高一数学之抽象函数专题集锦-含详细解析
高一数学之抽象函数专题集锦
一、选择题(本大题共14小题,共70.0分)
1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,则f(?2),f(?π),f(3)的大小顺序是( )
A. B. C.
D.
2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x +2)关于x =?2对称,若f(?2)=1,则f(x ?2)≤1的x 的取值范围
是( )
A. [?2,2]
B. (?∞,?2]∪[2,+∞)
C. (?∞,0]∪[4,+∞)
D. [0,4]
3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3],则y =f(2x ?1)的定义域是( )
A. [0,5
2]
B. [?1,4]
C. [?1
2,2]
D. [?5,5]
4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=?1,则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是
( )
A.
B.
C. [0,4]
D. [1,3]
5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( )
A. [?1,1]∪[3,+∞)
B. [?3,?1]∪[0,1]
C. [?1,0]∪[1,+∞)
D. [?1,0]∪[1,3]
6. 已知f(x)={
x 2+4x x ≥0 ,
4x ?x 2
, x <0
若f(2?a 2)>f(a),则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1)
B. (?1 , 2)
C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞)
D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞)
7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x),且在[1,+∞)上为增函数,则下列关系式正确的是
A. f(?1) B. f(0) C. f(0)=f(2) D. f(?1) 8. 设函数f(x)={x 2?6x +6,x ?0 3x +4,x <0 ,若互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3),则x 1+x 2+x 3 的取值范围是( ) A. (11 3,6] B. (203,26 3) C. (203,26 3] D. (11 3,6) 9. f(x)是定义域在(?2,2)上单调递减的奇函数,当f(2?a)+f(2a ?3)<0时,a 的取值范围是( ) A. (0,4) B. (0,5 2) C. (12,5 2) D. (1,5 2) 10. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )单调递减,若x 1+ x 2>0,则f (x 1)+ f (x 2)的值( ) A. 恒为负值 B. 恒等于零 C. 恒为正值 D. 无法确定正负 11. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调增加,则f(2x ?1) 3)的x 取值范围是( ) A. (13,2 3). B. [13,2 3) C. (12,2 3) D. (12,2 3] 12. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3],则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 13. 若函数f(x)的定义域是[0,1],则函数f(2x)+f(x +1 3)的定义域为( ) A. [?13,2 3] B. [?13,1 2] C. [0,1 2] D. [0,1 3] 14. 已知函数f(x)={x 2+4x(x ?0) 4x ?x 2 (x <0) ,若f (2?a 2)>f(a),则实数a 的取值范围是( ) A. (?∞,?1)∪(2,+∞) B. (?1,2) C. (?2,1) D. (?∞,?2)∪(1,+∞) 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 15. 设偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x ?1)≤f(1)的x 的取值范围是_____. 16. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x ?1) 3)的x 的取值范围是 . 17. 奇函数f(x)的定义域为[?5,5],当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是 ______________. 18. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x +4)=f(x ?2).若当x ∈[?3,0]时,f(x)=6?x ,则 f(919)=______. 三、解答题(本大题共15小题,共180.0分) 19. 设函数f(x)是增函数,对于任意x ,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y). (1)求f(0); (2)证明f(x)奇函数; (3)解不等式. 20.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1∈D,x2∈D,有f(x1?x2)=f(x1)+f(x2). (Ⅰ)求f(1?)的值; (Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并证明; (Ⅲ)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x?6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围. 21.已知函数f(x)=ax2+b x ,且f(1)=2,f(2)=5 2 .(Ⅰ)确定函数f(x)的解析式,并判断奇偶性; (Ⅱ)用定义证明函数f(x)在区间(?∞,?1)上单调递增; (Ⅲ)求满足f(1+2t2)?f(3+t2)<0的实数t的取值范围. 22.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6, (1)求f(0),f(1); (2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明; (3)若对于任意x∈[1 2 ,3]都有f(kx2)+f(2x?1)<0成立,求实数k的取值范围. 23.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2?2x. (1)写出函数y=f(x)的解析式; (2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围. 24.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成 立, 证明:(Ⅰ)函数y=f(x)是R上的减函数; (Ⅱ)函数y=f(x)是奇函数. 25.