2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数
对2009年高考中抽象函数问题的解法浅析
１ 一（ ＋ ／ ）则 ＿ － 昔 ） 的值是 （ ） １ ） （ ， 厂 厂 （（ ）
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１， ）然后利用 － ） 厂 （ 的单调 性脱 掉 “ ”转 化 为绝 对值 不 －， 厂 等式 问题来 求解．
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当 ￡ １ ， （ ） １ ｏ２ ， 恒 为 ０ 一 时 ＿ ｚ 一 一ｃｓｘ 不 厂 ； 当 ｆ 时 ，（ 恒为 Ｏ 一３ ＿ ） 厂 ．
４ 让学生养成独立钻研 问题 ， ． 较长 时间集 中注意力 思考 问题 ， 强化创 造意 识 的学 习习惯． 注意 思想集 中与 适 当分散 的辩 证 关 系 ， 植 灵感 爆 发 或 顿 悟 的基 本 环 培
件， 这种 直觉 引路 、 分析铺路 的思维 方式 ， 值得 深思 和借
鉴．
数学直觉 思维能力在学生 掌握 了一定 的数学知识 ， 形 成 了 相 对 复 杂 的 知 识 结 构 时 须 着 重 培 养 ， 此 ， 们 为 我 在 数 学 教 学 中应 做 好 以下 几 方 面 工 作 ． １将 每 一 章 节 的 基 本 理 论 、 本 方 法 、 本 题 型 归 ． 基 基
因 一。｛ ｃ， 此 ｃ 一（ ｓ ） ｓ ，
显然 为奇数 ， 于是－ ＣＳ ｔ—ｃｓ ． － Ｏ 。
３ 直 觉 思 维 的 培养 宜 采 用 启 发 式 教 学 ， 师 应 尽 量 ． 老 启 发 学 生 作 出 “ 索 联 想 ” 由学 生 说 出过 程 ， 免 平 铺 检 ， 避
分析： 先设法求出 ／ 寺 ） （ 的值 ， 再利用 ＿ ＋１ 一 厂 （ ）
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:目录：一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题 八、综合问题一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 。
解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。
评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。
练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。
例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。
[]11log ,13 评析： 已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。
相当于求内函数()x ϕ的值域。
11≤≤-x练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为，值域为 。
(]8,3,34,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= . 解析：由于求的是f(2009)，可由y=f -1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = （12）2.的值是则且如果)2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。
2009年高考抽象函数问题分类解析
变 式 ３ 设 ０为 ＡＡ Ｃ的外 接圆心 ， 圆的半 Ｂ 若
从 上述解答 看试 题考查 重点是 平面 向量的运算 与性质 ， 如果抛 开对立 体几何 中的线 面角 的考查 ， 原 问题可 降低难 度 ， 减少 思维量 ， 重点 考查 向量的数 量
积运算 ： 变 式 １ 设 ０为 ＡＡ Ｃ的外 心 ， ３Ｄ ４Ｄ Ｂ 若 Ａ＋ ＋５ＯＣ ＝０ 则 ＡＡ ， ＢＣ的内角 Ｃ为 （ ）
３
１ ＞ ０ ＝０， 以 一 １ ＜０ 即 一２ ）＜ ） ） 所 ） ， ５
吾 ＝ ・ ） ０ 寻） ０ ） ＝ ）： ）
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８ ） ＜ １ ） 故选 Ｄ ０ １， ．
例 ４ （０９年 陕 西卷 理 ）定 义在 Ｒ上 的偶 函 ２０
数 － ） 厂 满足 ： 任 意 的 ，：∈ （ （ 对 一∞ ， ］ ≠ ） ０（ ， 有 （ 一 ）／ ）一 ． ） （ ／ ）＞０ 贝 当 ∈Ｎ 时 ， （ ．０
苕 §量雪 毛 要熟知 三角形 的重心 、 圆周 角与 圆心角 等知识 ， 还要 具备猜 测 的技 能 ） 是 否有得 不偿失 之嫌 ？ ， 思考二 对模拟 试卷命 题有什 么启示 ？
中学 数学杂 志
２１ ０ ０年第 ３期
Ｏ ＝０ 其 中 ，， Ｃ （ Ｙ ＞０ ， ） 那么可 以考查 到 问题 的本
勾股 数 ３４５多少能让 不少 考生联想 到 内角 ｃ与 ，， 有关 ， 并设 法找 出计算 的办法 和结 果． 果将 条件 ３ 如
