高中数学抽象函数题型汇编及答案

抽象函数常见题型汇编及答案

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

(一)已知的定义域，求的定义域，

解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例题1：设函数的定义域为，则

（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______

解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为

（2）由已知，得，解得，故的定义域为

(二)已知的定义域，求的定义域。

解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。解析：由，得，所以，故填

(三)已知的定义域，求的定义域。

解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，

，即的定义域是

再求的定义域，，

的定义域是

(四)运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例题4：函数的定义域是，求的定义域。

解析：由已知，有，即

函数的定义域由确定

函数的定义域是

【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，

所以中的满足

从而函数f(x)的定义域是［1，4］

【巩固2】已知函数的定义域是，求函数的定义域。解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在

中，由此可得

所以函数

的定义域是

【巩固3】

f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)1

定义域是__。

解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-

x a x a a x a

a x a (1)当-

≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当01

<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、

解析式问题

1. 换元法：即用中间变量

表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公

式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例题5：已知 (

)211x

f x x =++,求()f x . 解析：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u

-=+=

--∴2()1x

f x x -=-

2. 凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例题6：已知3

()f x x x

x +=+

，求()f x 解析：∵22211111

()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x

+=+-+=++-

又∵11||||1||

x x x x +

=+≥，∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)

3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例题7：已知()f x 二次实函数，且2

(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .

解析：设()f x =2ax bx c ++，则

22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+

=22

222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4

1321

,1,2222

a c a a

c b +=??=?===??=?

∴213()22

f x x x =

4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例题8：已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x

解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-

∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0

()lg(1),0

x x f x x x +≥?=?--

例题9： ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1

()1

g x x =

-，求()f x ,()g x . 解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,

不妨用-x 代换()f x +()g x =

1x - ………①中的x , ∴1()()1

f x

g x x -+-=--即()f x －1

()1g x x =-+……②

显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1

g x x =-

5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例题10：

设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及

(1)f =1,求()f x

解析：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =

(1)2n n +∴1

()(1),2

f x x x x N =+∈

【巩固4】设函数f x ()存在反函数，g x f

x h x ()()()=-1

，与g x ()的图象关于直线

x y +=0对称，则函数h x ()=

A. -f x ()

B. --f x ()

C. --f

x 1

() D. ---f

x 1

()

解析：要求y h x =()的解析式，

实质上就是求y h x =()图象上任一点P x y ()00，的横、纵坐标之间的关系。点P x y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，适合y f x =-1

()，

即-=-x g y 00()。又g x f

x ()()=-1

，

∴-=-?-=-?=---x f

y y f x y f x 01

00000()()()，即h x f x ()()=--，选B 。

【巩固5】设对满足的所有实数x，函数满足

，求f(x)的解析式。

解析：在中以代换其中x，得：

再在(1)中以代换x，得

化简得：

评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

三、求值问题

这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

例题11：已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；

②，求f(3)，f(9)的值。

解析：取，得

因为，所以

又取，得

例题12：定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，

求f ()2000的值。

解析：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，

∴f x ()为奇函数且有f ()00=，又由

f x f x ()[()]+=--44()()(8)(4)()f x f x f x f x f x =-=-∴+=-+=，

f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000

【巩固6】已知f x ()的定义域为R +

，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。

解析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得

f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42

又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1

【巩固7】已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，

f ()11997=，求f (2001)的值。

解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是

f x f x f x ()()()+=+-211，f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()

()

()()()

()+=

++-+=+

-+-

=-412121111111 所以f x f x f x ()()

()+=-

+=81

4，故f x ()是以8为周期的周期函数，

从而f f f (2001)()()=?+==8250111997 四、

值域问题

例题13：设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，

总成立，且存在，使得，求函数的值域。

解析：令，得

，即有

或。

若

，则

，对任意

均成立，这与存在实数

，使得

成立矛盾，故，必有

。

由于

对任意

均成立，因此，对任意，有

下面来证明，对任意

设存在

，使得

，则

这与上面已证的矛盾，因此，对任意

所以

评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

【巩固8】已知函数f x ()对任意实数x y ，有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时

f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。

解析：设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，

由条件当x >0时，f x ()>0 ，∴->f x x ()210

又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111，∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-