已知f(x)是定义在[?1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈[?1,1],且a+b≠0时,有f(a)+f(b) >0恒成立. a+b (1)用定义证明函数f(x)在[?1,1]上是增函数; ) (2)解不等式:f(x+1 2 (3)若f(x)≤m2?2m+1对所有x∈[?1,1]恒成立,求实数m的取值范围. 26.定义域为R的函数f(x)满足,对任意的m,n∈R有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,有0 f(4)=1 . 16 (1)求f(0);(2)证明:f(x)在R上是减函数; f(x2)恒成立,求实数a的取值范围. (3)若x>0时,不等式f(x)f(ax)>1 4 )=1,如果对于0 2 f(y), (1)求f(1);(2)解不等式f(?x)+f(3?x)≥?2。 28.已知函数f(x)对一切x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数.(2)若f(?3)=a,试用a表示f(12). 29.已知周期函数y=f(x)的图象如图所示, (1)求函数的周期;(2)画出函数y=f(x+1)的图象;(3)写出函数y=f(x)的解析式. 30.设f(x)是定义在R上的函数,且对于任意x,y∈R恒有f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时,0 证明:(1)f(0)=1,且x<1时,f(x)>1; (2)f(x)是R上的单调减函数. 31.(1)已知f(x)的定义域为[?2,1],求函数f(3x?1)的定义域; (2)已知f(2x+5)的定义域为[?1,4],求函数f(x)的定义域. 32.设函数f(x)在R上是偶函数,在区间(?∞,0)上递增,且f(2a2+a+1) 围. 33.定义域为R的函数f(x)满足:对任意的m,n∈R有f(m+n)=f(m)?f(n),且当x>0时,有0 f(4)=1 . 16 (Ⅰ)证明:f(x)>0在R上恒成立;(Ⅱ)证明:f(x)在R上是减函数; (Ⅲ)若存在正数x使不等式4f(x)f(ax) 答案和解析 1.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用:比较大小,考查转化思想和判断能力,属于基础题. 运用偶函数的定义,可得f(?2)=f(2),f(?π)=f(π),再由f(x)在[0,+∞)上为增函数,即可得到所求大小关系. 【解答】 解:f(x)为定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上为增函数, 可得f(?2)=f(2),f(?π)=f(π), 由2<3<π,可得f(2) 即f(?2) 故选:B. 2.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查抽象函数的单调性以及奇偶性,函数的图象变换,求解不等式,关键是分析f(x)的奇偶性. 根据题意,分析可得函数f(x)为偶函数,结合函数的单调性分析可得f(x?2)≤1?f(|x?2|)≤f(|?2|)?|x?2|≤2,解可得x的取值范围,即可得答案. 【解答】 解;根据题意,f(x+2)关于x=?2对称,则f(x)为偶函数,且f(?2)=f(2)=1, 则f(x?2)≤1?f(|x?2|)≤f(|?2|), 又f(x)在(0,+∞)单调递增, 所以|x?2|≤2,解可得0≤x≤4; 故选:D. 3.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查函数定义域的求解,是基础题, 根据函数定义域之间的关系得?2≤2x?1≤3,计算得结论. 【解答】 解:因为函数y=f(x)定义域是[?2,3], 所以?2≤2x?1≤3,解得?1 2 ≤x≤2. 因此函数y=f(2x?1)的定义域为[?1 2 ,2]. 故选C. 4.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查函数的单调性,函数的奇偶性,属于较易题. 由题干中函数的单调性及奇偶性,可将不等式?1≤f(x?2)≤1化为?1≤x?2≤1,即可解得答案.【解答】 解:∵函数f(x)为奇函数, 若f(1)=?1,则f(?1)=?f(1)=1, 又∵函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减,?1≤f(x?2)≤1, ∴f(1)≤f(x?2)≤f(?1), ∴?1≤x?2≤1, 解得:1≤x≤3, 所以x的取值范围是[1,3]. 故选D. 5.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查函数奇偶性和单调性的应用,考查运算求解及逻辑推理能力,难度一般. 根据题意,不等式xf(x?1)?0可化为{x?0 f(x?1)?0或{x?0 f(x?1)?0,从而利用奇函数性质及函数的单调性求解即可. 【解答】 解:根据题意,不等式xf(x?1)?0可化为{x?0 f(x?1)?0或{ x?0 f(x?1)?0, 由奇函数性质得,f(x)在上单调递减, 所以{x?0 x?1?0 x?1?2 或{ x?0 x?1?0 x?1??2 ,解得1?x?3或?1?x?0. 满足xf(x?1)?0的x的取值范围是x∈[?1,0]∪[1,3]. 故选D. 6.【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同(偶函数对称区间上的单调性相反)的性质的应用,一元二次不等式的求解,属于基础题.由题意可先判断出f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=x2+4x=(x+2)2?4在(0,+∞)上单调递增,根据奇函数的对称区间上的单调性可知,f(x)在(?∞,0)上单调递增,从而可比较2?a2与a的大小,解不等式可求a的范围 【解答】 解:由题可得f(0)=0, 当x<0时,?x>0,f(?x)=x2?4x=?f(x), 同理可得,当x>0时,f(?x)?f(x), ∴f(x)是定义在R上的奇函数, ∵f(x)=x2+4x=(x+1)2?4在(0,+∞)上单调递增, 根据奇函数的对称区间上的单调性可知,f(x)在(?∞,0)上单调递增, ∴f(x)在R上单调递增, ∵f(2?a2)>f(a), ∴2?a2>a, 解不等式可得,?2 故选A. 7.【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查函数的对称性以及单调性,属于基础题. 根据题意得知函数图象关于x =1对称,则有f (?1)=f (3),f(0)=f(2),利用函数单调性即可求解. 【解答】 解:∵函数f (x )满足f(2?x)=f(x), ∴f [2?(1+x )]=f (1+x ),即f(1?x)=f(1+x) ∴函数图象关于x =1对称, ∴f (?1)=f (3),f(0)=f(2), ∵f(x)在[1,+∞)上为增函数, ∴f(0)=f(2) 故选C . 8.【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查分段函数及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想. 先作出函数f(x)={x 2?6x +6,x ?0 3x +4,x <0的图象,不妨设x 1 x 3=6,且x 1是图中线段AB 上的点对应的横坐标,从而有:?7 3 解:函数f(x)={x 2?6x +6,x ?0 3x +4,x <0 的图象,如图, 不妨设x1 则x2,x3关于直线x=3对称,故x2+x3=6, 且x1是图中线段AB上的点对应的横坐标, 故x B 3 则x1+x2+x3的取值范围是:?7 3 +6 即x1+x2+x3∈(11 3 ,6). 故选D. 9.