＋４０ ＋５Ｏ ＝０再 一般化 成 Ｏ ＋ＹＯ ＋ Ｃ Ａ Ｂ
２０ 高 考 抽象 函数 问题分 类 解析 ０９年
江 苏省 南通 市通 州区兴仁 中学 ２ ６ ７ ２３ １ 吴佑 华
高考数学5类常见抽象函数真题讲解!.doc
高考数学5类常见抽象函数真题讲解！题型一：正比例例题．已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)．求证:f(x)是奇函数(2)．若f(-3)=a,用a表示f(24)①令y=-x，f(x-x)=f(x)+f(-x)∴f(x)+f(-x)=f(0)令x=y=0,则f(0)=2f(0)=0∴f(x)+f(-x)=0,∴f(x)=-f(-x)∴f(x)是奇函数②∵f(24)=f(3)+f(21)=2f(3)+f(18)=.....=8f(3)又∵f(-3)=a,∴f(3)=-a，∴f(24)=-8a题型二：对数函数型例题：函数f(x)对于x0有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是减函数（1）证明：f(1)=0;（2）若f(x)+f(x-3)≥2成立，求x的取值范围。
①证明：令x=y=1，则f(1×1)=f(1)+f(1),故f(1)=0②∵f(2)=1,令x=y=2∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)=2,f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]∴f[x(x-3)]≥f(4)∵f(x)是减函数∴x(x-3)≤4,∴x²-3x-4≤0成立的x的取值范围是-1≤x≤4题型三:指数函数型例题. 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)f(n),且当x0时,0f(x)1.(1) 证明:f(0)=1,且x0时,f(x)1;(2) 证明: f(x)在R上单调递减;解：(1)令m=0,n=1,f(0+1)=f(0)f(1)∵当x0时,0f(x)1∴f(1)0,f(0)=1∵x0,∴-x0∵f(-x+x)=f(-x)f(x)f(0)=1,x0时,0f(x)1∴f(-x)1∴x0时,f(x)1(2)任取x1,x2∈R,且x1x2则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)·f(x1)-f(x1)=[f(x2-x1)-1]·f(x1)∵x2-x10,∴0f(x2-x1)1,故f(x2-x1)-10,∵f(x1)0∴[f(x2-x1)-1]·f(x1)0∴f(x2)-f(x1)0,∴f(x1)f(x2)∴函数f(x)是R上的单调减函数. 题型四：幂函数型题型五：三角函数型。
高考数学常考压轴题及答案：抽象函数
高考数学常考压轴题及答案：抽象函数1500字高考数学常考的压轴题之一是关于抽象函数的题目。
抽象函数是高中数学中一个较为复杂的概念，但是在高考中，几乎每年都会出现与抽象函数相关的题目。
掌握了抽象函数的相关知识，对于解答这类问题将起到事半功倍的效果。
抽象函数是指以未知函数为自变量的函数。
在高考中，一般会给出具体的函数表达式，然后要求对其进行分析和求解。
下面是一道常见的抽象函数问题：已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $f(x)=2g(x)+1$ ，且 $g(x)$ 为奇函数，则函数$f(x)$ 的一个表达式是（）A. $f(x)=x+1$B. $f(x)=2x$C. $f(x)=x-2$D. $f(x)=3x-1$解析：根据已知条件 $f(x)=2g(x)+1$ ，我们可以得到 $g(x)=\\frac{f(x)-1}{2}$ 。
由于 $g(x)$ 是奇函数，即 $g(-x)=-g(x)$ ，代入 $g(x)$ 的表达式可以得到 $\\frac{f(-x)-1}{2}=-\\frac{f(x)-1}{2}$ 。
将表达式化简可得 $f(-x)=-f(x)$ ，即函数 $f(x)$ 为奇函数。
根据题目所给选项，只有选项 A 和 C 是奇函数，可以进行进一步的判断。
将选项 A 带入到原式中，得到 $f(x)=x+1$ ，不满足已知条件，所以选项 A 不是正确的答案。
将选项C 带入到原式中，得到$f(x)=x-2$ ，满足已知条件，所以选项C 是正确的答案。
答案：C另外，还有一类与抽象函数相关的常考压轴题是根据已知条件求解未知函数表达式的题目。
下面是一道例题：已知函数 $f(x)$ 满足 $f(3x-2)=5-x$ ，求函数 $f(x)$ 的表达式。
解析：由已知条件得到 $f(3x-2)=5-x$ ，我们可以发现，当自变量取值为$x=\\frac{2}{3}$ 时，整个函数的表达式会发生变化。
因此，我们可以令 $3x-2=\\frac{2}{3}$ ，求解出 $x$ 的值为 $x=\\frac{8}{9}$ 。
高考数学专题复习抽象函数
