1),所以 g(x 1)+g(x 2)=-2x-1+(2x-1)=-2. 5.设f (x )是R 的奇函数,f (x+2)= — f (x ),当0≤x ≤1,时,f (x )=x ,则f(7.5)= - 0.5 6.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f -1(x)+f -1(3-x)= .0 7、 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ D ） A.4 B.5 C.6 D.7 8、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)= 2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式. 解:由已知得 f(x)=-f(4-x)① 又当x [1,2]时,4-x [2,3],∴f(4-x)=(4-x) -2(4-x) ② ∴由①②得f(x)=- (x- 4) +2(4-x) ∴当x [1,2]时,f(x)=-x +6x-8 9、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则 1234_________.x x x x +++=-8 八、综合问题 例21. 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意 实数m ，n ，总 有，且当x>0时，0 ， ，若 φ=B A ，试确定a 的取值范围。 解：（1）在中，令，得，因为，所以。 在中，令 ,因为当 时， 所以当 时 ,而 ,所以 又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意 ，均有 。 设 ，则 所以 .所以在R 上为减函数。 （2）由于函数y=f(x)在R 上为减函数，所以,即有 又 ，根据函数的单调性，有 ,由 ，所以 直线与圆面无公共点。因此有，解得。 评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 例22.设定义在R 上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y ∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 .1)2(f )3x (f 2 1 )]x (f [)2(;,4)x x 3(f )1(22+=++ >-解方程解不等式 解:(1)先证f(x)>0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0时f(x)>1,所以f(0)=1. 则使假设存在某个又,0)x (f ,R x ,0)]2 x (f [)2x 2x (f )x (f o o 2=∈≥=+=f(x)=f[(x-x o )+x o ]=f(x-x o )f(x o )=0, 与已知矛盾，故f(x)>0,任取x 1,x 2∈R 且x 1 f(x 1)-f(x 2)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1) =f(x 2-x 1)f(x 1)-f(x 1)=f(x 1)[f(x 2-x 1)-1]>0. 所以x ∈R 时,f(x)为增函数. 解得:{x|1 例23.)xy 1y x ( f )y (f )x (f ),1,1(y ,x )1(:)x (f )1,1(++=+-∈-都有对任意满足上的函数定义在 (2)当x ∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数； （Ⅱ）).31(f )5 n 5n 1(f )191(f )111(f 2>+++++ 解:(1)易证f(x)是奇函数。 （2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. ????????????++-++=+++=++)3n )(2n (11)3n )(2n (1f )1)3n )(2n (1(f )5n 5n 1(f 2又)3n 1(f )2n 1( f )3n 1(2 n 11)3n 1(2n 1f +-+=?????? ??????+-?+++-++= )3n 1(f )31(f )]51(f )41(f [)]41(f )31(f [)5n 5n 1(f )191(f )111(f 2+-=+-+-=+++++∴ 命题成立又).3 1(f )3n 1(f )31(f ,0)3n 1(f >+-∴<+ 函数综合 1.奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致（在整个定义域内未必单调），推广：函数在其对称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反， 推广：函数在其对称轴两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决于离对称轴的远近。解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域。关注具体函数“抽象化”。 [举例1]设偶函数f (x )=log a |x -b |在（-∞，0）上递增，则f (a +1)与f (b +2) 的大小关系是 A.f (a +1)=f (b +2) B.f (a +1)＞f (b +2) C.f (a +1)＜f (b +2) D.不确定 解析：函数f (x )=log a |x -b |为偶函数，则b=0，f (x )=log a |x |,令g(x)=|x|,函数g(x)（图象为“V ”字形）在（-∞，0）递减，而函数f (x )=log a g(x) 在（-∞，0）上递增,∴0 [举例2] 设函数x x x f +=3)(，若0≤θ≤2 π时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是 解析：此题不宜将msin θ及1-m 代入函数x x x f +=3)(的表达式，得到一个“庞大”的不等式，因为运算量过大，恐怕很难进行到底。注意到：函数f(x)为奇函数，原不等式等价于：)1()sin (->m f m f θ，又函数f(x)递增，∴msin θ>m-1对0≤θ≤2 π恒成立，分离参变量m （这是求参变量取值范围的通法）得：m< θ sin 11 -,（0<1- sin θ ≤1,事实上当sin θ=1时不等式恒成立，即对m 没有限制，所以无需研究）,记g(θ)= θ sin 11 -,则m ) (1 x f ,且f(x)在[-3，-2]上是减函数，又α、β是钝角三角形的两锐角，则下列结论中正确的是: A.f(sin α)>f(cos β) B. f(sin α) C.f(sin α) D. f(cos α) 2．