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查函数的单调性和奇偶性的应用,考查运算求解能力,属于一般题. 将条件f(2?a)+f(2a?3)<0转化为f(2?a) 【解答】 解:∵f(2?a)+f(2a?3)<0, ∴f(2?a) ∵f(x)是奇函数, ∴f(2?a) ∵f(x)是定义域在(?2,2)上单调递减函数, ∴{2?a>?2a+3 ?22a+3<2 ?2<2?a<2 ,解得1 2 , ∴a的取值范围是(1,5 2 ), 【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x?1+ x?2>0,可知x?1>?x?2,f(x?1) 11.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查函数的单调性与奇偶性.属于基础题. 由函数f(x)是偶函数可得f(x)=f(|x|),利用偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调增加,且满足f(2x?1) 3 ),可 得|2x?1|<1 3 ,从而可求x的取值范围. 【解答】 解:∵函数f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(|x|), ∵偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调增加,满足f(2x?1) 3 ), ∴|2x?1|<1 3 , 则?1 3<2x?1<1 3 , 解得1 3 3 . 故选A. 12.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查函数定义域的求解,是基础题. 根据函数定义域之间的关系得?2≤2x?1≤3,计算得结论.【解答】 解:因为函数y=f(x)定义域是[?2,3], 所以?2≤2x?1≤3,解得?1 2 ≤x≤2, 因此函数y=f(2x?1)的定义域为[?1 2 ,2]. 【解析】 【分析】 本题考查抽象函数的定义域,注意函数的自变量的取值范围,属于基础题. 由函数f(x)的定义域可得0≤2x ≤1,且0≤x +1 3≤1,求出x 的范围就是函数f(2x)+f(x +1 3)的定义域. 【解答】 解:因为函数f(x)的定义域为[0,1], 则0≤2x ≤1,且0≤x +1 3≤1,即0≤x ≤1 2,且?1 3≤x ≤2 3, 解得0≤x ≤1 2, 所以函数f(2x)+f(x +1 3)的定义域为[0,1 2]. 故选C . 14.【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查了分段函数单调性的应用,属于基础题. 解决此题的关键是根据f(x)的解析式得到f(x)在R 上为增函数,进而建立关于a 的不等式求解. 【解答】 解:f(x)={x 2+4x =(x +2)2?4,x ≥0, 4x ?x 2=?(x ?2)2+4,x <0, 由f(x)的解析式可知f(x)在(?∞,+∞)上是单调增函数, 由f(2?a 2)>f(a)得2?a 2>a , 即a 2+a ?2<0, 解得:?2 15.【答案】[0,1] 【解析】 【分析】 本题考查函数的奇偶性、单调性,根据函数单调性解不等式,属基础题. 由f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递增,便可由f(2x ?1)≤f(1)得出|2x ?1|≤1,解该绝对值不等式便可得出x 的取值范围. 【解答】 解:∵f(x)为偶函数, ∴由f(2x ?1)≤f(1)得,f(|2x ?1|)≤f(1), 又f(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴|2x ?1|≤1,解得0≤x ≤1; ∴x 的取值范围是[0,1]. 故答案为[0,1]. 16.【答案】13 3 【解析】 【分析】 本题考查函数的奇偶性和单调性,属于基础题. 【解答】 解:f (x )为偶函数, 由f (2x ?1) 3)得 f (|2x ?1|) 3 ) 又f (x )在[0,+∞)上单调递增, |2x ?1|<1 3解得:1 3 3, 所以x 的取值范围是(13,2 3). 17.【答案】(?2,0)∪(2,5) 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的奇偶性,函数图像的应用,属于基础题. 由已知得f(x)的图象关于原点对称,原不等式可化为{x <0,f(x)<0或{x >0, f(x)<0,由图像可得结果. 【解答】解:由已知得f(x)的图象关于原点对称, 原不等式可化为{x <0,f(x)<0或{ x >0, f(x)<0, 则由图象可知?2 18.【答案】6 【解析】 【分析】 本题考查函数值的计算,涉及函数的奇偶性与周期性,关键是求出f(?1)的值.属于基础题. 由f(x+4)=f(x?2).可推出函数f(x)的周期为6,从而f(919)=f(153×6+1)=f(1),即可得出答案.【解答】 解:由f(x+4)=f(x?2).则f(x+6)=f(x), ∴f(x)为周期为6的周期函数, f(919)=f(153×6+1)=f(1),由f(x)是定义在R上的偶函数,则f(1)=f(?1), 当x∈[?3,0]时,f(x)=6?x,f(?1)=6?(?1)=6, ∴f(919)=6, 故答案为6. 19.【答案】解:(1)由题设,令x=y=0, 恒等式可变为f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0; (2)证明:令y=?x, 则由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(0)=0=f(x)+f(?x), 即f(?x)=?f(x), 故f(x)是奇函数; (3)∵1 2f(x2)?f(x)>1 2 f(3x), f(x2)?f(3x)>2f(x), 即f(x2)+f(?3x)>2f(x), 又由已知f(x+y)=f(x)+f(y)得:f(x+x)=2f(x), ∴f(x2?3x)>f(2x), 由函数f(x)是增函数,不等式转化为x2?3x>2x,即x2?5x>0, ∴不等式的解集{x|x<0或x>5}. 【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题. (1)利用已知条件通过x=y=0,直接求f(0); (2)通过函数的奇偶性的定义,直接证明f(x)是奇函数; (3)利用已知条件转化不等式.通过函数的单调性直接求解不等式1 2f(x2)?f(x)>1 2 f(3x)的解集即可. 20.【答案】解:(Ⅰ)令x1=x2=1,有f(1×1?)=f(1)+f(1),得f(1?)=0; (Ⅱ)令x1=x2=?1,得f(?1)=0, 令x1=?1,x2=x,有f(?x)=f(?1)+f(x), ∴f(?x)=f(x),所以f(x)为偶函数; (Ⅲ)f(4×4?)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3,∴f(3x+1)+f(2x?6)≤3,即f[(3x+1)(2x?6)]≤f(64),∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴{(3x+1)(2x?6)>0 (3x+1)(2x?6)≤64或{ (3x+1)(2x?6)<0 ?(3x+1)(2x?6)≤64 , ?