高考数学专题复习抽象函数高考常考抽象函数模型：1. 正比率函数型： f (x) kx(k 0)f (x y)f ( x)f ( y)2. 一次函数型：fx kx b f xyf x f y b 幂函数型：f ( x)x 2f ( xy)f (x) f ( y) ，f ( x)f ( x)3. yf ( y) 4.指数函数型：5.对数函数型：6.三角函数型：f ( x f (x)f ( x) a xy)f ( x y)f ( x) f ( y) ， f ( y)f ( xf ( x) log a xf ( xy)f (x)) f (x) f ( y)f ( y) ，yf (x y)f ( x)f ( y)f ( x) tan x1 f ( x) f ( y)1、直线型抽象函数例1.已知函数 f (x) 对随意实数 x, y ，均有 f ( x y)f ( x) f ( y)，且当 x0 时，f ( x)0 ，f ( 1) 2 ，求 f ( x) 在2,1 的值域2、指数函数型抽象函数 f ( x)知足：对随意实数 m ， n ，总有f ( m n)f (m) f (n) ，且当 x例 2.定义在 R 上的函数时，0 f ( x) 1 ．(1) 试求f (0)的值(2) 判断f (x)的单一性并证明3、对数函数模型1; ②对随意实数 b ，f ( x b)例 3.定义在R上的函数 f ( x) 知足：① f (10)bf ( x) ，当 x 1 时，f x 0f (1), f ( 1), f ( 1)(1) 求24 x, y, f ( xy) f (x)f ( y)(2) 求证：对随意正实数(3) 求证：f (x)是R上的增函数4、幂函数模型例 4.已知函数f ( x)对随意实数 x, y 都有 f ( x y)f (x) f ( y) 且 f ( 1) 1, f (27)9.当 0x 1时，0 f (x) 1判断f ( x)的奇偶性判断 f ( x) 在 0, 上的单一性，并证明若 a 0 ，且f ( a1) 39，求 a 的取值范围5、正切函数模型1 f ( x)f ( x m)例 5.若对常数m和随意实数x，都有等式1f ( x)建立，求证: f ( x) 是周期函数14,2 . 2 f 01, nmnm. 3 f 10. f1lg 1, f 12 lg 1. f xyf 10 lg xy f m nf n22 42f 10 lg xf 10 lg yxyx2 lg xy右 4 y1fxf x ,0 xxy. f xx 3 .0 a 2f f x1f ( x m) 1 1 f ( x)15 f (x2m)f (xm) m1 f ( x)4m1 f ( x m)1 f ( x)T1 f ( x)1 f ( x)练习：1.若xR ，f ( x)知足f ( xy) f ( x)f ( y)，若 x 0 时， f x， 比较大小f2 , f 0 , f 12.若xR ， f ( x) 知足f x1x 2f x 1f x 21,，则以下说法正确的选项是（）A.fx为奇函数B.f x为偶函数C.f x1为奇函数D.f x1为偶函数3.f (x)的定义域为 R ,fxy()fx( )fy( )对一确实数x, y建立，若f (8) 4，f (2)4.f (x)定义域为 R ，对随意x, yf ( x) f ( x) f ( y)，x1 时，f (x)0 ，f ( 1) 1R，都有y2，2（ 1）求证f (x)为减函数（ 2）解不等式f ( x) f (5 x)2f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 图像对于 x 1对称， x 1 , x 2 [ 0, 1]，有 f ( x1 x2 ) f (x 1) f ( x 2 ), f x 05.2 (1) 设f (1)2，求f ( 1)f7， f 2f 20152 ，4，3(2) 求函数yf xm. m1,2 在区间0,8上各零点之和fx 6.若f ( x)是定义在0,f x f y上的增函数，且y（ 1）求 f1 的值（ 2）若f61，解不等式 f x 3 f x27.函数f x对随意的实数m, n有f m nf mf n，当 x 0 时，有f x 0（ 1）求证 :f 0 0（ 2）求证 :f x在 R 上为减函数．（ 3）若 f 32 ，解不等式 f x 2 6f x 48.f (x)定义在 R 上不恒为零的偶函数，且对随意实数 x 都有xf ( x 1)(1 x) f (x) f ( 5)，则 2=19.已知函数fx知足：f 14 f x f yf x y f x y . x, y R ，则 f 20154 ， _____f 2 1 f 2f 2 2f 4 f 2 3 f 610.函数f ( x)知足：f ( a b)f (a ) f (b) ， f (1)2 ，则f 1f3f 5f 2 1005f 2010 f200911.函数f ( x)对随意的m, nR，都有f (m n) f (m) f (n) 1，而且当 x 0 时，f ( x) 1（ 1）求证：f ( x)在 R 上是增函数 （2）若 f (3) 4 ，解不等式 f ( a 2a 5) 2x, y ( 1,1)有 f ( x) f ( y)x y12.f ( x)在f (),1,1上为奇函数1,1上有定义，知足1xy 求证： f (x) 在13.函数f x对随意的实数m, n，有f m n f mf n，当x 0 时，有f x（ 1）求证：f 0 0（ 2）求证：f x在 R上为增函数．（ 3）若 f 11 ，解不等式 f 4 x2 x214. f ( x) 是定义在 (0, ) 上的增函数， f (xy)f ( x) f ( y) ， f (3) 1，解不等式 f ( x) f (x 8) 215.