关注“分段函数”。分段函数的反函数、值域一般分段求，分段函数的奇偶性、单调性一般要借助于图象。f(x)=max{g(x),h(x)} 、f(x)=min{g(x),h(x)}也是一种分段函数,作出它的图象是研究这类函数的有效途径。 [举例]对于函数时当时当x x x x x x x f cos sin cos sin cos sin )(<≥? ??=给出下列四个命题： ① 该函数的值域为[-1,1]，②当且仅当)(2 2Z k k x ∈+=π π时，该函数取得最大值1， ③该函数是以π为最小正周期的周期函数，④当且仅当 )(2 322Z k k x k ∈+ <<+π πππ时,0)( A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 解析：作出函数y=f(x)在[2 π-， 2 3π ]上的图象如右（先分别作函数y=sinx,y=cosx 的图象，观察图象，保留两者中之较“高”者）。从图象上 不难看出：该函数的值域为[- 22,1]，当)(2 2Z k k x ∈+=π π或πk x 2=时函数取得最大值1，该函数是以2π为最小正周期的周期函数，当且仅当) (2 322Z k k x k ∈+<<+π πππ时,0)( 的命题个数为3个，选C 。 [巩固]已知???≥<+-=1,log 1 ,4)13()(x x x a x a x f a 是（-∞，+∞）上的减函数，那么a 取值范围 是 。 3.研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数性质、已知函数值域研究定义域等一般用函数图象（作图要尽可能准确）。 [举例1]若在]2 ,0[π 内有两个不同的实数值满足等式,12sin 32cos +=+k x x 则k 的范 围是 解析：x x 2sin 32cos +=2sin(62π + x )，∵x ∈]2,0[π，将6 2π + x 视为一个角θ，θ∈ [6π,67π],作函数θsin 2=y 在[6π,6 7π ]上的图象（注意：无需作函数y =2sin(6 2π +x )的图象），容易看出，当y =k +1∈[1，2)时， 函数θsin 2=y 与函数y =k +1的图象有两个交点，此时k ∈[0，1)。 [举例2]不等式ax x >-12的解集为[1,2)，则a 的值为 解析：分别作函数12-=x y 和函数ax y =的图象如右，（函数12-=x y 即122=-y x ，0≥y ，双曲线在x 轴上方的部分）。两图象交于M 点，要使不等式解集为[1,2)， 则M （2，3），即2 3 = a 。 [巩固]已知函数f(x)=x 2log 的定义域为[a,b]，值域为[0，2],则a, b 满足： A ．a=4 1 ,b=1或 a=1,b=4, B ．a=41，1≤b ≤4, C ．4 1≤a ≤1,b=4, D. a=4 1，1≤b ≤4或4 1≤a ≤1,b=4。 O 1 4. 求最值的常用方法：①单调性：研究函数在给定区间内的单调情况是求函数值域的最重要也是最根本的方法。②基本不等式：满足条件“一正、二定、三相等”时方可使用，如果“不相等”，常用函数)0(,>+=a x a x y 的单调性解决。③逆求法：用y 表示x ，使关于x 的方程有解的y 的范围即为值域，常用于求分式函数的值域，判别式法就是其中的一种。 ④换元法：需要把一个式子看作一个整体即可实施换元，“三角换元”是针对“平方和 等于1”实施的，目的多为“降元”；求值域时的换元主要是为了“去根号”。⑤数形结合。 [举例1]已知函数)1(1 2 22->+++=x x x x y ，则其图象的最低点的坐标是 （ ） A 、（1，2） B 、)2,1(- C 、（0，2） D 、不存在 解析：求函数图象的最低点的坐标即求函数当x 取何值时函数取得最小值，最小 值是多少； 此题不宜“逆求”（判别式法），因为⊿≥0不能保证x>-1（这是使用“判别式法”时需特别注意的）。记x+1=t,(t>0),此时x=t-1,设 g(t)=21 12)1(2)1(22≥+=+=+-+-t t t t t t t (当且仅当t=1即x=0时等号成立，（注意这里 的“换元”实质是“整体化”的具体落实，将需要“整体化”的部分换成一个变 量，比“凑”更具一般性也更易实施），选C 。 [举例2]已知R b a b a ∈=+,,1+，则ab ab 1 + 的最小值为 解析：本题关注ab 的取值范围，对ab ab 1 +使用基本不等式，当且仅当ab =±1时等 号成立，事实上：4 1 )2(02=+≤ ab =t （0 17。 5.求参变量的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的值域或最值；也可以整体研究函数y =f(a,x)的最值。 [举例] 关于x 的方程22x -m2x +4=0(x<0)有解，求实数m 的取值范围。 解析：令2x =t,(0 t t m 4 + ==)(t g ，所谓方程有解，即m 在函数)(t g 的值域内（这也是解决方程有解问题的通法），∵t ∈（0，1），∴不能使用基本不等式（等号不成立），注意到函数)(t g 在（0，1）上递减，∴)(t g ∈（5，∞+）即m ∈（5，∞+）。 [迁移]若函数f(x)=log a (x 2-ax+3),(a>0且a ≠1)满足:对任意x 1,x 2,当x 1 a ≤时,f(x 1)-f(x 2)>0,则实数a 的取值范围是 A.(0,1)∪(1,3) B.(1,3) C. (0,1)∪(1,32) D. (1,32) 简答 1. [巩固] 函数y=f(x)的图象关于x=2对称，得a=5,图示可得1 [提高] 函数y=f(x)的周期为2，得f(x)在[0，1]上递增，又α+β< 2 π ,移项得sin α 1 ,71[ 3. [巩固]D ； 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k )293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］ 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[， 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5 1)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f += 因为5 1)6(1)2(= =f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(， （数学1必修）函数及其表示 一、选择题 1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 3．