又令x y ==0 ，得f ()00= ，∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，

∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214

∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，

五、

求参数范围或解不等式

这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域

内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例题14：

已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足

f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。

解析： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，∴f x ()在()-10，上是减函数，

由-<-<-<-

a a 得35<

，不等式不成立。（2）当32<

2222120(2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<-

(4)041224a f a a a a a <-

综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，，。例题15：

f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )

221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++???

?sin cos sin cos

对x R ∈恒成立?-≤-≥++?????m x m x m x

222

1sin sin cos 对x R ∈恒成立?m x m m x x x 222

2311254-≤--≥+=--+???

?sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立，

【巩固9】已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式

f k x f k x (sin )(sin )-≥-22恒成立，求k 的值。

解析：由单调性，脱去函数记号，得k x k x k x k x k k x 22222222

由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成立，则有

k x k k x k 2222111412941≤+=-+≥-=??????

???

??=-(sin )(sin )min max

【巩固10】已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。解析：设x x R 12、∈且x x 12<，则x x 210->，

∴->f x x ()212，即f x x ()2120-->

2211211121()[()]()()2()()()f x f x x x f x x f x f x f x f x ∴=-+=-+->∴>，

故f x ()为增函数，

又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=，

22(1)3(22)3(1)22113f f a a f a a a ∴=∴--<=--<∴-<<，，，即

因此不等式f a a ()2

223--<的解集为{}a a |-<<13。

已知偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函是

减函数，并证明你的结论。

证明：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：

任取x x x x 121200<->

因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。

【巩固11】如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间

解析：画出满足题意的示意图1，易知选B 。

【巩固12】若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，求证：函数

y f x =()是偶函数。

证明：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）

y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，

∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，

0000()()y f x y f x ∴-=--∴=-，

又y f x 00=()，∴-=f x f x ()()00

即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。

八、周期性问题

几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, 1. ，则是以为周期的周期函数； 2. ，则是以为周期的周期函数； 3. ，则是以为周期的周期函数； 4. ，则是以为周期的周期函数；

5. ，则是以为周期的周期函数.

6. ，则是以为周期的周期函数.

7. ，则是以为周期的周期函数.

8. 函数满足（），若为奇函数，则其周期为

，若为偶函数，则其周期为.

9.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以

()y f x =x a ()()f x f x a =+()y f x =T a =()()f x a f x +=-()x f 2T a =()()

f x a f x +=±

()x f 2T a =()()f x a f x a +=-()x f 2T a =1()

-()x f 4T a =()y f x =()()f a x f a x +=-0a >()f x 4T a =()f x 2T a =()y f x =()x R ∈x a =x b =()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y ()0,B b y ()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y x b =()a b <()f x ()4b a -

例题19：

设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：

f x ()是周期函数，并找出它的一个周期。

解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，

若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数，且周期为T 。证明： f x f x f x ()()()

()=+-+121 ∴+=+-+f x f x f x ()()()

()1232 ()()12+得f x f x ()()

()=-+33 由（3）得f x f x ()()

()+=-+364

由（3）和（4）得f x f x ()()=+6。

上式对任意x R ∈都成立，因此f x ()是周期函数，且周期为6。例题20：

设函数f x ()的定义域为R ，且对任意的x ，y 有

f x y f x y f x f y ()()()()++-=?2，并存在正实数c ，使f c

()2

0=。试问f x ()是否为周

期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y x =cos 满足题设条件，

且cos π

0=，

猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数。

f x c c f x c c f x c f c f x c f x f x c f x c f x [()][()]()()()()()()()

++++-=+=∴+=-∴+=-+=2222222

2 故f x ()是周期函数，2c 是它的一个周期。

【巩固13】设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。对任意

x x 1201

，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=?。证明f (x )是周期函数。

证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称,故f x f x x R ()()=-∈2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，

