函数概念典型例题
函数的三要素典型例题
函数定义域的求法及常见题型一、函数定义域求法(一)常规函数函数解析式确定且已知，求函数定义域。
其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式(或组)，即得函数定义域。
例1.求函数y=-2—2x T5的定义域。
lx+31—8(二)抽象函数1.有关概念定义域：函数y=f(x的自变量x的取值范围，可以理解为函数f(x图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变谶取值范围；2.四种类型题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为［m,n］，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？例题2.已知函数y=f(x)的定义域［0,3］，求函数y=f(3+2x)的定义域强化训练：1.已知函数y=f(x)的定义域［-1,5］，求函数y=f(3x-5)的定义域；2.已知函数y=f(x)的定义域［1/2,2］，求函数y=f(log2x)的定义域；3.已知f(x)的定义域为［—2,2］,求f(x2—1)的定义域。
题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域［m,n］,如何求抽象函数y=f(x)的的定义域? 例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域［0,3］,求函数y=f(x)的定义域.强化训练：1.已知函数y=f(x2-2x+2)的定义域［0,3］,求函数y=f(x)的定义域.2.已知函数y=f［lg(x+1)］的定义域［0,9］,求函数y=f(x)的定义域.题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域［m,n］,如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域［0,函，求函数y=f(3+x)的定义域.强化训练：1.已知函数y=f(x+1)的定义域［-2,3］，求函数y=f(2x-1)的定义域.2.已知函数y=f(2x)的定义域［-1,1］，求函数y=f(logx)的定义域.23.已知f(x+1)的定义域为［-1/2,2］,求f(x2)定义域。
初二关于函数的10题典型例题
初二关于函数的10题典型例题初二数学中关于函数的典型例题有很多，下面列举了其中的10题，并进行了解答。
1. 已知函数 f(x) = 2x + 1，求 f(3) 的值。
解答：将 x 替换为 3，计算得 f(3) = 2 * 3 + 1 = 7。
2. 已知函数 g(x) = x^2 + 3x，求 g(-2) 的值。
解答：将 x 替换为 -2，计算得 g(-2) = (-2)^2 + 3 * (-2) = 4 - 6 = -2。
3. 已知函数 h(x) = 4x^3 + 2x^2 + x，求 h(0) 的值。
解答：将 x 替换为 0，计算得 h(0) = 4 * 0^3 + 2 * 0^2 + 0 = 0。
4. 已知函数 f(x) = 3x - 2，求 f(1/2) 的值。
解答：将 x 替换为 1/2，计算得 f(1/2) = 3 * (1/2) - 2 = 1/2 - 2 = -3/2。
5. 已知函数 g(x) = 2x + 3，求使得 g(x) = 7 的 x 的值。
解答：将 g(x) = 7，解方程得 2x + 3 = 7，即 2x = 4，x = 2。
6. 已知函数 h(x) = 5x^2 + 4x + 1，求使得 h(x) = 0 的 x 的值。
解答：将 h(x) = 0，解方程得 5x^2 + 4x + 1 = 0，该方程可以因式分解为 (5x + 1)(x + 1) = 0，得到 x = -1 或 x = -1/5。
7. 已知函数 f(x) = 2x^2 + 5x + 3，求 f(-1) 的值。
解答：将 x 替换为 -1，计算得 f(-1) = 2 * (-1)^2 + 5 * (-1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0。
8. 已知函数 g(x) = 3x^2 + 2x + 1，求 g(2) 的值。
解答：将 x 替换为 2，计算得 g(2) = 3 * 2^2 + 2 * 2 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17。
高一数学必修1第一章第二节基本初等函数
精心整理第二章：函数及其表示第一讲：函数的概念：知识点一：函数的概念：典型例题：判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数：A=z,B=Z,A=Z,B=Z,A={-1,1},B={0},f:）））巩固练习：已知函数f(-3),的值时，求知识点三：函数相等：如果两个函数的定义域相等，并且对应关系完全一致，那么我们称这两个函数一致。
