函数的单调性与奇偶性综合
单调性与奇偶性的综合
望：该函数恰恰具有奇偶性，于是我们怀着 函数单调性在解不等式中简化不等式的妙
激动又忐忑的心情去验证．验证如下： 定义域为 犚，关于原点对称，犳（－狓）＝
（－狓）３－２（－狓）＋ｅ－狓－ｅ１－狓 ＝－狓３＋２狓＋
一个简单的想法，化２为０，那么移项可 以 实 现 ，化 为 犳（狓２ －犪）－１＋犳（犪狓）－１＜ ０，整体化思想，［犳（狓２－犪）－１］＋［犳（犪狓）－ １］＜０，只 需 要 构 造 一 个 新 函 数，设 犵（狓）＝ 犳（狓）－１，不等式就可以转化为犵（狓２－犪）＋ 犵（犪狓）＜０（你可以尝试独自完成）．至此，与拓 展１雷同，类似于上述解答，难点化解，问题得
一般地：设 函 数 狔 ＝犳 （狓）的 定 义 域 为 犃，区间犐犃．如果对于区间犐 内的任意两 个值狓１，狓２，当狓１＜狓２ 时，都有犳（狓１）＜ 犳（狓２），那么就说狔＝犳（狓）在区间犐 上是单 调增函数，犐 称为狔＝犳（狓）的单调增区间…
（单调递减略）
定义中 展 示 的 是：当 函 数 犳（狓）满 足 一
－１≤犪≤１２． 由 此 可 见 ，对 于 一 个 函 数 ，形 如 犳（犕 ）±
犳（犖）＞０（＜０）的问题，可以综合运用函数 的２ 若奇，对则 偶任实拓性意展数和实２犪单 数的调已狓取知性都值函简有范数化犳围犳之（狓为（狓２．－ ）＝犪 ）－＋ 狓犳３ －（犪．狓狓＋）１＜，
鉴于前面的经验，我们更加倾向于用函 数的单调性简化问题，那么新的问题来了，不 等式右边的２如何处理？
微专题突破
单调性与奇偶性的综合
概 念 理 解 江苏省吴函 件．于是，如果已知函数的单调性，那么由自变
数的局部性质；而函数的奇偶性则是函数的 量的大小可以推出函数值的大小；反之，由函
整体性质；这两条性质是函数的基本性质．其 数值的大小也可以推出自变量的大小．于是，
高考复习-函数的单调性与奇偶性
函数的单调性与奇偶性知识集结知识元函数的单调性与奇偶性知识讲解1．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f （﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．例题精讲函数的单调性与奇偶性例1.下列函数为奇函数且值域为R的是（）A．y=x+B．y=xD．y=ln（x+）C．y=例2.下列函数，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=-（x-1）2B．C．f（x）=3|x|D．f（x）=cos x例3.已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则=（）A．2 B．D．C．当堂练习单选题练习1.已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．练习2.已知函数f（x）=（x2-2x）sin（x-1）+x+1在[-1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．4 B．2 C．1 D．0练习3.已知函数f（x）=，若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1<x2<x3<x4）时，不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则实数k的最小值为（）A．B．2-C．D．-练习4.若函数f（x）=单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）练习5.设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式>0的解集是（）A．（-2，0）∪（2，+∝）B．（-∝，-2）∪（0，2）C．（-2，0）∪（0，2）D．（-∝，-2）∪（2，+∝）填空题练习1.已知函数f（x）=那么不等式f（x）≥1的解集为_______________．练习2.函数的单调区间是_________________。
函数的单调性、奇偶性的综合问题
函数的单调性、奇偶性综合运用【学习目标】1.进一步掌握函数的单调性与奇偶性综合问题；2.利用单调性、奇偶性来解决相关问题。
【学习过程】一．复习回顾：1．函数单调性、奇偶性的定义2．设()x f 为定义在()+∞∞-,上的偶函数，且()x f 在[)+∞,0上为增函数，则()2-f ，()π-f ，()3f 的大小顺序是二．例题精讲：题型一：知单调性求参数的范围1．若()x f 是偶函数,其定义域为(),-∞+∞,且在 [)+∞,0上是减函数 则)43(-f ，)1(2+-a a f 的大小关系是 。
2．已知()x f 是定义在()1,1-上的奇函数,且在定义域上为增函数,若2(2)(4)0f a f a -+-<,求 a 的取值范围.【变式】 已知()x f 是定义在()1,1-上的偶函数,且在()1,0上为增函数,若)4()2(2a f a f -<-,求 a 的取值范围。
题型二：单调性的判断与证明：3．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，则f (x ) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论4．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，并且f (x )<0对一切R x ∈成立，试判断)(1x f -在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论. 【课堂巩固】1.设()x f 是偶函数，且当[)+∞∈,0x 时，1)(-=x x f ， 则0)1(<-x f 的解是 .2. 定义R 在的偶函数()x f 在()0,∞-上是单调递增的,若()122++a a f <()1232+-a a f ,求a 的取值范围.3.若奇函数)(x f 是定义域()1,1-上的减函数，且0)1()1(2<-+-m f m f 求实数 m 的取值范围4．已知f (x )是R 上的奇函数，且在(0,+ ∞)上单调递减，则f (x) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论函数的单调性、奇偶性综合运用(一)【学习目标】1、 进一步掌握函数的单调性与奇偶性综合问题；2、 利用单调性、奇偶性来解决相关问题。
函数的奇偶性和单调性综合训练
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则 称$f(x)$为偶函数。
奇函数和偶函数的性质
奇函数的图像关于原点对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于原点对称的。
偶函数的图像关于y轴对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于y轴对称的。
利用奇偶性和单调性解题
利用奇偶性求函数值
对于奇函数，有$f(-x) = -f(x)$；对于偶函数， 有$f(-x) = f(x)$。
利用单调性比较函数值大小