∴-=-∈f x f x x R ()()2，,将上式中-x 以x 代换，得f x f x x R ()()=+∈2，

这表明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期

f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称

又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数,且2是它的一个周期

由此进行一般化推广，我们得到

思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期。

证明： f x ()关于直线x a =对称.∴=-∈f x f a x x R ()()2，

又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，,∴-=-∈f x f a x x R ()()2，将上式中-x 以x 代换，得f x f a x x R ()()=+∈2，

∴f x ()是R 上的周期函数,且2a 是它的一个周期

思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称。证明

f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。

证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称

()(2)()(2)(2)(2)f x f a x x R f x f b x x R f a x f b x x R

∴=-∈=-∈∴-=-∈，，，，，

将上式的-x 以x 代换得f a x f b x x R ()()22+=+∈，

∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222， ∴f x ()是R 上的周期函数,且2()b a -是它的一个周期

若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？我们得到思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称。证明f x ()是周期函数，且4是它的一个周期。，

证明： f x ()关于x =1对称,∴=-∈f x f x x R ()()2，

又由f x ()是奇函数知()()(2)()f x f x x R f x f x x R -=-∈∴-=--∈，，，将上式的-x 以x 代换，得(2)()f x f x x R +=-∈，

(4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x R ∴+=++=-+=--=∈，

∴f x ()是R 上的周期函数,且4是它的一个周期

f x ()是奇函数的实质是f x ()的图象关于原点（0，0）中心对称，又f x ()的图象关于直

线x =1对称，可得f x ()是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到

思考四：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0中心对称，且其图象关于直线x b b a =≠()对称。证明f x ()是周期函数，且4()b a -是它的一个周期。证明： f x ()关于点M a ()，0对称，∴-=-∈f a x f x x R ()()2，

f x ()关于直线x b =对称，

()(2)(2)(2)f x f b x x R f b x f a x x R ∴=-∈∴-=--∈，，，

将上式中的-x 以x 代换，得

(2)(2)[4()][2(24)][2(24)][2(2)][2(2)]()f b x f a x x R

f x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R

+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，， ∴f x ()是R 上的周期函数，且4()b a -是它的一个周期

由上我们发现，定义在R 上的函数f x ()，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f x ()是R 上的周期函数。进一步我们想到，定义在R 上的函数f x ()，其图象如果有两个对称中心，那么f x ()是否为周期函数呢？经过探索，我们得到

思考五：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0和N b a b ()()，0≠对称。证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。证明： f x ()关于M a N b ()()，，，00对称

∴-=-∈-=-∈∴-=-∈f a x f x x R f b x f x x R f a x f b x x R

()()()()()()2222，，，

将上式中的-x 以x 代换，得

(2)(2)[2()][2(2)][2(2)]()f a x f b x x R f x b a f b x a f a x a f x x R

+=+∈∴+-=+-=+-=∈，， ∴f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期

九、

对称性问题

（1）对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念

①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）

①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;

⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;

⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，

这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d

≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =-

(由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c

-。

（2）抽像函数的对称性

1、函数)(x f y =图像本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称

①)(x f y =的图像关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -=

?)2()(x a f x f +=-

②)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =的图像关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称.

特别地，函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-.

（2）中心对称

①)(x f y =的图像关于点),(b a 对称?

x a f x a f 2)()(=-++

b x a f x f 2)2()(=-+

?b x a f x f 2)2()(=++-。

②c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图像关于点),2

(c b a +对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是()()0f x f x +-=.

