江苏省宿迁中学2020届高三数学上学期一模全真模拟试题(含解析)
江苏省宿迁中学2020届高三上学期1月一模全真模拟卷数学试题 Word版含解析
江苏省宿迁中学2020年1月高三年级一模全真模拟卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分) 1.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，3{}1,B ，则()U A C B ⋂=_________.【答案】{2} 【解析】 【分析】结合已知利用补集的定义先求出{2,4}U C B =，然后根据交集的定义即可求出()U A C B ⋂． 【详解】因为{1,2,3,4}U =，3{}1,B ，所以{2,4}U C B =，又{1,2}A =，所以(){1,2}{2,4}{2}U AB ==C .故答案为:{2}【点睛】本题主要考查集合的交集运算及补集的运算，属于基础题． 2.已知复数z 满足2zi i =+，其中i 为虚数单位，则||z =________. 5【解析】 【分析】 将等式变形为2iz i+=，再利用复数的除法运算化简为复数的代数形式，再根据复数的模的定义即可求出||z ．【详解】因为2zi i =+，所以22i (2i)i 2i 112i i i 1z ++-====--， 所以22||1(2)5z =+-= 5【点睛】本题主要考查复数的除法运算及复数的模的求法，属于基础题． 3.函数()sin 2()(0)f x x φφ=+>的最小正周期为________. 【答案】π 【解析】 【分析】根据函数()sin(22)f x x φ=+可知2ω=，代入周期公式2||T πω=，即可求出函数()f x 的最小正周期．【详解】因为函数()sin 2()sin(22)f x x φx φ=+=+，所以22T ππ==． 故答案为：π【点睛】本题主要考查三角函数的周期求法，关键是熟练掌握函数sin()y A x ωϕ=+的最小正周期为2π||ω，属于基础题．4.执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为_______.【答案】-1 【解析】【详解】执行此程序框图可知，当0x ≥时，121x +=，此时方程无解； 当0x <时，221x -=，解得1x =-，所以输入x 的值为1-. 5.3，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的底面积为____ .【答案】π 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为r ，可得母线2l r =，高3h r =，根据体积公式建立方程，即可求出r ，再根据圆锥的底面积公式2S r π=，即可求出结果． 【详解】因为圆锥母线与底面所成角为3π，设圆锥底面半径为r ，则母线长2l r =，所以圆锥的高h==，所以圆锥的体积221133Vπr hπr=⋅==，解得1r=，所以该圆锥的底面积2S rππ==．故答案为：π【点睛】本题主要考查圆锥的底面积的求法，同时考查圆锥的体积公式，属于基础题．6.已知各项均为正数的等比数列{}n a的前4项和15，且5312a a a=+，则3a=____.【答案】1)【解析】【分析】根据等比数列通项公式将5312a a a=+化为用基本量1,a q来表示，解出q，然后再由415S=求出1a，再根据通项公式即可求出3a．【详解】设等比数列{}n a的公比为q，由5312a a a=+，得421112a q a q a=+，所以422q q=+，解得22q=，又数列{}n a的各项均为正数，所以q=又414(1)151a qSq-===-，所以11)a=，所以2311)a a q==．故答案为：1)【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用及等比数列的求和公式的应用，同时考查方程思想及运算能力，属于基础题．7.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____．【答案】38【解析】【分析】先求出别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数，然后再求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件的个.数，运用古典概型公式求出概率.【详解】写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为：(2,1),(3,1),(3,2)(4,1)(4,2),(4,3)，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为63168=. 【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式，考查了有放回抽样，属于基础题.8.在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r N *∈，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的_____条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”或“既不充分也不必要”中的一个） 【答案】既不充分也不必要 【解析】 【分析】先将k l p r a a a a +>+利用等差数列的通项公式进行化简，再利用充分条件和必要条件判断充分性和必要性，即可判断出结果．【详解】在等差数列{}n a 中，由k l p r a a a a +>+得1111(1)(1)(1)(1)a k d a l d a p d a r d +-++->+-++-，即()()k l d p r d +>+，若0d >，则k l p r +>+；若0d <，则k l p r +<+， 故k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的既不充分也不必要条件． 故答案为：既不充分也不必要【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的通项公式及不等式的性质．9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：()2221016x y a a -=>的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线的离心率为______. 【答案】53【解析】【分析】求出右焦点及渐近线，利用点到直线的距离列出方程求出a ，再利用c 求出c ，即可求出双曲线的离心率．【详解】根据题意知，双曲线的右顶点坐标为(,0)a ，其渐近线方程为40x ay ±=， 因为双曲线C 的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，125=，解得3a =，所以5c ===， 所以双曲线的离心率53c e a ==． 故答案为：53【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于中档题． 10.已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=_______.【解析】 【分析】根据二倍角公式可将已知等式化简为24sin cos 2cos ααα=，根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得1tan 2α=；根据同角三角函数关系，结合0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】由二倍角公式可知：sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=-24sin cos 2cos ααα∴=又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α∴≠ 2sin cos αα∴=，即1tan 2α=sin 5α∴=【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.11.若实数a，b满足20 101a bb aa+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则223b aba-的取值范围是_____.【答案】9[,0]4-【解析】【分析】223b aba-可化为2()3()b ba a-，令bka=，只需求出k的范围，作出不等式组所表示的平面区域，利用b bka a-==-的几何意义，即可求出k的范围，进而可求出223b aba-的取值范围．【详解】2223()3()b ab b ba a a-=-，令bka=，则22233b abk ka-=-，作出原不等式组所表示的平面区域，如图所示，易知当目标函数bka=，过点(1,1)A时，k取得最小值1；当过点13(,)22B时，k取得最大值3，故13k≤≤，所以222233993()[,0]244b abk k ka-=-=--∈-，所以223b aba-的取值范围是9[,0]4-．故答案为：9[,0]4-【点睛】本题主要考查线性规划知识的应用，关键是将223b aba -可化为2()3()b b a a -，利用数形结合求出ba的范围． 12.已知函数||()x t f x e-=，()g x x e =-+，()max{(),()}h x f x g x =，其中max{,}a b 表示中,a b 最大的数，若()h x e >对x ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】1t <- 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出()f x 和()g x 图象，()h x 的图象是由()f x 和()g x 图象中较大部分构成，当0x <时，()g x x e e =-+>，而当0x ≥时，()g x e ≤，故只需()f x e >即可，利用数形结合即可得出结果．【详解】当0x <时，()g x x e e =-+>，所以由()max{(),()}h x f x g x e =>成立； 当0x ≥时，()g x e ≤，所以只要()f x e >即可，如图将||x y e =的图象向左平移1个单位(如图①)，得到函数|1|x y e +=的图象，此时有|1|x e e +≥，若图象再向左平移(如图②)则满足|()|(0,1)x t ee x t +->≥->，所以1t <-．故答案为：1t <-【点睛】本题主要考查利用数形结合处理恒成立问题，属于中档题．13.