已知定义在, 1 (1, )上的奇函数，且知足：①f (3) 1②对随意的 x 2 ，均有f ( x) 0③对随意的 x, y R ，均有 f ( x 1) f ( y 1) f ( xy 1)（ 1）求f (2)的值（ 2）求证： f ( x) 在 (1,)上是单一递加16.设f ( x)是定义在 R 上的偶函数，且f x 31f ( x)，则f (7.5) 的值为 _____1 奇，f2f0 f 1.2 C.3 1,0 40，14，552, 42,1,3 2 ,32. 6 0,3,357, 16,. 8 0. 9 f 01, f 11 241111111f 2 x1 f x1f 2, f 34, f5, f67T6f2015y2x,24S40204, f44, f4. 10f x 2241 1 令 m x , n0 . f 3 3 f 12 f 12a3,2 . 12 x y0 f 00, x0 f y f y13 m n 0 f 0 0, x1m, x2x1n, n 0x2x1, 2x22x2 1 2x2x 1 f x2f x1f n014 f 9 2 f 3 2x808 x 9. 15 x y 1 f 2 0, x 0, y 1f y10f x 1 f xy 1 x x89x1xy116 f7.51f 1.5f 1.51 2。
从抽象走向具体——探索2009年各省市高考试题中抽象函数题型解法的策略
ｆ一ｆＩ；Ｉ一ｌ， 一 ｌ； 。 。 ・ 一 。
展 开行 列式 ， 得
４ ＋ （ ｃ ２ ） ２ ｂ ６ ２ 一 ａ （ ａ ＋ ２ ｂ ）一 ０ ｃ。 ，
（０ ６年 江西 省 宜 昌市初 中数 学竞赛 题） ２０
证 明 设 公共 根 为 ｚ ， 外两 个根 为 ， ， 。另 ７ 则 根据 定理 ， 得
李益民 舒林 军 （ 江省 兰 溪市 第一 中学 浙 ３ １０） ２ １ ０
由于抽 象 函数 没有具 体 的 解 析式 ， 只具 有 函 数 某些 性 质 或 特 性 ， 因此 ， 多 同 学 做 此 类 题 型 许 时 ， 常摸不 着 边 ， 从 下 手． ０ ９年 许 多省 市 高 常 无 ２０ 考 数学 卷都 以此 类 型 的选择题 或填 空题 的形式 来
ｃ ａ一 ６ （ ）
一 —
整 理 得 ｂ （。 Ｃ 一 ＆ ）一 ｏ ６ ＋ ．
因为 ａ ｂ Ｃ ， ， 是正 数 ， 以 ＋Ｃ ｎ ． 所 。一 由勾 股 定理 的逆定 理知 ： ， ， ａ ｂ Ｃ为直 角三 角形 的三 边．
ｂ
— —
ａ
Ｃ ‘ ．
综 上所 述可 知 ， 用 两 个 一元 二 次方 程 有 一 应
公共 根 的定 理解题 ， 关键 在 于 ： 先观 察两 个 一 其 首 元二 次 方程 二次 项 的系 数 、 次 项 的 系数 及 常数 一
因 为 为方程 ｚ ＋（ ＋ｂ ２ Ｊ ｇ ｃ一 ０的另 一根 ， 所
以 Ｃ— ｂＣ 即 ＝ ｂ ， ．
项 ， 后 根据定 理 的充 要条 件 ， 出有关 的二 阶行 然 列
一
对称 性 知 ９ 斗 ｚ ２ １ ２一一 １ ， ３ ｚ ２ ｚ ＋ ４— ４ 所 以 ｚ ＋ ， １
抽象函数-题型大全(例题-含答案)[1]
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高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难,学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质,培养灵活性；提高解题能力,优化学生数学思维素质.现将常见解法及意义总结如下: 一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x 。
解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法:在已知(())()fg xh x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x 。
此解法简洁,还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(｜x |≥1)3。
待定系数法：先确定函数类型,设定函数关系式，再由已知条件,定出关系式中的未知系数。
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2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数D7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有ba b f a f ++)()(＞0（1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）.若f （k )293()3--+⋅x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。