{x>3,或x1 3 ?7 3 ≤x≤5 或{ ?1 3 x∈R , ∴3 3≤x1 3 或?1 3 所以x的取值范围为{x|3 3≤x1 3 或?1 3 【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性等,属于中档题. (Ⅰ)赋值,令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),由此可解得f(1)的值; (Ⅱ)令x1=?1,x2=x,有f(?x)=f(?1)+f(x),进而得出f(?x)=f(x),从而得出结论;(Ⅲ)结合f(x1?x2)=f(x1)+f(x2)和函数的单调性,列出不等式组,可求解x的范围. 21.【答案】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=ax2+b x ,且f(1)=2,f(2)=5 2 , ∴{4a+b 2 =5 2 a+b=2 ,∴a=b=1, ∴f(x)=x2+1 x ; f(?x)=?x2+1 x =?f(x),所以f(x)是奇函数;(Ⅱ)证明:任取x1,x2∈(?∞,?1),且x1 则f(x1)?f(x2)=x12+1 x1?x22+1 x2 =(x1?x2)(x1x2?1) x1x2 , ∵x1 ∵x1?x2<0∴f(x1)?f(x2)<0即f(x1) 所以f(x)在区间(?∞,?1)上单调递增; (Ⅲ)∵f(x)在区间(?∞,?1)上单调递增,且f(x)为奇函数, ∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递增, ∵f(1+2t2)?f(3+t2)<0得f(1+2t2) ∴1+2t2<3+t2,解得?√2 故关于t的不等式的解集为{t|?√2 【解析】本题考查函数的奇偶性,函数的单调性的定义以及单调性的应用,属于中档题. (Ⅰ),由f(1)=2,f(2)=5 代入解析式,求得a,b,即可得到解析式,再由奇函数的定义判断奇偶性; 2 (Ⅱ)任取x1,x2∈(?∞,?1),且x1 22.【答案】解:(Ⅰ)取x=0,得f(0+y)=f(0)+f(y), 即f(y)=f(0)+f(y),∴f(0)=0, ∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1), 又∵f(3)=6, ∴3f(1)=6, ∴f(1)=2; (Ⅱ)取y=?x,得f(0)=f[x+(?x)]=f(x)+f(?x)=0, ∴f(?x)=?f(x), ∴函数f(x)是奇函数; ,3]上恒成立, (Ⅲ)∵f(x)是奇函数,且f(kx2)+f(2x?1)<0在x∈[1 2 ,3]上恒成立, ∴f(kx2) 2 又∵f(x)是定义域在R的单调函数,且f(0)=0 ∴f(x)是定义域在R上的增函数. ,3]上恒成立. ∴kx2<1?2x在x∈[1 2 ∴k<(1 x )2?2(1 x )在x∈[1 2 ,3]上恒成立. 令g(x)=(1 x )2?2(1 x )=(1 x ?1)2?1, 由于1 2≤x≤3,∴1 3 ≤1 x ≤2. ∴g(x)min=g(1)=?1, ∴k1. 则实数k的取值范围为(?∞,?1). 【解析】本题给出抽象函数,求特殊的函数值并讨论函数的单调性与奇偶性,考查了抽象函数的理解与处理、函数的单调性与奇偶性和不等式恒成立问题的处理等知识,属于较难题. (Ⅰ)取x=0代入函数满足的等式,整理可得f(0)=0.再根据3=1+2=1+1+1,结合定义和f(3)=6,算出f(1)=2; (Ⅱ)以?x取代y,代入函数满足的等式,可得f(x)+f(?x)=0,由此可得f(x)是奇函数; (Ⅲ)根据函数是单调函数且f(0) 转化为kx2<1?2x在x∈[1 2 ,3]上恒成立,最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值,可算出k的取值范围. 23.【答案】解:(1)当x∈(?∞,0)时,?x∈(0,+∞). 因为y=f(x)是奇函数, 所以f(x)=?f(?x)=?[(?x)2?2(?x)]=?x2?2x, 所以f(x)={x2?2x,x≥0,?x2?2x,x<0. (2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2?2x=(x?1)2?1,最小值为?1; 当x∈(?∞,0)时,f(x)=?x2?2x=1?(x+1)2,最大值为1. 所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示), 根据图象得,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则实数a的取值范围是(?1,1). 【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式,函数的零点与方程的根的关系以及数形结合思想,属于中档题. (1)利用奇函数的定义即可求出x <0的解析式,再写成分段函数形式即可; (2)作出函数y =f(x)的图象,根据图象即可确定a 的取值范围. 24.【答案】证明:(Ⅰ)设x 1>x 2,则x 1?x 2>0.而f(a +b)=f(a)+f(b), ∴f(x 1)=f(x 1?x 2+x 2)=f(x 1?x 2)+f(x 2) (II)由f(a +b)=f(a)+f(b)得f(x ?x)=f(x)+f(?x), 即f(x)+f(?x)=f(0), 而f(0)=0, ∴f(?x)=?f(x), 即函数y =f(x)是奇函数. 【解析】本题主要考了抽象函数的单调性和奇偶性,属于中档题. (Ⅰ)设x 1>x 2,∴f(x 1)=f(x 1?x 2+x 2)=f(x 1?x 2)+f(x 2) 25.【答案】证明:(1)设任意x 1,x 2∈[?1,1],且x 1 ∵f(x)是定义在[?1,1]上的奇函数, ∴f(x 2)?f(x 1)=f(x 2)+f(?x 1) ∵x 1 f(x 2)+f(?x 1)x 2+(?x 1) >0, ∵x 2+(?x 1)=x 2?x 1>0, ∴f(x 2)+f(?x 1)>0,即f(x 2)>f(x 1), ∴函数f(x)在[?1,1]上是增函数. 解:(2)由(1)和不等式f(x +1 2) 2≤1 ?1≤1?x ≤1x +1 2<1?x ,解得0≤x <1 4, ∴不等式的解集是[0,1 4); (3)由(Ⅰ)得,f(x)最大值为f(1)=1, 所以要使f(x)≤m2?2m+1对所有x∈[?1,1]恒成立, 只需1≤m2?2m+1恒成立,解得m≤0或m≥2, 得实数m的取值范围为m≤0或m≥2. 【解析】(1)设任意x1,x2∈[?1,1],且x1 a+b >0得 f(x2)+f(?x1) x2+(?x1) >0,判断出符号后,由函数单调性的定义证明结论成立; (2)根据函数的单调性和定义域列出不等式组,求出不等式组的解集; (3)由函数的单调性求出f(x)的最大值,由恒成立列出不等式,求出实数m的取值范围. 本题考查定义法证明抽象函数的单调性,奇函数的性质,以及恒成立问题转化为求最值,考查转化思想,化简、变形能力. 26.【答案】(1)证明:令m=0,n=2 可得f(0+2)=f(0)f(2), 当x>0时,0 所以f(0)=1 (2)证明:设x>0,则?x<0 则有f(0)=f(x?x)=f(x)f(?x)?, 即 1 f(x) =f(?x)? 又当x>0时,有0 所以x∈R,有f(x)>0恒成立 任取实数x1,x2∈R,且x1 则有x2?x1>0 从而可得0 又f(x2)=f[x1+(x2?x1)]=f(x1)f(x2?x1) (3)解:令m=n=2, 可得f(2+2)=f(2)f(2)=1 16?f(2)=1 4 , f(x)f(ax)>1 4 f(x2)可化为f(x)f(ax)>f(2)f(x2),所以f(x+ax)>f(2+x2), 指数函数第一课时教案 一.教学目标 1. 知识与技能 ①掌握指数函数的概念,图像和性质; ②能由指数函数图像归纳出指数函数的性质; ③指数函数性质的简单应用; ④培养学生作图与读图的能力。 2. 过程与方法 师生之间,学生与学生之间合作与交流,逐步使学生学会共同学习。 