已知圆221:(2)1O x y ++=，圆222:(2)1O x y -+=，若在圆1O 上存在点M ，圆2O 上存在点N 使得点0(,3)P x 满足：PM PN =，则实数0x 的取值范围是_______.【答案】[2,2]- 【解析】 【分析】由图形的对称性，不妨设0(,3)P x 在y 轴的右侧，问题可转化为点0(,3)P x 到圆2O 上的距离最大值大于等于点0(,3)P x 到圆1O 上的距离最小值，即2111PO PO +≥-，即可求出0x 的取值范围．【详解】若在圆1O 上存在点M ，圆2O 上存在点N 使得点0(,3)P x 满足：PM PN =， 由图形对称性，不妨设0(,3)P x 在y 轴及其右侧，故只需2111PO PO +≥-，所以212PO PO +≥2≥解得002x ≤≤，同理0(,3)P x 在y 轴及其左侧得到020x -≤≤，综上，022x -≤≤ 所以实数0x 的取值范围是[2,2]-．【点睛】本题主要考查圆的方程及几何图形中的存在性问题处理策略，属于难题． 14.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且7cos 8A =,I 为ABC ∆内部的一点，且0aIA bIB cIC ++=，若AI xAB y AC =+，则x y +的最大值为______.【答案】45【解析】 【分析】将0aIA bIB cIC ++=利用向量的线性运算全部转化为以A 为起点的向量，根据平面向量基本定理可将,x y 用,,a b c 表示，再利用余弦定理及基本不等式，即可求出结果． 【详解】因为0aIA bIB cIC ++=，所以()()0a AI b AB AI c AC AI -+-+-=， 所以()0a b c AI bAB cAC ++++=，所以b cAI AB AC a b c a b c=+++++又AI xAB y AC =+，所以b x a b cc y a b c ⎧=⎪⎪++⎨⎪=⎪++⎩，所以11b c x y a a b c b c++==++++， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，又7cos 8A =， 所以222222271515()()()()444216b c b c a b c bc b c bc b c ++=+-=+-≥+-=， 即14a b c ≥+，当且仅当b c =时，等号成立． 所以11415114x y ab c +=≤=+++，故x y +的最大值为45．故答案为：45【点睛】本题主要考查向量的线性运算，平面向量基本定理，余弦定理及基本不等式求最值，关键是利用整体思想将b ca b c+++化为11a b c++，属于难题．二.解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明）15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a bA B=，得2a b =.由()2225ac a b c=--，及余弦定理，得222555cos 25acbc aA bcac -+-===-. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得25sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin 5sin 4a A B b ==. 由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以225cos 1sin B B =-=.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故 ()4532525sin 2sin2cos cos2sin 55B A B A B A ⎛⎫-=-=⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面四边形ABCD 是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.(1)证明：//MN 平面1C DE ； (2)求三棱锥1A AMD -的体积．【答案】(1)见解析；(2)43．【解析】【分析】(1)要证//MN平面1C DE，只需在平面1C DE找到一条直线与MN平行即可，故只需证//MN DE即可；(2)要求三棱锥1A AMD-的体积可变换底面转化为求三棱锥1M AA D-的体积即可．【详解】(1)连结1,B C ME，因为M，E分别为1,BB BC 的中点，所以11//2ME B C=，因为11////A B AB CD==，所以四边形11A B CD是平行四边形，所以11//A D B C=，又N是AD的中点，且112DN A D=，所以//ME DN=，所以四边形DEMN为平行四边形，所以//MN DE，又DE⊂平面1C DE，MN⊄平面1C DE, 所以//MN平面1C DE．(2)因为11//BB AA，1AA⊂平面1AA D，1BB⊄平面1AA D，所以1//BB 平面1AA D ，所以M 到平面1AA D 的距离即为B 到平面1AA D 的距离，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，又1AA ⊂平面11AA D D ， 所以平面11AA D D ⊥平面ABCD ，过B 在平面ABCD 内，作BF AD ⊥垂足为F ，因为平面11AA D D ⋂平面ABCD AD =，BF ⊂平面ABCD ， 所以BF ⊥平面11AA D D ，在Rt ABF ∆中，60BAD ∠=，2AB =，所以sin BF AB BAD =⋅∠=所以11111124332三棱锥三棱锥AA D A AMD M AA D V V S BF ∆--==⋅=⨯⨯⨯=，所以三棱锥1A AMD -． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理及变换底面求三棱锥的体积．17.已知椭圆Γ:22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 与椭圆Γ交于,P Q两点.(1)求FPQ ∆的周长；(2)设直线l 不平行于坐标轴，点R 为P 关于x 轴的对称点，直线QR 与x 轴交于点N ，求2QF N ∆面积的最大值．【答案】(1)8； 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的定义可得12|||4|PF PF +=，12||||4QF QF +=，即可求出FPQ ∆的周长；(2)设出,P Q 点的坐标及直线l 的方程，将直线l 的方程与椭圆Γ的方程联立方程组消去x ，利用根与系数关系求出,P Q 纵坐标的和与积，由直线QR 的方程求出N 点坐标，从而可求出2QF N ∆的底2||F N ，再利用三角形面积公式，即可求出结果．【详解】(1)由已知得2a =，则FPQ ∆的周长为11||||||PF QF PQ ++1122||||||||PF QF PF QF =+++ 1212(||||)(||||)PF PF QF QF =+++22a a =+8=(2)设1122(,),(,)P x y Q x y ，则11(,)R x y -，根据题意可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=，所以122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， 因为直线QR 的斜率2121QR y y k x x +=-，所以直线QR 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--， 令0y =，得112121111212()()1y x x y my my x x my y y y y --=+=++++21212292341124634y y m m m m y y m -+=+⋅=+⋅=+-+， 所以(4,0)N ，所以2||413F N =-=， 所以2QF N ∆面积22213||||||22S F N y y =⋅=，又20||y <≤所以当2||y =时，2QF N ∆【点睛】本题主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系及直线的方程设法，考查基本运算能力，属于中档题．18.如图，长途车站P 与地铁站O的距离为从地铁站O 出发有两条道路12,,l l 经测量12,l l 的夹角为4π，OP 与1l 夹角θ满足1tan 2θ=(其中02πθ<<)，现要经过P 修一条直路分别与道路12,l l 交汇于A ，B 两点，并在点A ，B 处设立公共自行车停放点．(1)已知修建道路,PA PB 的单位造价分别为2m 元/千米和m 元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点,A B 之间的距离；(2)考虑环境因素，需要对OA ，OB 段道路进行翻修，OA ，OB 段的翻修单价分别为n 元/千米和22n 元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定点A ，B 的位置．【答案】(1) 35(2)要使两段道路的翻修总价最少，A 在距O 点6千米处，B 在距O 点32 【解析】 【分析】(1)要求点,A B 之间的距离，只需求出OA ，OB ，先根据sin sin()4πBOP θ∠=-，利用两角差的正弦公式求出sin BOP ∠，根据已知可得2PA PB =，再利用3AOB AOP S S ∆∆=，23BOP AOB S S ∆∆=即可分别求出OB ，OA ，再利用余弦定理即可求出点,A B 之间的距离；(2)设OA x =，OB y =(,0x y >)，将两段道路的翻修总价W 用,x y 表示，根据AOB AOP BOP S S S ∆∆∆+=找出,x y 关系，代入W 中，利用基本不等式即可求出翻修总价最小值．【详解】(1)因为1tan 2θ=，02πθ<<，所以cos θ=sin θ=，所以sin sin()sin cos cos sin 444πππBOP θθθ∠=-=-==， 根据题意知， 2m PA m PA ⋅=⋅，所以2PA PB =， 所以3AOB AOP S S ∆∆=，即11sin 3sin 22OA OB AOB OA OP θ⋅⋅⋅∠=⨯⋅⋅⋅，所以3sin sin OP θOB AOB⋅==∠同理，由23BOP AOB S S ∆∆=，可得3OA =， 在AOB ∆中，由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠9722345=+-⨯⨯=，所以AB =，答：此时点,A B 之间的距离为千米．