已知集合{}{} 421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且* ,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5 4．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-< 高一数学之抽象函数专题集锦 一、选择题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(?2)，f(?π)，f(3)的大小顺序是( ) A. B. C. D. 2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =?2对称，若f(?2)=1，则f(x ?2)≤1的x 的取值范围 是( ) A. [?2,2] B. (?∞,?2]∪[2,+∞) C. (?∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4] 3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3]，则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=?1，则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. [0,4] D. [1,3] 5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B. [?3,?1]∪[0,1] C. [?1,0]∪[1,+∞) D. [?1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={ x 2+4x x ≥0 , 4x ?x 2 , x <0 若f(2?a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1) B. (?1 , 2) C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞) D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞) 7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是 A. f(?1) 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映． 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。 1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法． 2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点． 例1设a＞0，求函数 ) ln( ) (a x x x f+ - =(x∈(0，＋∞))的单调区间． 分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式 ()0 f x '≥ (递增)及 ()0 f x '< (递减)。 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [，-，求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f （x ），同时满足下列条件：① 51 )6(1)2(= =f f ，；② )()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2 )]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在 R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 抽象函数的对称性 关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。 一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b = +2的对称点为()A a b m n '+-，。 []∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--== ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2 的对称点为()A b a m n '--，。 ∵f b b a m f a m n [()]()---=+= ∴点A'在y f b x =-()的图象上 反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2 的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。 易知，函数y f x a b =++? ? ???2与y f x a b =-++?? ?? ?2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--?? ???++?? ????=+22()的图象，由y f x a b =-++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---?? ???++????? ?=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 三、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x c f b x ()()+=--2，则函数y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称。 证明：设点() A m n ，是y f x =()图象上任一点，则f m n ()=，点A 关于点a b c +?? ?? ?2，的对称点为()A a b m c n '+--，2。 []∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222 ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称 说明：（1）当a b c ===0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。 四、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -?? ?? ?2，对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于点b a c -?? ?? ?2，的对称点为()A b a m c n '---，2 函数基本知识 抽象函数： 1. 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立. 证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数. 2. 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1( )()()1,1(,xy y x f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数； 3. 设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对于任意的实数x ，y 都有 )12()()(+--=-y x y x f y x f 成立，则=)(x f _____________. 4. 已知定义在R + 上的函数()f x 同时满足下列三个条件：① (3)1f =-; ② 对任意x y R +∈、 都有()()()f xy f x f y =+；③0)(,1<>x f x 时. （1）求)9(f 、)3(f 的值； （2）证明：函数()f x 在R + 上为减函数； （3）解关于x 的不等式2)1()6(-- 函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ ， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => ) 抽象函数周期性的探究（教师版） 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. : 命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期 函数专题训练（一） 一、选择题 1．(文)若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝f (2x )x 的定义域是( ) A ．[0,2] B ．(0,2) C ．(0,2] D ．[0,2) (理)(2013·湖北荆门期末)函数f(x)＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( ) A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞) B ．(－4,0)∪(0,1) C ．[－4,0)∪(0,1] D ．[－4,0)∪(0,1) 2．(文)(2012·江西文，3)设函数f(x)＝????? x 2＋1，x ≤1，2x ，x>1.则f(f(3))＝( ) A.15 B ．3 C.23 D.139 (理)已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x>0， 则f(2014)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 3．已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x<1，x 2＋ax ，x ≥1， 若f[f(0)]＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.45 C ．2 D ．9 4．(2013·银川模拟)设函数f(x)＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x<0， 则不等式f(x)>f(1)的解集是( A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3) 5．(文)函数f(x)＝22x －2 的值域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) (理)若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f (x ) 的值域是( ) A ．[12，3] B ．[2，103] C ．[52，103] D ．[3，103] 6．a 、b 为实数，集合M ＝{b a ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f(x)＝x ，则a ＋b 抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 三、值域问题 例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。 解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0 )2()(2 ≥? ? ? ? ? =x f x f , 又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=?? ? ??-+11 ,求f(x)的解析式。 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且Θ---- ,1 2)11()1(:x 1-x x x x f x x f x -=-+-得代换用 （2） :)1(x -11 得中的代换再以x .12)()x -11f(x x x f --=+---（3）1)x 0(x x 2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*) 小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解. 练习：1、.23 2|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:0 2)x (x f 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12 =++=-与已知得得代换用，. 