3. 情感态度与价值观 ①通过实例引入指数函数,激发学生学习指数函数的学习兴趣,体会指数函数是一种重要的函数模型,并且由广泛的用途,逐步培养学生的应用意识。 ②在教学过程中,通过现代信息技术的合理应用,让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段。 二.教学重点 1. 指数函数的概念的理解; 2. 指数函数的图像和性质。 三.教学难点 底数a 对函数值变化的影响。 四.教学过程 1. 以生活实例引入新课 材料一:一把一米长的尺子第一次截去它的一半,第二次截去剩余部分的一半,第三次截去第二次剩余部分的一半,依次截下去,问截的次数x 与剩下的尺子长度y 之间的关系。 (学生思考,老师组织学生交流各自的想法,捕捉学生交流中的有效信息,并简单板书。) 材料二:(细胞分裂问题)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……1个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么? (方法同上) 从问题的解决回到数学问题:比较关系式:x y )2 1 (=,x y 2=有何异同? (学生讨论,老师及时总结得到如下结论) 在x y ) 2 1(=和x y 2=中,每给一个x 的值都有唯一的一个y 值和它对应,因此关系式 x y )2 1 (=和x y 2=都是y 关于x 的函数,且函数形式相同,解析式的右边都是指数形式, 且自变量都在指数位置上。 由此引出函数模型x a y = 2. 讲解新课 ⑴.指数函数的概念 一般的,形如x a y =的函数叫做指数函数。 (其中x 是自变量,a 称为指数函数的底。) ⑵.指数函数概念理解和辨析 ①函数2 x y =与x y 2=有什么区别? 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f += 因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(, 高中数学必修一求函数解析式解题 方法大全及配套练习 一、 定义法: 根据函数的定义求解析式用定义法。 【例1】设23)1(2 +-=+x x x f ,求)(x f . 2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2 ++-+x x 65)(2+-=∴x x x f 【例2】设2 1 )]([++= x x x f f ,求)(x f . 解:设x x x x x x f f ++=+++=++=11111 11 21)]([ x x f += ∴11)( 【例3】设3 3 22 1)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++ =+,求)]([x g f . 解:2)(2)1 (1)1(2222-=∴-+=+=+ x x f x x x x x x f 又x x x g x x x x x x x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([2 4 6 2 3 -+-=--=x x x x x x g f 【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=. 解:)2 ( 17cos )]2 [cos()(sin x x f x f -=-=π π x x x 17sin )172 cos()1728cos(=-=-+ =π π π. 二、 待定系数法:(主要用于二次函数) 已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程, 从而求出函数解析式。 它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 【例1】 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ,则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴????? ?=-===32 1 2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知二次函数f (x )满足f (0)=0,f (x+1)= f (x )+2x+8,求f (x )的解析式. 解:设二次函数f (x )= ax 2+bx+c ,则 f (0)= c= 0 ① f (x+1)= a 2 )1(+x +b (x+1)= ax 2+(2a+b )x+a+b ② 由f (x+1)= f (x )+2x+8 与①、② 得 ?? ?=++=+8 2 2b a b b a 解得 ?? ?==. 7, 1b a 故f (x )= x 2+7x. 【例3】已知1392)2(2 +-=-x x x f ,求)(x f . 解:显然,)(x f 是一个一元二次函数。设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2 )24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又1392)2(2 +-=-x x x f 比较系数得:?????=+--=-=1324942c b a a b a 解得:?? ???=-==312c b a 32)(2 +-=∴x x x f 2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: 0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 343 3)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{>< 指数函数及其性质教案 课题:指数函数及其性质(第1课时) 教材:普通高中课程标准试验教科书人教社A版,数学必修1 教学内容:第二章,基本初等函数(I),指数函数及其性质 教学目标 知识目标:理解指数函数的概念,初步掌握指数函数的图像和性质 能力目标:通过定义的引入,图像特征的观察,培养学生的探索发现能力,在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 情感目标:通过学生的参与过程,培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点 重点:指数函数的概念和图像 难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 (一)指数函数概念的构建 1.探究:本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征 师生活动:教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式,学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域是 & 3.