典型例题3：下列函数中，f(x)与g(x)相等的是（）A、B、C、D、巩固练习：）(2)）(4)知识点四：区间的表示：零售量是否为月份的函数？为什么？知识点二：分段函数：典型例题1：作出下列函数的图像：（1）f(x)=2x,x∈Z，且|x|≤2（2）y=|x|典型例题2：某市“招手即停”公共汽车票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加一元（不足5公里按5f:（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f:数轴上的点所代表的实数对应。
（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={（x,y）|x ∈R，y∈R}，对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A={x|x是三角形}；集合B={x|x是圆}；对应关系f:每个三角形都有对应它的内切圆。
课堂练习：1、如图，把截面半径为25cm的圆形木头据成矩形木料，如果中元素作业布置：1、求下列函数的定义域：（1）2、下列哪一组中的函数f(x)与g(x)相等？3、画出下列函数的图像，并说明函数的定义域和值域（1）y=3x(2)(3)y=-4x+5(4)x2-6x+74、已知函数f(x)=3x2-5x+2,求的值。
函数的定义
对应法则： y ax
4ac b 2 y , 当a 0 4a B 2 4 ac b y , 当a 0 4a
2
bx c
x
函数的三要素：①定义域 ②值域 ③对应关系 函数的三要素作为判断两个函数是否是 同一函数的判断依据
, a (, a) _______ ( a , ) [ a , ) ( , ) 符号 _________ ______ _
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示. ( )
(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为［2，+∞］. ( )
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念 第一课时 函数的概念
实例1 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为 845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的 规律是
h 130t 5t 2 .
（1）你能得出炮弹飞行1s、5s、10s、20s时距离地面多高吗？ （2）t的变化范围是多少？ （3）可以得出什么结论？
（3）设 A= Z，B= Z, f:
x . x
【解题探究】1.当已知的对应关系用图象表示时，怎样判断其是否为函数 关系？ 2.一般依据什么来说明一个对应关系是不是函数关系？
（1）是 （2）是 （3）不是
类型 二 用区间表示数集 【典型例题】 1.用区间表示数集{x|x≤2或x＞3}为____________.
【拓展提升】用区间表示数集的两个注意点 (1)弄清区间的含义，掌握一般区间形式所对应的数集. (2)注意数集中的符号“≤”“≥”“＜”及“＞”与区间中的符号 “［”“］”“(”“)”的对应关系.
函数性质典型例题4个
函数基本性质综合应用典型例题1、已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围 选题理由：本题属于函数单调性和奇偶性的综合应用问题，对于学生更深更好的理解函数定义域、函数单调性和函数奇偶性有好的思维帮助。
22222(1)(1)0(1)(1)()(1)(1)11111101a f a f a f a f a f x f a f a a a a a a -+-<-<---<-⎧-<⎪-<⎨⎪->-⎩<<解：即：又函数为奇函数所以：又函数定义域为（-1，1）且在定义域上单调递减-1<所以：-1<解得：所以的取值范围为（0，1）变式：若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（ ） A )23(-f >)252(2++a a f B )23(-f <)252(2++a a f C )23(-f ≥)252(2++a a f D )23(-f ≤)252(2++a a f2、函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．选题理由：主要考察常见函数的单调性（逆向思维问题）。
本题是学生易犯错的题目类型，往往误认为是二次函数从而出现错误；此题要求学生对于此类问题应首先确定函数的类型，即体现分类讨论思想。
解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[-1，＋∞)上是增函数．若a>0，则 3111,025a a a -≤-<≤即：若a ＜0时， 311,02a a a -≥-<即：∴a 的取值范围是15a ≤．变式：已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数3、当]1,0[∈x 时，求函数223)62()(a x a x x f +-+=的最小值 选题理由：本题隶属于二次函数在闭区间的最值问题，属于基本题型，要求学生熟练掌握。
