高一数学必修1-函数的单调性和奇偶性的综合应用
高一数学必修一第三讲《函数的单调性与奇偶性》
注意：
①函数的奇偶性是函数的整体性质；
②定义域内的任意一个 x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量
（即定义域关于原点对称）。
★★★利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定 f(－x)与 f(x)的关系；
③作出相应结论：
若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；
f (a2 1) f (a 1) 0 的实数 a 的取值范围.
家长签字：
第五讲 函数单调性与奇偶性的复习 一、必备基础
1.单调函数：增函数，减函数，单调性，单调区间 2.奇偶函数定义：奇偶函数图象性质
3.最值：设函数 y f x 定义域为 I，如果存在实数满足：①对于任意的 x I ，都有 f x M 。②存在 x0 I 使得 f x0 M ，那么称函数 y f x 有最大值为 M。
2、画出反比例函数 y 1 的图象。 x
（1）这个函数的定义域 是什么？ （2）它在定义域 上的单调性是怎样的？证明你的结论。
家长签字：
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一、偶函数
暑期预科:函数
第四讲 奇偶性
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
画出函数 f (x) x 2 和函数 f (x) | x | 的图象，思考并讨论以下问题：
你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y f (x) 的最小值 (min imum value ）的定义吗？ 例 5、求函数 f (x) x 1 在区间 (0,2) 上的最小值。
x
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暑期预科:函数
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
例
6、已知函数
y
2（ x 1
人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第二部分-函数(含答案)
2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第二部分 函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域 值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论 （1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)， （1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升 单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ ）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称 例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且 （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。
新高一数学教案(22) 函数的单调性与奇偶性综合应用
[例 4]f(x)是定义在 上的增函数，且 .
①求f(1)的值；②若f(6)=1，解不等式 .
课后作业
1.函数 为偶函数，那么 的大小关系为__________________.
2.如果奇函数 在区间[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么 在区间[-7,-3]上的最______________值为____________.
新高一数学教案(22)函数的单调性与奇偶性综合应用
教学目标
1.掌握函数的单调性、奇偶性的定义.
2.掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用.
教学重点
函数的单调性、奇偶性.
教学难点
函数的单调性与奇偶性综合应用
教学过程
一、【名人名言】
1.选择作为学生，学习是我们的本职，学习对天才是一块垫脚石，对勤奋的人是一笔财富，对懒惰的人是一个万丈深渊。
2.爱心诚信是做人根本，求实谦虚为治学前提。
3.踏实，是学有所获的前提;勤奋，是学有所进的根本;坚持，是学有所成的途径。
4.要想得到别人的认可和尊重，你就做出让别人赞同的事。
5.学习之道，难在坚持，贵在坚持，成在坚持。
二、【典型例题剖析】
[例 1]R上的偶函数 在 上是减函数，
[例 2]定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是减函数,且满足条件f(1-a)+f(1-2a)<0，求a的取值范围.
3.若函数 是函数，且 ，则必有（）
A． B. C. D.不确定
4.已知y=f(x)是(-3,3)上的减函数，解不等式 .
5.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
高三数学复习课件-函数的奇偶性和单调性综合复习
(3)f(x)= (x-1) .
1 x 1 x
评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： (1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x)
之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查其
例2：函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，满足： f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式f(x)+f(x-2)≥3
[4，+∞）
注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域
练习 1、函数f(x)在（0，+∞）上是减函数求f(a2-a+1)与 f( 3 )的大小关系
3 f(a2-a+1) ≤f( ) 4 2－mx＋5 在区间 [－2，+∞) 上是增 2、函数 f(x)＝4x 函数，求f(1) 的取值范围。 f(1) ≥25 3、设f(x)是定义域为[-1，1]上的增函数， 解不等式f(x-1)<f(x2-1). （1， 2 ]
函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函 数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减 函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.
y
例1 、 画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像， 并指出函数的单调区间.
解：函数图像如下图所示，
当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-(x-1)2+4； 当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4.