剖析概念 (1)规定底数大于零且不等于1的理由: 如果=0, 如果等等时,在实数范围内实数值不存在 如果是一个常量,对它就没有研究的必要 (2)形式上的严格性 指数函数是形式定义的函数,就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念,因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中,前的系数必须是1,自变量在指数的位置上,否则,不是指数函数,比如等,都不是指数函数 (二)指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题:同学们能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的方法吗 师生活动:教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质,讨论研究指数函数性质的方法,强调数形结合,强调函数图像在研究性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的应用,渗透概括能力的培养,学生独立思考,提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像 师生活动:学生用描点法独立画图,教师课堂巡视,个别辅导,展示画的较好的学生的图像 函数基本知识 抽象函数: 1. 已知函数()y f x =的定义域为R ,且对任意,a b R ∈,都有()()()f a b f a f b +=+,且当0x >时,()0f x <恒成立. 证明:(1)函数()y f x =是R 上的减函数;(2)函数()y f x =是奇函数. 2. 已知)(x f 在(-1,1)上有定义,且满足),1( )()()1,1(,xy y x f y f x f y x --=--∈有 证明:)(x f 在(-1,1)上为奇函数; 3. 设)(x f 是R 上的函数,且满足1)0(=f ,并且对于任意的实数x ,y 都有 )12()()(+--=-y x y x f y x f 成立,则=)(x f _____________. 4. 已知定义在R + 上的函数()f x 同时满足下列三个条件:① (3)1f =-; ② 对任意x y R +∈、 都有()()()f xy f x f y =+;③0)(,1<>x f x 时. (1)求)9(f 、)3(f 的值; (2)证明:函数()f x 在R + 上为减函数; (3)解关于x 的不等式2)1()6(-- 求函数解析式常用的方法 求函数解析式常用的方法有:待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 (一)待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一,它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目,它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 例1:已知()f x 是二次函数,若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。 解析:设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0 由(1)()1f x f x x +=++ 得 22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++ 得 212211120011()22 a a b b a b c c b c c f x x x ?=?+=+????++=+?=????=?=??? ∴=+ 小结:我们只要明确所求函数解析式的类型,便可设出其函数解析式,设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时,可设f(x)=ax+b(a≠0);f(x)为反比例函数时,可设f(x)= k x (k≠0);f(x)为 二次函数时,根据条件可设①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) (二)换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一,它主要用来处理不知道所求函数的类型,且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注意新元定义域的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。 例2 :已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。 解析: 1视为t ,那左边就是一个关于t 的函数()f t , 1t =中,用t 表示x ,将右边化为t 的表达式,问题即可解决。 1t = 2220 1 ()(1)2(1)1()(1)x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥ 小结:①已知f[g(x)]是关于x 的函数,即f[g(x)]=F(x),求f(x)的解析式,通常令g(x)=t ,由此能解出x=(t),将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中,求得f(t)的解析式,再用x 替换t ,便得f(x)的解析式。 注意:换元后要确定新元t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法,它的基本功能是:化难为易、化繁为简,以快速实现未知向已知的转换,从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的,如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等,它的应用极为广泛。 (三)配凑法 已知复合函数[()]f g x 的表达式,要求()f x 的解析式时,若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式,则可用配凑法,使用 高考数学知识点:指数函数、函数奇偶性指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到: (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a 大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。(7)函数总是通过(0,1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 注图:(1)为奇函数(2)为偶函数 1.定义 一般地,对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。 (分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论) ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2.奇偶函数图像的特征: 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f (x )的定义域是[-2,2],则函数y = f (x+1)+f (x -1)的定义域为 11≤≤-x 。 解:f(x)的定义域是[]2,2-,意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析:已知f(x)的定义域是A ,求()()x f ?的定义域问题,相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习:已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ,求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2:已知函数()x f 3log 的定义域为[3,11],求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析: 已知函数()()x f ?