在单调递增区间内，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) < f(x_2)$；在单调递减区间内，如果$x_1 < x_2$，则 $f(x_1) > f(x_2)$。
奇偶性的判断方法
定义法
根据奇偶函数的定义来判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断。
代数法
通过代入特殊值来判断。
单调性的定义
单调递增
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)<f(x_2)$，则 称函数$f(x)$在定义域内单调递增。
函数的奇偶性和单调性综合训 练
目
CONTENCT
录
• 函数的奇偶性 • 函数的单调性 • 奇偶性与单调性的关系 • 综合训练题 • 总结与回顾
01
函数的奇偶性
奇函数和偶函数的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
100%
导数法
通过求函数的导数并判断导数的正 负来判断。如果导数大于0，则为 增函数；如果导数小于0，则为减 函数。
函数的单调性与奇偶性综合应用
例 ３ 下 列 函数 中， 既是偶函数又在 区
间（ ０ ，４ －ｏ ｏ ） 上 单 调 递 减 的 是
Ａ． 一
Ｚ
（
）
Ｄ 一 １ ） ＞ 厂 （ 一 兀 ） ＞ 厂 （ 号 ）
分 析 由 函数 一 － 厂 （ ． ｚ ）为偶 函数 ， 可
得 － 厂 （ 一 ） 一 ｆ（ ｚ） ， 从 而 有 厂（ 一１ ） 一 ｆ（ １ ） ，
解 （ １ ）设 ＜ ０ ， 则 一ｚ＞ ０ ，
厂 （ 一 ｚ ）一 一 （ 一 ｚ） 。 ＋２ （ 一 ｚ） 一 一 一 ２ ｘ．
ｚ ∈ （ ｏ ， ） ｕ （ １ ０ ｏ ， ＋ 。 。 ） ．
例５ 已知 奇 函数 厂（ ｚ） 是 定 义在 ［ 一１ ， １ ］ 上 的减 函数 ， 则满 足 厂（ １～ ｚ）十 ｆ（ ３ ｘ一
ｇ ＞ ２ ， 则有 ０ ＜ ＜ 或 ｚ＞ １ ０ ０ ， 即
分 析 （ １ ） 根据函数奇偶性的对称性 ，
即可 求 函数 厂（ ） 在 Ｒ上 的解析 式 ；
（ ２ ）根 据 函数 奇 偶 性 和 单 调 性 的 关 系 ， 利用 数形 结合 即可 求 出 口的取值 范 围．
二 、函 数 的 单 调 性 与 奇 偶 性 的 判 断 与证 明
例２ 已知 函数 Ｙ一 － 厂 （ ｚ）在 Ｒ 上是 奇
一
、
利 用 函 数 的 单 调 性 与 奇 偶 性 的性 质 比较 数 的大 小
函数 ， 而且在 （ ０，４ － 。 。） 上 是 增 函数 ， 证 明：
一
ｆ（ Ｉ ｚ） 在（ 一。 。 ，０ ） 上 也是 增 函数．
函数 的 单调 性 与 奇偶 性 综合 应 用
函数的单调性奇偶性与周期性
函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1． 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增； 如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。
二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。
5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。
T 是f (x )的一个周期。
若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。
函数奇偶性及单调性的综合应用课件
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
函数单调性与奇偶性综合运用
函数单调性与奇偶性综合运用例1；设定义在[−3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a−1)＜f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a−1)＜f(a) ∴f(|a−1|)＜f(|a|)而|a−1|，|a|∈[0，3].例2；定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)−f(−a)＞g(a)−g(−b)；②f(b)−f(−a)＜g(a)−g(−b)；③f(a)−f(−b)＞g(b)−g(−a)；④f(a)−f(−b)＜g(b)−g(−a).答案：①③.例3；设a为实数，函数f(x)=x2+|x−a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x−a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为.小练习；选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．函数f(x)是定义在[−6，6]上的偶函数，且在[−6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(−3)−f(2)＜0C. f(−2)+f(−5)＜0D. f(4)−f(−1)＞0 7．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( ) A．B．C．D．8．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________. 4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为−1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.6．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.解答题1. 已知函数f(x)=x2−2ax+a2−1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[−1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a).解：(1)∵f(x)=(x−a)2−1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜−1时，如图1，g(a)=f(−1)=a2+2a2°当−1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=−13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2−2a，如图2. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x−2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x−2)≤3可转化为：f[x(x−2)]≤f(8).3. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1−x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2−1＜0∴f(x1)−f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2−1的符号的确定，如何分段.4．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.解：，则，5．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.证明：(1)设，则，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.6．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数且，求和的解析式.解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.7．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式. 解：(1)令，则(2)，则.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值. 解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴.。
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函数的单调性与奇偶性综合
【课时目标】
1、能准确判断函数的单调性与奇偶性
2、会灵活利用函数的单调性与奇偶性求参数或参数的取值范围
3、能够解决抽象函数的单调性与奇偶性的问题
【基础训练】
1、单调性：
（1）函数||2x x y +-=，单调递减区间为
（2）函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则k 的取值范围是
（3）已知函数2()(3)2f x ax a x =+++在区间[1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是 ___
（4）已知()f x 为R 上的减函数，则满足)1()1(f x f >的实数x 的取值范围是____________ —
2、奇偶性：
（1）下列函数具有奇偶性的有 ①x
x y 13+= ②x x y 2112-+-= ③x x y +=4 ④⎪⎩
⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y
（2）函数1()f x x x
=-的图像关于__________对称 （3）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =__________
（4）已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则_______
【例题精讲】
例1、已知()f x 是偶函数，而且在0(,)+∞上是减函数．判断()f x 在0(,)-∞上是增函数还是减函数，并加以证明
例2、()f x 是定义在R 的奇函数，且()f x 在0(,)+∞上是增函数，10()f =，则不等式0()()f x f x x
--<的解集为_________________ }
练习：已知()f x 是定义在(3,3)-上的偶函数，当0
x ≤< ()f x 的图象如右图，则不等式(1)()0x f x -⋅≤ 变：()f x 是定义在22[,]-的奇函数，且()f x 在02[,]上单调递减，若1()()f m f m -<，则实数m 的取值范围是________________
…
例3、已知函数()1).f x a =≠ （1）若0a >，则()f x 的定义域是
(2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是______________
例4：（1）函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，若当1x ≤时，2()1f x x =+，求()f x
·
（2）函数()y f x =的图象关于点(1,1)对称，若当1x ≤时，2()1f x x =+，求()f x
例5、已知定义在区间0(,)+∞上的函数()f x 满足：对于任意的120,(,)x x ∈+∞，都有1122
()()()x f f x f x x =-，且当1x >时，()0f x < （1）求(1)f 的值； （2）判断()f x 的单调性； （3）若(3)1f =-，解不等式()2f x <-
—
练习、若函数()f x 是定义在0(,)+∞上的增函数，且对一切0x >，0y >满足()()()f xy f x f y =+，则不等式(6)()2(4)f x f x f ++<的解集为 【当堂检测】
1．若2(3)21f x x =-，则()f x 的解析式为 。
2．求函数定义域(1)5()x f x -=
(2)11y x x =-- 3.已知2211()1f x x x x -=+
+，则函数()f x 的解析式 4.函数822+--=x x y 的单调增区间为
5.已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，则实数m 的值
6．已知函数53()8f x x ax bx =++-若(2)10f -=，则(2)f 的值
7、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x =
8、若()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(3)0f -=，则使得[()()]0x f x f x +-<的x 的取值范围是
9、已知函数)1(2)1()(2-≠+++=a x a x x f ，若)()()(x h x g x f +=，其中)(x g 为奇
函数，)(x h 为偶函数。
若函数)(x g ，)(x f 在区间]1,(-∞上均是减函数，则实数a 的取值范围是_____________
…
10.已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调增函数，若(1)2)f f <，
求x 的取值范围.
11.已知()y f x =在定义域(1,1)-上是增函数且为奇函数，(1)(21)0f t f t -+-<，求实数t 的取值范围.
<
12．函数)(x f 在R 上为偶函数，且0()1,x f x ≥=
时，，求()f x 的表达式。
/
13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-,
求()f x 的解析式.
14. 函数2()1ax b f x x
+=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12()25f =. (1)确定函数()f x 的解析式；
$
(2)用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；
(3)解不等式(1)()0f t f t -+<。