(2)设OA x =，OB y =(,0x y >),总造价为W ,则()W nx n x =+=+， 因为AOB AOP BOP S S S ∆∆∆+=，即111sin sin sin 222OA OB AOB OA OP θOB OP BOP ⋅⋅∠=⋅⋅+⋅⋅∠，所以2xy y =+，所以2y x =-，又0y >，所以2x >， 所以88(2)16()[(2)2]22x x W n x n x x x -+=+=-++--16[(2)10]2n x x =-++-10]18n n ≥=当且仅当1622x x -=-，即6x =时，等号成立，此时y =答：要使两段道路的翻修总价最少，A在距O 点6千米处，B 在距O 点32千米处． 【点睛】本题主要考查对三角形面积算“两次”建立方程，同时考查三角形的面积公式及利用基本不等式求最值，属于中档题． 19.已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2nn n n n n n ba a b a b ++++-++==，*n N ∈，且122,4a a ==． （Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑． 【答案】（Ⅰ）3,5,4--（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析 【解析】【详解】（Ⅰ）由3(1)2nn b +-=，可得1,2n n b n ⎧=⎨⎩为奇数，为偶数，又1120,n n n n n b a a b a +++++=将122,4a a ==代入可得20.已知函数()(2)ln 23f x x x x =-+- （Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）当1x ≥时，求()f x 的零点个数； （Ⅲ）若函数(1)()()ln a x g x x a x x -=-+在[1,)+∞上是增函数，求证：494a <． 【答案】（Ⅰ）2y x =-．（Ⅱ）见解析．（Ⅲ）见解析．【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，求得'()f x ，求得'(1)1f =，得到切线的斜率，利用点斜式方程，即可得到切线的方程；（Ⅱ）由'[()]0f x '>，得到'()f x 在[1,)+∞上是增函数，进而得到''()(1)1f x f ≥=，再根据零点的存在定理，即可求解. （Ⅲ）由题意得2()ln 0x a ag x x x x-=+'+≥在[1,)+∞上恒成立，即2(1)(ln 1)x a x x -≤+在[1,)+∞上恒成立，设2(ln 1)()(1)(1)x x h x x x +=>-，利用导数得到函数()h x 的单调性与最值，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）()2ln 2x f x x x -=++' 2ln 3x x=-+则：()11f '=，又()11f =- 所以，所求切线方程为()111y x +=⋅-，即2y x =-． （Ⅱ）因为()'2120f x x x ⎡⎤=+'>⎣⎦， 所以()f x '在[)1,+∞上是增函数， 则()()11f x f ''≥=，所以()f x 在[)1,+∞上是增函数， 又()11f =-，()21f =，所以()f x 在[)1,+∞上有唯一零点，且零点在[]1,2上． （Ⅲ）由题意，()2ln 0x a ag x x x x-+'=+≥在[)1,+∞上恒成立， 即()()21ln 1x a xx -≤+在[)1,+∞上恒成立，当1x =时，a R ∈； 当1x >时，()()2ln 11x x a x +≤-恒成立，设()()()2ln 1(1)1x x h x x x +=>-所以()()()()()222ln 2311x x x x x f x h x x x ⎡'⎤-+-⋅⎣⎦==--，由（Ⅱ）可知，()1,2m ∃∈，使()0f m =，所以，当()1,x m ∈时，()0h x '<，当(),x m ∈+∞时()0h x '> 由此，()h x 在()1,m 单调递减，在(),m +∞单调递增． 所以，()()()2minln 11m m h x h m m +==-又因为()()2ln 230f m m m m =-+-=， 所以32ln 2mm m -=- 从而()()2min2m h x h m m==-， 所以22m a m≤-．又因为，313ln 0222f ⎛⎫=-<⎪⎝⎭， 717117ln 2ln 0444244f ⎛⎫⎛⎫=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3724m <<． 由于()22m h m m =-在37,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，所以()74944h m h ⎛⎫<=⎪⎝⎭， 故()494a h m ≤<． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
江苏省宿迁市2020学年度高三数学第一次调研测试卷 新课标 人教版
江苏省宿迁市2020学年度高三数学第一次调研测试卷2020.11.10一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果{1,2,3,4,5}S =，{1,3,4}M =，{2,4,5}N =，那么(sM )∩(sN)等于A.∅B.{1,3}C.{4}D.{2,5} 2.下列函数中,在其定义域上是增函数的有①xy a =(1)a >,②log (01)a y x a =<<,③tan y x =,④1y x=,⑤3y x x =+ A. 1个 B. 2个 C .3个 D. 4个 3.函数sin 3,[0,]y x x x π=∈的值域是A [3,3]B [3,2]C [2,2]-D 3[2-4.若,a b 是常数, 则“0a >且240b a -<”是“对任意x R ∈,有210ax bx ++>”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件 D 既不充分也不必要条件 5.若1()y fx -=为函数()y f x =的反函数,且()y f x =的图象过点(3,1),则12(log )y f x -=的图象必过点A (1,8)B (8,1)C (2,3)D (3,2)6.在等比数列{}n a 中,若357911243a a a a a =,则2911a a 的值为A. 9B. 1C. 2D. 3 7.把函数sin() (0,)y x ωϕωϕπ=+><的图象向左平移6π个单位,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到函数sin y x =的图象,则A 2 =6πωϕ= B2 =3πωϕ=-C1 =26πωϕ= D1 =212πωϕ=-8.设11357(1)(21)()n n S n n N -+=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--∈则n S 等于A 2nB 2n -C (1)n n -D 1(1)n n --9.若数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足222()n n S n a n n n N +=⋅+-∈,则10010a a -等于A 90-B 180-C 360-D 400-10.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,且当[0,1]x ∈时,2()f x x =,则不等式()0f x <的解集为A (42,4) ()n n n Z -∈B (41,4) ()n n n Z -∈C (22,21) ()n n n Z --∈D (21,2) ()n n n Z -∈二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分，只填结果，不要过程） 11.cos cos y x x =+的最小正周期是 .12.设等比数列前三项分别为,2,8,a a 其前n 项和62n S =,则n = 13.如图所示,ABCD 为圆内接四边形,若∠045DBC =, ∠030,6ABD CD ==,则线段AD = 14.若点(cos sin ,tan ) ([0,2])P ααααπ-∈ 在第一象限,则α的取值范围是15.函数()f x 对任意实数,x y 都满足：()()()f xy f x f y =+且(2)1f =,则1()2f 的值是 16.设[1,]I k =-,若2{1,}{,}y y x x I y y x x I =+∈==∈,则k =.三、解答题：本大题5个小题，共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.17（本题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且428a a -=，10190S =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ;(Ⅱ)设,p q N +∈,试判断p q a a ⋅是否仍为数列{}n a 中的项,并说明理由.18.（本题满分14分） (Ⅰ)若tan()242πθ-=,求2cos sin θθ+的值; (Ⅱ)若2cos sin 1θθ+=,求tan()42πθ-的值.19.（本题满分14分）如图,有一块半径为R 的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状,它的下底是O e 的直径,上底CD 的端点在圆周上,且腰长不小于半径R 的一半,求梯形周长的取值范围。
2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题
设 ， ， ，
， ，
答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算及向量模的公式，二次函数最值问题，找出n,p的等量关系，学会用配方法解题是关键
15．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）先化简 ，将 直接代入表达式即可求得 的值；
（2）函数 的图象关于点 对称，根据三角函数的图象特征知图象过点 ，代入求解即可.
7．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ，E为PD的中点，已知 ， ， ，则三棱锥 的体积为_____________．
8．设等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则满足 的正整数n的值为_____________．
9．在平面直角坐标系 中，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P为双曲线C上一点．若当 与x轴垂直时，有 ，则双曲线C的离心率为_____________．