（3）对称性与周期性之间的联系

①若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于直线x b =对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为b a -；且函数()f x 为周期函数，周期

2T b a =-；

特别地：若)(x f y =是偶函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为2a 的周

期函数；

②若函数()f x 既关于点(,0)a 对称，又关于点(,0)b 对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2T b a =-； ③若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于点(,0)b 对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为b a -，相邻对称轴或中心的距离为

2b a -；且函数()f x 为周期函数，周期4T b a =-。

特别地：若)(x f y =是奇函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为a 4的周期函数。

2、两个函数图像的对称性（互对称问题）

（1）函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图像关于直线0=x 对称。（2）函数)(x f y =与)2(x a f y -=图像关于直线a x =对称（3）函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图像关于直线a x -=对称

（4）函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图像关于直线0)()(=--+x b x a 对称即直线

b x -=

对称（5）函数)(x f y =与)(x f y -=图像关于x 轴对称。（6）函数)(x f y =与)(x f y -=图像关于y 轴对称。

（7）函数)(x f y =与()a x f a y -=-图像关于直线x y a +=成轴对称。（8）函数)(x f y =与()x a f y a -=+图像关于直线x y a -=成轴对称。

（9）函数()y f x =与()1

y f x -=的图像关于直线y x =对称。（10）函数()y f x =与()1

y f x -=--的图像关于直线y x =-对称。

（11）函数()y f x =有反函数，则()y f a x =+和()1

y f a x -=+的图像关于直线

y x a =+对称。

（12）函数)(x f y =与)2(2x a f b y --=的图像关于点),(b a 成中心对称。特别地，

函数)(x f y =与)(x f y --=图像关于原点对称。

例题21：

函数满足，求值。解析：已知式即在对称关系式中取

，所以函

数

的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。

所以

将上式中的x 用

代换，得

评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数

对一切实数x 都满足

，则函数

的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。

十、

综合问题

1) 比较函数值大小

利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

例题22：

已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数，

若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小关系是_______。

解析： x x 1200<>，且||||x x 12<，∴<-

f x ()是偶函数，∴-=f x f x ()()11，故f x f x ()()->-12

2) 讨论方程根的问题

例题23：已知函数f x ()对一切实数x 都满足f x f x ()()11+=-，并且f x ()=0有三个实根，则这三个实根之和是_______。

分析：由f x f x ()()11+=-知直线x =1是函数f x ()图象的对称轴。又f x ()=0有三个实根，由对称性知x 11=必是方程的一个根，其余两根x x 23，关于直线x =1对称，所以x x 23212+=?=，故x x x 1233++=。

1.高考数学考点与题型全归纳——集合

第一章集合与简易逻辑第一节集合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．

3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]

高中数学,函数图形考点及题型全归纳

第五节函数的图象 ? 基础知识 1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换 ①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位 a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→ b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f (x )整体上加减. (2)对称变换 ①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1 a 纵坐标不变 0 1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0

高中数学函数解析式求法

函数解析式的表示形式及五种确定方式函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。一、解析式的表达形式解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为。解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾；当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。

高中数学各大题型详细方法总结

一三角函数三角函数的题有两种考法，其中10%~20%的概率考解三角形，80%~90%的概率考三角函数本身。 1.解三角形不管题目是什么，要明白，关于解三角形，只学了三个公式——正弦定理、余弦定理和面积公式。所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试一下也未尝不可。 2.三角函数然后求解需要求的。套路一般是给一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域、值域、周期、频率、单调性等问题。解决方法就是，首先利用“和差倍半”对式子进行化简。化简成：

掌握以上公式，足够了。关于题型，见下图：二立体几何立体几何的相关题目，稍微复杂一些，可能会卡住一些人。这个题目一般有2~3问，一般会考查某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直，以及求二面角。这类题目的解题方法有两种：空间向量法和传统法。这两种方法各有利弊。

向量法：使用向量法的好处在于：没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。缺点就是计算量大，且容易出错。使用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。其形式为AB=（a，b，c），然后进行后续证明与求解。箭头指的是利用前面的方法求解。如果有些同学会觉得比较乱，以下为无箭头标注的图。

传统法：在学立体几何的时候，有很多性质定理和判定定理。但是针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了上图中6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。