的定义域是A ,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-+ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =+,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1()()1 f x g x x +=-,求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间: ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数,则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ;函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y , 52-=x y ; ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ; 高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3,∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12 -=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)12 41 ++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 358945 12--() §3.指数函数图像和性质 一、教材分析 教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上,进一步研究指数函数,以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用,研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此,本节课的内容十分重要,它对知识起到了承上启下的作用。 重难点分析 教学重点:指数函数的图像、性质及其简单运用 教学难点:指数函数图象和性质的发现过程,及指数函数图像与底的关系。 二、教学目标分析 知识目标:理解指数函数的定义,掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标:通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法,增强识图用图的能力情感目标:通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,构建和谐的课堂氛围,培养学生勇于提问,善于探索的思维品质。 三、教法学法分析 教法分析 采用梳理—探究—训练的教学方法,充分利用多媒体辅助教学,通过学生的互动探究,教师点拨,启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受 学法分析 学生思维活跃,求知欲强,但在思维习惯上还有待教师引导;从学生原有知识和能力出发,在教师的带领下创设疑问,通过合作交流,共同探索,逐步解决问题。 四、教学过程分析 1.创设情景,形成概念 2.发现问题,探究新知 3.深入探究,加深理解 4.强化训练,巩固双基 5.小结归纳,拓展深化 6.布置作业,升华提高 抽象函数经典综合题33例(含详细解答) 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答) 1.定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2 )>1,求x 的取值范围。 解 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令a=x ,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ,f(x)>0 (3)任取x 2>x 1,则f(x 2)>0,f(x 1)>0,x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0), f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得:3x-x 2 >0 ∴ 0 指数函数教学设计 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 《指数函数》教学设计 三、目标分析 1.知识技能目标 掌握指数函数的概念、图象和性质。 2.过程与方法目标 通过自主探索,让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程,完善认知结构,领会数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。 3.情感、价值观目标 让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦,体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美,展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。 二、重难点分析 根据新课程标准及对教材的分析,确定本节课重难点如下: 重点:本节课是围绕指数函数的概念和图象,并依据图象特征归纳其性质展开的。因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。 难点: 1、对于1>a 和10<0,且a≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R 。 高一数学之抽象函数专题集锦 一、选择题(本大题共14小题,共70.0分) 1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,则f(?2),f(?π),f(3)的大小顺序是( ) A. B. C. D. 2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x +2)关于x =?2对称,若f(?2)=1,则f(x ?2)≤1的x 的取值范围 是( ) A. [?2,2] B. (?∞,?2]∪[2,+∞) C. (?∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4] 3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3],则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=?1,则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. [0,4] D. [1,3] 5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B. [?3,?1]∪[0,1] C. [?1,0]∪[1,+∞) D. [?1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={ x 2+4x x ≥0 , 4x ?x 2 , x <0 若f(2?a 2)>f(a),则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1) B. (?1 , 2) C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞) D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞) 7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x),且在[1,+∞)上为增函数,则下列关系式正确的是 A. f(?1) 《指数函数》教学设计 连江二中柳殷 一、概述 ·本节课是高中新教材必修1模块; ·本篇课文所需课时为2课时,90分钟,本节课是第一课时; ·本节课是在学习了第一章函数的概念和性质之后,通过对《指数》三个课时的学习后安排的。