所以 ．
因为D是AB的中点， 是正三角形，
所以 ．
又因为 平面 ， ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ．
在正三棱柱 中，四边形 是矩形， ，
所以在 和 中，有 ，
所以 ，故 ．
因为 ，
所以 ．
设 ，则 ，即 ．
又因为 平面 ， ，
所以 平面 ．
【点睛】
本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，正三棱柱的性质，属于中档题.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及其前 项和公式，一元二次不等式的求解，考查学生的计算能力，属于中档题.
9．
【分析】
求出 ，由 得到 ，建立方程求解即可.
【详解】
设 ，得到
由题意知 ，即 ，
所以 ，解得 ，或 （舍去）．
【20套试卷合集】宿迁市重点中学2020届数学高三上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．若复数z 满足)1(21i z i +-=⋅，则z 的共轭复数的虚部是（ ） .A i 21- .B i 21 .C 21- .D 212．已知全集为R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021|x x x M ，{}1)2(ln |1<=-x x N ，则集合=)(N C M R （ ） .A []1,1- .B [)1,1- .C []2,1 .D [)2,13．若幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点，则m 的取值是（ ）.A 21≤≤-m .B 21==m m 或 .C 2=m .D 1=m4．设R y x ∈,，则"22"≥≥y x 且是"4"22≥+y x 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件5．已知向量)2,1(=a ，)1,3(21=-，)3,(x c =，若()c b a //2+，则=x （ ） .A 2- .B 4- .C 3- .D 1-6．已知数列{}n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++，9642=++a a a ，则=++)(log 97531a a a （ ）.A 51- .B 51.C 5- .D 57．已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-ax x y 0022内的任意一点，当该区域的面积为4时，y x z -=2的最大值是（ ）.A 6 .B 0 .C 2 .D 228．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβ，ββαcos sin 1tan +=，则（ ）.A 23πβα=- .B 22πβα=- .C 23πβα=+ .D 22πβα=+9．数列{}n a 满足11=a ，对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11，则=+++201621111a a a ( ) .A 20152016 .B 40322017 .C 40342017 .D 2016201710．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的表面积是（ ）.A 25329++ .B 2329+.C 2529+ .D 2511+ 11．在直三棱柱111C B A ABC -中，若AC BC ⊥，3π=∠A ，4=AC ，41=AA ，M 为1AA 的中点，P 为BM的中点，Q 在线段1CA 上，QC Q A 31=.则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为（ ）.A 13 .B 13.C 13 .D 1312．对于任意实数b a ,，定义{},min ,,a a ba b b b a≤⎧=⎨<⎩，定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，且当20≤≤x 时，{}x x f x --=2,12m in )(，若方程0)(=-mx x f 恰有两个根，则m 的取值范围是（ ）.A {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1 .B ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1.C {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1 .D ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．32 0|1|_______x dx -=⎰14．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若22241c b a +=，则=c Ba cos _______________ 15．已知R y x ∈,，满足64222=++y xy x ，则224y x z +=的取值范围________16．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，A60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于_______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分10分）极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=. （1）求C 的直角坐标方程；（2）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:（t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于E ，求EB EA +． 18.（本小题满分12分）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=．（1）求,A C ；（2）若3ABC S ∆=,求,a c ． 19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(2-=n n a S ，数列}{n b 满足：对任意*∈N n 有22)1(12211+⋅-=++++n n n n b a b a b a（1）求数列}{n a 与数列}{n b 的通项公式； （2）记nnn a b c =，数列}{n c 的前n 项和为n T ，证明：当6≥n 时， 12<-n T n 20.（本小题满分12分）如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，1,2PM BC ==，又1,AC =120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒ （1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥P MAC -的体积．21.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =，且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，若存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立． 求实数λ的取值范围．22.（本小题满分12分） 已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当2a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；(Ⅲ)若对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围．选择：1-5 CDBAD ，6-10 CABBA ， 11-12 CA 填空：π8],12,4[,85,322 解答题：17（1）由()2cos sin ρθθ=+得()22cos sin ρρθθ=+，得直角坐标方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=；（2）将的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得210t t --=，点E 对应的参数0t =，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则121t t +=，121t t =- ，所以1212||||||||||EA EB t t t t +=+=-==18.（1）因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得sin()sin()C A B C -=-．所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--（不成立）． 即 2C A B =+, 得3C π=，所以．23B A π+=． 又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=,（舍去） 得5,412A B ππ==．（2）1sin 328ABC S ac B ac ∆+===+又sin sin a cA C =, 即=，得a c ==19.（1）当1n =时，1112(1)S a a ==-，所以12a =， 当1n >时，112()n n n n n a S S a a --=-=-，,21-=n n a a 又122224a a =⨯==成立所以数列{}n a 是以12a =，公比2q =的等比数列，通项公式为2()n n a n N *=∈.由题意有11a b =2(11)222-⋅+=，得11b =.当2n ≥时，n n a b =1122()n n a b a b a b +++112211()n n a b a b a b ---+++1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22nn ⎡⎤-⋅+=⎣⎦2n n ⋅，验证首项满足，于是得n b n =故数列{}n b 的通项公式为n b n =()n N *∈．