(完整版)高一数学函数试题及答案

（数学1必修）函数及其表示一、选择题 1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 3．已知集合{}{} 421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且* ,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5 4．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<

【精品】高中数学必修1经典题型总结

1.集合基本运算，数轴应用已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x << 2.集合基本运算，二次函数应用已知集合{} {}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A （） A ．]1,2[-- B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[ 3.集合基本运算，绝对值运算，指数运算设集合{}{} ]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x ，则=B A （） A.]2,0[ B. )3,1( C. )3,1[ D. )4,1( 4.集合基本性质，分类讨论法已知集合A= {} 22,25,12a a a -+，且-3 ∈A ，求a 的值 5.集合基本性质，数组，子集数量公式n 2 .集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x ∈N,y ∈N ｝,则A 的非空真子集的个数为（）Ａ４Ｂ５Ｃ６Ｄ７ 6.集合基本性质，空集意识已知集合A={x|2a-1≤x≤a+2}，集合B={x|1≤x≤5}，若A∩B=A，求实数a 的取值范围． 7.函数解析式，定义域，换元法，复合函数，单调性，根式和二次函数应用，数形结合法已知x x x f 2)1(+=+，定义域为：x>0 （1）求f(x)的解析式，定义域及单调递增区间（2）求(-1)f x 解析式，定义域及最小值

8.函数基本性质，整体思想，解方程组设1()满足2()()2,f x f x f x x -=求)(x f 9.函数基本性质，一次函数，多层函数，对应系数法若f [ f (x )]＝2x ＋3，求一次函数f (x )的解析式 10.不等式计算，穿针引线法 (1-x)(21)0(1)x x x +≥- 求x 取值范围 11.函数值域，反表示法，判别式法，二次函数应用，换元法，不等式法求函数2241x y x +=-的值域求函数2122 x y x x +=++的值域求函数x x y 41332-+-=的值域 93(0)4y x x x =+> 12.函数值域，分类讨论，分段函数，数形结合，数轴应用若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）1-或5 （C ）1-或4- （D ）4-或8 13.函数单调性，对数函数性质，复合函数单调性（同增异减）函数212 ()log (4)f x x =-的单调递增区间为 A.(0，)+∞ B.(-∞，0) C.(2，)+∞ D.(-∞，2)- 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（） .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+

高中数学必修一函数题型方法总结

这份资料是全部内容已经完成的一部分，写中。此资料是必修一函数部分的总结，同学有所帮助。路。部分题目仅仅是题目。的题目，总结这一类题目的思路与方法。活学活用。第一部分典型例题解析一、函数部分一、函数的值域：求函数值域的常用方法有方法、判别式、换元、分离常数法、方程法）。 1、函数y=的值域是（）。A、[0,+ B、[0,4) C[0,4] D（0,4）解析：本题是指数函数与幂函数复合，各自的取值范围。所以本题我们用直接分析法。 [) 40160 0160,4 x x x x ∴∴≥ ≤ Q＞16-4＜；要根号有意义，16-4 综上可知：16-4＜ 2、若函数() y f x =的值域是 1 ,3 2 ?? ?? ?? ，则函 1 ()() () F x f x f x =+的值域是（）。 11051010 .,3.2,.,.3, 23223 A B C D ???????? ???????? ???????? 解析：本题是复合函数求值域，可变 11 (),()(),,3 2 f x t F x F t t t t ?? ===+∈?? ?? 。方法一：定义求单调区间 21 212121 2112 212112 12 12 12 1212 12 12 11 (),()(),,3,, 2 111 ()()()()(1). 1 011 1 11(1)0 1 1111 1 (1)0 f x t F x g t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ?? ===+∈?? ?? ∴-=+-+=-- -∴? - ? - Q 令＞＞，∴＞。当＞时，求得＜＜，＜。此时＜，函数递减。当＜时，求得＞＞，＞。此时＞，函数递增 [] 1 ,1,1,3.. 2 151010 (),(1)2,(3).()2,. 2233 x x g g g F x ?? ∴∈∈ ?? ?? ?? ∴===∴∈?? ?? 。时函数递减.时函数递增学了不等式的话，我们可以由基本不等式求单调 11 0,2, 1. 1 1 ,3 2 t t t t t t t ∴+≥=?= = = 此时时，函数取得最小值。然后判断时的函数值即可。 2 34 x y x = - 的值域是（） 44 ,)(,) 33 -∞+∞ U B. 22 (,)(,) 33 -∞+∞ U C.R 24 ,)(,) 33 -∞+∞ U 分离常数法。希望同学自己探究分离常数的方法。 22882 .0,. 3439129123 22 ,, 33 x y x x x =+≠∴≠ --- ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? Q U 24 .(34)2.. 3432 2 320. 3 22 ,, 33 x y y x x x x y y y ?∴-=?= -- ∴-≠?≠ ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? U 2 1 22 x y x x + = ++ 的值域是（）。 11 (,) 22 - B.(11 ,,) 22 ?? -∞-+∞ ?? ?? U C. 11 , 22 ?? -?? ?? ]1,1 - () 2 2 2 2 2 (21)210. 22110, , (21)210 11 =40.,. 22 ) yx y x y x x R y x y b a c y ?+-+-= ++=++≠ ∈ +-+-= ?? -≥∈-?? ?? 方程有意义。在R上有根。解得讨论一元一次方程情况 1 1 (1) 1 y x x = ++ + ，参考例题2两个方法。 R的函数() y f x =的值域为[],a b，则函数

