函数的概念与表示知识点与经典题型归纳
函数的概念及其表示方法知识点及题型总结
函数的概念及其表示方法一、函数的基本概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域。
函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域；B ：值域，其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f（二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a ：定义域R, 值域R;2．反比例函xk x f =)()0(≠k ：定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ：定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 （三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零;（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.变式：求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++ ④x x x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y例2 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).变式：已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]例4下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？ ⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f【抽象函数定义域的求法】 例6 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域变式：若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求f （x+1）、f （2x ）的定义域；若函数y=f （x -1）的定义域为[-1，1]，求f （x ）的定义域二、函数的表示法【知识要点】1、常用的函数表示法及各自的优点（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。
(完整版)高考函数知识点总结(全面)
高考函数总结一、函数的概念与表示 1、函数 （1)函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫作自变量。
②近代定义:设A 、B 都是非空的数的集合,f ：x →y 是从A 到B 的一个对应法则,那么从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做函数，记作y=f(x)，其中B y A x ∈∈,，原象集合A 叫做函数的定义域,象集合C 叫做函数的值域。
B C ⊆（2)构成函数概念的三要素 ①定义域 ②对应法则 ③值域 3、函数的表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。
二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式， 求函数解析式的方法:（1） 定义法 (2)变量代换法 （3)待定系数法(4）函数方程法 （5）参数法 （6）实际问题2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。
求函数定义域的主要依据： (1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零;（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
3。
复合函数定义域：已知f （x ）的定义域为[]b a x ,∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出。
三、函数的值域 1．函数的值域的定义在函数y=f （x ）中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则①当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f （x ）用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)
函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。
(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。
九大考点与常考题型(函数的概念及其表示)高一数学
题型一：函数定义的判断
题 型 归 纳
题型一：函数定义的判断
题 型 归 纳
题型一：函数定义的判断
题 型 归 纳
题 型 归 纳
题型四：求函数的值域
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题型四：求函数的值域
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题型五：复杂（根式、分式）函数的值域
题 型 归 纳
题型五：复杂（根式、分式）函数的值域
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Байду номын сангаас
题型五：复杂（根式、分式）函数的值域
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题型五：复杂（根式、分式）函数的值域
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题型六：函数相等问题
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题型六：函数相等问题
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题型六：函数相等问题
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题型七：函数类型求解析式
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题型七：函数类型求解析式
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题型七：函数类型求解析式
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题型八：分段函数问题
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题型八：分段函数问题
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题型九：综合应用
题 型 归 纳
考点一：函数定义的判断
考点六：函数相等问题
考点二：具体函数的定义域
考点七：函数类型求解析式
考点三：抽象函数的定义域
考点八：分段函数问题
考点四：求函数的值域
考点九：函数概念的综合问题
考点五：复杂（根式、分式）函数的值域
知识点一．函数
两个集合A， B
高中数学函数题型总结
高中数学函数题型总结高中数学中，函数是一个重要的概念，涉及到很多的题型。
下面就将函数的题型进行总结，以便帮助高中学生更好地复习和应对考试。
一、函数的定义和性质：1. 函数的定义：给定一个集合A和集合B，称映射f: A→B为一个函数，如果对A中的每个元素a，都存在一个唯一的元素b属于B使得f(a) = b。
2. 函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、有界性等。
二、函数的表示和运算：1. 表示方法：函数关系式、函数图像、函数表达式等。
2. 运算：函数之和、函数之积、函数之商、函数之合成等。
三、函数的图像与性质：1. 平移变换：左右平移、上下平移。
2. 对称性：关于y轴对称、关于x轴对称、关于原点对称。
3. 最值问题：求函数取得最大值和最小值的条件。
4. 约束条件：满足给定条件下的函数关系表达式。
5. 函数的解析式：根据图像确定函数的解析式。
6. 反函数与复合函数：求反函数和复合函数。
四、常见函数的性质与应用：1. 多项式函数：零点、极值、图像的形状、零点定理、系数定理等。
2. 幂函数：图像的形状、增减性、性质和应用。