也为下面的《对数》学习做准备。 ·这节课的价值在于理解指数函数的概念和意义,理解和掌握指数函数的性质。对今后进一步学习其它基本初等函数有重要意义。 二、教学目标分析 1.知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景; ②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.过程与方法 ①展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质. ②在对不断引申的问题的思考、回答过程中,掌握联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3.情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题,分析问题的能力,并培养自身思维的深刻性、创造性、科学性和批判性; ③激发起学习数学的兴趣,在民主、开放的课堂氛围中;提高分析、解决问题的能力. 三、学习者特征分析 1、学生是福建连江第二中学高一年级学生,我所任教班级的学生是高一的一个差班; 2、学生已经基本掌握了函数的概念和性质,并对《指数》只是有较好的认识; 3、学生对生活中隐含数学问题的事件兴趣比较浓厚,对多媒体教学比较兴趣; 4、学生运用数学知识解决实际问题的能力和数学建模的能力还不强。个别学生思维比 较敏捷,敢于在课堂上发表与众不同的见解。 四、教学策略选择与设计 本节课教学重点:指数函数的概念和性质及其应用。 教学难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用。 先行组织者策略:通过情景设置的问题探究提示出指数函数的概念。 学法设计:教师讲授,学生探究,合作交流,组织学生对指数函数的图像和性质的学习。 教学方法上采用启发式教学,在课堂教学中坚持双主教学,注意思维训练和能力培养。 采用多媒体辅助教学,激发兴趣,增大知识信息的容量,使内容充实、形象、直观,提高教学效率和教学质量。 函数解析式 1、已知2(21)42f x x x +=-,求()f x 表达式。 2、已知1()2()23f x f x x +=+,求()f x 表达式。 3、已知2(1)21f x x +=+,求(1)f x -,()f x 。 4、已知23()2()23f x f x x --=-,不求()f x 的解析式,直接求(0)f ,(2)f 。 5、已知2 211()11x x f x x --=++,求()f x 解析式。 6、设()f x 是R 上的函数,且满足(0)1f =,并且对任意的实数x,y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+,求()f x 。 7、若函数2 2()1x f x x =+,求111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++。 8、已知函数()x f x ax b =+,(2)1f =且方程()0f x x -=有唯一解,求()f x 表达式。 9、设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 。 10、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式。 11、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式。 12、已知函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式。 13、设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 。 14、设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,1 1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式。 15、设)(x f 是定义在+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f 。 16、已知f (x +1)=x +2x ,求()f x 的解析式。 17、已知f (x + x 1)=x 3+31x ,求()f x 的解析式。 18、已知函数()f x 是一次函数,且满足关系式3(1)2(1)217f x f x x +--=+,求()f x 的解析式。 19、已知2(1)lg f x x +=,求()f x 。 20、已知()f x 满足1 2()()3f x f x x +=,求()f x 。 2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标: 知识与技能:理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质,培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法:通过观察图象,分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法,培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观:在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点: 教学重点:指数函数的概念、图象和性质。 教学难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程: (一)创设情景 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗? 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y =2x 。 问题2: 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y =0.84x 。 引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。 1.指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [,-,求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f (x ),同时满足下列条件:① 51 )6(1)2(= =f f ,;② )()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2 )]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在 R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题指数函数教案
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