第三章 函数的概念与性质典型易错题集(解析版)
第三章 函数的概念与性质典型易错题集易错点1．忽视定义域表示的是谁的范围【典型例题1】（2022·黑龙江让胡路·大庆中学高一月考）已知函数()y f x =的定义域为[)1,2-，则函数()2y f x =+的定义域为（ ）A ．[]3,0-B ．[)1,4C ．[)3,0-D ．(]1,4【错解D 】因为函数()y f x =的定义域为[)1,2-，即12x -≤<，对于()2y f x =+有124x ≤+<。
点评：本题错解在于将()y f x =中的“x ”与()2y f x =+中的“x ”当成同一个量，其次就是没有理解函数定义域的定义，表示的是“x ”的取值范围，本题错解反而求()2y f x =+中2x +的取值范围当做定义域。
【正解】C 【详解】因为函数()y f x =的定义域为[)1,2-， 所以122x -≤+<，解得30x -≤< 所以函数(2)y f x =+的定义域为[)3,0-. 故选：C.易错点2．解不等式问题时忽略讨论最高项系数是否为0【典型例题2】（2022·黑龙江让胡路·大庆中学高一月考）若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(](),04,-∞+∞【错解A 】函数的定义域为R ，即不等式224mx mx ++>0的解集为R2416004m m m m >⎧⇒<<⎨⎩∆=-<点评：在解不等式问题时，本题错解漏了考虑最高项系数为0的情况，在解不等式问题时，需要特别注意最高项系数为0的情况。
【正解】B 【详解】函数的定义域为R ，即不等式224mx mx ++>0的解集为R（1）当0m =时，得到40>，显然不等式的解集为R ；（2）当0m <时，二次函数224y mx mx =++开口向下，函数值y 不恒大于0，故解集为R 不可能． （3）当0m >时，二次函数224y mx max =++开口向上，由不等式的解集为R ， 得到二次函数与x 轴没有交点，即24160m m ∆=-<，即(4)0m m -<，解得04m <<； 综上，a 的取值范围为[)0,4 故选：B易错点3．忽视函数的定义域【典型例题3】（2022·全国高一单元测试）若1)f x =+()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x x =-B ．2()(0)f x x x x =+≥C ．()2()1f x x x x =-≥D ．2()f x x x =+【错解A 】1)f x =+1t =，则2(1)x t =-， ∴22()(1)1f t t t t t =-+-=-，， ∴函数()f x 的解析式为2()f x x x =-．点评：本题错解在换元时没有考虑变量的取值范围，换元必换范围。
函数的定义
高一数学函数的定义一、考点、热点回顾1、判断函数2、求函数值3、求函数的定义域和值域二、典型例题1、函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．函数的判断方法：1、A和B必须是非空数集2、每个x必须有所对应3、一个x只能对应一个y (一个y却可以对应多哥x)注意：1、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；2、f(x)表示一个整体，是一个函数；记号“f”可以看做是对x施加的某种运算法则；f(x)表示与x对应的函数值，是一个数，而不是f乘x3、A一定是定义域而B不一定是值域，值域是{f(x)| x∈A }【例一】判断下列对应关系是不是函数x1、A={ x| x∈Z }，B={ y| y∈Z },对应法则：y=32、A={ x|x>0, x∈R}，B={ y| y∈R },对应法则：2y =3x3、A={ x| x∈R }，B={ y| y∈R },对应法则：2y+2x =254、A=R,B=R, 对应法则：y=2x5、A={ x|-1<X<1, x∈R },B={0 },对应法则：y=0练习：判断下列图形表示的是不是函数【例二】求函数值：1、已知f(x)=x+4,求：f(x-1)，f(1/x), f(-a)2、定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)= f(x)+ f(y)+2xy (x,y∈R)，f(1)=2，则f(-3)等于多少？练习：若f(x)满足f(ab)= f(a) +f(b),且f(2)=p, f(3)=q,则f(72)等于多少？2、函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为是使函数解析式有意义的所有x的集合，但是要注意，在实际问题中定义域收到实际意义的制约。
高中函数数学典型例题