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解：设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

高中数学必修一常见题型归类

常见题型归类第一章集合与函数概念 1.1集合题型１集合与元素题型2 集合的表示题型3 空集与0 题型4 子集、真子集题型5 集合运算题型５.1 已知集合，求集合运算题型5.2 已知集合运算,求集合题型５.３已知集合运算,求参数题型6 “二维”集合运算题型６自定义的集合 1.2函数及其表示题型1 映射概念题型2 函数概念题型3 同一函数题型4 函数的表示题型5 已知函数解析式求值题型6 求解析式题型７定义域题型7．1 求函数的定义域题型7.2 已知函数的定义域问题题型8 值域题型8．1 图像法求函数的值域题型８.2 转化为二次函数，求函数的值域题型8.３转化为反比例函数,求函数的值域题型8.4 利用有界性,求函数的值域题型８.5单调性法求函数的值域题型8.6 判别式法求函数的值域

题型8．7 几何法求函数值域题型9 已知函数值域，求系数 1.3函数的基本性质单调性题型1 判断函数的单调区间题型２已知函数的单调区间，求参数题型3 已知函数的单调性,比较大小题型4 已知函数的单调性，求范围 1.4函数的基本性质奇偶性题型1 判断函数的奇偶性题型2 已知函数的奇偶性，求解析式题型3 已知函数的奇偶性，求参数题型4 已知函数的奇偶性,求值或解集等 1.5函数的图像题型1 函数图像题型2 去绝对值作函数图像题型3 利用图像变换作函数图像题型4 已知函数解析式判断图像题型5 研究函数性质作函数图像题型6 函数图像的对称性第二章基本初等函数 2.1指数函数题型1 指数运算7 题型２指数函数概念题型３指数函数型的定义域、值域题型4 指数函数型恒过定点题型5 单调性题型6 奇偶性题型７图像题型８方程、不等式２.２对数函数