减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区间必须是其定义域的 子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单调性是由函数y=f(u)及 u=g(x)的单调性确定的且规律是“同增，异减”
高一数学函数的单调性与奇偶性综合人教实验版(B)知识精讲
高一数学函数的单调性与奇偶性综合人教实验版（B ）【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的单调性与奇偶性综合二. 学习目标1. 巩固函数单调性、奇偶性的概念；2. 进一步加强化归转化能力的训练，培养推理能力。
三. 知识要点1. 奇函数和偶函数的概念设函数y =f （x ）的定义域为D ，且D 关于原点对称.（1）如果对于函数f （x ）的定义域D 内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ），那么函数f （x ）就叫做奇函数.（2） 如果对于函数f （x ）的定义域D 内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ），那么函数f （x ）就叫做偶函数.定义还可以表达为：（1） 如果对于函数f （x ）的定义域D 内任意一个x ，都有f （x ）+f （－x ）=0，那么函数f （x ）就叫做奇函数.（2） 如果对于函数f （x ）的定义域D 内任意一个x ，都有f （x ）－f （－x ）=0，那么函数f （x ）就叫做偶函数.第二种表述形式能比较方便地判断函数的奇偶性，如判断函数()x xy -+=1lg2的奇偶性. 这种形式能从方程的角度看待函数的奇偶性，例如，若函数是奇函数，且定义域为D ；则方程f （x ）+f （－x ）=0的解集为D ；另一方面，若方程f （x ）+f （－x ）=0的解集D 关于原点对称，则函数y =f （x ）在D 上是奇函数. 对偶函数也可以得出类似的结论. 2. 奇函数和偶函数的图像特征（1）奇函数的图像关于原点对称，反过来，图像关于原点对称的函数，必是奇函数. （2） 偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，图像关于y 轴对称的函数，必是偶函数. 3. 判断函数的奇偶性 对于函数f （x ），先求其定义域D ；并判别D 是否关于原点对称，然后再验证f （－x ）=±f （x ）（或f （-x ）±f （x ）=0，或()()1±=-x f x f 等）是否成立，最后得出正确结论.4. 函数的奇偶性与单调性相结合，有以下两个结论： （1）奇函数在原点两侧的对称区间上有相同的单调性. （2） 偶函数在原点两侧的对称区间上有相反的单调性.5. 单调函数的定义（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ，当210x x x ∆=->时都有21()()0,y f x f x ∆=->，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
高一数学必修一《函数》章节整合
2.
3. 幂函数在第一象限内直线 x=1 的右侧，顺时针旋转指数逐渐变小。 二、幂函数单调性的应用 1. 利用单调性比较大小
1) a=( )3 ,
3
4 1
b=(2)3 ,
2
c= (− )3
3
2
, d=( )2 的大小顺序为
4
3 1
2.
利用单调性解不等式 2) 已知幂函数
y= x m²−2m −3 (m ∈ N + ) 的 图 像 关 于 1）
若
五、 含参数的函数奇偶性的判断 1) 判断 f(x)= x + a − x − a (a∈ R)的奇偶性
2) 判断函数 f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈ R, x ∈ R)的奇偶性
3) 已知函数 f(x)=x²+ x − a +1（a∈ R，x ∈ R），试判断 f(x)的奇偶性
抽象函数奇偶性的判定（另见文档） 抽象函数单调性与奇偶性的综合应用（另见文档） 六、 函数单调性与奇偶性的综合应用 1. 函数 f(x)=1+x 2 是定义在（-1,1）上的奇函数，且 f(2)=5. 1) 确定函数 f(x)的解析式 2) 用定义法证明：f(x)在（-1,1）上是增函数 3) 解不等式：f(t-1) +f(t)<0
x² − 2x + 3，（x > 0） 判断函数 f(x)= 0，（x = 0） x² − 2x − 3，（x < 0） 的奇偶性
函数奇偶性的应用 一、 利用函数奇偶性求函数值 1) 已知 f(x) ， g(x)都是定义在 R 上的奇函数，且 F(x)=3 f(x)+5 g(x)+2,若 F（a）=b，则 F（-a）= 2) 设函数 f(x)=ax ³ +cx+d 的图像如图，则 f(-1)+ f(1)= 3) 已知函数 f(x)为奇函数， g(x)= f(x)+9， g(-2)=3， 则 f(2)= 二、 利用函数奇偶性求解析式 1) 已知定义在 （-∞， +∞） 上的函数 f(x)的图像关于原点对称， 且当 x> 0时， f(x)=x²-2x+2，求函数 f(x)的解析式。 2) 设函数 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且 f(x)+ g(x) =x −1，求 f(x) 和 g(x)的解析式 三、 利用函数奇偶性求参数的值 1) 若函数 f(x)=ax²+bx+3a+b 是定义在 a − 1,2a 上的偶函数， 求 a,b 的值。 2) 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)=x 2 +nx +1,求 n,m 的值。 3) 若函数 f(x)=x 2 − x + a 为偶函数，求实数 a 的值。 四、 利用奇函数、偶函数图像的对称性解题 1) 已知 y= f(x)和 y= g(x)都是定义在 −π ，π 上的函数，y= f(x)是偶 函数， y= g(x) 是奇函数， x ∈ 0，π 上的图像如图所示，求不等式