（2） 证明：n T =1212n n b b b a a a +++=212222n n +++，所以12n T =23112222n n++++， 错位相减得12n T =231111122222n n n +++++-，所以2n T =-22n n +，即2nT -=22n n +， 下证：当6n ≥时，(2)12n n n +<，令()f n =(2)2n n n +，(1)()f n f n +-=1(1)(3)(2)22n nn n n n ++++-=2132n n +- 当2n ≥时，(1)()0f n f n +-<，即当2n ≥时，()f n 单调减，又(6)1f <， 所以当6n ≥时，()1f n <，即(2)12nn n +<，即当6n ≥时，21n n T -< 20.(1)ABC PC B BC AB AB PC BCPC 面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥,PAC PC 面⊂⇒ABC ABC 面面⊥(2)12323112131=⋅⋅⋅⋅==--PMC A MAC P V V 21.（1）设{}n a 的公差为d ，由已知得12111545202(2)(6)a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 即121242a d d a d+=⎧⎪⎨=⎪⎩，110,2d d a =⎧≠∴⎨=⎩，故*1()n a n n N =+∈ （2）11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++111111233412n T n n ∴=-+-++-++11222(2)n n n =-=++∵存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立 ∴存在*n N ∈，使得(2)02(2)n n n λ-+≥+成立,即22(2)nn λ≤+有解max2{}2(2)n n λ∴≤+而21142(2)162(4)nn n n=≤+++，2=n 时取等号 116λ∴≤．22.试题解析：(Ⅰ)函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．21() 4 f x x '=-+，令21() 4 =0f x x '=-+， 得112x =；212x =-（舍去）． 2分当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：4分(Ⅱ) 221)()2 f x a x x x '=-+=，令()0f x '=，得112x =，21x a=-， 5分当2a =-时，()0f x '≥，函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增； 6分 当20a -<<时，在区间1(0,)2，1(,)a-+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a-，上()0f x '>，)(x f 单调递增； 7分当2a <-时，在区间1(0,)a -，1(,)2+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a -，上()0f x '>，)(x f 单调递增． 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当(3,2)a ∈--时，函数)(x f 在区间[]1.3单调递减； 所以，当[]1.3x ∈时，max ()(1)12f x f a ==+，min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----成立， 1即14114,4a am a m a a ->-<=-，432,432-<->am a am ，所以313-≤m 12分2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案本试卷共2页，全卷满分150分，考试用时120分钟。
江苏省宿迁市届高三第一次模拟数学试题及答案
数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{}13=A ，，{}01=B ，，则集合A B U = ▲ ． 【答案】{}013，，2． 已知复数2i 3i 1iz --=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ . 【答案3．则平均每人参加活动的次数为 ▲ .【答案】34． 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ▲ ．【答案】75． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲ ．【答案】236． 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm 3．【答案】547． 若实数x y ，满足2+3x y x ≤≤，则x y +的最小值为 ▲．【答案】6-8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)=>y px p 的准线为l ，直线l 与双曲线2214x y -= 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB =p 的值为 ▲ ．【答案】9． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3y x t =+与曲线()sin cos y a x b x a b t =+∈R ，，相切于 点()01，，则()a b t +的值为 ▲ ． 【答案】410．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列； ②数列{}1+n n a a 是等比数列；③数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 是等比数列； ④数列{}2lg n a 是等比数列．（第4题）其中正确的命题有 ▲ 个．【答案】311．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=．当01<x ≤时，()=f x 31x ax -+，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】212．在平面四边形ABCD 中，1AB DA DB ==，，32AB AC AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则2AC AD +u u u r u u u r 的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，圆221O x y +=：，圆()2244C x y -+=：．若存在过点()0P m ，的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()443-， 14．已知函数()()()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f +++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ．【答案】337二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD是矩形，DA =DP ． 求证：（1）MN ∥平面PBC ；（2）MD ⊥平面P AB ． 【证明】（1）在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点，所以MN ∥AD ．……………………2分 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD ．所以MN ∥BC ．…………………………………………………………………4分 又⊂⊄BC PBC MN PBC 平面，平面，所以MN ∥平面PBC ． ………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD ．又侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD =AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面P AD ．…………………………………………………………8分 又MD ⊂侧面P AD ，所以AB ⊥MD ． ………………………………………………………………10分 因为DA =DP ，又M 为AP 的中点，从而MD ⊥PA ． ……………………………………………………………12分 （第15题） A B C D P M N又PA ，AB 在平面P AB 内，=I PA AB A ，所以MD ⊥平面P AB ．………………………………………………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A，cos A （1）求角B 的值；（2）若a =ABC 的面积．【解】（1）在△ABC中，因为cos A =，0π<<A ，所以sin ==A 2分因为cos cos a B A ，由正弦定理sin sin =a b A B，得sin cos cos A B B A ． 所以cos sin =B B ． ………………………………………………………………… 4分若cos =0B ，则sin =0B ，与22sin cos 1B B +=矛盾，故cos 0B ≠． 于是sin tan 1cos ==B B B． 又因为0π<<B ，所以π4B =． ……………………………………………………………………7分 （2）因为a =sin A =， 由（1）及正弦定理sin sin =a b A B=，所以=b ……………………………………………………………………9分 又()()sin sin πsin C A B A B =--=+sin cos cos sin =+A B A B=12分 所以△ABC的面积为11sin 22===S ab C ……14分 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221y x a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，右顶点为A ， 上顶点为B ．（1）已知椭圆的离心率为12，线段AF，求椭圆的标准方程； （2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x -=上，求椭圆的离心率e 的值．【解】（1）因为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12， 所以12c a =，则2a c =． 