3. 指数函数：图像的形状、增减性、性质和应用、指数函数的性质与运算规则等。
4. 对数函数：图形、性质与运算规则、指数方程与对数方程的联系等。
5. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、性质与应用。
五、解题方法和技巧：1. 函数的性质运用：根据函数的性质进行分析和推导。
2. 图像的性质运用：根据函数的图像进行分析和推导。
3. 构造与代入法：通过构造特殊的函数关系式或值，进行解题。
4. 函数的逆运算：利用逆函数与反函数的性质解题。
5. 利用已知条件：根据题目中给出的条件去解题。
六、典型题型：1. 函数的定义和性质题型：给定函数的定义，判断其是否满足函数的性质。
2. 函数的图像与性质题型：根据函数的图像和性质，求函数的解析式或满足条件的函数关系式。
3. 函数的运算题型：求函数的和、差、积、商等。
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为 822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
《函数的基本概念与表示》知识点及典型例题总结
函数的基本概念与表示模块一、函数与映射要点一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A→B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。
要点二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A→B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A→B 叫做A 到B 的 ，记作 。
2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。
3．函数的表示法有 、 、 。
要点三、函数相等只有当两个函数的 和 都分别相同时，这两个函数才是相等函数（或称为同一个函数）。
考点一、同一函数的判断 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. B. C. D. 变式训练1：下列函数中，与函数y=x 相同的函数是 （ ）A.y= B.y=()2 C.y=lg10x D.y=考点二、已知函数解析式求函数值例2-1. 已知f(x)= 12−x (x ∈R,x≠2),g(x)=x+4(x ∈R).⑴求f (1),g (1)的值.⑵求f [g (1)],g [f (1)]的值.⑶求f [g (x)],g [f (x)]的表达式.例2-2. 设f (x )={1−√x ，x ≥0，2x ，x <0，则f(f (−2))=（ ） A. -1 B. 14 C. 12 D. 32变式训练2：函数f (x )={x 2+2（x ≤2），2x （x >2）则f (−4)=（ ），若f (x 0)=8，则x 0=（ ）。
1,x y y x==211,1y x x y x =-+=-33,y x y x ==2||,()y x y x ==x x 2x x 2log 2模块二、函数的三要素要点四、函数的定义域1. 函数的定义域就是使函数式 的集合.2.常见函数：使式子有意义(1)整式：定义域为R（2）一次函数：，定义域是R 。
函数概念例题和知识点总结
函数概念例题和知识点总结在数学的世界里，函数是一个极其重要的概念，它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域和实际应用。
为了更好地理解函数，让我们通过一些例题来深入探究，并对相关知识点进行总结。
一、函数的定义函数的定义可以简单地理解为：对于给定的一个非空数集 A，按照某种确定的对应关系 f，使得对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。
我们用符号 y ＝ f(x)来表示，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
二、函数的表示方法函数常见的表示方法有三种：解析式法、列表法和图象法。
解析式法就是用数学式子表示两个变量之间的对应关系，比如 y ＝2x ＋ 1 。
列表法是通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，比如在一定范围内，给出 x 的值和对应的 y 的值。
图象法是用图象来表示两个变量之间的对应关系，比如画出函数 y＝ x²的图象。
三、函数的定义域和值域定义域是指自变量 x 的取值范围，而值域则是因变量 y 的取值范围。
例如，对于函数 y ＝ 1/x ，其定义域为x ≠ 0 ，值域为y ≠ 0 。
确定函数定义域时，需要考虑以下几点：1、分式的分母不为零。
2、偶次根式的被开方数非负。
3、对数函数的真数大于零。
四、函数的单调性函数的单调性是指函数在某个区间上是递增还是递减的性质。
如果对于区间 I 内的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么就说函数 f(x) 在区间 I 上是增函数；反之，如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，则函数 f(x) 在区间 I 上是减函数。
例如，函数 y ＝ x²在区间（∞， 0) 上是减函数，在区间（0, ＋∞）上是增函数。
五、函数的奇偶性如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做偶函数；如果都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。
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函数的概念与表示知识领航1．函数的定义一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称():f x A B→为从集合A到集合B的一个函数，记作：(),y f x x A=∈.注意：函数概念中的关键词(1) A，B是非空数集.(2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应.2. 函数的定义域、值域其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A∈叫做函数的值域.3. 函数的三要素定义域、值域和对应法则.4. 相等函数如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据.5. 区间的概念设,a b是两个实数，而且a b<.我们规定：（1）满足不等式a x b≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[,]a b.（2）满足不等式a x b<<的实数x的集合叫做开区间，表示为(,)a b.（3）满足不等式a x b≤<或a x b<≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,)a b，(,]a b. 这里的实数都叫做相应区间的端点.实数R可以用区间表示为(,)-∞+∞.“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a≥，x a>，x b≤，x b<，的实数x的集合分别表示为[,)a+∞，(,)a+∞，(,]b-∞，(,)b-∞.6. 函数的表示法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法.（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.（3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).7.求函数的解析式的方法（1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等.（2）换元法: 适用于已知(())f g x的解析式,求()f x.（3）消元法: 适用于同时含有()f x和1()fx ，或()f x和()f x-.8. 分段函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.9. 映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则 ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素()f x 与之对应，那么就称对应():f x A B →为从集合A 到集合B 的一个映射。