高中《函数》典型例题例1下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？（1）矩形的面积一定，它的长与宽；（2）任意三角形的高与底；（3）矩形的周长与面积；（4）正方形的周长与面积．例2下面的表分别给出了变量x与y之间的对应关系，判断y是x的函数吗？如果不是，说明出理由.x12345y3691215x12345y71181215x12321y2510-5-2x12345y99999例3判断下列关系是不是函数关系？（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高；（4）关系式|y|=x中的y与x.例4汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围.例5如图，是某个篮球运动员在五场比赛中的得分情况，依据图回答：（1）该运动员第一场球得多少分；（2）哪场球得分比前一场得分少？（3）在五场比赛中最高得分是多少？最低得分是多少？（4）从这五场比赛中的得分情况分析，该运动员的竞技状态怎么样？参考答案例1解：（1）矩形的面积确定时，它的宽取一个值，就有惟一确定的y的值与宽对应，因此这是一个函数关系．（2）当一个三角形的底取一个值时，它的高并不能确定，因此“三角形的高与底”不是函数关系．（3）当矩形的周长是一个确定的值时，由于长、度不能确定，它的面积也不确定，这也不是函数关系．（4）当正方形的周长确定了，它的边长也确定，因此面积也确定，这是函数关系．例2解：（1）y是x的函数；（2）y是x的函数；（3）y不是x的函数，因为对于变量x=1，变量y有1与-1两个值与它对应；（4）y是x的函数说明：对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应.第四个是常数函数它符合函数的定义.例3分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应.解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以长与面积是函数关系.（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系.（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高是函数关系.（4）x每取一个正值，y都有两个值与它对应，所以|y|=x不是函数关系.说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系.例4分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程等于速度乘以时间.解：85080S t=-00S t ≥⎧⎨≥⎩ 得850800t t -⎧⎨≥⎩850.8t ∴≤≤于是汽车距沈阳的路程S 与时间t 的函数关系式为85080S t =-，自变量t 的取值范围是850.8t ≤≤例5解：（1）这个运动员在第一场比赛中得21分.（在场次栏中找到“1”，然后在得分栏中找到相应的得分）（2）第二场球比第一场球得分少，竞技状态趋下.（图形向下）（3）第五场比赛得分最高为36分，第一场比赛得分最低21分.（4）从这五场的比赛得分情况看，该运动员目前的竞技状态是向前发展，其趋势是良好的.（从第二场球之后图形全部向上.）说明：本题考查学生的识图能力。
(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质典型例题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质典型例题单选题1、函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（）A．f(x)+g(x)为奇函数B．f(x)+g(x)为偶函数C．f(x)g(x)为奇函数D．f(x)g(x)为偶函数答案：C分析：依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.令F1(x)=f(x)+g(x)，则F1(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)≠−F1(x),且F1(−x)≠F1(x)，∴F1(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；令F2(x)=f(x)g(x)，则F2(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−F2(x),且F2(−x)≠F2(x)，∴F2(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选：C2、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试③后续保养的费用是每单位(x+600x剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元， 职工的工资总额为7500+20x 元，后续保养总费用为x (x +600x−30)元，则y =50x+7500+20x+x 2−30x+600x=x +8100x+40≥2√x ⋅8100x+40=220，当且仅当x =8100x，即x =90时取等号，满足50≤x ≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位． 