因为线段AF，所以2a c -=．所以c 28a =，2226b a c -==． 所以椭圆的标准方程为22186x y +=． …………………………………………………4分 （2）因为(0)(0)A a F c -，，，，所以线段AF 的中垂线方程为：2a c x -=． 又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y x -=上， 所以()22a c a c C ---，．………………………………………………………………6分 因为(0)(0)A a Bb ，，，， 所以线段AB 的中垂线方程为：()22b a a y x b --=． 由C 在线段AB 的中垂线上，得()2222a c b a a c a b -----=， 整理得，2()b a c b ac -+=，…………………………………………………………10分 即()()0b c a b -+=．因为0a b +>，所以b c =．…………………………………………………………12分所以椭圆的离心率2c e a ===． ………………………………………14分 18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB AD ，的长分别为m 和 4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，=3COD 2π∠． （1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面 的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．O O OD D DC CAA A C DO（第17题）【解】（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB CD ，于点12O O ，，交劣弧CD 于点P ，1O P 的长即为拱门最高点到地面的距离． 在2Rt O OC △中，23O OC π∠=，2CO = 所以21OO =，圆的半径2R OC ==． 所以11122=5O P R OO R O O OO +=+-=．答：拱门最高点到地面的距离为5m ． …………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离．由（1）知，在1Rt OOB △中，OB ．以B 为坐标原点，直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P 在劣弧CD 上时，ππ62θ<≤． 由π6OBx θ∠=+，OB =由三角函数定义，得O ππ))66()θθ++，则π2)6h θ=++．……………………8分 所以当ππ62θ+=即π3θ=时，h 取得最大值2+ ………………………………………………10分（2.2）当点P 在线段AD 上时，06θπ≤≤． 设=CBD ϕ∠，在Rt BCD △中，DB =sin cos ϕϕ===．由DBx θϕ∠=+，得))()D θϕθϕ++，．所以)h θϕ=+4sin θθ=+．………………………………14分又当06θπ<<时，4cos 4cos 066h θθππ'=->-．所以4sin h θθ=+在[0]6π，上递增．θO D C B A x y所以当6θπ=时，h 取得最大值5．因为25+>，所以h的最大值为2+答：4sin 06π2)662h θθθθθπ⎧+⎪⎪=⎨ππ⎪++<⎪⎩，≤≤，，≤；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（2+m ． ………………………………………16分19．（本小题满分16分）已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，．① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+． 【解】（1）()f x 的定义域为()0+∞，，且2()x a f x x-'=． （1.1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以()f x 在()0+∞，为增函数； …2分 （1.2）当0a >时，（i ）当x a >时，()0f x '>，所以()f x 在()+a ∞，上为增函数； （ii ）当0x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0a ，上为减函数．…4分 （2）①由（1）知，当0a ≤时，()f x 至多一个零点，不合题意；当0a >时，()f x 的最小值为()f a ，依题意知()=f a 1ln 0a +<，解得10e a <<．……………………………6分一方面，由于1a >，()10f a =>，()f x 在()+∞a ，为增函数，且函数()f x 的图 象在()1a ，上不间断． 所以()f x 在()a +∞，上有唯一的一个零点． 另一方面， 因为10e a <<，所以210e <<<a a ．2211()ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln =+g a a a，当10e a <<时，()2212210-'=-+=<a g a a a a，所以()()211()2ln 20f a g a a g e a e==+>=->又()0f a <，()f x 在()0a ，为减函数，且函数()f x 的图象在()2a a ，上不间断．所以()f x 在()0a ，有唯一的一个零点． 综上，实数a 的取值范围是()10e，．………………………………………10分 ② 设()()1122121211=2+a a a a p x f x x f x x x x x ⎛⎫''=+=-+-- ⎪⎝⎭．又1122ln 0ln 0a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，， 则()122ln p x x =+．…………………………………12分 下面证明212x x a >．不妨设12x x <，由①知120x a x <<<． 要证212x x a >，即证212a x x >．因为()2120a x a x ∈，，，()f x 在()0a ，上为减函数， 所以只要证()212a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又()()12==0f x f x ，即证()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………………………14分 设函数()()()()22ln 2ln a x a F x f f x x a x a x a x=-=--+>．所以()()220x a F x ax -'=>，所以()F x 在()+a ∞，为增函数. 所以()()20F x F a >=，所以()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭成立． 从而212x x a >成立.所以()122ln 2ln 2p x x a =+>+，即()()11222ln 2''+>+x f x x f x a 成立. …16分20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，．① 证明：{}n b 为等比数列；② 求集合*3()=p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，． 【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =，所以1134878362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，，解得111a d =⎧⎨=⎩，． 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ………………………………………3分（2）①设数列{}n b 前n 项的和为n B ．由（1）及()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，得，()()()()()()21211121213212321212nnk n k k n n k n k k b a n b an n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩∑∑，③≥， ④ 由③-④得()()()1121223131321321+2n n n n n n b a b a b a b a n -------=++++L()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-L[]123225111(2)(2)+(2)2n n n n b a b a b a b a n ---=+++++++L()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-L()()1212+222n n n n n b b b b B b b -=++++=-++L ． 所以13222n n n B b -⋅=-+()2n n *∈N ≥，， 又()1113212b a -=+，所以11b =，满足上式． 所以()12232n n n B b n -*-+=⋅∈N ⑤…………………………………………6分 当2n ≥时，2112232n n n B b ----+=⋅⑥由⑤-⑥得，2132n n n b b --+=⋅．…………………………………………………8分()12122n n n n b b ----=--=L ()()11120n b -=--=，所以12n n b -=，12n nb b +=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．…………………………10分 ②由3=p m m p a a b b ，得11322m p p m --=，即32p mp m -=． 记n n nac b =，由①得，12n n n n a n c b -==，所以1112n n cn c n++=≤，所以1n n c c +≥（当且仅当1n =时等号成立）．由3=p m m pa ab b ，得3m p pc c c =>， 所以m p <．……………………………………………………………………12分设t p m =-()*m p t ∈N ，，，由32p m pm -=，得323t t m =-．当1t =时，3m =-，不合题意；当2t =时，6m =，此时8p =符合题意； 当3t =时，95m =，不合题意；当4t =时，12113m =<，不合题意．下面证明当4t t *∈N ≥，时，3123t t m =<-． 