高一数学必修一 函数的奇偶性与性质综合
函数的奇偶性与性质综合
一、函数的奇偶判定
1、奇函数
如果对于函数y=f(x)的定义域D内任意一个x，都有－x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
图像是关于原点成中心对称
2、偶函数
如果对于函数y=f(x)的定义域D内任意一个x，都有－x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
图像是关于y轴成对称
3、
4
5
6
8、定义法判断函数奇偶性
9、抽象函数奇偶性判断
二、函数奇偶性综合应用
1、奇偶性之半区间求解析式
2、利用方程组法半区间求解析式
小结：
三、利用函数的性质解不等式或比较大小
1、函数单调性与奇偶性质综合应用（性质已知，比大小）
2、函数单调性与奇偶性质综合应用（性质已知，解不等式）
3、函数单调性与奇偶性质综合应用（判断单调性与奇偶性）
4、利用构造函数，求单调性与奇偶性
5、利用性质作图解不等式
跟踪练习。
高一数学必修一函数知识点
【导语】考试是检测学⽣学习效果的重要⼿段和⽅法，考前需要做好各⽅⾯的知识储备，对于数学更加要进⾏复习归纳。
下⾯就让给⼤家分享⼀些⾼⼀数学必修⼀函数知识点总结吧，希望能对你有帮助!⾼⼀数学必修⼀函数知识点总结篇⼀1. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可⽤于求参数);(3)判断函数奇偶性可⽤定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题⼀定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或⽅程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中⼼(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中⼼(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的⽅程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2⽅程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成⽴，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成⽴,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像⼜关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像⼜关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;5.⽅程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x) 恒成⽴ a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成⽴ a≤[f(x)]min;7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3) l og a b的符号由⼝诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不⼀定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9. 能熟练地⽤定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
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高一数学必修1-函数的单调性和奇偶性的综
合应用
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
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高一数学必修1 函数的单调性和奇偶性的综合应用（第一课时）
对称有点对称和轴对称：
数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。
1、函数的单调性：应用：若()y f x =是增函数，12()()f x f x > ⇒ 1x 2x
应用：若()y f x =是减函数，12()()f x f x > ⇒ 1x
2x 相关练习：若()y f x =是R 上的减函数，则(1)f 2(22)f a a ++
2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b =+、k y x =
、2y ax bx c =++ 相关练习：若()f x ax =，()b g x x
=-在(,0)-∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是 函数（增、减）
3、函数的奇偶性：
定义域关于原点对称，()()f x f x -= ⇒ ()f x 是偶函数
定义域关于原点对称，()()f x f x -=- ⇒ ()f x 是奇函数