注意：由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A 、B 必须是非空数集.e 线聚焦【例1】下列图象中不能作为函数的是( ).A B C D解：答案为B. 因为B 中存在x ，使得有两个y 与之对应.【例2】已知函数1()32f x x x =+++.(1)求函数的定义域.（2）求(3)f -,(6)f 的值.(3）当0a >时，求()f a ,(1)f a -的值.解：（1）使得3x + 有意义的实数x 的集合是{|3}x x ≥-，使得12x +有意义的实数x 的集合是{|2}x x ≠-，所以，这个函数的定义域就是{|32}x x x ≥-≠-且.（2）1(3)33132f =-++=--+125(6)63628f =++=+（3）因为0a >，所以()f a ，(1)f a -有意义，1()32f a a a =+++11(1)121f a a a -==-++ 【例3】已知()f x 的定义域为[0,2]，求(21)f x -的定义域.解：由题意知，0212x ≤-≤，所以所以(21)f x -的定义域为 【例4】求下列函数的值域. （1）1y =（2）246,[1,5]y x x x =-+∈（3） （4）y x =+解：（10≥11≥，所以1y =的值域为[1,)∞. （观察法）（2）配方，得2(2)2y x =-+又[1,5]x ∈，所以211y ≤≤，所以246,[1,5]y x x x =-+∈的值域为[2,11]. （配方法）（3） 因为303x ≠-，所以1y ≠ 所以 的值域为{|1}y y ≠. （分离常数法） （4）设u =，则0u ≥且 所以 即所以y x =+ . （换元法） 【例4】下列函数中哪个与函数y x =相等( )A.2y =B.yC.y =D.2x y x = 解：函数y x =的定义域为R ，对应法则为y x =.A中2y =的定义域为[0,)+∞，所以2y =与y x =不是同一个函数；B中y =的定义域为R，且y x ==；y =与y x =的定义域和对应法则都相同，所以为1322x ≤≤13{|}22x x ≤≤x y x =-3331333x x y x x x -+===+---3x y x =-212u x +=212u y u +=+21(1)2y u =+1[,]2+∞同一函数；C 中2y x =的定义域为R ，但2||y x x ==，所以2y x =与y x =不是同一个函数；D 中2x y x =的定义域为{|0}x x ≠，所以2x y x=与y x =不是同一个函数. 所以，应选B.【例4】某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5})x x ∈个笔记本需要y 元.试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}用解析法表示为5,{1,2,3,4,5}y x x =∈笔记本数x1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数表示如下图：注意：（1）函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。
（2）函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域。
【例5】已知(1)23f x x +=+，求()f x 和(1)f -.解：令1t x =+，则1x t =-，所以()2(1)321f t t t =-+=+，所以()21f x x =+，所以(1)2(1)11f -=⨯-+=-.注意：此方法为换元法.【例6】已知()f x 是一次函数，(())41f f x x =-，求()f x 的解析式.解：设()(0)f x kx b k =+≠，则2(())()()41f f x f kx b k kx b b k x kb b x =+=++=++=-对比系数得241k kb b ⎧=⎨+=-⎩ 解得213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21k b =-⎧⎨=⎩ 所以函数()f x 的解析式为1()23f x x =-或()21f x x =-+. 注意：此方法为待定系数法，适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等).【例7】已知13()2()(0)f x f x x x+=≠，求()f x 的解析式. 解：用1x 代替x 得113()2()f f x x x+= 所以13()2()113()2()f x f x x f f x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去1()f x 解得32()(0)55x f x x x=-≠ 注意：此方法为消元法求函数的解析式，适用于同时含有()f x 和1()f x，或()f x 和()f x -. 【例8】已知函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩（1）求1(3),(),(5)2f f f -的值. （2）若()3f x =，求x 的值.解：（1）(3)236f =⨯=2111()()224f == (5)523f -=-+=-（2）①若1x ≤-，则23x +=，解得1x =，不满足1x ≤-，舍去；②若11x -<<，则23x =，解得x =x =x =11x -<<，舍去；所以x =③若2x ≥，则23x =，解得32x =，不满足2x ≥，舍去. 【例9】画出函数||y x =的图象. 解：,0||,0x x y x x x ≥⎧==⎨-≤⎩根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:【例10】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y 元，里程为x 公里，由题意可知，自变量x 的取值范围是（0，20].由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下函数解析式：2,053,5104,10155,1520x x y x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了2．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数3．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋34．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．5．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( )A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值6. 下列两个函数是否表示同一个函数（1）2()||;()f x x g t t ==（2）24();()22x f x g x x x -==+- （3）24();()()f x x g x x ==（4）2();()f x x g x x ==7. 求下列函数的定义域（1）()f x = （2）()f x =8. 已知函数(21)f x -的定义域为(1,5]-，求()f x 的定义域.9. 求下列函数的值域（1） 223,y x x x R =-+∈（2）541x y x +=- （3）2y x =-10．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f (g (2))的值．11．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．12．画出下列函数的图象:（1）()2,,||2f x x x R x =∈≤且（2）()2,(,||3)f x x x N x =+∈≤且13．已知二次函数()f x 的图象过点(0,5)A -，(5,0)B ，其对称轴为2x =，求其解析式．14. 已知2(1)22f x x x +=++，求()f x 的解析式.15．已知2()2()3f x f x x x +-=+，求()f x 的解析式.16．已知3,9()((4)),9x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(15),(7)f f 的值.17. 已知211,0()2(1),0x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩，求使得()1f x ≥-成立的x 的取值范围.18. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户居民共缴水费y 元，已知甲、乙两户的用水量分别为5x 、3x (吨).(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。