高中数学函数的解析式

课题：___函数的解析式___ 教学任务教学目标知识与技能目标会求简单函数的解析式过程与方法目标学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中总结简单函数的解析式三种类型及解法。理解掌握换元法、待定系数法，体会建立数学模型。培养学生分类讨论的数学思想。情感,态度与价值观目标使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中培养独立的分析和建模的能力。重点理解掌握应用换元法、待定系数法求简单函数的解析式难点能初步掌握用数学模型解决实际问题，并能注意实际问题中的定义域教学过程设计问题与情境设计意图活动1课前热身（资源如下） 1、设 ? ? ? ? ? < = > + = )0 (0 )0 ( )0 (1 ) ( x x x x x fπ，则f{f[f(－1)]}=_______ ___ 2、若一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1，则() f x= 3、已知：) (x f=x2-x+3 ，则 f(x+1) = , f( x 1 )= 4、若 x x x f - = 1 ) 1 (求f(x) = 5、客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）. A. B. C. D. . 从正反两种情况出发，让学生回忆体会函数解析式用法和求法。活动2类型解法函数的解析式的几种类型及解法： 1、已知所要求的函数类型（一次、二次、反比例、指对数等），利用待定系数法来求； 2、已知复合函数一般用变量代换（换元）法； 3、涉及实际问题求解析式，需建立数学模型即：把实际问题转化为数学问题。培养学生用自己的语言来总结类型与解法活动3提高探究资源1、求满足下列条件的函数() f x的解析式： ①已知一次函数() f x，满足3(1)2(1)217 f x f x x +--=+. ②若二次函数满足(0)0 f=，且(1)()1 f x f x x +=++ ③设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为2 2. 掌握利用待定系数法求解析式。

高中数学数列复习题型归纳解题方法整理

数列一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。（a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较

4、典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ，解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，

高考数学题型全归纳

2010-2016高考理科数学题型全归纳题型1、集合的基本概念题型２、集合间的基本关系题型３、集合的运算题型４、四种命题及关系题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型６、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围题型7、判断命题的真假题型8、含有一个量词的命题的否定题型９、结合命题真假求参数的范围题型10、映射与函数的概念题型11、同一函数的判断题型12、函数解析式的求法题型１3、函数定义域的求解题型14、函数定义域的应用题型15、函数值域的求解题型16、函数的奇偶性题型17、函数的单调性(区间）题型１８、函数的周期性题型１9、函数性质的综合题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系

题型21、二次方程ax2+ｂx+c=０（a≠0)的实根分布及条件题型２2、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题题型２3、指数运算及指数方程、指数不等式题型24、指数函数的图像及性质题型25、指数函数中的恒成立的问题题型２6、对数运算及对数方程、对数不等式题型27、对数函数的图像与性质题型２８、对数函数中的恒成立问题题型29、幂函数的定义及基本性质题型30、幂函数性质的综合应用题型３1、判断函数的图像题型3２、函数图像的应用题型３3、求函数的零点或零点所在区间题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题题型３6、函数与数列的综合题型３7、函数与不等式的综合题型３８、函数中的创新题题型39、导数的定义题型4０、求函数的导数题型41、导数的几何意义题型4２、利用原函数与导函数的关系判断图像

高中数学函数知识点归纳及常考题型

《函数》知识要点和基本方法 1.映射定义：设非空集合A,B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射。若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 可建立n m 个映射。 2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B 上的映射f 。此时称数集A 为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x ∈A}为值域，且C ?B 。 3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。(两点必须同时具备) 4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y 轴上。 5.函数解析式的求法：①配凑法； ②换元法： ③待定系数法； ④赋值法；⑤消元法等。 6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。 7.函数单调性及证明方法: 如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x 1,x 2，当x 1f(x 2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。第一步：设x 1、x 2是给定区间内的两个任意的值，且x 1

高中数学求函数解析式的各种方法

函数解析式 1、已知2(21)42f x x x +=-,求()f x 表达式。 2、已知1()2()23f x f x x +=+，求()f x 表达式。 3、已知2(1)21f x x +=+，求(1)f x -，()f x 。 4、已知23()2()23f x f x x --=-，不求()f x 的解析式，直接求(0)f ，(2)f 。 5、已知2 211()11x x f x x --=++，求()f x 解析式。 6、设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1f =，并且对任意的实数x,y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 。 7、若函数2 2()1x f x x =+，求111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++。 8、已知函数()x f x ax b =+，(2)1f =且方程()0f x x -=有唯一解，求()f x 表达式。 9、设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 。 10、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 11、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 12、已知函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。 13、设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 。 14、设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1 1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式。 15、设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f 。 16、已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求()f x 的解析式。 17、已知f （x ＋ x 1）＝x 3＋31x ，求()f x 的解析式。 18、已知函数()f x 是一次函数，且满足关系式3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式。 19、已知2(1)lg f x x +=，求()f x 。 20、已知()f x 满足1 2()()3f x f x x +=，求()f x 。