故选：D ． 3、函数f(x)=0√x−2）A ．[2，+∞)B ．(2，+∞)C ．(2，3)∪(3，+∞)D ．[2，3)∪(3，+∞) 答案：C分析：要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零. 要使函数f(x)=0√x−2有意义，则{x −3≠0x −2>0，解得x >2且x ≠3， 所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞). 故选：C.小提示：具体函数定义域的常见类型： （1）分式型函数，分母不为零；（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零； （3）对数型函数，真数大于零；（4）正切型函数，角的终边不能落在y 轴上；（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.4、已知幂函数f(x)=k ⋅x α的图象经过点(3,√3)，则k +α等于（ ） A ．32B ．12C ．2D ．3 答案：A分析：由于函数为幂函数，所以k =1，再将点(3,√3)代入解析式中可求出α的值，从而可求出k +α 解：因为f(x)=k ⋅x α为幂函数，所以k =1，所以f(x)=x α， 因为幂函数的图像过点(3,√3)， 所以√3=3α，解得α=12，所以k +α=1+12=32， 故选：A5、“当x ∈(0,+∞)时，幂函数y =(m 2−m −1)x m 2−2m−3为减函数”是“m =−1或2”的（ ）条件A ．既不充分也不必要B ．必要不充分C ．充分不必要D ．充要 答案：C分析：根据幂函数的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 当x ∈(0,+∞)时，幂函数y =(m 2−m −1)x m2−2m−3为减函数，所以有{m 2−m −1=1m 2−2m −3<0⇒m =2， 所以幂函数y =(m 2−m −1)x m 2−2m−3为减函数”是“m =−1或2”的充分不必要条件，故选：C6、已知函数f(x)在定义域R 上单调，且x ∈(0,+∞)时均有f(f(x)+2x)=1，则f(−2)的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．−1 答案：A分析：设f(x)+2x =t ，则f(x)=−2x +t ，即可由f(f(x)+2x)=1得f(t)=−2t +t =1，解出t ，从而得到f(x)=−2x −1，进而求出f(−2)的值．根据题意，函数f(x)在定义域R 上单调，且x ∈(0,+∞)时均有f(f(x)+2x)=1， 则f(x)+2x 为常数，设f(x)+2x =t ，则f(x)=−2x +t ，则有f(t)=−2t +t =1，解可得t =−1，则f(x)=−2x −1，故f(−2)=4−1=3； 故选：A.7、设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1+x )=f (−x ).若f (−13)=13，则f (53)=（ ） A ．−53B ．−13C ．13D ．53 答案：C分析：由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f (53)的值. 由题意可得：f (53)=f (1+23)=f (−23)=−f (23)，而f (23)=f (1−13)=f (13)=−f (−13)=−13， 故f (53)=13. 故选：C.小提示：关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8、已知函数f (1x +1)=2x +3．则f (2)的值为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：B分析：根据题意，令1x +1=2可得x 的值，将x 的值代入f(1x +1)=2x +3，即可得答案． 解：根据题意，函数f(1x +1)=2x +3，若1x +1=2，解可得x =1， 将x =1代入f (1x +1)=2x +3，可得f (2)=5，故选：B ．9、已知幂函数的图象经过点P (4,12)，则该幂函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB 即可. 设幂函数为y =x α，因为该幂函数得图象经过点P (4,12)， 所以4α=12，即22α=2−1，解得α=−12， 即函数为y =x −12，则函数的定义域为(0,+∞)，所以排除CD ，因为α=−12<0，所以f(x)=x −12在(0,+∞)上为减函数，所以排除B ， 故选：A10、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x −4)=−f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ） A ．