9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:()()()f a b af b bf a •=+.(1)求(0),(1)f f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈,求数列{n u }的前n 项和n s .12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求(2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式.13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0.(1)求(1)f ;(2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明.14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13f >.(1)求(0)f 的值;(2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;(3)若0a b c >>>且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>.15.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=•,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明: ()f x 在R 上单调递减;(3)设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f •>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B =Φ,试确定a 的取值范围.16.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. (1)用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数;(2)证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称. (1)求(0)f 的值;(2)证明: 函数()f x 是周期函数;(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象.18．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。
（1）证明：(1)0f =；（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。
19．设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==． （1）试判断函数()y f x =的奇偶性；（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。
21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 +f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
22. 设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。
求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
23. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。
同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。
24. 设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。
如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g （a ＋b ）＝g （a ）·g （b ）是否正确，试说明理由。
25. 己知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f （a ）＝－1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）； ③当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0。
答案：1. 解：令1x = -1，2x =x ，得f (-x )= f (-1)+ f (x ) ……①为了求f (-1)的值，令1x =1，2x =-1，则f (-1)=f (1)+f (-1),即f (1)=0,再令1x =2x =-1得f (1)=f (-1)+f (-1)=2f (-1) ∴f (-1)=0代入①式得 f (-x )=f (x ),可得f (x )是一个偶函数。
2. 分析：根据函数的定义域，-m ，m ∈[-2,2]，但是1- m 和m 分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x )有性质f （-x )= f (x )=f ( |x | )，就可避免一场大规模讨论。