23 2 |)x (f |,024)x (9f 02 ≥ ∴≥?-≥?得由 3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值； （2）对任意的11 (0,)2 x ∈，21(0,)2 x ∈，都有f (x 1)+2 高中数学函数专题 1．已知在实数域R 上可导的函数)(x f y =对任意实数21,x x 都有 ),()()(2121x f x f x x f ?=+若存在实数b a ,，使0)(0)(>'≠b f a f 且， 求证：（1）0)(>x f ；（2）),()(+∞-∞=在x f y 上是单调函数 证明：（1）2 )]2 ([)2()2()22()(x f x f x f x x f x f =?=+= 又()[()]()()0,()022222x x x x x f a f a f f a f =+-=?-≠∴≠,0)(0)]2 ([2 >>∴x f x f 即 （2）x x f b f x b f x f b f x b f x b f b f x x x ?-?=?-?=?-?+='→?→?→?1 )(lim )()()()(lim )()(lim )(000 即)() ()(]1)()[(lim )()()(1)(lim 00b f b f x f x x f x f x f b f b f x x f x x '?=?-?='∴'=?-?→?→? 0)(0)(,0)(,0)(>'∴>>'>∴x f b f b f x f )(x f ∴在R 上是单调递增函数. 2．已知抛物线C 的方程为F x y ,42 =为焦点，直线()00:1>=+-k k y kx l 与C 交于A 、 B 两点，P 为AB 的中点，直线2l 过P 、F 点。 （1）求直线2l 的斜率关于k 的解析式)(k f ，并指出定义域； （2）求函数)(k f 的反函数)(1 k f -；（3）求1l 与2l 的夹角θ的取值范围。 （4）解不等式()()1,0121log 1 ≠>>????? ?+-a a x xf a 。 解：（1）()???+==142x k y x y ???>>-=??=+-?0 0161604422 k k k y ky 10<-+= -k k k k f （3）?? ? ??∈∴<<∴<<=+-=4,0,10,10,)(1)(3πθθθtg k k k kf k k f tg Θ （4）4124121)(221 +=+=+-x x x xf ，∴原不等式为 ()0241log 2>>??? ? ? +x x a 当1>a 时，41,41222->∴->a x a x ；当10< 抽象函数问题专题 抽象函数是相对于具体函数而言的，它是指没有给出具体函数的解析式，仅仅给出函数的部分性质，如函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )等，解题时依据题设所给的条件解决相关问题的一类函数。通过抽象函数设置的考题，主要考查函数的基本性质（单调性、奇偶性和周期性），考查学生的抽象思维、理性思维和严谨细腻的逻辑推理能力，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。因此对抽象函数的考查是历年高考的热点、焦点和难点。 由于抽象函数没有给出具体的函数解析式，具有一定的隐藏性和抽象性，不少学生在解决这类问题时不能透彻理解题设条件，缺乏严谨的推理和全面的思考，容易忽视某些隐藏的函数性质。对于抽象函数的考查，主要以选择题、填空题为主，有时也会在大题出现。 一、抽象函数与函数的函数值、定义域、值域、解析式以及复合函数 【例1】⑴（04全国IV ）设函数f (x )（x ∈R ）为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝ ········································································································································· （ ） A ．0 B ．1 C ．52 D ．5 ⑵（2010陕西）下列四类函数中，个有性质“对任意的x ＞0，y ＞0，函数f (x )满足 f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是 ······························································································· （ C ） A. 幂函数 B. 对数函数 C. 指数函数 D. 余弦函数 ⑶（2011广东文10）设f (x )，g (x )，h (x )是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数(f g )(x )和(f ?g )(x )；对任意x ∈R ，(f g )(x )＝f (g (x ))；(f ?g )(x )＝f (x )g (x )．则下列等式恒成立的是（ ） A. ((f g ) ?h ) (x )＝((f ?h )(g ?h ))(x ) B. ((f ?g ) h ) (x )＝((f h )?(g h ))(x ) C. ((f g ) h ) (x )＝((f h )(g h ))(x ) D. ((f ?g ) ?h ) (x )＝((f ? h )?(g ?h ))(x ) 【例2】⑴已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x ＋2)的定义域是 ； ⑵已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x 2)的定义域是 ； ⑶已知函数f (x ＋2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ； ⑷已知函数f (x 2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ； ⑸已知函数f (x )的值域是[1，4]，则函数g (x)＝f (x )＋4f (x )的值域是 . 【例3】已知f (x )是二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ).2014高中数学抽象函数专题
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