f (16)<f (−17)<f (18)B ．f (18)<f (16)<f (−17) C ．f (16)<f (18)<f (−17)D ．f (−17)<f (16)<f (18) 答案：D分析：推导出函数f(x)是周期函数，且周期为8，以及函数f(x)在区间[−2,2]上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出f(16)、f(−17)、f(18)的大小关系.由题意可知f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，故函数f(x)是周期函数，且周期为8，则f(16)=f(0)，f(−17)=f(−1)，f(18)=f(2)，因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，则该函数在区间[−2,0]上也为增函数，故函数f(x)在区间[−2,2]上为增函数，所以f(−1)<f(0)<f(2)，即f(−17)<f(16)<f(18).故选：D.填空题11、已知f(x)=k⋅2x+2−x为奇函数，则k=______．答案：−1分析：根据奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，即(k+1)⋅(2−x+2x)=0，由此可求得答案.由题意f(x)=k⋅2x+2−x是奇函数，则f(−x)=−f(x)，即k⋅2−x+2x=−k⋅2x−2−x，故(k+1)⋅(2−x+2x)=0，由于2−x+2x≠0，故k=−1，所以答案是：−112、设m为实数，若函数f(x)=x2−mx+m+2（x∈R）是偶函数，则m的值为__________.答案：0分析：根据函数的奇偶性的定义可得答案.解：因为函数f(x)=x2−mx+m+2（x∈R）是偶函数，所以f(−x)=f(x)，所以(−x)2−m(−x)+m+2=x2−mx+m+2，得2mx=0，所以m=0，所以答案是：0.13、函数y=√7+6x−x2的定义域是_____.分析：由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得7+6x−x2≥0,即x2−6x−7≤0解得−1≤x≤7，故函数的定义域为[−1,7].小提示：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．14、已知幂函数f(x)=x p2−2p−3 (p∈N∗)的图像关于y轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，实数a满足(a2−1)p3<(3a+3)p3，则a的取值范围是_____．答案：−1<a<4分析：根据幂函数的性质求出p的值，根据幂函数的单调性得到关于a的不等式解出即可.∵幂函数f(x)=x p2−2p−3(p∈N∗)在(0，+∞)上是减函数，∴p2−2p−3<0，解得−1<p<3，∵p∈N∗，∴p=1或2．当p=1时，f(x)=x−4为偶函数满足条件，当p=2时，f(x)=x−3为奇函数不满足条件，则不等式等价为(a2−1)p3<(3a+3)p3，即(a2−1)13<(3a+3)13，∵f(x)=x13在R上为增函数，∴a2−1<3a+3，解得：−1<a<4.所以答案是：−1<a<4.15、设函数f(x)={x,x≤1,(x−1)2+1,x>1,则不等式f(1−|x|)+f(2)>0的解集为________．分析：根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.由函数解析式知f(x)在R上单调递增，且−f(2)=−2=f(−2)，则f(1−|x|)+f(2)>0⇒f(1−|x|)>−f(2)=f(−2)，由单调性知1−|x|>−2，解得x∈(−3,3)所以答案是：(−3,3)小提示：关键点点睛：找到函数单调性，将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可.解答题16、已知集合A={x|2<x<4}，集合B={x|m−1<x<m2}.(1)若A∩B=∅；求实数m的取值范围；(2)命题p:x∈A，命题q:x∈B，若p是q的充分条件，求实数m的取值集合.答案：(1)−√2≤m≤√2或m≥5(2){m|m≤−2或2≤m≤3}分析：（1）讨论B=∅或B≠∅，根据A∩B=∅列不等式组即可求解.（2）由题意得出A⊆B，再由集合的包含关系列不等式组即可求解.（1）∵A∩B=∅，∴当B=∅时，m－1≥m2，解得：m∈∅.当B≠∅时，m－1≥4或m2≤2，∴−√2≤m≤√2或m≥5.（2）∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B，∴{m−1≤2m2≥4，解得：m≤－2或2≤m≤3.所以实数m的取值集合为{m|m≤−2或2≤m≤3}17、已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且对任意的正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)>0，f(4)=1．