解：∵f (x )是偶函数， f (1-m )<f (m ) 可得)()1(m f m f <-，∴f (x )在[0，2]上是单调递减的，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤>-202101m m m m ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤->+-222122122m m m m m 化简得-1≤m <21。
3. 解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。
又f(x)是奇函数，且在x ＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。
4. 解：由f （)21x x +=f （)()21x f x ⋅，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0,21x x 知 f （x ）=f （)2()2xf x ⋅≥0，x []1,0∈2)]21([)21()21()2121()1(f f f f f =⋅=+= ， f （1）=2，.2)21(21=∴f 同理可得412)41(=f5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f （x ）是周期函数。
由条件得f （x ）≠1，故f （x+2）=,)(1)(1x f x f -+f （x+4）=)(1)(1)(11)(1)(11x f x f x f x f x f -=-+--++. 所以f （x+8）=)()4(1x f x f =+-.所以f （x ）是以8为周期的周期函数， 从而f （2001）=f （1）=1997说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
6.证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。
（2）问题中令x=0即得f （y ）+f （- y ）=2f （0）f （y ）， 且f （0）=1.所以f （y ）+f （-y ）=2f （y ），因此y=f （x ）为偶函数.说明：这类问题应抓住f （x ）与f （-x ）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。
7. 解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（－6，－2）上递减。
令u=2-x ，则当x ∈(4,8)时，u 是减函数且u ∈(-6,-2)，而f(u)在（－6，－2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。
所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。
8. 解：（1）.因为a ＞b ，所以a-b ＞0，由题意得ba b f a f --+)()(＞0，所以f （a ）+f （－b ）＞0，又f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （－b ）=－f （b ）， f （a ）－f （b ）＞0，即f （a ）＞f （b ）（2）.由（1）知f （x ）在R 上是单调递增函数，又f )3(x k ⋅＋f )293(--x x ＜0，得f )3(x k ⋅＜f )239(+-x x ，故x k 3⋅＜239+-x x ，所以k ＜1323-+xx 令t ＝]3,31[3∈x,所以k ＜t+12-t ，而t+t2≥22，即k ＜22－19.解：22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++等价于2222222222sin 33sin 311cos 32cos 205sin 1cos 1cos sin 14a x a x a a x a x a a x a x a a x x a a ⎧⎧⎧-≤-≤⎪-≤-⎪⎪⎪++≤⇒-≤-⇒-≤⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≥++--≥+⎩⎩⎪--≥⎩⇒2a a a a a ⎧⎪≤⎪⎪≤⇒≤≤⎨⎪⎪≤≥⎪⎩10.（1）证明：令y x =-，得()()()f x x f x f x -=+-⇒()()(0)f x f x f +-= 令0x y ==，则(0)2(0)f f =()00f ⇒=∴()()0f x f x +-=()()f x f x -=- ∴()f x 是奇函数。
（2）∵(24)(3)(21)2(3)(18)...8(3)f f f f f f =+=+== 又∵(3)(3)f a f a -=⇒=-⇒(24)8f a =- 11.（1）解：令0a b ==，则(0)0f = 令1a b ==，则(1)2(1)(1)0f f f =⇒=（2）证明：令1a b ==-，则(1)2(1)f f =-，∵(1)0f =，∴(1)0f -= 令,1a x b ==-，则()(1)()()f x xf f x f x -=--=- ∴()f x 是奇函数。