高中数学极坐标与参数方程高考题型全归纳题型部分

2019极坐标与参数方程高考题型全归纳一.题型部分 (一) 极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化,极坐标与参数方程的转化 1. 极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ= 。 2. 参数方程：直线参数方程：0 0cos () sin x x t t y y t θ θ =+?? =+?为参数 00(,) x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ =+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径；椭圆2 2221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θ θθ =??=?为参数；双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =?? =?为参数；抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=? =?为参数 (二)有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= ，算出d ，在与半径

比较。题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= 第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d = 题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式2 22 d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义” (三）距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：在直角坐标系xOy 中，曲线1 C 的参数方程为()sin x y α αα?=?? =?? 为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为

高考数学题型全归纳：数学家高斯的故事(含答案)

数学家高斯的故事高斯(Gauss,1777—1855)、著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。还在少年时代、高斯就显示出了他的数学才能。据说、一天晚上,父亲在计算工薪账目、高斯在旁边指出了其中的错误、令父亲大吃一惊。10岁那年、有一次老师让学生将1、2、3、…连续相加、一直加到100、即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加、而是仔细观察、思考、结果发现： 1+100=101、2+99=101、3+98=101、…、50+51=101一共有50个101、于是立刻得到： 1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050 老师看着小高斯的答卷、惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷、而且没有一个是算对的。从此、小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后、慷慨出钱资助高斯、将他送入附近的最好的学校进行培养。中学毕业后、高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时、还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后、决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩、但他培养高斯的成功、足以说明一名好教师的重要作用。从哥廷根大学毕业后、高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长、并保留这个职位一直到他逝世。高斯18岁时就发明了最小二乘法、19岁时发现了正17边形的尺规作图法、并给出可用尺规作出正多边形的条件、解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现、在他逝世后、哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。

对代数学、高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础、该书不仅在数论上是划时代之作、就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数、提出所有复数都可以用平面上的点来表示、所以后人将“复平面”称为高斯平面、高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系、阐述了复数的几何加法与乘法、为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》、全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域、而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。高斯一生共有155篇论文。他治学严谨、把直观的概念作为入门的向导、然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎、他的许多数学思想与结果从不轻易发表、而且、他的论文很少详细写明思路。所以有的人说：“这个人、像狐狸似的、把沙土上留下的足迹、用尾巴全部扫掉。”

高中数学必修三角函数知识点与题型总结

高中数学必修三角函数知识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值．【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?．求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间．【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+．（I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值．【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间．

人教版高中数学必修一函数解析式的求法大盘点

函数解析式的求法大盘点函数解析式的求解方法较多，在此，我归纳了几类供大家学习，希望对大家有所帮助。一．方程组法型型和此法主要适用(x) )()()()()(c tx bf x af x c x t bf x af =+=+。。即函数的解析式为得：替换为解析：把。联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。，求满足函数例3)(3)(-)(2)-()(2)(,)(,)()(2)()(.1x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f ==????=-=----=-- 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。，求满足函数例)2(31)()2(31)(1 )(2)1()1(2)(,1)(,1)()1(2)()(.2x x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f +--=+--=???? ????-=--=----=-- 点评：方程组法求函数解析式关键是根据所给表达式列出方程组。 )()()()()()()()()()(x f x t c x bf x t af x c x t bf x af x t x x c x t bf x af 即可解出，即替换为型需把???????=+=+=+， ).()()()()()()((x) )()(x f tx c x bf tx af x c tx bf x af tx x c tx bf x af 即可解出，即替换为型需把???=+=+=+