（1）求证：f(1)=0；（2）求f (116)；（3）解不等式f (x )+f (x −3)≤1．答案：（1）证明见解析；（2）f (116)=−2；（3）{x|3<x ≤4}．分析：（1）令x =4，y =1，由此可求出答案；（2）令x =y =4，可求得f (16)，再令x =16，y =116，可求得f (116)；（3）先求出函数f (x )在(0,+∞)上的单调性，根据条件将原不等式化为f [x (x −3)]≤f (4)，结合单调性即可求出答案．解：（1）令x =4，y =1，则f (4)=f (4×1)=f (4)+f (1)， ∴f (1)=0；（2）∵f (16)=f (4×4)=f (4)+f (4)=2，f (1)=f (116×16)=f (116)+f (16)=0， ∴f (116)=−2；（3）设x 1、x 2>0且x 1>x 2，于是f (x1x 2)>0，∴f (x 1)=f (x 1x 2⋅x 2)=f (x1x2)+f (x 2)>f (x 2)，∴f (x )在(0,+∞)上为增函数，又∵f (x )+f (x −3)=f [x (x −3)]≤1=f (4)， ∴{x >0x −3>0x (x −3)≤4 ，解得3<x ≤4， ∴原不等式的解集为{x|3<x ≤4}．18、对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)=ωx 0，则称x 0是f (x )的一个“伸缩ω倍点”.已知二次函数f (x )=ax 2−ax −(a +3)(a ≠0).(1)当a ＝1时，求函数f (x )的“伸缩2倍点”；(2)当函数f (x )有唯一一个“伸缩3倍点”时，求二次函数f (x )=ax 2−ax −(a +3)的最大值.答案：(1)－1和4(2)当a =−35时，最大值为−94；当a =−3时，最大值为34分析：（1）根据“伸缩2倍点”的定义可得f(x 0)=x 02−x 0−4=2x 0，再根据二次方程求解即可；（2）将题意转化为ax 2−(a +3)x −(a +3)=0有唯一解，再根据判别式为0可得a =−35或a ＝－3，再分别代入f (x )=ax 2−ax −(a +3)根据二次函数的性质求解最大值即可. （1）当a ＝1时，f (x )=x 2−x −4，设x 0是f (x )的“伸缩2倍点”，则f(x 0)=x 02−x 0−4=2x 0，得x 02−3x 0−4=0，解得x 0=−1或x 0=4，∴函数f (x )的“伸缩2倍点”是－1和4. （2）∵函数f (x )有唯一一个“伸缩3倍点”，∴方程ax 2−ax −(a +3)=3x 有唯一解，即ax 2−(a +3)x −(a +3)=0有唯一解，由Δ=(a +3)2+4a (a +3)=(a +3)(5a +3)=0，解得a =−35或a ＝－3. ①当a =−35时，二次函数f (x )=ax 2−ax −(a +3)=−35x 2+35x −125=−35(x 2−x +4) =−35[(x −12)2+4−14]=−35(x −12)2−94，最大值为−94.②当a =−3时，二次函数f (x )=ax 2−ax −(a +3)=−3x 2+3x =−3(x 2−x )=−3[(x −12)2−14] =−3(x −12)2+34，最大值为34.19、已知函数f (x )=x +1x .(1)请判断函数f (x )在(0,1)和(1,+∞)内的单调性，并证明在(1,+∞)的单调性； (2)若存在x ∈[14,12]，使得x 2−ax +1≥0成立，求实数a 的取值范围.答案：(1)f (x )在(0,1)上递减，在(1,+∞)递增，证明见解析 (2)(−∞,174]分析：（1）利用单调性的定义判断证明即可；（2）问题转化为存在x ∈[14,12]，a ≤x +1x ，所以只要求出f (x )=x +1x 的最大值即可求解.（1）f (x )在(0,1)上递减，在(1,+∞)递增， 证明：任取x 1,x 2∈(1,+∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=x 2+1x 2−x 1−1x 1 =(x 2−x 1)+x 1−x 2x 1x 2=(x 2−x 1)(1−1x 1x 2) =(x 2−x 1)x 1x 2−1x 1x 2因为1<x 1<x 2，所以x 2−x 1>0，x 2x 1−1>0， 所以f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)， 所以f (x )在(1,+∞)上单调递增，（2）由存在x ∈[14,12]，使得x 2−ax +1≥0成立， 得存在x ∈[14,12]，使得a ≤x +1x 成立， 由（1）可知f (x )=x +1x 在x ∈[14,12]上递减， 所以当x =14时，f (x )取得最大值，即f (x )max =14+114=174， 所以a ≤174，即实数a 的取值范围为(−∞,174]。
函数的基本性质含答案
当 时，
， ，
则 当 时，
， ，
则 故 .