不妨设()233x f x x =--()4x ≥，()2ln 230x f x '=->，所以()f x 在4+[)∞，上单调增函数， 所以()(4)10f x f =>≥，所以当4t t *∈N ≥，时，3123tt m =<-，不合题意．综上，所求集合*3()=p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，(){}=68，．……………16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ． 【解】由题意，()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，则40102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ． ………………………………4分 因为10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，则110=02-⎡⎤⎢⎥⎣⎦N ．………………………………………………6分 所以矩阵401040=1020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ．…………………………………………10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4ρθπ-=求：（1）直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 被曲线C 截得的线段长．【解】（1）直线l的极坐标方程可化为(sin cos cos sin )44ρθθππ-即sin cos 2ρθρθ-=．又cos sin x y ρθρθ==，，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． ……………………4分 （2）曲线C : 2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）的普通方程为2x y =． 由220x y x y ⎧=⎨-+=⎩，，得220x x --=，所以直线l 与曲线C 的交点()11A -，，()24B ，． ……………………8分所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ．……10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥． 【证明】由柯西不等式，得()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭29=≥，…………………………5分 所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． ……………………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位 “回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4， 其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ． （1）求X 为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．【解】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A ．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308， 352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A 的概率2()9P A =．………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得2()9P A =．……………………………………………………………5分设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立．根据已知条件得，()29205=9P B C =． ()()()()()2528=0=119981P P A P B ξ=--=；()()()()()()()252543=1=11999981P P A P B P A P B ξ+=-+-=；()()()2510=2=9981P P A P B ξ=⋅= ………………………………………………8分 所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为2843107()0128181819E ξ=⨯+⨯+⨯=．………10分23．(本小题满分10分)设集合B 是集合{123n A =，，，…，32313}n n n n *--∈N ，，，的子集．记B 中所有元素的 和为S （规定：B 为空集时，S =0）．若S 为3的整数倍，则称B 为n A 的“和谐子集”． 求：（1）集合1A 的“和谐子集”的个数；（2）集合n A 的“和谐子集”的个数．【解】（1）集合{}1=123A ，，的子集有：φ，{}1，{}2，{}3，{}12，，{}13，，{}23，，{}123，，． 其中所有元素和为3的整数倍的集合有：φ，{}3，{}12，，{}123，，． 所以1A 的“和谐子集”的个数等于4．………………………………………3分 （2）记n A 的“和谐子集”的个数等于n a ，即n A 有n a 个所有元素和为3的整数倍的子集；另记n A 有n b 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有n c 个所有元素和为3的整数 倍余2的子集．由（1）知，111=4=2=2a b c ，，．集合()+1{12332313313231}n A n n n n n n =--+++L ，，，，，，，，，的“和谐子集” 有以下四类（考察新增元素()313231n n n +++，，）：第一类 集合{123n A =，，，…，32313}n n n --，，的“和谐子集”，共n a 个； 第二类 仅含一个元素()31n +的“和谐子集”，共n a 个；同时含两个元素3132n n ++，的“和谐子集”，共n a 个； 同时含三个元素()313231n n n +++，，的“和谐子集”，共n a 个；第三类 仅含一个元素31n +的“和谐子集”，共n c 个；同时含两个元素()313+1n n +，的“和谐子集”，共n c 个；第四类 仅含一个元素32n +的“和谐子集”，共n b 个；同时含有两个元素()3231n n ++，的“和谐子集”，共n b 个，所以集合+1n A 的“和谐子集”共有1422n n n n a a b c +=++个．同理得1422n n n n b b c a +=++，1422n n n n c c a b +=++．…………………………7分 所以+112()n n n n a b a b +-=-，112a b -=，所以数列{}n n a b -是以2为首项，公比为2 的等比数列． 所以=2n n n a b -．同理得=2n n n a c -．又3=2n n n n a b c ++，所以()321=2233n n n a n *⨯+⨯∈N ，． ………………10分。
江苏省宿迁中学2020届高三一模全真模拟卷数学试题
江苏省宿迁中学2020年1月高三年级一模全真模拟卷一. 填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分)1. 已知全集 U = {1,2,3,4}，集合 A = {1,2},B ={1,3}，则()U A C B =I . 2. 已知复数 z 满足 zi = 2+i, 其中 i 为虚数单位，则 |z| = . 3. 函数 f(x) = sin2(x+ φ )( φ > 0) 的最小正周期为 .4. 执行如图所示的伪代码，若输出的 y 的值为 1，则输入 x 的值为 .5.，母线与底面所成角为3π，则该圆锥体积为 . 6. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前 4 项和为 15，且5313a a a =+，则3a = . 7. 从分别写有 1,2,3,4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡上的数字大于第二张卡片上的数的概率为 .8. 在等差数列{}n a 中，设 k,l,p,r ∈ N ∗ ，则 k+l > p+r 是k l p r a a a a +>+的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”或“既不充分有不必要”中的一个）9. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线C ：()2221016x y a a -=>的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线的离心率为 . 10. 已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin2 α = cos2 α +1，则 sin α = .11. 若实数 a,b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则223b ab a -的取值范围是 . 12. 已知函数()x tf x e-=,g(x) = −x+e,h(x) = max{f(x),g(x)}，其中 max{a,b} 表示中 a,b 最大的数. 若 h(x) > e 对 x ∈ R 恒成立，则实数 t 的取值范围是.13. 已知圆()221:21O x y ++=，圆()222:21O x y -+=，若在圆1O 上存在点 M 、圆2O 上存在点 N 使得点P(0x ,3) 满足：PM = PN. 则实数 t 的取值范围是 . 14. 已知 △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且，I 为 △ABC 内部的一点，且0aIA bIB cIC ++=u u r u u r u u r r .若AI x AB y AC =+u u r u u u r u u u r，则 x+y 的最大值为 .二. 解答题（本大题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明） 15. (本小题满分 14 分)在 △ABC 中，内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 asinA = 4bsinB,)222ac a b c =--.