O
点对称：对称中心O 轴对称：
- 2 -
（当然，对于一般的函数，都没有恰好()()f x f x -=±，所以绝大部分函数都不具有奇偶性）
相关练习：（1）已知函数21()4f x ax bx a b
=+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b
(2)若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。
(3)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f = 。
(4)函数()y f x =的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像
4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】
相关练习：（1）根据函数的图像说明，若偶函数()y f x =在(,0)-∞上是减函数，则()f x 在(0,)+∞上是 函数（增、减）
(2) 已知()f x 为奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()x =
(3)R 上的偶函数在(0,)+∞上是减函数，3()4
f - 2(1)f a a -+ (4)设()f x 为定义在（(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为增函数，则(2)f -、()f π-、
偶函数奇函数奇函数奇函数
- 3 -
(3)f 的大小顺序是（ ）
A. ()(3)(2)f f f π->>-
B. ()(2)(3)f f f π->->
C. ()(3)(2)f f f π-<<-
D. ()(2)(3)f f f π-<-<
(5)如果奇函数()f x 在区间[3,7]上的最小值是5，那么()f x 在区间[7,3]--上( )
A. 最小值是5
B. 最小值是－５
C. 最大值是－５
D. 最
大值是5 (6)如果偶函数()f x 在[3,7]上是增函数，且最小值是－５那么()f x 在[7,3]--上是( )
A. 增函数且最小值为－５
B. 增函数且最大值为－５
C. 减函数且最小值为－５
D. 减函数且最大值为－５
(7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上()f x 是单调增函数，那么当10x <，20x >且120x x +<时，有（ ）
A. 12()()f x f x ->-
B. 12()()f x f x -<-
C. 12()()f x f x -=-
D. 不确定
(8)如果()f x 是奇函数，而且在开区间(,0)-∞上是增函数，又(2)0f =，那么()0x f x ⋅<
的解是（ ）
A. 20x -<<或02x <<
B. 20x -<<或2x >
C. 2x <-或02x <<
D. 3x <-或3x >
(9) 已知函数()f x 为偶函数，x R ∈，当0x <时，()f x 单调递增，对于10x <，20x >，有12||||x x <，则（ ）
A. 12()()f x f x ->-
B. 12()()f x f x -<-
C. 12()()f x f x -=-
D.
12|()||()|f x f x -<-
5、单调性和奇偶性的综合应用 【类型2 利用单调性解不等式】
- 4 -
相关练习：(1)已知()y f x =是(3,3)-上的减函数，解不等式(3)(2)f x f x +>-
1(1,)2--
(2)定义在(1,1)-上的奇函数()f x 是减函数，且满足条件(1)(12)0f a f a -+-<，求
a 的取值范围。
2(0,)3
(3)函数()y f x =是[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，解不等式
(1)()f x f x -<。
1[1,)2
- (4)已知()f x 是定义在(1,1)-的偶函数，且在(0,1)上为增函数，若
(2)(3)f a f a -<-，求a 的取值范围。
5(2,)2
(5)已知函数()f x 是R 上的奇函数且是增函数，解不等式(45)0f x -+>。
54
x < (6)()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()x f f x f y y
=-。
①求(1)f 的值；②若(6)1f =，解不等式1(3)()23
f x f +-<。
(3,9)- （7）R +上的增函数满足()()()f xy f x f y =+，且(8)3f =，解不等式(2)(2)f f x +-≥6。
x ≥34
思考题：
已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x f y f x y +=+，且当
0x >时，()0f x <，又2(1)3
f =-。
- 5 - (1)求(0)f ；(2)求证()f x 为奇函数；(3)求证()f x 为R 上的减函数；(4)求()
f x 在[3,6]-上的最小值与最大值；(5)解关于x 的不等式
11(2)()()()22
f bx f x f bx f b ->-，(2)b >。
(1)0(4)min 4y =-，max 2y =(5)22
b x b -<-。
补充：函数()f x 对任意的m 、n R ∈，都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，()1f x >。
(1)求证：()f x 在R 上是增函数；(2)若(3)4f =，求解不等式2(5)2f a a +-<。