∴f〔－*〕=－f〔*〕.∴f〔*〕是奇函数.
〔2〕证明：任取*1、*2∈R，且*1＜*2，则f〔*1〕－f〔*2〕=f〔*1〕－f［*1+〔*2－*1〕］=f〔*1〕－［f〔*1〕+f〔*2－*1〕］=－f〔*2－*1〕.由*1＜*2，∴*2－*1＞0.∴f〔*2－*1〕＜0.
∴－f〔*2－*1〕＞0，即f〔*1〕＞f〔*2〕，从而f〔*〕在R上是减函数.
4．如果偶函数在 具有最大值，则该函数在 有〔 〕
A．最大值 B．最小值C ．没有最大值D． 没有最小值
5．函数 ， 是〔 〕
A．偶函数B．奇函数C．不具有奇偶函数D．与 有关
6．函数 在 和 都是增函数，假设 ，且 则〔 〕
A． B．
C． D．无法确定
7．函数 在区间 是增函数，则 的递增区间是〔 〕
〔3〕解：由于f〔*〕在R上是减函数，故f〔*〕在［－3，3］上的最大值是f〔－3〕，最小值是f〔3〕.由f〔1〕=－2，得f〔3〕=f〔1+2〕=f〔1〕+f〔2〕=f〔1〕+f〔1+1〕=f〔1〕+f〔1〕+f〔1〕=3f〔1〕=3×〔－2〕=－6，f〔－3〕=－f〔3〕=6.从而最大值是6，最小值是－6.
C． D．
2．如果奇函数 在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，则 在区间 上是 ( )
Ａ．增函数且最小值为 Ｂ．增函数且最大值为
Ｃ．减函数且最小值为 Ｄ．减函数且最大ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为
3．以下函数中，在区间(0，2)上为增函数的是 ( )
A． B． C． D．
4．对于定义域是R的任意奇函数 有 ( )
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函数概念及其表示---典例分析
例1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）. 选题理由：函数三要素。
A. 1,x
y y x
==
B. 11,y x y =
+= C. ,y x y ==
D. 2||,y x y ==
点评：有利于理解函数概念，强化函数的三要素。
变式：
1．函数f (x )= 2(1)x
x x ⎧⎨+⎩
,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）.
A. 1 B .2 C. 3 D. 4
例2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M
为定义域，N 为值域的函数关系的是（ B ）.
选题理由：更好的帮助学生理解函数概念，同时也体现函数的重要表示法图像法，图形法是数形结合思想应用的前提。
变式：
1．下列四个图象中，不是函数图象的是（B ）.
2．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）. A. f ：x →y ＝
1
2x B. f ：x →y ＝
1
3x C. f ：x →y ＝1
4x
D. f ：x →y ＝1
6
x
A. B. C. D.
函数的表达式及定义域—典例分析
【例1】 求下列函数的定义域： （1）1
21
y x =
+-；（2
）y =
.
选题理由：考查函数三要素，定义域是函数的灵魂。
解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.
（2
）由30
20
x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，
所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由：函数的重要表示法，解析式法。
变式：
1
．函数y =的定义域为（ ）.
A. (,1]-∞
B. (,2]-∞
C. 11(,)(,1]22-∞--
D. 1
1(,)
(,1]2
2
-∞-- 2．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)-
【例2】已知函数1(
)1x
f x x
-=+. 求：
（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1
(2)3f =-.
（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=
+，所以1()1t f t t -=+，即1()1x
f x x
-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.
变式：
1．已知()f x
＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 2．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = .
【例
2】 已知f (x )=33x x
-+⎪⎩ (,1)
(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.
选题理由：分段函数生活重要函数，是考察重点。
解：∵ 0(,1)∈-∞
， ∴ f
又 ∵
>1，
∴ f
)3)-3=2+
12=52，即f [f (0)]=5
2
. 点评：体现了分类讨论思想。
2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为
t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.。