(1) 求 cosA 的值;(2) 求 sin(2B−A) 的值.16. (本小题满分 14 分)如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面四边形 ABCD 是菱形，1AA = 4,AB = 2,∠BAD = 60° ,E,M,N 分别是 BC,11,BB A D 的中点. (1) 证明：MN 平面1C DE ； (2) 求三棱锥1A −AMD 的体积.17. (本小题满分 14 分)已知椭圆Γ:22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ,过2F 的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点.(1) 求 △FPQ 的周长;(2) 设直线 l 不平行于坐标轴，点 R 为点 P 关于 x 轴的对称点，直线 QR 与 x 轴交于点 N. 求2QF N ∆面积的最大值.18. (本小题满分 14 分)如图，长途车站 P 与地铁站 O 的距离为 5 千米，从地铁站 O 出发有两条道路12,,l l 经测量12,l l 的夹角为4π，OP 与1l 夹角θ满足 tan θ =12（其中0 < θ <2π），现要经过 P 修一条直路分别与道路12,l l 交汇于A,B 两点，并在点A,B 处设立公共自行车停放点. (1) 已知修建道路 PA,PB 的单位造价分别为 2m 元/千米和 m 元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点 A,B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对 OA,OB 段道路进行翻修，OA,OB 段的翻修单价分别为 n 元/千米和元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定点 A,B 的位置.19. (本小题满分 14 分)已知数列{}n a 与{}n b 满足：()112310,,2nn n n n n n b a a b a b ++++-++==且122,4a a ==.(1) 求345,,a a a 的值；；(2) 设2121n n n c a a -+=+，n ∈ N ∗ , 证明：{}n c 是等比数列； (3) 设242,k k S a a a =++⋅⋅⋅+*n N ∈证明：()4*17.6nk i kS n N a =<∈∑20. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x) = (x−2)lnx+2x−3.(1) 求曲线 y = f(x) 在 x = 1 处的切线方程；； (2) 当 x ≥ 1 时，求函数 y = f(x) 的零点个数； (3) 若函数()()()1ln a x g x x a x x-=-+在 [1,+∞) 上是增函数，求证：494a <。
【20套试卷合集】江苏省宿迁中学2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
3．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={}1,0,1,2--，集合B={}3,2,1,0，求A B= （ ）A ．{}1,2--B ．{}0,2-C ．{}0,1 D.{}1 2．计算=+-ii11 A.i B.1 C .2i D.-i 3.求y=x 21-的定义域A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,214.求0)3()2(≥-⋅-x x 的解集A ．{}23|≤≥x x x 或 B.{}23|<>x x x 或 C.{}32|<<x x D.{}32|≤≤x x 5．{}n a 等差数列，1a =2，3-=d ，求10a =A ．23- B.24- C.25- D.26- 6.ABC ∆中，=︒=∠==AB b a cos ,60,3,2求A.30°B.45°C.60°D.90° 7.已知==αααcos .,31sin 求在第二象限 A.322 B.322- C.32 D.32-8.x b a x b a ，求若⊥=--=),,2().1,3(=A.-5B.-6C.32 D.32-9.求)62cos(π-=x y 的最小正周期为A.πB.π2C.2πD.2 10.{}n a 等比数列，,0>n a ,40,204342=+=+a a a a 求公比q A.-2 B.1 C.-1 D.211.的夹角与，求，的夹角为与c a a b b a c b a1||||60,0==︒=++ （ ） A.60° B.30° C.120° D.150°18．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥+-00432032y y x y x ，若目标函数)0,0(<>+=b a by ax Z 最大值 为3,求b a 21+的最小值A.3B.1C.2D.4 二、填空题（每题5分，共20分）13.{}n a 等比数列，,0>n a ==⋅57310a a a ，求 .14.==+ααπ2cos ,21)cos(求 . 15.=⋅︒==b a b a b a，求夹角为与60,21||,2|| .16.球O 与底面边长为3的正三棱柱各侧面均相切，则球的表面积为 . 三、解答题（17题10分，18、19、20、21、22题，每题12分，共70分） 17.已知数列n a 为等差数列,2,21==d a ， （1）求n n S a , （2）求⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1得前n 项和n T18.已知b a,的模长分别是1，3，夹角为120°，求|2||,|b a b a-+.19.已知{}0)23(log |,121|2>+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=x x B x x A ，（1）求A ，B （2）求B A . 20.在ABC ∆中，0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C （1）求B ∠（2）1=+c a 求b 的取值范围21.21．在三棱锥P ABC -中，侧棱PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，E 、F 分别是棱BC 、PC 的中点． （Ⅰ）证明：EF ∥平面PAB ； （Ⅱ）证明：EF BC ⊥．22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，32312,1211---==+n n a n S a n n （1）求2a 的值 （2）求{}n a 的通项公式 （3）证明：对一切正整数n 有4711121<++n a a a参考答案ABEFCP1—5CDADC 6—10DBBAD 11—12DC 13.10 14.21-15.2116.π317.,,22n n S n a n n +== （5分）111112+-=+=n n n n S n1+=n nT n （10分） 3．7||=+b a（6分） 43|2|=-b a（12分）21. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=210|x x A （5分） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->=31|x x B （10分）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=210|x x B A （12分）（1）0cos sin 3cos cos =-+B A B C0cos sin 3cos cos )cos(=-++-B A B A B A （3分）0cos sin 3cos cos cos cos sin sin =-+-B A B A B A B A0)cos 3(sin sin =-B B A A ∠ 为三角形ABC 的内角0cos 3sin =-∴B B 3tan =∴B3π=∠B(2)121<≤b 19．（I ）的中点分别为枝PC BC F E ,, EF ∴//PB 21 又P A B PB 面⊂P A B EF 面⊄PAB EF 平面//∴ （6分）（II ）BCPA ABC PA ⊥∴⊥面又BC AB ⊥ A AB PA =PBBC PAB BC ⊥∴⊥∴面又EF PB //EF BC ⊥∴ (12分） 22.略)3()2(4)1(22n a a n ==2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。
2020年1月江苏省宿迁中学2020届高三上学期高考一模全真模拟数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省宿迁中学2020届高三年级上学期第一次高考全真模拟考试数学试题(解析版)2020年1月 一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，3{}1,B，则()U A C B ⋂=_________.【答案】{2}【解析】【分析】 结合已知利用补集的定义先求出{2,4}U C B =,然后根据交集的定义即可求出()U A C B ⋂．【详解】因为{1,2,3,4}U =,3{}1,B ,所以{2,4}U C B =,又{1,2}A =, 所以(){1,2}{2,4}{2}U A B ==C .故答案为:{2}【点睛】本题主要考查集合的交集运算及补集的运算,属于基础题．2.已知复数z 满足2zi i =+,其中i 为虚数单位,则||z =________.【解析】【分析】 将等式变形为2i z i+=,再利用复数的除法运算化简为复数的代数形式,再根据复数的模的定义即可求出||z ．【详解】因为2zi i =+,所以22i (2i)i 2i 112i i i 1z ++-====--, 所以22||1(2)5z =+-=．故答案为：5 【点睛】本题主要考查复数的除法运算及复数的模的求法,属于基础题．3.函数()sin 2()(0)f x x φφ=+>的最小正周期为________.【答案】π【解析】【分析】根据函数()sin(22)f x x φ=+可知2ω=,代入周期公式2||T πω=,即可求出函数()f x 的最小正周期．【详解】因为函数()sin 2()sin(22)f x x φx φ=+=+,所以22T ππ==． 故答案为：π【点睛】本题主要考查三角函数的周期求法,关键是熟练掌握函数sin()y A x ωϕ=+的最小正周期为2π||ω,属于基础题．4.执行如图所示的伪代码,若输出y 的值为1,则输入x 的值为_______.【答案】-1【解析】【详解】执行此程序框图可知,当0x ≥时,121x +=,此时方程无解；。